高中數(shù)學同步導學-(223)數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入

3.1數(shù)系的擴充與復數(shù)的概念

(-)基礎(chǔ)知識梳理：

1.虛數(shù)單位“i”的兩條規(guī)定：①i?=T,②i與實數(shù)在一起，可以進行通常的四則運算。

2.復數(shù)的概念：形如a+bi(a,beR)的數(shù)叫做,其中i叫做,a與b分別叫做

復數(shù)a+bi的部和部。復數(shù)通常用字母來表示。a+bi(a,beR)叫做復數(shù)的

形式。全體復數(shù)所成的集合叫做集。用字母來表示。

3.復數(shù)a+bi=c+di的充要條件是：.特例a+bi=Oo.

注：兩個復數(shù)(假若不全是實數(shù))，不能比較大小。

4.對于復數(shù)a+bi,當且僅當_____時，它是實數(shù)；當且僅當________________時，它是純虛數(shù)。

5.復數(shù)的幾何表示：建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做,x軸叫做軸，

y軸叫做軸.實軸上的點都表示數(shù)；除原點外，虛軸上的點都表示數(shù)。

復數(shù)z=a+bi-二的M復平面內(nèi)的點Z(a,b)「二和幺平面向量9_________Z:a+bl

____________________________________________________________________I

I

I

6.復數(shù)的模：向量成的模，叫做復數(shù)z=a+bi的模，即T----------

|z|=|a+bi|=

(二)典型例題分析：

例1.(2009江西理)若復數(shù)z=(Y-l)+(x-1)，為純虛數(shù)，則實數(shù)x的值為()

A.-1B.0C.1D.一1或1

例2.(2008廣東文)已知0<a<2,復數(shù)z=a+i(i是虛數(shù)單位)，則忖的取值范圍是()

A.(1,5B.(1,75)C.(1,3)D.(1,5)

例3.(2005廣東)若(a—2i)i=b-i,其中a、i是虛數(shù)單位，則/+/=()

5

A.0B.2C.-D.5

2

例4.(2010北京文)在復平面內(nèi)，復數(shù)6+5i,-2+3i對應的點分別為A,B.若C為線段AB的中點，

則點C對應的復數(shù)是()

(A)4+8i(B)8+2i(C)2+4i(D)4+i

例5.(2000廣東，全國文科、理科，江西、天津理科)在復平面內(nèi)，把復數(shù)3-對應的向量按

順時鐘方向旋轉(zhuǎn)27T,所得向量對應的復數(shù)是：()

3

(A)20(B)-2"(C)V3-3z(D)3+"

（三）基礎(chǔ)訓練：

1.（2008福建理）若復數(shù)（a2-3a+2）+（a-l）i是純虛數(shù)，則實數(shù)。的值為（）

A.lB.2C.1或2D.-1

2.（2005湖南理）復數(shù)z=i+「+尸+產(chǎn)的值是（）

A、一1B、0C、1D、i

3.（2009廣東文）下列n的取值中，使廠=1（i是虛數(shù)單位）的是（）

A.n=2B.n=3C.n=4D.n=5

4.（2011福建理）i是虛數(shù)單位，若集合S={—1.0.1}，則（）

2

A.ze51B.rGSC.i3eSD.—eS

i

5.（2015湖北文、理）i為虛數(shù)單位，產(chǎn)7=（）

A.-iB.iC.-1D.1

6.（2012北京理）設(shè)a,bGR?！癮=0”是“復數(shù)a+bi是純虛數(shù)”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.（2004春招北京文科）當時，復數(shù)在復平面上對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

8.（2011湖南文、理）若為虛數(shù)單位，且（。+，），=b+力，貝IJ（）

A.a=l,b=1B.a=—l,i>=1C.tz=1,/?=—1D.a=-l,b=—1

9.（2016全國I理）設(shè)（l+i?=l+W淇中x,y實數(shù)，則|%+W|=（）

（A）1（B）亞（C）6（D）2

10.（2006上海文）若復數(shù)z滿足z=（m-2）+（m+l）z（z為虛數(shù)單位）為純虛數(shù),其中加eR。

貝ij|z|=。

11.（2013上海文、理）設(shè)“2wR,nr+m-2+{nr-l）i是純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則m=

12.當實數(shù)m為何值時，關(guān)于x的方程/+（1-i）x+2（7〃-1-i）=0有實根，并求出這個實根。

3.2復數(shù)的代數(shù)形式的四則運算

(-)基礎(chǔ)知識梳理：

1.共朝復數(shù)：當兩個復數(shù)實部，虛部時，這兩個復數(shù)叫做共軌復數(shù)。

z=a+bi的共軟復數(shù)記作.虛部不為零的兩個共輾復數(shù)也叫做.

2.共朝復數(shù)的運算性質(zhì)：=W=甲="+〃，z+W=2a,任何實數(shù)的共扼復數(shù)是它本身。

3.復數(shù)加、減法法則：(a+bi)+(c+di)=.(a+bi)-(c+di)=.

4.復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義：可以按照向量的加法、減法來進行運算。

5.復數(shù)的乘法：類似于整式的乘法，只要在所得結(jié)果中把〃換成—1,并把實部、虛部分別合并即可。

6.復數(shù)的除法：通常先寫成分式的形式，再把分子和分母都乘以分母的共軌復數(shù)，化簡即可。

7.常用運算(等式)：(1)嚴=,*'+1=，泮，+2=，*，+3=；nwN

(2)(1+Z)2=,(1-Z)2=,(l+z)(l-O=_______，(1±。4=_______；

(4)(a+bi^a-bi)=,a+bi=z()

(二)典型例題分析：

例1.(2006安徽理)復數(shù)牛色等于()

y/3-i

A.iB.—iC.y/3+iD.y/3-,

例2.(2011安徽文、理)設(shè)，是虛數(shù)單位，復數(shù)土■為純虛數(shù)，則實數(shù)。為()

1-1

(A)2(B)-2(C)(D)\

22

———Z

例3.(2008山東文、理)設(shè)Z的共輛復數(shù)是z,或z+z=4,z?z=8,則一等于()

z

(A)1(B)-i(C)±l(D)±i

例4.(2005江西理科)設(shè)復數(shù)：4=1+1*2=%+21(九￡尺),若Z]22為實數(shù)，則》=()

A.-2B.-1C.1D.2

z+2

例5.(2009陜西理)已知z是純虛數(shù)，——是實數(shù)，那么z等于()

H

(A)2i(B)i(C)-i(D)-2i

（三）基礎(chǔ)訓練：

1.（2012廣東理）設(shè)，為虛數(shù)單位，則復數(shù)二5-*6z=（）

i

A.6+5，B.6—5iC.—6+5，D.—6—5z

門,A2011

2.（2011湖北理），為虛數(shù)單位，貝“產(chǎn)=（）

A.-zB.-1C.iD.1

3.(2012安徽理)復數(shù)z滿足：(z—7)(2—，)=5；則2=()

(A)-2-2z(5)—2+2，(C)2-2i(D)2+2i

4.（2006北京理）在復平面內(nèi)，復數(shù)二對應的點位于（）

i

（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限

5.（2011遼寧理）a為正實數(shù)，i為虛數(shù)單位，J/卜2,則a=（）

A.2B.6C.A/2D.1

6.(2010遼寧文、理)設(shè)。/為實數(shù)，若復數(shù)——-=l+z,則()

a+bi

3113

(A)a=—,b=—(B)a=3^b=1(C)a=—,b=—(D)a==3

2222

7.（2016全國I文）設(shè)（l+2i）（a+i）的實部與虛部相等淇中。為實數(shù)，則a=（）

(A)-3(B)-2(C)2(D)3

8.(2012上海文、理)若1+JE是關(guān)于x的實系數(shù)方程7+/?+。=0的一個復數(shù)根，則()

A.b=2,c=3B.b=-2,c=3C.b=-2,c=-lD.b=2,c=-l

z+i

9.（2014湖南理）滿足——=i（力是虛數(shù)單位）的復數(shù)z=（）

z

一+LB.一11.11.

C.一一+-1D.-----1

22222222

10.(2010江西理)已知(x+i)(1-i)=y,則實數(shù)x,y分別為()

A.x=-l,y=lB.x=-l,y=2C.x=l,y=lD.x=l,y=2

11、(2015全國新課標I卷文)已知復數(shù)z滿足(z-l?=l+2,貝|z=()

(A)—2—i(B)—2+i(C)2—z(D)2+z

12.（2013廣東理）若復數(shù)z滿足蘢=2+4"則在復平面內(nèi)，z對應的點的坐標是（）

A.（2,4）B.（2,-4）C.（4,-2）D.（4,2）

歷屆高考中的“復數(shù)”試題精選（自我檢測I）

1.（2010廣東理）若復數(shù)4=1+，，z2=3-i,貝Uz/Z2=（）

A.4+2iB.2+zC.2+2iD.3+z

2.（2007湖南理）復數(shù)等于（）

A.4iB.-4iC.2iD.-2i

3.（2012江西文）若復數(shù)z=l+i（i為虛數(shù)單位）z是z的共輾復數(shù)，則z2+/的虛部為（）

A0B-lC1D-2

4.（2014江西理）Z是Z的共軌復數(shù).若Z+Z=2,（Z-Z）i=2（，為虛數(shù)單位），則z=（）

A.1+zB.—1—iC.—1+zD.1—i

5.（2015福建理）若集合A=（/是虛數(shù)單位），5={1,—1},則A5等于（）

A.{-1}B.{1}C.{1,-1}D.0

6.（2014山東理）已知i是虛數(shù)單位，若a—i與2+4互為共軌復數(shù)，貝。（。+加了=（）

（A）5—4z（B）5+4i（C）3—4/（D）3+4z

7.（2008遼寧理）復數(shù)二一+」一的虛部是（）

-2+i1-2i

8、（2013全國新課標I理）若復數(shù)z滿足錯誤!未找到引用源。（3—4i）z=|4+3i|,則z的虛部為

（）

A、-4（B）—霜誤!未找到引用源。（C）4（D）|

9.（2013陜西文）設(shè)z是復數(shù)，則下列命題中的假命題是（）

（A）若z220,貝Uz是實數(shù)（B）若z2<0,則z是虛數(shù)

（C）若z是虛數(shù)，貝Iz2>0（D）若z是純虛數(shù)，則z2<0

0,

10.（2011山東文）復數(shù)z=」（，為虛數(shù)單位）在復平面內(nèi)對應的點所在象限為（）

2+i

（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限

11.（2013江西理）已知集合/={1,2,zi},i為虛數(shù)單位，N={3,4},MCN={4},則復數(shù)z=（）

A.-2iB.2iC.—4iD.4i

12.(2016山東理)若復數(shù)z滿足2z+z=3-2i，其中i為虛數(shù)單位，則z=()

(A)l+2i(B)l-2i(C)-l+2i(D)-l-2i

13.(2010山東文、理)己知空「=>+i(a,beR),其中i為虛數(shù)單位，則。+匕=()

i

(A)-l(B)l(C)2(D)3

14.(2009廣東理)設(shè)z是復數(shù)，a(z)表示滿足z"=1的最小正整數(shù)”,則對虛數(shù)單位i,a(i)=(

A.8B.6C.4D.2

15.(2008全國I卷理)設(shè)aeR,且(。+獷，為正實數(shù)，則a=()

A.2B.1C.0D.-1

16.(2006浙江理)已知——=l-ni,其中如“是實數(shù)，，是虛數(shù)單位，則/+方=()

1+i

(A)l+2i(B)l-2i(C)2—i(D)2+i

二、填空題：(每小題5分，計70分)

17、(2010江蘇)設(shè)復數(shù)z滿足z(2-3i)=6+4i(其中i為虛數(shù)單位)，則z的模為.

18.(2009江蘇)若復數(shù)％=4+29，0=6+97,其中，是虛數(shù)單位，則復數(shù)(馬-z2"的實部為

19.(2015天津理)，是虛數(shù)單位，若復數(shù)(1-2z)(a+i)是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為.

20.(2013天津理)已知a,6GR,i是虛數(shù)單位.若(a+i)(l+i)=6i,則a+6i=.

3+/>i

21.(2012湖北文)若1-i=a+bi(a,b為實數(shù)，i為虛數(shù)單位)，則a+b=.

22.(2004廣東)已知復數(shù)z與(z+2產(chǎn)-8i均是純虛數(shù)，則2=.

23.(2016北京理)設(shè)aeH,若復數(shù)(l+i)(a+i)在復平面內(nèi)對應的點位于實軸上，貝.

24.(2016天津理)已知a,bwR,7是虛數(shù)單位，若(1+，)(1—次)=a,則@的值為.

b

25.(2008上海文、理)若復數(shù)z滿足z=，(2—z)(i是虛數(shù)單位)，則z=.

26.(2006上海理)若復數(shù)z同時滿足z-z=2i,z=iz(z為虛數(shù)單位)，則z=.

27.（2015江蘇）設(shè)復數(shù)z滿足z?=3+4,（i是虛數(shù)單位），則z的模為.

28.（2015上海文、理）若復數(shù)z滿足3z+W=l+i,其中，是虛數(shù)單位，則2=.

29.（2005北京理科）若Z]=a+2i,z2=3-4z,且五為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為

-Z2

30.（2006湖北理）設(shè)為實數(shù)，且上+-^=二一,則無+y=。

1-i1-21l-3i

海南省歷屆高考中的“數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入”試題匯編

1.（2007海南、寧夏文）i是虛數(shù)單位，i+2i2+3i3++8i8.（用a+歷的形式表示,a,beR）

—5+10,

2.（2007海南、寧夏理），是虛數(shù)單位,（用a+初的形式表示，a,Z?eR）

3+4/

z

3、(2008海南、寧夏文、理)已知復數(shù)z=l—兀則——二()

z-1

A.2B.-2C.2iD.—2i

4.(2009海南、寧夏文)復數(shù)^~~-=()

2-3z

(A)1(B)-1(C)i(D)-z

5.(2009海南、寧夏理)復數(shù)衛(wèi)2-±2=()

2—3i2+3z

(A)0(B)2(C)-2i(D)2i

+i

6.（2010全國新課標文）已知復數(shù)z=叫Z卜（)

(1-V302

(A)-(B)-(C)1(D)2

42

#>+i

7.（2010全國新課標理）已知復數(shù)z=1是Z的共輾復數(shù),則z?z=(

(1-后產(chǎn))

(A)-(B)-(C)1(D)2

42

8.（2011全國新課標文）復數(shù)2=（）

1-2/

(A)2-z(B)l-2z(C)-2+z(D)-l+2z

。I.

9.(2011全國新課標理)復數(shù)一■的共輾復數(shù)是()

1-2/

33

(A)—i(B)—i(C)—z(D)i

55

10.(2012全國新課標文)復數(shù)z=二出的共輾復數(shù)是()

2+i

(A)2+i(B)2—z(C)—1+i(D)—1—i

2

11.(2012全國新課標理)下面是關(guān)于復數(shù)2=------的四個命題：其中的真命題為()

-1+z

Pi：|z|=2P2：z，=2i2：z的共輾復數(shù)為1+，°4：2的虛部為—1

(A)P2，P3(B)p},p2(C)2,04(￡>)2，P4

2

12、(2013全國新課標II文)一:=()

1+z

(A)2A/2(B)2(C)V2(D)1

13.(2013全國新課標H理)設(shè)復數(shù)z滿足(1—i)z=2i,則z=()

A.—1+iB.-1—IC.1+iD.1—i

14.(2014全國新課標n文)—=()

1-i

A.l+2iB.-l+2iC.l-2iD.-1-i

15.(2014全國新課標H理)設(shè)復數(shù)4/2在復平面內(nèi)的對應點關(guān)于虛軸對稱，Z]=2+i,則平2二()

A.-5B.5C.-4+iD.-4-i

16.(2015全國新課標II文)若為。實數(shù)，且馬0=3+i,則。=()

1+i

A.-4B.-3C.3D.4

17.(2015全國新課標II理)若。為實數(shù)且(2+a，)(a—2，)=—如，則。=()

A.-1B.0C.1D.2

18.(2016全國H文)設(shè)復數(shù)z滿足z+i=3—i,則2=()

(A)-l+2i(B)l-2i(C)3+2i(D)3-2i

19.(2016全國II理)已知z=(m+3)+(〃—l)i在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，則實數(shù)〃z的

取值范圍是()

(A)(-3,1)(B)(-1,3)(C)(l,+oo)(D)(-oo,-3)

歷屆高考中的“復數(shù)”試題（自我檢測n）

一、選擇題:

題號123456789101112131415

答案

1.（2010福建文）i是虛數(shù)單位，（二產(chǎn)等于（）

1-i

A.iB.-iC.1D.-1

4+3i

2.(2007山東文)復數(shù)一匹的實部是()

l+2i

A.-2B.2C.3D.4

3.(2011遼寧文)i為虛數(shù)單位，-+4+4+4=()

ii3i5i1

A.0B.2iC.-2iD.4i

4.（2013山東理）復數(shù)z滿足（z-3）（2-i）=5（i為虛數(shù)單位），則z的共軌復數(shù)為（）

A.2+iB.2-iC.5+iD.5-i

(2014全國新課標I文)設(shè)z='+i,則|z|=(

5.

1+i1)

1

A.-B.---D.2

22

6.（2014重慶理）在復平面內(nèi)表示復數(shù)限一2，）的點位于（）

A.第一象限B第二象限C.第三象限D(zhuǎn)第四象限

n—i

7.(2008浙江理)已知。是實數(shù)，——是純虛數(shù)，則。=()

1+z

(A)1(B)-1(C)V2(D)-V2

（2015安徽理）設(shè)i是虛數(shù)單位，則復數(shù)二

8.在復平面內(nèi)所對應的點位于（

1-z

（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限

9.（2007全國I理）設(shè)〃是實數(shù)，且,+匕1是實數(shù)，貝（）

1+i2

13

(A)-(B)1(C)-(D)2

22

2

10.(2009浙江文、理)設(shè)z=l+i(，是虛數(shù)單位)，貝lj—+z2=()

Z

A.-1一iB.—1+zC.1-iD.1+z

11.（2012北京文）在復平面內(nèi)，復數(shù)——對應的點的坐標為（）

3+z

A.（1,3）B.（3,1）C.（-1,3）D.（3,-1）

-1+；

12.（2005遼寧）復數(shù)z=-------1.在復平面內(nèi)z所對應的點在（）

1+i

A.第一象限B.第二象限C.第二象限D(zhuǎn).第四象限

13.（2005天津理科）若復數(shù)”名（aCR,i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為（

1+2z

（A）-2（B）4（C）-6（D）6

14.(2004浙江理科)已知復數(shù)Z1=3+4Z,Z2=t+，，且馬?z2是實數(shù)，則實數(shù)t=()

3443

(A)-(B)-(C)--(D)--

4334

15.（2013安徽文）設(shè)，是虛數(shù)單位，若復數(shù)a-----（aeR）是純虛數(shù)，則。的值為（）

3-i

（A）-3（B）-1（C）1（D）3

16.(2014福建理)復數(shù)z=(3-27)，的共輾復數(shù)I等于()

A-2-3z8—2+3，C.2-31D.2+3i

.二、填空題:

17.（2012湖南理）已知復數(shù)z=（3+獷（i為虛數(shù)單位），貝"z|=.

18.（2009上海理）若復數(shù)z滿足z（l+i）=l-i（I是虛數(shù)單位），則其共軌復數(shù)1=

19、（2011江蘇）設(shè)復數(shù)i滿足，（2+1）=—3+2,（i是虛數(shù)單位），則z的實部是.

2

20.（2010重慶理）已知復數(shù)z=l+i,則--z=.

z

r\?

21.（2007重慶理）復數(shù)一I的虛部為_____.

2+z3

/、

1-

22.（2014上海文、理）若復數(shù)z=l+2i,其中i是虛數(shù)單位，則z+--z=.

Izj

〃11—無

23.（2012江蘇）設(shè)mbeK,l-2i（i為虛數(shù)單位），則口+力的值為—