高中數(shù)學人教課標A版必修4-教學設計2：任意角的三角函數(shù) 公開課教學設計課件資料

1.2.1任意角的三角函數(shù)

?三維目標

1.知識與技能

(1)掌握任意角的三角函數(shù)的定義.

(2)已知角a終邊上一點，會求角。的各三角函數(shù)值.

(3)記住三角函數(shù)的定義域、值域、誘導公式一.

2.過程與方法

(1)通過直角三角形中三角函數(shù)定義到單位圓中三角函數(shù)定義，最后到直角

坐標系中一般化的三角函數(shù)定義，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律的思維方法和能力.

(2)樹立映射觀點，正確理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù).

(3)通過對定義域、三角函數(shù)值的符號、誘導公式一的推導，提高學生分析、

探究、解決問題的能力.

3.情感、態(tài)度與價值觀

(1)使學生認識到事物之間是有聯(lián)系的，三角函數(shù)就是角度(自變量)與比值

(函數(shù)值)的一種聯(lián)系方式.

(2)學習轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學生嚴謹治學、一絲不茍的科學精神.

?重點、難點

重點：任意角的正弦、余弦、正切的定義(包括這三種三角函數(shù)的定義域和

函數(shù)值在各象限的符號)，以及這三種函數(shù)的第一組誘導公式.公式一是本小節(jié)

的另一個重點.

難點：利用角的終邊上點的坐標刻畫三角函數(shù)，三角函數(shù)的符號以及三角函

數(shù)的幾何意義.

?教學建議

學生已經(jīng)學過銳角三角函數(shù)，它是用直角三角形邊長的比來刻畫的.銳角三

角函數(shù)的引入與“解三角形”有直接關系.任意角的三角函數(shù)是刻畫周期變化現(xiàn)

象的數(shù)學模型，它與“解三角形”已經(jīng)沒有什么關系了.因此，與學習其他基本

初等函數(shù)一樣，學習任意角的三角函數(shù)，關鍵是要使學生理解三角函數(shù)的概念、

圖象和性質(zhì)，并能用三角函數(shù)描述一些簡單的周期變化規(guī)律，解決簡單的實際問

題.

先以銳角三角函數(shù)為引子，利用單位圓上點的坐標定義三角函數(shù)，從而很容

易建立角的終邊和單位圓的交點坐標、單位圓中的三角函數(shù)線之間的關系；在此

基礎上定義任意角的三角函數(shù)，并直接用定義研究三角函數(shù)的定義域、函數(shù)值的

符號、誘導公式一等問題.

1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義及其應用.（重點）

課標解2.初步了解有向線段的概念，會利用單位圓中的三角函數(shù)線表示任意角的正弦、

讀余弦、正切.（難點）

3.掌握誘導公式及其應用.（重點難點）

知識點1任意角的三角函數(shù)

【問題導思】

使銳角a的頂點與原點。重合，始邊與x軸的非負半軸重合，在終邊上任取

一點、P,冏LLx軸于必設0（x,力，|0P\=r.九

1.角。的正弦、余弦、正切分別等于什么？P

【提示】sina=-cosQ=-,tanQ=-

rx

2.對于確定的銳角a,sina、cosa、tan。的值是否

隨月點在終邊上的位置的改變而改變？

【提示】不會.

3.在問題1中，取10Pl=1時，sina,cosa,tana的值怎樣表示？

1.單位圓：在直角坐標系中，我們稱以原點。為圓心，以單位長度為半徑

的圓為單位圓.

2.定義：

圖1—2—1

在平面直角坐標系中，設。是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點尸(x,

力那么：

(l)y叫做a的正弦,記作sina,即sina=y-

(2)x叫做a的余弦,記作cosa,即cosa=x-,

VV

(3)一叫做a的正切,記作tana,即tana=-(^:0).

x----------x

對于確定的角。，上述三個值都是唯一確定的.故正弦、余弦、正切都是以

角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)，統(tǒng)稱為三角函

數(shù).

3.正弦函數(shù)sina的定義域是R；余弦函數(shù)cosa的定義域是R；正切函

數(shù)tan。的定義域是{x|xGR,且京萬，N@Z}.

正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限

知識點2

的符號

【問題導思】

三角函數(shù)在各象限的符號由什么來確定？

【提示】由三角函數(shù)的定義知三角函數(shù)在各象限的符號由角a終邊上任意

一點的坐標來確定.

-y

++

~0X

sinacosatana

圖1—2—2

口訣：“一全正，二正弦,三正切,四余弦”.

知識點3誘導公式

【問題導思】

當角a分別為30°,390°,—330°時，它們的三角函數(shù)值有什么關系？

為什么？

【提示】相等，因為它們的終邊重合.

誘導公式一,sina-\-k,2Ji=sina,k^Z

tanci-\-k?2n=tanQ,cos兀=cosa,

知識點4有向線段與三角函數(shù)線

【問題導思】

在平面直角坐標系中，任意角a的終邊與單位圓交于點R過戶作冏吐x軸,

過4(1,0)作月TTx軸，交終邊或其反向延長線于點T,如圖所示：

結合三角函數(shù)的定義，你能得到sina,cosa,tana與MP,OM,AT

的關系嗎？

【提示】可以，sina=|MP\,cosa=\0M\,tana=\AT\.

1.有向線段：帶有方向的線段.

2.三角函數(shù)線：

圖1—2—3

類型1用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值

歷

例1已知角。的終邊上有一點?(一地，血，且sin9=~-/n,求cosS

與tan。的值.

【思路探究】此類問題的解答一般根據(jù)三角函數(shù)的定義求解.對于本題可

由定義求出必的值，再求cos。與tan。的值.

【自主解答】點刀到原點的距離I2+宿=產(chǎn)^，

??。J1_也

-in4皿，解得ffl=O或777=±乖.

(1)當加=0時，cos1,tan9=0.

乖

⑵當勿=十時，cos〃=,tan9

3.

,n-V5V15

(3)當力=一十時，cos

；tan_小=3-

規(guī)律方法

1.當角a的終邊上點的坐標以參數(shù)形式給出時，要根據(jù)問題的實際情況對

參數(shù)進行分類討論.

2.解決此類問題有兩種方法:

(1)先利用直線與單位圓相交，求出交點坐標，然后再利用正、余弦函數(shù)的

定義求出相應三角函數(shù)值;

⑵注意到角的終邊為射線，所以應分兩種情況處理，取射線上任意一點坐

一ba

標(a,3)，則對應角的正弦值sina余弦值cosa=

7寸+6

變式訓練

(1)已知角a的終邊經(jīng)過點P(—4a,3a)(aWO),求sina,cosa,tana

的值;

(2)已知角a的終邊在直線尸班x上，求sina,cosa,tana的值.

【解】⑴r=y]~4a3a=51a\.

若a>0,則r=5a,。是第二象限角，則

y3a3

r5a5'

x—4a4

r5a5'

y3a3

x—4a4’

若aVO,則r=—5a,。是第四象限角，則

sina=-cosa=—,tana=——

⑵因為角a的終邊在直線yfx上,

所以可設P(a,/a)(aWO)為角。終邊上任意一點.

則r=\/a2+—y[3a~：2=2\a\(aWO).

若a>0,則a為第一象限角，r=2a,所以

若a<0,則a為第三象限角，r=—2a,所以sina="1^=—'學，cosa

—2a2

類型2誘導公式一的運用

例2求下列各式的值：

(1)s2sin(—1350°)+/?2tan405°一2a/?cos(—1080°)；

(2)sin(-—--)+cos-n?tan4兀.

b5

【思路探究】利用誘導公式，把每個角化為[0,2兀)間的角，再利用特殊

角的三角函數(shù)求值.

【自主解答】(1)原式=4sin(—4義360。+90°)+Z?2tan(360°+45°)

—2aZ?cos(—3X360°)

=a2sin90°+Z?2tan45°~2abcos0°

=a-\-l)—2ab=(a—ti)2.

/、/H、?12

(2)sin(——兀)+cos-兀?tan4兀

b5

?tan0

JI1

=sin—+0=-

b2

規(guī)律方法

1.利用誘導公式一可把任意角的三角函數(shù)化歸為［0,2n)內(nèi)的三角函數(shù)，實

現(xiàn)“負化正，大化小”，體現(xiàn)了數(shù)學中的化歸(轉(zhuǎn)化)思想.

2.一定要熟記一些特殊角的三角函數(shù)，有利于準確求值.

變式訓練

求下列各式的值：

/、25,,15、

(l)cos-Ji+tan(——Ji)；

(2)sin810°+tan1125°+cos420°.

2515

【解】(l)cos—Ji+tan(——JT)

o±

JI

=cos(8n+-)+tan(—4n

JiJi13

cos-+tan—=~+1=-

(2)原式=sin(2X360。+90°)+tan(3X360°+45°)+cos(360°+

60°)

=sin90°+tan45°+cos60°

=l+l+~=-|.

類型3三角函數(shù)線及其應用

例3在單位圓中畫出適合下列條件的角。的終邊范圍，并由此寫出角。的

集合.

（1）sina>乎；（2）cos。三一；.

【思路探究】根據(jù)三角函數(shù)線.在單位圓中首先作出滿足sin

cos。=一；的角的終邊，然后由已知條件確定角。的終邊范圍.

【自主解答】（1）作直線彳，交單位圓于48兩點，連接如，0B,

則如與如圍成的區(qū)域（圖⑴中陰影部分）即為角。的終邊的范圍.

ji2n

故滿足條件的角a的集合為{a\2kTi+—<aW2Nn+—,NeZ}.

oo

⑵作直線x=—交單位圓于C,。兩點，連接％與0D,則勿與切圍成

的區(qū)域（圖⑵中的陰影部分）即為角。的終邊的范圍.

2ji4Ji

故滿足條件的角a的集合為{a\2kTi+—<aW2/n+—,N?Z}.

oo

規(guī)律方法

1.三角函數(shù)線是利用數(shù)形結合思想解決有關問題的工具，要注意利用其來

解決問題.

2.三角函數(shù)線的主要作用是解三角不等式、比較大小及求函數(shù)的定義域，

在求三角函數(shù)定義域時，一般轉(zhuǎn)化為不等式（組），因此必須牢固掌握三角函數(shù)線

的畫法及意義.

變式訓練

求函數(shù)y=，2cosx—1的定義域.

【解】由題意得：2cosx—1N0,則有cosxN；.

如圖在x軸上取點四使第=；,過幽作x軸的垂線交單位圓于點凡辦連

接陽，0P2.

則仍與織圍成的區(qū)域（如圖中陰影部分）即為角x的

終邊的范圍.

，滿足cos的角的集合即y=，2cosx—1的定義

域為：

,JIJI

{x\2kb2A兀+—,A￡Z}.

oo

易錯易誤辨析

忽視三角函數(shù)的定義域致誤

典例求滿足y=y/sinx?tanx的x的取值范圍.

【錯解】由題意知，只需要sinx?tanx》0,

"sinxNO,fsinx<0,

即、八①或『八②

tanxe0,[tanx^：0,

對①可知x為第一象限角或終邊在x軸或y軸上的角.

對②可知x為第四象限角或終邊在x軸或y軸上的角.

因此x的取值范圍為

.JI、JIkJi

{x|2kb一萬或2Nnn+5或x=~^~,NGZ}.

【錯因分析】求尸Vsinr?tanx的x取值范圍時沒有考慮tanx的條

件，致使思考問題不周全而出錯.

【防范措施】熟練掌握三種三角函數(shù)的定義域如下表所示：

三角函數(shù)定義域

sinQ(aa?R}

cosa{aa￡R}

tanQ■a|aGR,a乎kb+y,k^l>

sinx?tanx20,

{x將-5人Z

〃sinx20,〃sinxWO,

tanx20,ItanxWO,

即q或<

JIJI

x^k工+萬AeZx^k支+5kRZ

根據(jù)x所在象限情況可判斷x的取值范圍是

.JI、JI

{x|2Nn——<.x<.2k^或24n<x<2Nn+萬或x=1（戈,N?Z}.

課堂小結

1.三角函數(shù)的定義是以后學習一切三角函數(shù)知識的基礎，要充分理解其內(nèi)

涵，把握住三角函數(shù)值只與角的終邊所在位置有關，與所選取的點在終邊上的位

置無關這一關鍵點.

2.誘導公式一指的是終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等，反之不一定成

立，可結合三角函數(shù)的定義進行記憶.

3.三角函數(shù)值的符號主要涉及開方、去絕對值等計算問題，同時也要注意

終邊在坐標軸上的角的三角函數(shù)值情況，因角的終邊經(jīng)過的點決定了三角函數(shù)值

的符號，所以當點的位置不確定時注意進行討論，體現(xiàn)了分類討論的思想.

4.三角函數(shù)線的引入，為我們解決三角函數(shù)問題提供了幾何方法，體現(xiàn)了

數(shù)形結合的思想.其主要作用是解三角不等式、比較三角函數(shù)值的大小和求函數(shù)

定義域.

當堂雙基達標

上a，（-詈）等于（

1

B.

2

【答案】c

2.（2013?包頭高一檢測）已知cos9-tan夕<0,那么角。是（）

A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角

C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角

【解析】由cosetan9<0知，cos。與tan夕異號，所以。在第三

或第四象限.

【答案】C

3.用三角函數(shù)線比較sin1和cos1的大小，結果是

【解析】如圖，借助三角函數(shù)線可知sinl>cos1.

【答案】sinl>cos1

12

4.已知角。的終邊過點夕（5,a）,且tana=求sina+cosa的

【解】???角°的終邊過點夕（5,a）且tana=一石

因止匕r=|0P\=yj52+a=13,sina,

5

COSCL=—,

7

故sina+cosa=~

13,

課后知能檢測

、選擇題

1.已知角。終邊經(jīng)過萬)，則cosa=(

【解析】由三角函數(shù)定義可知，角a的終邊與單位圓交點的橫坐標為角a

的余弦值，故cos

【答案】B

JI

2.已知a=7~+2Nn(NWZ),則cos2a的值為()

o

【解析】cos2a=cos(-+4AJI)=cos-=-

【答案】B

3.(2013南川高一檢測)已知角a的終邊過點P(-3,4),則sina+cosa

【解析】r=-^x+y=yl~—3~2+42=5,

..sina十cosa=----=~

r5

【答案】C

4.（2013?周口高一檢測）如果點Hsin夕cose,2cos夕）位于第三象限，

那么。在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

sin9cosS<0

【解析】由題意知彳,Asin。>0且cos夕<0,故

、2cos0<0

。在第二象限.

【答案】B

5.若420。角的終邊所在直線上有一點（一4,a）,則a的值為（）

A.4^3B.-4^/3

C.±4^3D.小

【解析】由三角函數(shù)的定義有：tan420°=9.

*.*tan420°=tan（360°+60°）=tan60°=^3,

a=—4-\/3.

【答案】B

二、填空題

6.（2013?沈陽高一檢測）cos1110°的值為.

、巧

【解析】cos1110°=cos（3X360°+30°）—cos30°=^~.

【答案】平

7.當。為第二象限時，‘in［」cos：I的值是________.

sinacosQ

【解析】因為a為第二象限角，所以=i,C°S^=-1.

Sin［QCOSQ

【答案】2

8.角。的終邊上有一點M(a,a),a￡R且aWO,則sina的值為

【解析】當a>0時，r=yjaa=y12a9sin

當a<0時，r=yja+a=-y[2a,sin

【答案】乎或—乎

三、解答題

9.判斷下列各式的符號.

(1)sin105°?cos230°；

(2)sin240°?sin300°；

/\16兀

(3)cos一廠?sin兀；

o

(4)cos4,cos5.

【解】⑴???105。是第二象限角,

Asin105°>0,

又二”?。。是第三象限角，

cos230°<0,

/.sin105°?cos230°<0.

⑵..”的。是第三象限角，

/.sin240°<0；

又..TOO。是第四象限角，

/.sin300°<0,

Asin240°?sin300°>0.

(3)Vsinn=0.

16

cos-31,sinJi=0.

o

(4)???4是第三象限角，

Acos4<0,又：5是第四象限角，

/.cos5>0,

/.cos4?cos5<0.

10.化簡求值：

(l)sin(-l320°)cos(l110°)+cos(-l020°)sin750°；

2317n

(2)cos(-彳兀)+tan-.

o±

【解】(1)原式=sin(—4X360°+120°)cos(3X360°+30°)+cos(-

3X360°+60°)sin(2X360°+30°)

=sin120°cos300+cos60°sin30°

11

+2X2=k

⑵原式=cos[—+(—4)X2Ji]+tan(—+2X2兀)

兀JI13

cos—+tan—=-+1=-

11.若角。的終邊與直線p=3x重合，且sina<0,又P(m,刀)是角。終

邊上一點，S|0P\=y[10,求力一刀的值.

【解】由題意，P(m,〃)是解。終邊上一點，sin

77Vo.

又角。的終邊與y=3x重合,

故刀=3勿V0,：?m<0,

由卯=于1，則/+〃2=10,

10病=10,/n=l,m=-1,

由n=3/n,.\/7=—3,

:?m—n——1-(—3)=2.

【教師備課資源】

1.三角函數(shù)線的應用

JIJI

，典例(2013?聊城高一檢測)如果1V。〈了，那么下列不等式成立的是

A.cosa<sina<tanaB.tanQ<sinQ<cosQ

C.sinQ<cosQ<tanQD.COSQ<tanQ<sinQ

【解析】

如圖所示，在單位圓中分別作出。的正弦線小余弦線袖正切線47,很

容易地觀察出3/(加：力北即cosa<sina<tana.

【答案】A

I規(guī)律方法I

1.單位圓中的三角函數(shù)線可以用來解決