高中數(shù)學(xué)選2 章末復(fù)習(xí)課

章末復(fù)習(xí)課

要點(diǎn)回顧形成體系

［網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建］

取極限

L|變化率問(wèn)題|-平均變化率竽

△.r

廠|導(dǎo)數(shù)的概念|——|導(dǎo)數(shù)的概念|一瞬時(shí)變化率g史壽--------

一I導(dǎo)數(shù)的幾何颯一|切線的斜率及=/'5)|

廠|基本初一函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式I

導(dǎo)

數(shù)—I導(dǎo)數(shù)的計(jì)算I——I導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

及

其一|簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)I—［77二乂?"I

應(yīng)

用

函數(shù)V=/(“)在區(qū)間QS)上可導(dǎo)，若/'(/)>0,則/(.r)在

廠|函數(shù)的單調(diào)閨一

(a,〃)內(nèi)單調(diào)遞增；若/'(才)V().則/(/)在Q")內(nèi)單調(diào)遞減

①求導(dǎo)數(shù)/'(%);②解方程

一I導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用I——|函數(shù)的極值|-

/(I)=0;③判斷兩側(cè)符號(hào)

①求極值;②極值與端點(diǎn)

—I函數(shù)的最大(小)值|一

處函數(shù)值比較

一|生活中的優(yōu)面碉

［核心歸納］

1.對(duì)于導(dǎo)數(shù)的定義，必須明確定義中包含的基本內(nèi)容和Ax-0的方式，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的增量Ay與

自變量的增量Ax的比的極限，即加一0時(shí)，卻趨于確定的常數(shù).

函數(shù)>=ya)在點(diǎn)X。處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線丫=穴無(wú))在點(diǎn)尸a。，正處))處的切線的斜率.

2.曲線的切線方程

利用導(dǎo)數(shù)求曲線過(guò)點(diǎn)P的切線方程時(shí)應(yīng)注意：

(1)判斷尸點(diǎn)是否在曲線上；

(2)如果曲線丫=於)在尸(xo,五xo))處的切線平行于y軸(此時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在)，可得方程為x=x°；P點(diǎn)

坐標(biāo)適合切線方程，如果切線不平行于y軸，P點(diǎn)處的切線斜率為/(&).

3.利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和四則運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)，熟記基本求導(dǎo)公式，熟練運(yùn)用法則是關(guān)

鍵，有時(shí)先化簡(jiǎn)再求導(dǎo)，會(huì)給解題帶來(lái)方便.因此觀察式子的特點(diǎn)，對(duì)式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃问莾?yōu)

化解題過(guò)程的關(guān)鍵.

4.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)

⑴在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域，解決問(wèn)題的過(guò)程中，只能在

函數(shù)的定義域內(nèi)，通過(guò)討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)注意在某一區(qū)間內(nèi)了(x)>0(或了(x)<0)是函數(shù)1尤)在該區(qū)間上為增(或減)函數(shù)的充分條件.

5.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值要注意

(1)極值是一個(gè)局部概念，是僅對(duì)某一點(diǎn)的左右兩側(cè)鄰近區(qū)域而言的.

(2)連續(xù)函數(shù)4功在其定義域上的極值點(diǎn)可能不止一個(gè)，也可能沒(méi)有極值點(diǎn)，函數(shù)的極大值與極小

值沒(méi)有必然的大小聯(lián)系，函數(shù)的一個(gè)極小值也不一定比它的一個(gè)極大值小.

(3)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，但函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，不一定是該函數(shù)的極值點(diǎn).

因此導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)僅是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件，其充要條件是加上這點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào).

6.求函數(shù)的最大值與最小值

(1)函數(shù)的最大值與最小值：在閉區(qū)間［。，切上連續(xù)的函數(shù)fix),在［a,切上必有最大值與最小

值；但在開(kāi)區(qū)間(。，b)內(nèi)連續(xù)的函數(shù)/(x)不一定有最大值與最小值，例如：兀0=/,xe(—1,1).

(2)求函數(shù)最值的步驟

一般地，求函數(shù)y=/(x)在［a,切上最大值與最小值的步驟如下：

①求函數(shù)y=/(x)在(a,6)內(nèi)的極值；

②將函數(shù)y=/(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值4a),人力比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一

個(gè)是最小值.

7.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵在于建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型(函數(shù)關(guān)系)，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一

個(gè)點(diǎn)即，使了(配)=0，則氏⑹是函數(shù)的最值.

要點(diǎn)聚焦分類(lèi)突破

要點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在與切線方程有關(guān)的問(wèn)題上.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程的

關(guān)鍵是弄清楚所給的點(diǎn)是不是切點(diǎn)，常見(jiàn)類(lèi)型有兩種：一種是求“在某點(diǎn)處的切線方程”，此點(diǎn)

一定為切點(diǎn)，先求導(dǎo)，再求斜率，進(jìn)而求出切線方程；另一種是求“過(guò)某點(diǎn)的切線方程”，這種

類(lèi)型中的點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，可先設(shè)切點(diǎn)為Q(xi,yi),則切線方程為y—yi=f(x()(x—xi),再由切

線過(guò)點(diǎn)P(xo，yo)得yo—yi=/(xi)(xo-xi)@

又已知②

由①②求出即，弘的值，即求出了過(guò)點(diǎn)尸(尤。,州)的切線方程.

切線問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，在高考試題中既有選擇題、填空題，也有綜合性大題，難度一

般為中等.

【例1】(1)已知aGR,設(shè)函數(shù)八x)=ax—Inx的圖象在點(diǎn)(1,五1))處的切線為/,則/在y軸上

的截距為.

⑵設(shè)曲線y=e龍?jiān)邳c(diǎn)(0,1)處的切線與曲線y=%x>0)上點(diǎn)P處的切線垂直，則P的坐標(biāo)為

解析⑴由題意可知70)=。一占所以7(1)=。-1,因?yàn)閮?nèi))=〃，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,〃)，所以

切線/的方程為y—a=(a—l)(x—l),即y=(a~\)x+\.

令x=0,得y=l,即直線/在y軸上的截距為1.

(2)由y'=Qx,知曲線y=e”在點(diǎn)(0,1)處的切線斜率后=匕。=1.

設(shè)P(m,n),又y=%X>0)的導(dǎo)數(shù)/=—5

曲線>=*>°)在點(diǎn)P處的切線斜率—一崇.

依題意人次2=—1,所以m=1,從而〃=1.

則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,1).

答案(1)1(2)(1,1)

【訓(xùn)練1】曲線在x=0處的切線方程為.

解析f(x)=；一)2=,一株，所以曲線在X=O處的切線斜率為左=/(0)=—2,又五0)

=—1,則所求的切線方程為y+1=—2x,即2x+y+l=0.

答案2x+y+l=0

要點(diǎn)二應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

在區(qū)間(。，3內(nèi)，如果/(x)>0,那么函數(shù)y="r)在區(qū)間(a,?內(nèi)單調(diào)遞增；在區(qū)間(a,力內(nèi)，如果

f(x)<0,那么函數(shù)>=段)在區(qū)間(a,力內(nèi)單調(diào)遞減.

2

【例2】已知函數(shù)噎+。(2—Inx),。>0.討論人尤)的單調(diào)性.

解由題知，1尤)的定義域是(0,+8),

設(shè)g(x)=x2—辦+2,二次方程g(x)=o的判別式/=4/2—8.

①當(dāng)/<0即0<a<2啦時(shí)，對(duì)一切x>0都有人無(wú))>0.此時(shí)犬x)是(0,+8)上的單調(diào)遞增函數(shù).

②當(dāng)/=0即a=2吸時(shí)，僅對(duì)尤=娘，有〃x)=0,對(duì)其余的x>0都有了(無(wú))>0.此時(shí)1x)也是(0,

+8)上的單調(diào)遞增函數(shù).

③當(dāng)/>0即。>2吸時(shí)，方程g(x)=0有兩個(gè)不同的實(shí)根

a—7a2—8—8_

X\■—2,X2~2，O〈X1<冗2.

當(dāng)無(wú)變化時(shí)，f(x)、火的的變化情況如下表：

X（0,xi）X1（xi，X2）X2（必+°0）

了㈤+0一0+

?/極大值\極小值/

此時(shí)火X)在(0,。一警二8)上單調(diào)遞增,

在GW三，。+守口)上單調(diào)遞減,

在p亭i,+8)上單調(diào)遞增.

【訓(xùn)練2】已知函數(shù)?r)=lnx+a(l—x),討論大幻的單調(diào)性.

解作)的定義域?yàn)?0,+°°),f(x)=^—a,

當(dāng)時(shí)，/(x)>0恒成立，所以兀0在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，則當(dāng)xe(0,力時(shí)，f(x)>0；

當(dāng)十8)時(shí)，/Q)<O,所以於)在(o,力上單調(diào)遞增，在&+8)上單調(diào)遞減.

要點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值

1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的一般步驟

(1)確定函數(shù)式為的定義域；

⑵解方程/(x)=0的根；

(3)檢驗(yàn)/(x)=0的根的兩側(cè)了(x)的符號(hào).

若左正右負(fù)，則人x)在此根處取得極大值；

若左負(fù)右正，則大無(wú))在此根處取得極小值；

否則，此根不是1無(wú))的極值點(diǎn).

2.求函數(shù)1x)在閉區(qū)間［a,句上的最大值、最小值的方法與步驟

(1)求/U)在(a,6)內(nèi)的極值；

(2)將(1)求得的極值與40)、人力相比較，其中最大的一個(gè)值為最大值，最小的一個(gè)值為最小值.

特別地，①當(dāng)/U)在［a,切上單調(diào)時(shí)，其最小值、最大值在區(qū)間端點(diǎn)取得；②當(dāng)人尤)在(a,b)內(nèi)只

有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，若在這一點(diǎn)處?x)有極大(或極小)值，則可以斷定“X)在該點(diǎn)處取得最大(最小)

值，這里(。，力也可以是(一8,十8).

2

【例3】已知函數(shù)於)=一9+加+法在區(qū)間(―2,1)內(nèi)，當(dāng)x=—1時(shí)取極小值，當(dāng)冗=1時(shí)取

極大值.

⑴求函數(shù)y=/(x)在％=-2時(shí)對(duì)應(yīng)的切線方程；

⑵求函數(shù)y=/(x)在［-2,1］上的最大值與最小值.

解(l)f(x)=-3x2+2?x+Z?,

2

又因?yàn)楫?dāng)％=—1,x=］時(shí)，

函數(shù)分別取得極小值、極大值,

2

所以-1,］為方程-3/+2必+匕=0的兩個(gè)根.

匕…2,2b2

所以印2=-1+?—^=(—i)x-

于是a=-b=2,則危)=—/—$2+2%.

當(dāng)x=—2時(shí)，八一2)=2,即切點(diǎn)為(一2,2).

又因?yàn)榍芯€斜率％=/(—2)=—8,

所以，所求切線方程為y—2=—8(x+2),

即8x+y+14=0.

(2)當(dāng)x變化時(shí)，f(x),#x)的變化情況如下表：

2(|,1)

X-2(—2,-1)-11

(T，|)3

rw一0+0一

_3221

2單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減

八X)~2272

3

因此，?￥)在［-2,1］上的最大值為2,最小值為一］.

(兀兀、

【訓(xùn)練3】已知函數(shù)段)=L〃COSX,

(1)當(dāng)。=-2時(shí)，求函數(shù)式工)的極大值；

(2)若函數(shù)八工)有極大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解(1)因?yàn)椤?-2,所以y(x)=l—2sinx.

令f(x)=。，得sin%

又入￡(甘,5，所以尸專(zhuān)

(兀兀、(TI兀、

又當(dāng)九￡(一］,總時(shí)，f(x)>0；當(dāng)元仁仁，力)時(shí)，了㈤<°，

故當(dāng)尸熱，段)取得極大值，為痣)=5+/.

(2)f(x)=1+asinx.

,(兀兀、1n

當(dāng)％5,寸時(shí)，~l<sinx<l,SP|sinx|<l.

①當(dāng)|a|Wl時(shí)，|asinx|<l,

所以當(dāng)Xd(一方，§時(shí)，/(x)>0恒成立,此時(shí)段)在(甘，習(xí)上沒(méi)有極值.

②當(dāng)時(shí)，-a<asinx<a,-1仁(一〃，a),

(兀兀、

所以l+asinx=O,有解，設(shè)為a.

因?yàn)槭琣sinx在(甘，5上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)聞一名a)時(shí)，/(x)<0；當(dāng)xG(a,1時(shí),f(x)>0.

因此於)在(甘，號(hào)上沒(méi)有極大值.

③當(dāng).<一1時(shí)，a<asinx<-a,—1G(a,~a),

所以asinx+l=O,,1J有解，設(shè)為￡.

因?yàn)閥=asin尤在(一多方)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)xe(一冬夕)時(shí)，了(無(wú))>0；當(dāng)xe伍號(hào)時(shí)，

r(x)<o.

所以<x)在x=P處取得極大值.

綜上所述，實(shí)數(shù)”的取值范圍是(一8,-1).

要點(diǎn)四導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式的綜合應(yīng)用

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)是高考的必考內(nèi)容，也是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn).考題利用導(dǎo)數(shù)作為工具，考查求

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的極值與最值，參數(shù)的取值范圍等問(wèn)題，若以選擇題、填空題出現(xiàn)，以中

低檔題為主；若以解答題形式出現(xiàn)，則難度以中檔以上為主，有時(shí)也以壓軸題的形式出現(xiàn).考查

中常滲透函數(shù)、不等式等有關(guān)知識(shí)，綜合性較強(qiáng).

【例4】已知函數(shù)兀r)=xlnx.

⑴求加)的最小值；

(2)若對(duì)所有都有犬尤)已辦一1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)若關(guān)于尤的方程式無(wú))=6恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

解(1)火x)的定義域是(0,+°°),/(x)=l+lnx,

令/(尤)>0,解得令了(無(wú))<0,

故#x)在(0,§上單調(diào)遞減，在0，+8)上單調(diào)遞增,

故Hx)mm=/Q)=5n；=-；.

(2)\9J(x)=xlnx,

當(dāng)xNl時(shí)，恒成立，

等價(jià)于1(x21)恒成立，

等價(jià)于aWlnx+q(x21)恒成立，

令g(x)=lnx+：,則aWg(x)min(x》l)恒成立；

，當(dāng)無(wú)》1時(shí)，g'(x)》O,

，g(x)在［1,+8)上單調(diào)遞增，.,.g(x)min=g(l)=l,

即實(shí)