高中數(shù)學(xué)蘇教版必修2講義第二章2．3空間直角坐標(biāo)系

(2.3空間直育生標(biāo)系

第1課時(shí)空間直角坐標(biāo)系

預(yù)

習(xí)

導(dǎo)入門答辯——辨析問(wèn)題解疑惑

引

區(qū)新知自解——自讀教材找關(guān)鍵

自主學(xué)習(xí)梳理主干2izhuK.ueK.ishulizhugan

〃〃//N口各界'〃〃/

(1)如圖所示，數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B；

.4一..p

-6i23&

(2)如圖在平面直角坐標(biāo)系中，尸、。兩點(diǎn)的位置_________

y

nb__..p

\oax

4---------m

Q

(3)下圖是一個(gè)房間的示意圖，我們?nèi)绾伪硎景宓屎蜌馇虻奈恢?

問(wèn)題1：上述(1)中如何確定A、3兩點(diǎn)的位置？

提示：利用A、8兩點(diǎn)的坐標(biāo)3和一2.

問(wèn)題2：上述(2)中如何確定尸、。兩點(diǎn)的位置？

提示：利用P、。兩點(diǎn)的坐標(biāo)(°,6)和(機(jī)，ri).

問(wèn)題3：對(duì)于上述(3)中，空間中如何表示板凳和氣球的位置？

提示：可借助于平面坐標(biāo)系的思想建立空間直南坐標(biāo)系，如圖所示.

//////6解，//〃

1.空間直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念

(1)空間直角坐標(biāo)系：從空間某一定點(diǎn)引三條兩兩垂直，且有相同單位長(zhǎng)度的數(shù)軸，這樣就建立了空間

直角坐標(biāo)系O-xyz.

(2)相關(guān)概念：點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn),x軸、y軸、z軸叫做坐標(biāo)軸.通過(guò)每?jī)蓷l坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)

平面，分別稱為尤Oy平面、yOz平面、zOx平面.

2.右手直角坐標(biāo)系

在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向,食指指向迸t的正方向，若中指指向z軸的正

方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.

3.空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)

空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來(lái)表示,有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做點(diǎn)M在此空間直角

坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作y,z).其中工叫點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，上叫點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，工叫點(diǎn)加的豎坐標(biāo).

［歸納?升華?領(lǐng)悟］------

1.課本中的空間直角坐標(biāo)系是右手直角坐標(biāo)系，即伸出右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的

正方向，如果中指指向z軸的正方向，那么稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.

2.將空間直角坐標(biāo)系畫在紙上時(shí)

(l)x軸與〉軸成135°(或45°),x軸與z軸成135°(或45°).

(2)y軸垂直于z軸、y軸和z軸的單位長(zhǎng)相等，x軸上的單位長(zhǎng)則等于y軸單位長(zhǎng)的;.

課

堂

突破考點(diǎn)總結(jié)規(guī)律

互

II動(dòng)

高考為標(biāo)提煉技法

把握熱點(diǎn)考向貴在學(xué)有所悟區(qū)

考點(diǎn)1■已知點(diǎn)的位置寫出它的坐標(biāo)

［例1］在正方體ABCD-AECTy中，E,尸分別是2夕，D'B'的中點(diǎn)，棱長(zhǎng)為1,求E,尸點(diǎn)的坐標(biāo).

［思路點(diǎn)撥］一般找出要求的點(diǎn)在xOy面上射影的坐標(biāo)，再找該點(diǎn)與射影間的距離以確定豎坐標(biāo).

［精解詳析］建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

E點(diǎn)在屹v面上的射影為B,B(l,1,0),豎坐標(biāo)為J

.,.￡(1,1,I).

廠在面上的射影為2D的中點(diǎn)G,豎坐標(biāo)為1,

［一點(diǎn)通］已知點(diǎn)M的位置，求其坐標(biāo)的方法：過(guò)M作垂直于平面xOy,垂足為跖，求出必

的X坐標(biāo)和y坐標(biāo)，再由射線M\M的指向和線段M\M的長(zhǎng)度定z坐標(biāo).

〃〃,履俶雜鈍〃

1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,黃，5)，過(guò)點(diǎn)P作;yOz平面的垂線PQ,則垂足。的坐

標(biāo)是?

解析：yOz平面上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0,故。點(diǎn)坐標(biāo)是(0,巾,布).

答案：(0,.)

2.已知正方體ABCD-A1BC1A的棱長(zhǎng)為2也，點(diǎn)QO分別為兩底面的中心，將此正方體放到如圖所

示的空間直角坐標(biāo)系中，試寫出這個(gè)正方體各頂點(diǎn)的坐標(biāo).

解：由已知，得|0*=2,|。。1|=2限,

所以點(diǎn)A(2,0,0),BQ,2,0),C(-2,0,0),D(Q,-2,0),4(2,0,2g,Bi(0,2,2柩,Ci(-

2,0,2例,Di(0,-2,2^2).

3.如圖，在三棱柱ABC-AiBCi中，側(cè)棱原底面ABC,所有的棱長(zhǎng)都是1,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，

并寫出各點(diǎn)的坐標(biāo).

解：取AC的中點(diǎn)。和4G的中點(diǎn)Q,可得OiO_L平面ABC,BO-LAC,所以QO_LAC,

OiO±BO,分別以O(shè)B,OC,OOi所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

???三棱柱各棱長(zhǎng)均為1,OA=OC=01Cl=OlAi=2,OB=^~,

,：A,B,C均在坐標(biāo)軸上，

；.A(0,-1,0),B停,0,Oj,《0,0

點(diǎn)Ai與C在yOz平面內(nèi),

點(diǎn)Bi在面內(nèi)射影為B,

各點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,

,2-1)

空間中點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題

［例2］求點(diǎn)尸(1,2,3)關(guān)于坐標(biāo)平面尤Oy的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).

［思路點(diǎn)撥］給出點(diǎn)的坐標(biāo)，求其關(guān)于某平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，可以找到對(duì)稱點(diǎn)與尸點(diǎn)在各軸上的射

影的關(guān)系，通過(guò)這種關(guān)系求對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).

［精解詳析］設(shè)點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)平面xOy的對(duì)稱點(diǎn)為P',

連結(jié)PP交坐標(biāo)平面xOy于Q,

則PP垂直于坐標(biāo)平面xOy,且PQ=P'Q,

：.P'在x軸、y軸上的射影分別與尸在x軸、y軸上的射影重合，P在z軸上的射影與尸在z軸上

的射影關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，???P'與尸的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別相同，豎坐標(biāo)互為相反數(shù)，

...點(diǎn)P(l,2,3)關(guān)于坐標(biāo)平面xOy的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2,-3).

［一點(diǎn)通］關(guān)于坐標(biāo)軸和坐標(biāo)平面的對(duì)稱，其口訣為“關(guān)于誰(shuí)對(duì)稱，誰(shuí)不變，其余量相反”.

4.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸(一2,4,4)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是.

解析：點(diǎn)尸關(guān)于x軸對(duì)稱，x坐標(biāo)不變，其他變?yōu)橄喾磾?shù)，故點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(一2,

—4,-4).

答案：(一2,-4,—4)

5.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸(3,1,5)關(guān)于yOz平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.

解析：由于點(diǎn)關(guān)于yOz平面對(duì)稱，故其縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，即對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是(一

3,1,5).

答案：(一3,1,5)

6.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/(—2,4,—3)在尤Oz平面上的射影(正投影)為則M關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)

稱點(diǎn)是.

解析：點(diǎn)M在xOz平面上的射影Af(—2,0,-3),則政關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是(2,0,3).

答案：(2,0,3)

［方法?規(guī)律?小結(jié)］

1.求空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，可以由點(diǎn)向各坐標(biāo)軸作垂線，垂足的坐標(biāo)即為在該軸上的坐

標(biāo).

2.空間直角坐標(biāo)系的建立要選取好原點(diǎn)，以各點(diǎn)的坐標(biāo)比較好求為原則，另外要建立右手直角坐標(biāo)

系.

3.關(guān)于坐標(biāo)平面、坐標(biāo)軸及坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有以下特點(diǎn)：

訓(xùn)

練

達(dá)標(biāo)練一能力練

提II

能學(xué)業(yè)水平小測(cè)，讓學(xué)課下能力提升，提速

區(qū)生趁熱打鐵消化所學(xué),提能,每課一檢測(cè)，步

既練速度又練準(zhǔn)度步為營(yíng)步步贏

分層練習(xí)固本提能fenccnglian^igubentineng

課下能力提升(二十五)

1.點(diǎn)P(—1,0,4)位于平面內(nèi).

解析：點(diǎn)P(—1,0,4)的y坐標(biāo)為0,...點(diǎn)P(-l,0,4)在xOz平面內(nèi).

答案：xOz

2.點(diǎn)P(l,2,一1)在yOz平面內(nèi)的垂足為2(x,?z),則x+y+z=.

解析：點(diǎn)尸(1,2,一1)在yOz平面內(nèi)的垂足2(0,2,-1),故x+y+z=L

答案：1

3.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/(—2,1,0)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)AT的坐標(biāo)是.

解析：點(diǎn)M和Af的中點(diǎn)是原點(diǎn)，所以點(diǎn)AT的坐標(biāo)是(2,-1,0).

答案：(2,-1,0)

4.已知點(diǎn)P在x軸正半軸上，OP'=2,PP'在xOz平面上，且垂直于x軸，PP'=1,則點(diǎn)P和尸

的坐標(biāo)分別為,.

解析：由于P在x軸的正半軸上，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0,0),又PP在xOz平面上，且垂直于x軸，

故P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0,±1).

答案：(2,0,0)(2,0,±1)

5.正方體A3CD-A?。。的棱長(zhǎng)為1,且|8尸|=(?|2?|,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則尸點(diǎn)

的坐標(biāo)為.

解析：如圖所示，過(guò)P分別作平面xOy和z軸的垂線，垂足分別為瓦H,過(guò)E分別作x軸和y軸的

垂線，垂足分別為尸，G,

由于|8尸|=；|3。'|,

所以|OH|=；|OZX|=；,

（221、

所以尸點(diǎn)的坐標(biāo)為（J,-j）-

221

答案:3'3'3

6.如圖，在長(zhǎng)方體OA2C-0A0C中，OA=1,0C=3,OD'=2,點(diǎn)E在線段AO的延長(zhǎng)線上，且

O￡=|,寫出"，C,E的坐標(biāo).

解：點(diǎn)C在y軸上，尤坐標(biāo)，z坐標(biāo)均為0,且OC=3,

故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,3,0）.

因?yàn)榇怪庇趚Oy平面，垂足為3,

所以點(diǎn)2'與8的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)都相同，丸BB'=OD'=2,且點(diǎn)方在尤Oy平面的上方，

所以點(diǎn)以的坐標(biāo)為（1,3,2）.

點(diǎn)E在x軸負(fù)半軸上，且OE=g,

所以點(diǎn)E1的坐標(biāo)為（一/0,0）.

7.如圖所示，四棱錐P-ABCO的底面ABC。是邊長(zhǎng)為1的菱形，/BCD=60°,E是CO的中點(diǎn),

底面ABC。，B4=2.試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出A,B,C,D,P,E的坐標(biāo).

解：如圖所示，以A為原點(diǎn)，以AB所在直線為x軸，A尸所在直線為z軸，與過(guò)點(diǎn)A與AB垂直的直

線AG所在直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

，嗎,坐。）/（。，。，2）,

8.如圖所示，AF,OE分別是圓O,圓Q的直徑，AO與兩圓所在的平面均垂直，AD=8,BC是圓

。的直徑，AB=AC=6,OE//AD,試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)A,B,C,D,E,尸的坐標(biāo).

解：因?yàn)锳D與兩圓所在的平面均垂直，OE〃A。,

所以O(shè)E_L平面ABC,

又AF?平面ABC,BC?平面ABC,

所以O(shè)E_LAF,OE-LBC,

又BC是圓O的直徑，

所以O(shè)B=OC,

又A3=AC=6,

所以O(shè)A_LBC,BC=6^2.

所以O(shè)A=OB=OC=OF=3yf2.

如圖所示，以。為原點(diǎn)，以O(shè)B,OF,OE所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

所以A（0,—3吸，0）,8（3媳，0,0）,C（一3小,0,0）,0（0,一3明，8）,

￡（0,0,8）,F（0,3陋，0）.

第2課時(shí)空間兩點(diǎn)間的距離

預(yù)

習(xí)

入門答辯——辨析問(wèn)題解疑惑

導(dǎo)

引*

區(qū)新知自解——自讀教材找關(guān)鍵

自主學(xué)習(xí)梳理主干zizfiuK.ucK.ishutizfiugan

〃人口答辨

(1)已知數(shù)軸上A點(diǎn)的坐標(biāo)2,3點(diǎn)的坐標(biāo)一2.

(2)已知平面直角坐標(biāo)系中尸(〃，b),Q(m,ri).

問(wèn)題1：如何求數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離？

提示：AB=|xi—X2\=|x2—X11.

問(wèn)題2：如何求平面直角坐標(biāo)系中，尸、Q兩點(diǎn)間距離?

提示：d=PQ=y12+(Z?-n)2.

問(wèn)題3：若在空間中已知P1O，yi，Z1)P2(%2，＞2，Z2)如何求尸1尸2.

提示：與平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間距離求法類似.

//////由解〃〃/

空間兩點(diǎn)間的距離公式

(1)空間中兩點(diǎn)P1Q1，)1，Z1),尸2。2,)2,Z2)之間的

是巨離尸1尸2=V(冗2一即)2+(丫2丫1)2+(Z2—Z1戶.

(2)特別地，空間任一點(diǎn)A(x,y,z)到坐標(biāo)原點(diǎn)。的距離為OA=、/x2+y2+z2.

⑶空間中有兩點(diǎn)A(xi,yi,Z1),8(X2,y2,Z2),則線段AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為氣氣”辛一馬壬.

［歸納?升華?領(lǐng)悟］

1.空間兩點(diǎn)間距離公式是平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式的延伸、推廣，而平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式又是空間

兩點(diǎn)間距離公式的特例.

2.應(yīng)用空間兩點(diǎn)間距離公式解決空間問(wèn)題的關(guān)鍵是建立合適的空間直角坐標(biāo)系，并準(zhǔn)確寫出相應(yīng)點(diǎn)

的坐標(biāo).

I、二

課

堂

突破考點(diǎn)總結(jié)規(guī)律

互

II助

高考為標(biāo)提煉技法

把握熱點(diǎn)考向貴在學(xué)有所悟區(qū)

shishenggongi/antupozfiongnan師生共研突破重難

1考點(diǎn)1”空間中兩點(diǎn)間距離的計(jì)算

［例1］如圖，已知正方體ABCZX4'B'CD'的棱長(zhǎng)為a,M為8。的中點(diǎn)，點(diǎn)N在4c上，且4N

=3NC,試求MN的長(zhǎng).

［思路點(diǎn)撥］解答本題關(guān)鍵是先建立適當(dāng)坐標(biāo)系，把V、N兩點(diǎn)坐標(biāo)表示出來(lái)，再利用公式求長(zhǎng)度.

［精解詳析］以。為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為a,所以B(a,a,0),A'(a,0,a),C(0,a,a),D'(0,0,a).

由于M為BD的中點(diǎn)，取AC的中點(diǎn)O,

因?yàn)?N=3M7,

所以N為4c的四等分點(diǎn)，

從而N為。，。的中點(diǎn)，故心，華，a),根據(jù)空間兩點(diǎn)距離公式，可得

［一點(diǎn)通J利用空間兩點(diǎn)間的距離公式求空間兩點(diǎn)間距離的步驟:

(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)代入空間兩點(diǎn)間的距離公式求值.

萬(wàn)”題做集鐘小“

1.在△ABC中，若4(一1,2,3),2(2,—2,3),C&3),則邊上的中線CD的長(zhǎng)是.

解析：由題意，D點(diǎn)坐標(biāo)是6，0,3),

+(1—。)+(3—3)2.

答案：|

2.如圖長(zhǎng)方體ABCD-AiBCid中，已知AB=3,BC=2,AAi=2,用空間兩點(diǎn)間的距離公式求對(duì)角

線的長(zhǎng).

解：由圖可知￡>(0,0,0),B(2,3,0),

；BBi=2,ABi(2,3,2),

由空間兩點(diǎn)間的距離公式得

BID=A/22+32+22=V17.

對(duì)角線的長(zhǎng)為行.

空間兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用

［例2］已知A(無(wú)，5—尤，2x-l),B(l,尤+2,2-x),求AB取最小值時(shí)A,2兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并求此時(shí)

的的長(zhǎng)度.

［思路點(diǎn)撥］解答本題可由空間兩點(diǎn)間的距離公式建立AB關(guān)于x的函數(shù)，由函數(shù)的性質(zhì)求x,再確定

坐標(biāo).

［精解詳析］由空間兩點(diǎn)間的距離公式得

=\］(I-x)2+［(x+2)—(5-x)］2+［(2-x)—(2%-1)］2

=A/14X2—32x+19=噂14(%—1)2+y

當(dāng)x4時(shí)，A2有最小值\￡=雪^,

?工<8279、(226、

此時(shí)4(J,―,刃，8(1,―,力.

［一點(diǎn)通］解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，應(yīng)用空間兩點(diǎn)間的距離公式建立已知與未知

的關(guān)系，再結(jié)合已知條勺確定點(diǎn)的坐標(biāo).

?&物?集例/一^

3.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(l,0,2),5(1,-3,1),點(diǎn)M在y軸上，且M到A與到B的距

離相等，則M的坐標(biāo)是.____________________________

解析：設(shè)M(0,a,0),由已知得即迎^了轉(zhuǎn)=迎下7T解得〃=一1,

故M(0,-1,0).

答案：(0,—1,0)

4.在xOy平面內(nèi)的直線x+y=l上確定一點(diǎn)M,使M到點(diǎn)N(6,5,1)的距離最小，則M點(diǎn)坐標(biāo)為

解析：設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(x,1-x,0),則(x~6)2+(1-A—5)2+(0-1)2=y］2(A—1)2+51

》病(當(dāng)x=l時(shí)取“.".Md,0,0).

答案：(1,0,0)

5.已知4(1,-2,11),2(4,2,3),C(6,一1,4)為三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，求證：三角形A3C為直角

三角形.

證明：由空間兩點(diǎn)間的距離公式得

AB=4(4-1)2+(2+2)2+(3—11)2=啊,

BC^\］(6-4)2+(-1-2)-+(4-3)2=714,

AC=\I(6-1)2+(-1+2)2+(4-11)2=/,

'：AB2=BC2+AC2,

.?.△ABC為直角三角形，NC為直角.

6.在三棱錐。-ABC中，BC=4,。是BC的中點(diǎn)，ZBDC=90°,ZDCB=30°,建立如圖所示的空間

一S1一

直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(￥，2f0%如果點(diǎn)。正好在坐標(biāo)平面yOz上，求

解：如圖所示，過(guò)。分別作y軸和z軸的垂線，垂足分別為E、F,

又點(diǎn)D正好在坐標(biāo)平面yOz上，

所以DE_L平面ABC,

又|BC|=4,NftDC=90°,ZDCB=30°,

所以|BE|=1,\DE\=y[3,\OB\=2,

所以|0E|=|02|一|8E|=l,

所以￡）（0,-1,?。?

又A（坐,I，0）,

所以|A￡）|=A/（坐-0）2+（；+l）2+（0—?。?=祈.

[方法?規(guī)律?小結(jié)]

1.用空間兩點(diǎn)間距離公式時(shí)要注意坐標(biāo)差是對(duì)應(yīng)的XI—X2,9一＞2,Zl—Z2,因?yàn)橛衅椒?，故減數(shù)和被

減數(shù)的位置可互換.

2.方程尤2+產(chǎn)+22=，表示的幾何圖形

(1)當(dāng)廠=0時(shí)，方程N(yùn)+y2+z2=0,即x=y=z=0,即坐標(biāo)原點(diǎn).

(2)當(dāng)rWO時(shí)，方程尤2+y2+z2=/表示以原點(diǎn)為球心W為半徑的球面.

I、

訓(xùn)

練

達(dá)標(biāo)練一能力練

提II

能學(xué)業(yè)水平小測(cè)，讓學(xué)課下能力提升，提速

區(qū)生趁熱打鐵消化所學(xué),提能，每課一檢測(cè)，步

既練速度又練準(zhǔn)度步為營(yíng)步步贏

課下能力提升(二十六)_

1.在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)4(1,2,G，3(2,3,4),若則實(shí)數(shù)a的值是.

解析：由一均=](1-2)2+(2—3)2+(a—4)2=4,

.,.a=3或5.

答案：3或5

2.在空間直角坐標(biāo)系中，一定點(diǎn)到三個(gè)坐標(biāo)軸的距手都是2,那么該定點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是______.

[—-+62=2,卜2+抉=4,

222

解析：設(shè)原點(diǎn)為。，該定點(diǎn)為P{a,b,c),則有,甘。2+理=2,所以＜“2+C2=4,整理得a+/7+c

口一+-=2,[b2+c2=4,

=6,所以\PO\=yla2+b2+c2—y[6.

答案：乖

3.已知點(diǎn)A(2,1,1),2(1,1,2),C(x,0,1),且NBAC=90°,貝I]x=.

解析：由題意知，BC2=AB2+AC2,即。-1)?+1+(1—2尸=(2—1/+(1—1＞+(1—2)2+儀-2)2+(0—

1)2+(1-1)2,解得x=2.

套口木案；-.乙2

4.三棱錐各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(0,0,3),則三棱錐的體積為

解析：,^=3X2X1X2X3=1.

答案：1

5.在空間直角坐標(biāo)系中,方程N(yùn)N+y2+z2=6所表示的幾何意義為.

解析：Nx2+y2+z2=6可以變形為

q(X-0)：+(廠0)2+(Z-0)2=6,表示的是到原點(diǎn)0(0,0,0)的距離等于6的點(diǎn)的集合，即為

一個(gè)球面.

答案：以原點(diǎn)為球心，6為半徑的球面

6.已知點(diǎn)A(3,1,2),8(4,-2,—2),C(0,5,1),點(diǎn)尸在yOz平面上，且點(diǎn)P與點(diǎn)A,B,C的

距離相等，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

解：由于點(diǎn)尸在yOz平面上，則可設(shè)P(0,y,z),

\PA\=\PC\

由題意得—,所以

\PB\=\PC\

\1(0-3)2+1)2+(z-2)2—yl(0-0)2+(j-5)2+(z-1)2,二所以點(diǎn)P

1.----------------------------------------------------------------------------------解得?

N(0—4)2+(y+2)2+<+2)2=7(0—0)?+(廠5)2+1)2,/——2,

的坐標(biāo)是(0,1,-2).

7.如圖所示，在河的一側(cè)有一塔另一側(cè)有點(diǎn)A,AB=4m,求點(diǎn)A與塔

頂D的距離AD.

解：首先建立空間直角坐標(biāo)系，表示出各點(diǎn)坐標(biāo)，再利用公式，注意BC垂直于河岸.以塔底C為坐

標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則D(0,0,5),4(3,~4,0).

：.AD=y/32+42+52=5y[2.

即A與塔頂D的距離AD為5啦m.

8.直三棱柱ABC—AiBiCi中，AC=2,CB=CCi=4,E,F,M,N分別是43，AB,GS，CB的

中點(diǎn)，

如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

(1)在平面ABBiAi中找一點(diǎn)P,使為正三角形；

(2)能否在上求得一點(diǎn)Q,使△AQ2為直角三角形？若能，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，若不能，請(qǐng)予以

證明.

解：(1)因?yàn)樗沁叺闹写咕€，在平面ABi內(nèi)只有EF上的點(diǎn)與A,B兩點(diǎn)的距離相等，則P必在

EF上，設(shè)P(l,2,z),則由陷|=|AB|得

勺(1-2)2+(2-0)2+(z-0)2=yJ(0-2)?+(4-0)2+(0-0)

?P-\/Z2+5=V20,：.Z2=15,

Vze[O,4],.*.2=715.

故平面ABB14中的點(diǎn)P(l,2,y[15),

使AABP為正三角形.

(2)設(shè)MN上的點(diǎn)。(0,2,z),

由△AQB為直角三角形，其斜邊的中線長(zhǎng)必等于斜邊長(zhǎng)的一半.尸|=；|48|,即[1+z?=小,

；.z=2(0<z<4),故MN上的點(diǎn)0(0,2,2)使得△403為直角三角形.

第2章平面解析幾何初步

1章志小結(jié)與測(cè)評(píng)

A知識(shí)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建A核心要點(diǎn)歸納?階段質(zhì)量檢測(cè)

O知識(shí)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建O

直線的斜率與傾而1

平

面

解

析

幾

何

初

步

O核心要點(diǎn)歸納O

一、直線與方程

1.直線的斜率與傾斜角

(1)傾斜角與斜率從“數(shù)”和“形”兩方面刻畫了直線的傾斜程度，但傾斜角a是角度(0?W。<180?),

是傾斜度的直接體現(xiàn)；斜率上是實(shí)數(shù)(%?(—8,+8)),是傾斜程度的間接反映.在解題的過(guò)程中，用斜

率往往比用傾斜角更方便.

90°-90°-180°(不含180°)變化時(shí)，斜率左由。(含0)逐漸增大到+8(不存在)，然后由一8(不存

在)逐漸增大到0(不含0).

(3)經(jīng)過(guò)A(xi，yi),Bg>2)(XIWX2)兩點(diǎn)的直線的斜率公式上="三”(XIW尤2),應(yīng)用時(shí)注意其適用的條

%2X]

件X1WX2,當(dāng)X1=X2時(shí)，直線的斜率不存在.

2.直線方程的五種形式

名稱方程常數(shù)的幾何意義適用條件

y—yo=k（x（xo,yo）是直線上的一個(gè)定點(diǎn)，k

一般直線不垂直于X軸

-xo）是斜率

點(diǎn)斜情況

式

k是斜率，b是直線在y軸上的截

斜截y=kx+b直線不垂直于X軸

距

式

一般

情況j2-yi（xi，yD，（X2，丁2）是直線上的兩個(gè)

直線不垂直于x軸和y軸

丁一方定點(diǎn)

兩點(diǎn)X2~X1

式

a,b分別是直線在無(wú)軸，y軸上直線不垂直于x軸和y軸，

ab的兩個(gè)非零截距

截距且不過(guò)原點(diǎn)

式

Ax+By+C=O

一般

（A,B不同時(shí)為0）A,B,C為系數(shù)任何情況

式

3.兩直線的平行與垂直

Zi：y—k\x-\~b\,/i：Aix+Biy+Ci—0,

直線方程

b：丁=%亦+。2I2：A2x+B2y+C2=0

平行的h//l2?AlB2-A2Bi=0,

li//h?ki=k2,且從#歷

等價(jià)條件且B1C2—B2C1WO

垂直的

/山2?左1?比=—1_L，2?AIA2+5152=0

等價(jià)條件

4.距離公式

類型已知條件公式

兩點(diǎn)間A（xi，yi）,

d—\l（X2—X1）2+（＞2一丁1）2

的距離8（x2,yi）

點(diǎn)到直線尸（沏，yo），/：AxA-By|Axo+5yo+C|

22

的距離+C=0'y]A+B

兩條平行l(wèi)\：Ax+By+Ci=0,

IG-Cil

=

直線間的h：Ax~\~By~\~C20~yjA2+B2

距離（A,3不同時(shí)為0）

圓與方程

1.圓的方程

圓方程形式方程說(shuō)明

標(biāo)準(zhǔn)方程(x—a)2+(y—b)2—3(冗>0)無(wú)論哪種形式都含有三個(gè)

參數(shù)，求圓的方程時(shí)常常

x2+y2+Dx+Ey+F=

一般方程利用待定系數(shù)法，借助方

0(。2+/一4尸>0)程組觀點(diǎn)求解

2.直線與圓的位置關(guān)系

(1)代數(shù)方法(判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況)：/>0?相交；/<0?相離；/=0?相切.

(2)幾何方法(比較圓心到直線的距離與半徑的大小)：設(shè)圓心到直線的距離為d,則d<r?相交；d>r?

相離；d=r?相切.(主要掌握幾何方法)

(3)直線被圓所截得的弦長(zhǎng)/=2#工了.

3.圓與圓的位置關(guān)系

d表示圓心距，R,r分別表示兩圓半徑，R>r.

(l)d>R+r?相離；

(2)d=R+r?外切；

(3)R-r<d<R+r?相交；

(4)d=R—r?內(nèi)切;

(5)0<d<R一廠?內(nèi)含.

三.空間直角坐標(biāo)系

1.空間中點(diǎn)的坐標(biāo)的確定

(1)過(guò)點(diǎn)尸作面xOy的垂線，垂足為。；

(2)在面xOy內(nèi)過(guò)點(diǎn)。分別作x軸，y軸的垂線確定點(diǎn)尸的x坐標(biāo)，y坐標(biāo)；

(3)過(guò)點(diǎn)P作平行于OQ的直線PM確定點(diǎn)P的z坐標(biāo).

2.空間中兩點(diǎn)間的距離公式

⑴空間中兩點(diǎn)P1(尤1,yi,Z1),尸2(尤2，>2,Z2),

貝！]P1P2=yj(Xl-X2)2+y2)2+(Zl—Z2)2.

(2)空間直角坐標(biāo)系中的中點(diǎn)坐標(biāo)公式

在空間直角坐標(biāo)系中，A(xi，yi，Z1),8(X2,”，Z2),則AB的中點(diǎn)為P(號(hào)嗎超，哼"即平

面直角坐標(biāo)系中的中點(diǎn)坐標(biāo)公式可推廣到空間直角坐標(biāo)系中.

O階段質(zhì)量檢測(cè)(二)<>

一、填空題(本大題共14個(gè)小題，每小題5分，共70分)

1.點(diǎn)A(2,—3,1)關(guān)于點(diǎn)2(—1,0,3)的對(duì)稱點(diǎn)4的坐標(biāo)是.

解析：由中點(diǎn)坐標(biāo)公式的A'的坐標(biāo)是(一4,3,5).

答案：(一4,3,5)

2.點(diǎn)P為y軸上一點(diǎn)，且點(diǎn)尸到直線3x—4y+3=0的距離等于1,則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為.

解析：依題意，設(shè)尸(0,yo),則甲=J二誓11』=],

^/32+(—4)2

即|4加一3|=5,解得yo=-f或2,

所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,—5或(0,2).

答案：(0,一3或(0,2)

3.若實(shí)數(shù)根，〃滿足2加一〃=1,則直線g—3y+〃=0必過(guò)定點(diǎn).

解析：由已知得n=2m—\,代入直線mx—3y+n=0得mx—3y+2m—1=0,即(x+2)根+(—3y—1)

[x+2=0,']

=0,由彳解得<1所以此直線必過(guò)定點(diǎn)(-2,—T).

[―3y—1=0,0=一,3

答案:㈠-f)

4.若直線％—2》+5=0與直線2x+my—6=0互相平行，則實(shí)數(shù)m—.

解析：由于兩直線平行，故加+4=0,從而m=—4,

當(dāng)相=—4時(shí)，兩直線平行.

答案：一4

5.若直線/與直線3x+y—1=0垂直，且它在x軸上的截距為一2,則直線/的方程為

解析：因?yàn)橹本€3x+y—1=0的斜率為-3,

所以直線/的斜率為g.

又直線在x軸上的截距為一2,即直線/與x軸的交點(diǎn)為(-2,0),

所以直線/的方程為y-0=1(x+2),即x~3y+2=0.

答案：x-3y+2=0

6.三條直線/i：2x+y—3=0,/2：x—3y+2=0和原3x+ty-1=0共有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則t=

3t33t

解析：依題意可得/1〃/3或/2〃/3.若/1〃/3,則5=彳，解得2=5；若/2〃/3,則了=F，解得/=一9.

Z1Z1—j

答案：53或一9

222

7.已知兩圓Ci：x+j=10,C2：x+/-2x+2y-14=0,則經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的公共弦所在的直線方程

為?

解析：將兩圓方程相減得x—y+2=0,此即為過(guò)兩圓交點(diǎn)的公共弦所在的直線方程.

答案：x—y+2=0

8.設(shè)P是圓(x—3)2+。+1)2=4上的動(dòng)點(diǎn)，。是直線龍=—3上的動(dòng)點(diǎn)，則|尸。|的最小值為.

解析：圓心為M(3,-1),半徑為2.圓心到直線x=—3的距離為3—(-3)=6,所以|尸。|的最小值為6

-2=4.

答案：4

9.已知以點(diǎn)M(l,3)為圓心的圓C與直線3x—4y—6=0相切，則該圓C的方程為.

解析：圓心到直線的距離”=71><3音=

-32+(-4)2

故圓C的方程為(X——3)2=9.

答案：(X—l)2+(j—3)2=9

10.直線y=fcv+3與圓(尤一3)2+?—2尸=4相交于M,N兩點(diǎn)，若也見(jiàn)》25，則k的取值范圍是

》2小,

93+6%+1,

即4—己+]23,解得一左W0.

答案：[「一3本10

11.已知過(guò)點(diǎn)尸(2,2)的直線與圓(x—l)2+y2=5相切，且與直線〃冗一>+1=0垂直，貝!J〃=.

解析：設(shè)直線斜率為左,則直線方程為了一2=網(wǎng)入-2),即京一丁+2-2%=0,圓心(1,0)到直線的距離

與：I2川=小,即匚*=鄧,解得％=一；.因?yàn)橹本€與直線QX—y+l=O垂直，所以％=—1=-即

yjlr+17k2+12a2

〃=2.

答案：2

12.與圓/+&-2)2=1相切，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線共有條.

解析：結(jié)合圖形，可知滿足條件的直線有4條.

答案：4

13.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到點(diǎn)A(l,2),8(1,5),C(3,6),D(7,—1)的距離之和最小的點(diǎn)的坐標(biāo)

是?

解析：設(shè)平面上的點(diǎn)為P,易知ABCD為凸四邊形，設(shè)對(duì)角線AC與3D的交點(diǎn)為P',則|E4|十|PC|N|AC|

=\AP'\+\P'C\,\PB\+\PD\^\BD\=\BP'\+\P'D\,當(dāng)且僅當(dāng)P與P重合時(shí)，上面兩式等號(hào)同時(shí)成立，由AC

和8。的方程解得P(2,4).

答案：(2,4)

14.設(shè)集合4={(尤，y)彥+內(nèi)4},B={(x,j)|(x-l)2+(y-l)2^^(r>0)},當(dāng)4口2=2時(shí)，r的取值

范圍是.

解析：；A={(x,訓(xùn)/+,忘4},B={(x,y)|(尤-1)2+°—1)2遼產(chǎn)&>0)}均表示圓及其內(nèi)部的點(diǎn),由ACB

=B可知兩圓內(nèi)含或向切.

:.小W2—r,即0VrW2—W.

答案：(0,2一巾]

二、解答題(本大題共6小題，共90分)

15.(14分)求過(guò)點(diǎn)A(l,2)和8(1,10)且與直線x—2y—1=0相切的圓的方程.

解：圓心顯然在線段AB的垂直平分線y=6上，設(shè)圓心為(a,6),半徑為廣，則Q-a)2+(y-6)2=R

得(1—a)2+(10—6)2=/，而廠="/"

.9“(。一13)2

(a-1)2+16=,

解得a=3或a=—7,廠=2/或r=4y[5.

?,?所求圓的方程為(x—3)2+0—6)2=20或(x+7)2+(y—6)2=80.

16.(14分)求分別滿足下列條件的直線方程.