高考數(shù)學(xué)函數(shù)同構(gòu)專題（二）教師版

函數(shù)同構(gòu)專題(二)

一.選擇題(共5小題)

1.(2019?岳麓區(qū)校級模擬)已知”>0,函數(shù)，。)=j"-/心+4)-心>0)的最小值為0,

則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(0,1]B.[1,1)C.{1}D.0

2.(2020?蚌埠三模)已知函數(shù)/(x)=-^+x-加(ax)-2(a>0),若函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,+co)

e

內(nèi)存在零點，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(0,1]B.[1,-Foo)C.(0,e]D.[3,+oo)

3.(2021春?昆明期末)已知函數(shù)f(x)=xe、-伍￥-不-1,若對任意xe(0,+oo),使/(元)..a,

則。的最大值為()

A.0B.c—2C.1D.c—\

4.(2021春?西湖區(qū)校級期中)已知函數(shù)/(x)=xe"g(x)=xlnx,若/(工[)=@&)=，，其

中f>0,e是自然對數(shù)的底數(shù)，則生的最大值是()

3

5.(2021?三模擬)已知函數(shù)/(x)=(x-x'"+加加x)e*+l[m<0),當(dāng)(e(l,+oo)時，恒有/,(x)..0,

則實數(shù)機的取值范圍是()

A.[-2,-1]B.[-e,0)C.[-e,-?G]D.[~2e,0)

二.多選題(共1小題)

6.(2021春?濠江區(qū)校級期中)已知函數(shù)/(x)=x+/n(x-l),g(x)=xlnx,若f(x])=1+2lnt,

2

g(x2)=t,則(西馬一馬)/“的取值可能是()

A.--B.--C.--D.--

e2e22ee

三.填空題(共9小題)

7.(2021春?淇濱區(qū)校級月考)己知a>l,若對于任意的+oo),不等式

3

4%-/n(3x)?aex-Ina恒成立，則a的最小值為.

8.(2020?福建二模)己知對任意xe(0,4w),都有％(e"+1)—(1+」)/ar>0,則實數(shù)/的取

X

值范圍為.

9.(2020?重慶模擬)若直線y=or+Z?與曲線y=//優(yōu)+1相切，則ab的最大值為.

10.(2021春?赤峰期末)已知函數(shù)/(x)=e"-。-加(ex+〃)，若關(guān)于工的不等式/(x)>0恒

成立，則實數(shù)。的取值范圍是—?

11.(2020秋?湖北月考)若xe(0」)時，關(guān)于x不等式以％"+2/嗎,0恒成立，則實數(shù)。的

e

最大值是—.

12.(2020秋?上月考)已知函數(shù)/(x)=ae*+/〃，--2(a>0),若f(x)>0恒成立，則實數(shù)

x+2

〃的取值范圍為—.

13.(2020秋?河北月考)己知函數(shù)〃x)=e2，+"-+￡在定義域內(nèi)沒有零點，則a的取值

范圍是—.

14.(2020秋?成都期末)已知關(guān)于x的方程24|-2山=_/+以_1在區(qū)間3］上有兩個

不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為一.

15.(2020秋?連云港月考)已知a>0,若a如;,恒成立，則a的值是.

四.解答題(共29小題)

16.(2021春?西湖區(qū)校級期中)設(shè)函數(shù)/⑴=皿*-亞-l(aeR).

(1)若a=l,求函數(shù)的圖象在(-1,/(-1))處的切線方程；

(2)若不等式f(x)../nr在區(qū)間［1,+8)上恒成立，求a的取值范圍.

e

17.(2019春?城關(guān)區(qū)校級月考)已知函數(shù)/(1)=%-3+1)阮￥,acR.

(1)當(dāng)。=1時，求曲線y=在點(1,f(1))處的切線方程；

(2)令g(x)=/(x)-0，討論g(x)的單調(diào)性;

X

(3)當(dāng)a=2c時，疝*+機+,〃◎.0恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.(e為自然對數(shù)的底數(shù)，

e=2.71828...).

一，bex~［.—

18.(2014?新課標(biāo)I)設(shè)函數(shù)/(幻=〃"加+----,曲線y=/(x)在點u(1,f(1))處得

x

切線方程為y=e(x—1)+2.

(I)求a、b；

(II)證明：/(x)>l.

19.(2019?黃山一模)已知函數(shù)f(x)=e*-/〃(x+m)+?n.

(I)設(shè)x=O是/(x)的極值點，求機的值；

(H)在(I)的條件下，/(x)-k..O在定義域內(nèi)恒成立，求&的取值范圍；

(III)當(dāng)肛,2時,證明：f(x)>m

20.(2015?新課標(biāo)I)設(shè)函數(shù)“r)=e2x_a/〃x.

(I)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)/'(X)零點的個數(shù)；

2

(II)證明：當(dāng)。>0時，f{x}..2a+aln—.

a

21.(2020秋?潤州區(qū)校級月考)已知函數(shù)/(x)=ae'T-/?%+/〃”.

(1)當(dāng)a=e時，求曲線y=/(x)在(1,f(1))處的切線方程；

(2)若求。的取值范圍.

22.(2019?漢中二模)已知函數(shù)/(x)=e*-/〃(x+l)-a的圖象在x=0處與x軸相切.

(1)求/(%)的解析式，并討論其單調(diào)性.

(2)若證明：e'~'+ln(t+1)>/M(X+1)+1.

23.(2020春?岳麓區(qū)校級月考)已知/(x)=a/nr-x+1,g(x')=x-ex,a為實數(shù).

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)/z(x)=/(x)+g(x),求所有的實數(shù)值a,使得對任意的x>0,不等式〃(x),,l-e恒成

立.

24.(2020春?昆明期末)已知函數(shù)，(x)=e*-5+l)/nx-2.

(1)若x=l是/(x)的極值點，求。的值，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)a=e時,證明：/(%)>2e—(e+l)ln(e+1).

25.(2020春?昆明期末)已知函數(shù)/(x)=e*-(a+l)/〃x-2,e為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)若x=l是/(x)的極值點，求a的值，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)a=2時，證明：/(x)>4-3/n3.

26.(2020春?安徽期末)已知函數(shù)〃x)=ae3g(x)=/n(x-l)+l.

⑴設(shè)G(x)=/(x)-g(x),x=3是G(x)的極值點,求函數(shù)G(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)證明：當(dāng)a..=時，/(x)..^(x).

e

27.(2019?重慶模擬)已知函數(shù)f(x)=/nr-ar+a,aeR.

(1)若/(x)存在極大值/(%),證明：/(%())..0；

(2)若關(guān)于x的不等式f(x)+e-..l在區(qū)間[1,+8)上恒成立，求。的取值范圍.

28.(2019春?雅安期末)已知函數(shù)f(x)=/nx+ox2,

(1)若函數(shù)f(x)有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍：

(2)若/(幻>52+2公-d+6-24在、€(1,+00)上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

29.(2020秋?遼寧月考)已知函數(shù)/(幻=j"-x/nx+x(aeR)有兩個極值點不，必須<馬)，

設(shè)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為g(x).(其中e是自然對數(shù)的底數(shù))

(1)若a=0,求曲線y=/(x)在x=l處的切線方程；

(2)證明：a>2.

30.(2015?長沙校級一模)已知函數(shù)/(x)=/?x-a(x-l),g(x)=e*.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)awO時，過原點分別作曲線y=/(x)與y=g(x)的切線4,4，已知兩切線的斜率

"1-1

互為倒數(shù)，證明：—<?<—;

ee

(3)設(shè)Zz(x)"(x+l)+g(x),當(dāng)x..O,時,求實數(shù)a的取值范圍.

31.(2021?湖北模擬)已知/(x)=ae”+(2a-l)e*-x,a為常數(shù).

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若X..0時，f(x)..(3a-I)cosx恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

32.(2017?夏邑縣校級模擬)已知函數(shù)/(x)=ar-/nx,F(x)=ex+ax,其中x>0,a<0.

e為自然對數(shù)的底數(shù).

(I)若/(x)和尸(x)在區(qū)間(0,歷3)內(nèi)具有相同的單調(diào)性，求實數(shù)a的取值范圍；

(II)若”e(-oo,--v]>且函數(shù)g(x)=xe"i-2ax+/(x)的最小值為M,求M的最小值.

e-

33.(2021?讓胡路區(qū)校級三模)已知函數(shù)/。)=。-2)/-32+以，aeR.

(I)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(II)當(dāng)XC1時，不等式/(幻+*+1)才+m2_20r+a>0恒成立，求。的取值范圍.

34.(2020秋?一月考)已知函數(shù)/(x)=x-/nr.

(1)求函數(shù)，(x)的最小值;

(2)已知實數(shù)a>0,e為自然對數(shù)的底數(shù)，若/(幻+訛”+*..0在(0,+00)上恒成立，求

實數(shù)a的取值范圍.

35.(2019?深圳二模)已知函數(shù)f(x)=a爐+2x—知(其中常數(shù)e=2.71828…,是自然對數(shù)

的底數(shù).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)證明：對任意的a.1,當(dāng)％>0時,f(x)..(x+ae)x.

36.(2020秋?眉山期末)已知函數(shù)f(x)=￡(e為自然對數(shù)的底數(shù))，函數(shù)g(x)=/nr.

X

(I)求函數(shù)/(X)的最小值；

(II)若不等式/(x)+g(x)>0在(0,+OO)上恒成立,求實數(shù)〃z的取值范圍.

37.(2020?濟寧模擬)已知函數(shù)/(x)=x—a/nx.

(I)若曲線y=/(%)+〃(〃，在％=1處的切線方程為x+y-3=0,求。，b的值；

(II)求函數(shù)g(x)=〃幻+區(qū)里3€/?)的極值點；

X

(III)ISh(x)=—/(x)+ae'-—+lna(a>0),若當(dāng)x>a時，不等式〃(x)..0恒成立，求。的

aa

最小值.

38.(2020秋?四川月考)已知函數(shù)/(x)=Me,-a)-2/nx+2/〃2-2,(ae/?).

(1)當(dāng)“=2時，若,f(x)在點(%,/(%))切線垂直于y軸，求證：lnx0=/n2-x0；

(2)若/(x)..0,求”的取值范圍.

39.(2021?涼州區(qū)校級模擬)已知函數(shù)/(x)=/-2ar-l,g(x)=2a/〃(x+1),awR.

(I)若f(x)在點(0,f(0))的切線傾斜角為巴，求a的值；

4

(H)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(III)若對于任意工引0,+<?),/(x)+g(x)..x恒成立，求a的取值范圍.

40.(2021春?渝中區(qū)校級期中)函數(shù)f(x)=1e"*-」x2,/")是/(幻的導(dǎo)函數(shù).

tn2

(1)若"2=1,XGR,證明：/(x)+/'(-%)..2；

(2)若僅>1,且對任意xe(e,田)，儂(卅-6)+2/,(力加_6恒成立,求實數(shù)機的取值

Inx

范圍.

41.(2020秋?常州期末)己知函數(shù)/*)=絲(°>0).

Inx

(1)當(dāng)函數(shù)f(x)在x=1處的切線斜率為-2時，求/(x)的單調(diào)減區(qū)間；

e

,x

In

(2)當(dāng)x>l時，/(x)..，4?-求。的取值范圍.

eInx

42.(2020秋?壽光市校級月考)已知函數(shù)f(x)=bix+ax+].

(1)討論/(幻的單調(diào)性；

(2)對任意x>0,加2一./(1)恒成立，求實數(shù)。的最大值.

43.(2020?浙江模擬)函數(shù)=a>0

(I)對任意+oo),/(x)…gj?+i恒成立，求。的取值范圍；

(11)若4>1,對任意xe(e,"o),紀(jì)如史竺二父_濃+6.0恒成立，求a的取值范圍.

Inx

44.(2021春?鯉城區(qū)校級期末)已知f(x)=e計"+辦，g(x)=(x+V)ln(x+1).

(1)討論/(此的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(x)=/(x)-g(x)在定義域上單調(diào)遞增，求實數(shù)。的取值范圍.

函數(shù)同構(gòu)專題(二)

參考答案與試題解析

選擇題(共5小題)

1.(2019?岳麓區(qū)校級模擬)已知a>0,函數(shù)/'。)=j"-歷。+4)-1*>0)的最小值為0,

則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(0,1]B.[1,1)C.{-}D.0

【解答】解：由題意知/(a)=ea~a-ln(a+a)--0>即0<4，.

由于當(dāng)人￡火時，不等式e，..x+l；當(dāng)x>0時，不等式加;,x-l,

因此①當(dāng)0<a時，/(x)=ex-a-ln(x+a)-1..[(x-a)+1]-[(x+a)-1]-1=-2?+1>0

合題意，舍去；

②當(dāng)a=，時，/(x)=ex---/?(x+-)-l..[(x--)+lJ-l(x+-)-l]-l=O(當(dāng)x=1時取等

號)則a=，,

2

故選：C.

2.(2020?蚌埠三模)已知函數(shù)/(x)=W+x-妨(ar)-2(a>0),若函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,+O0)

e

內(nèi)存在零點，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(0,1]B.[1,+oo)C.(0,e]D.[3,+00)

exX—IfiX~

【解答】解：方法一：由/(1)=1~+不一加(ar)-2(。>0)可得/<x)=—h(----a),

eex

設(shè)丁=----a,x>0,a>0,則/=-----3,令V=0nx=l,「.y在xc(O,l)單調(diào)遞

xx~

減，在X￡(1,+OO)單調(diào)遞增,

故％,；“=y⑴=1一。?

①當(dāng)0vaV1時，令f\x)=0=>X=1,當(dāng)X￡(0,l)時，/(X)單調(diào)遞減，當(dāng)X￡(l,+oo)時，/(X)

單調(diào)遞增，

.二f(x)疝"=f(1)=a-l-lna>0,此時/(%)在區(qū)間(0,+oo)內(nèi)無零點；

②當(dāng)〃=1時，/(1)=a-\-lna=Of此時/(x)在區(qū)間(0,+a))內(nèi)有零點；

V-12*7

③當(dāng)時，令/‘(％)=--r(----a)=0,解得“=玉或1或占，K0<x<1<,

ex~x

此時/(X)在無￡(0,X])單減，Xe(X,,1)單增，XE(1，W)單減，XG(x2,+00)單增，

當(dāng)X=%或工2時，/(幻極小值=0，此時/(九)在區(qū)間(0,田)內(nèi)有兩個零點；

綜合①②③知/(幻在區(qū)間(0,+OO)內(nèi)有零點=〃.』.

方法二：由題意可得

L+S=DT+2,即「…)-[T+1+/H(OX)]-1=0,

因為".5+1當(dāng)工=0時等號成立，

所以—x+1+出(ax)=0,即or=ex~l,

廣盡,、八1(x-l)ex

a=---，令g(%)=----，gU)=-x--------，

xxex

易知g(x)在(0,1)單減,在(1,轉(zhuǎn))上單增，所以g(x)..g(1)=1,

又X趨近于0和正無窮時，g(x)趨近于正無窮，

所以4..1.

故選：B.

3.(2021春?昆明期末)已知函數(shù)/(x)=xe*-/nx-x-l,若對任意x￡(0,”)，使/(x)..a,

則。的最大值為()

A.0B.e-2C.1D.e-1

【解答】解：令g(x)=，-xT,則g(x)=e*-l,

令g，(x)>0,解得：x>0,令g，(x)<0,解得：xvO,

故g(x)在(0,e)遞增，

故g(x)..g(O)=O,即e\.x+],

xl,,xxl,lxx

f(x)=xe-Inx-x-1=ee-Inx-x-\=e^-Inx(Inx+x+\)-lnx-x-\=Qf

當(dāng)/nx+x=O時取"="，所以/(x)的最小值為0,

所以④0,所以。的最大值為0,

故選：A.

4.(2021春?西湖區(qū)校級期中)已知函數(shù)/(x)=W,^(x)=xlnx,若/(3)=且(工2)=，，其

中，>0,e是自然對數(shù)的底數(shù)，則里的最大值是()

A.4-B.4c.-D.-

eeee

XJ

【解答】解：由題意，xxe=t,x2lnx2=t,則加

由圖可知，當(dāng)，>0時，/(x)=，有唯一解，故％=歷々，且%>0，

bit_Int_Int

-----=--------=—，

石馬x2lnx2t

設(shè)〃(力=則，z>0.則〃")=上戶，令〃。)=0,解得f=e,

tr

易得當(dāng)re(0,e)時，h'(t)>0,函數(shù)/?⑺單調(diào)遞增，

當(dāng)fe(e,+oo)時，〃⑺<0,函數(shù)〃⑺單調(diào)遞減，

故/舊),,/?(e)=L即四1的最大值是

ex{x2e

故選：C.

5.(2021?三模擬)已知函數(shù)/(%)=(x-xm+mlnx)ex+1(〃?<0),當(dāng)xc(1,+oo)時，恒有f(x)..0,

則實數(shù)機的取值范圍是()

A.[-2,-1]B.[-e,0)C.[-e,一？五]D.[—2e,0)

mx

【解答】解:「當(dāng)x￡(l,+oo)時，恒有(x-x+mlnx)e+\..0y

.,.恒有x+2?..xm-mlnx(x>1),即恒有e~x-lne~x..xm-lnxm(x>1).

ex

構(gòu)造函數(shù)g(x)=x-/nr,?.?g〈x)=l-L

x

y=g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(l,yo)上單調(diào)遞增.

?.,x>l,^<0,..0<^~v<1,0<<1,

?/g—

兩邊取自然對數(shù)得minx..x,in..--,

Inx

令h(x)=一生，則h'(x)=)”,

Inx(Inxr

y=〃(x)在(l,e)上單調(diào)遞增，在(e,+oo)上單調(diào)遞減，

.,.當(dāng)x=e時，h(x)fnax=4(e)=-e,m<0,

??.m的取值范圍為[-6,0).

故選：B.

二.多選題(共1小題)

XHX

6.(2021春?濠江區(qū)校級期中)已知函數(shù)/(X)=+Z(-1),g(x)-xlnx,若f(x1)=1+lint,

g*2)=/，則(西入2-9)/加的取值可能是()

A.--B.--C.--D.--

e2G2ee

2xl

【解答】解：</(X)=石+Zn(x,-1)=1+2lnt,即玉一1+ln{xx-1)=Int=ln[e'~-(x,-1)],

22,,LX2

t=eX[?l(%-1)①，r>0,g(x2)=x2lnx2=t=e~,Inx?②,又?.?y=x?，在[0,+oo)

上單調(diào)遞增，

2

故由①②得%-1=lnx2,故(%]%2-x2)lnt=x2lnx2-Int=tlnt,

2I

令h(t)=t2lnt(t>0),則h\t)=2tlnt+f,令/⑺>0,解得：>>”，令<0,解得：0<￡<”，

-1-1.1i

故〃⑺在(0,e2)遞減，在5,+8)遞增,故力⑺〃而=〃(e2)=一一,

2e

故選：BC.

三.填空題(共9小題)

7.(2021春?淇濱區(qū)校級月考)已知a>l,若對于任意的xej,+00),不等式

3

4x-/n(3x)?aex-Ina恒成立，則。的最小值為—二—.

e

【解答】解：4x-ln(3x)?aex-Ina恒成立

<=>3x-ln(3x\,aex-Ina-x

<=>3x-ln(3x)?aex-ln(aex),

令f(x)=x-lnxf\x)=1--=--,

1xx

故/(X)在[1,+8)上單調(diào)遞增，

a>1,xe[-,+oo),/.3x，aexG[1,+oo)，

3

QyQy

故3用,aex<=>—?a恒成立，令g(x)=—,

exex

只需a..g(x)〃皿，由g，(x)=——,

e

a

故X=1時，g(x)的最大值是士，

e

小攵a..—J

e

故〃的最小值是3,

e

故答案為：

e

8.(2020?福建二模)己知對任意xw(0,”)，都有+1)-(1+』)/nr>0,則實數(shù)％的取

X

值范圍為_(1^_+<?)_.

e

【解答】解：對任意xw(0,a),都有&(e^+l)—(1+工)/心>0,

X

可得kx(,ekx+1)>(1+x)lnx,即(1+ek')lnekx>(1+x)lnx,

可設(shè)/(x)=(l+x)Znr,可得上式即為f(*)>/(x),

由尸(x)=欣+1+X,f"(x)=————T->

XXXX'

當(dāng)x>I時，r'(x)>0,f'(x)遞增；當(dāng)0<x<l時，/(x)<0,r(x)遞減，

則r(x)在x=i處取得極小值，且為最小值2,

則f(x)>0恒成立，可得f(x)在(0,+00)遞增，

則盧>》恒成立，即有A>如恒成立，

X

可設(shè)g(x)=M,g\x)=--■，當(dāng)x〉c時，g(x)vO,g(x)遞減；當(dāng)Ovxve時，g\x)>0,

XX

g(x)遞增，

可得g(x)在x=e處取得極大值，且為最大值,，

e

則%>!，即后的取值范圍是(!，+00).

ee

故答案為：(-,+oo).

9.(2020?重慶模擬)若直線y=av+b與曲線丁=歷￥+1相切，則而的最大值為—-_.

e

【解答】解：設(shè)切點為(為,。優(yōu)()+1),則切線為曠=工(工一工0)+/g)+1=_]_工+/啄，

/玉)

所以'=a,/“)=/?,則"=竺^，

毛玉)

令g(x)=媽，所以以幻=與竺，

XX

所以g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在3+00)上單調(diào)遞減，

則g(X),mr=g(e)=,，即a。的最大值為-,

ee

故答案為：

e

10.(2021春?赤峰期末)已知函數(shù)-a-e勿(ex+a),若關(guān)于x的不等式/(x)>0恒

成立，則實數(shù)，的取值范圍是_(-oo,0)_.

【解答】解：【方法一：隱零點】

a/

/(x)=ex-a-eln(ex+a)的定義域為(一一,-KO),/'(X)=ex----------,

eex+a

顯然廣⑴在(-3+8)上單調(diào)遞增，

e

當(dāng)％->(一色)+時，[(x)f-OO,當(dāng)X—+8時r(x)一>+OO,

e

所以函數(shù)((X)在(-幺,+8)上存在唯一零點八%)=0，

e

當(dāng)一幺<xv后時，r(x)<o,/(“)在(一州為)上單調(diào)遞減，

ee

當(dāng)x>x0時，,r(x)>0,/(x)在(%,+00)上單調(diào)遞增，

所以/(.?)??■?=f(x0)=e^'-a-eln(ex0+a)，

由題意可得f(x)min>0>即*-a-eln(ex0+?)>0,

2

因為/(與)=°=e"------——=0<=>ex0+a=e""oa=/-2-ex0,

exQ+a

22

所以e"一。一e/〃(e%o+a)>0oe"-(e~^-ex())-e(2一%)>0oe"+exi>>e'^+e(2-x0),

因為y=e'+ex是增函數(shù)，所以%>2-/<=>%>1,

令g(x)=e2~x-ex,g<x)=-e2~x-e<0,所以g(x)在R上單調(diào)遞增,

所以。=g(x())vg(1)=0，故。的取值范圍為(fO,0).

【方法二：反函數(shù)】

f(x)=ex-a-eln(ex+(2)>0<=>ex~l-—>ln(ex+a),

e

因為函數(shù)y=e'T一3和函數(shù)y=/〃(ex+a)互為反函數(shù)，

e

因為互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對稱，

所以ex~'-->/"(ex+4)恒成立，等價于ex~'-->x<^>a<ex-ex,

ee

令h(x)=ex-ex,h\x)=ex-e,

當(dāng)xvl時，h'(x)<0,〃(x)在(YO,1)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x>l時，h'(x)>0,力(x)在(1,+00)單調(diào)遞增，

所以九(X),,,,,=〃(1)=0，所以。<0，

故a的取值范圍為(YO,0).

【方法三：同構(gòu)】

f(x)=ex-a-eln(ex+a)>0<^>ex+ex>ex+a+eln^ex+a)<^>ex+ex>eMa+a)eln(ex+a),

令p{x}=ex+x,所以p(x)>p(ln(ex+a)),

由因為p(x)是增函數(shù)，所以x>/〃(ex+a)oa<e*-ex,

下同方法一.

故答案為(-8,0).

11.(2020秋?湖北月考)若x€(0―)時，關(guān)于x不等式加u+2。氏,0恒成立，則實數(shù)。的

e

最大值是_2e_.

【解答】解：令/?=a^eM+llnx,xw(0,-)

e

c八c2

/'(x)=3ax2e^+a、)以十一,

x

當(dāng)a.O時，在(0」)上，f'(x)>0，/(x)單調(diào)遞增，

e

1"—Q

所以."x)s<./'(—)=re--2,

ee

若x￡(0」)時，關(guān)于x不等式+21網(wǎng),0恒成立，則-^ec-2,,0,

令，=^。>0),則4/一2?0，BPte'-2e2,,0,所以上'“Ze2,

ee-

設(shè)咐)=k為增函數(shù)，所以f,,2,即色”2,所以硬上2e,

e

當(dāng)avO時，ax'<0,2lnx<0,xe(0,-)

e

所以/(x)vO,滿足題意，

綜上，實數(shù)〃的取值范圍為(-00,2c],

所以。的最大值為2e.

/2In—,ii加_!_

另解：原命題等價于分*+牛nr,,o,以*,,==/，

廠XXXX

令/(x)=xex,故原命題等價于,

JT

由/(X)在(0,400)上單調(diào)遞增，

所以心,歷-V在(0,-)上恒成立，

x~e

故知迦，令g(x)”,貝城(幻=』

XXX"

在(02)上，g'(x)>o,g(x)單調(diào)遞增，

e

則g(x)<gd)=-e，

e

所以士竺>2e,

X

所以④2e.

故答案為：2e.

12.(2020秋?上月考)已知函數(shù)/(x)=ae'+/〃-g—一2(。>0),若f(x)>0恒成立，則實數(shù)

x+2

a的取值范圍為_(e,-K?)

【解答】解：f(x)=aex+In----2(a>0),

x+2

函數(shù)/(x)的定義域是(-2,”)，

若y(x)>o恒成立，

貝lJe'"""+/〃a>/〃(x+2)+2,

兩邊加上X得到：

ex+lna+x+lna>x+2+ln(x+2)=e/n<t+2)+ln(x+2),

?.?y=，+X單調(diào)遞增,

:.x+lna>ln(x+2),BPIna>ln(x+2)-x,

令g(x)=ln(x+2)-x,(x>-2),

則g，(x)*-l=-x-1

x+2

???X€(-2,-1)時，g'(x)>0,g(x)遞增,

xe(-l,+oo)時，g，(x)<0,g(x)遞減,

故Ina>g(x),g=g(-l)=1，

故a>e，

故答案為：?E).

13.(2020秋?河北月考)已知函數(shù)/(x)=e2』-g/nr+]在定義域內(nèi)沒有零點，則a的取值

范圍是_(一1一加2,4-00)_.

【解答】解：f(x)=e2x+a-^lnx+^,定義域是(0,”)，

f'(x)=2e2x+a令g(x)=2/"",/?(%)=—,

2x2x

當(dāng)x>0時、g(x)單調(diào)遞增，g(x)w(2e",+oo),/?(%)單調(diào)遞減，h(x)e(0,+oo),

故存在/€(0,+00),使得/(%)=0,即存25aL=0,

2x()

即4e%*"=-!-①，兩邊取對數(shù)得加4+2/+〃=-/心0②，

%

而/(X)在(0,X0)遞減，在(X。，+8)遞增，

故/(X).=/(X。)>o，故e2&+"_；/啄+]>0,

將①②代入上式得：—+防4+2玉>+。+4>0,

4x022

化筒得。〉------xQ—1幾2t

4%

+x0..i當(dāng)且僅當(dāng)」一=不時“=”成立，

仇為

--------------XQ——1—ln2,

故4>一1一加2,

故。的取值范圍是(-1-勿2,+oo),

故答案為：(一1-勿2,-HX)).

法二：問題轉(zhuǎn)化為阮r-a無解，

即2/""+(2x+a)=2x+lnx=2e'"+live無角星，

令g(x)=2^+x,g(x)單調(diào)遞增，

故g(2x+a)=g(ltvc)無解，

故2x+a=/nr無解，即2x—/nr+a=O無解，

令h(x)=2x-Inx+a,則"(x)=2—,，

x

/z(x)在(0,g)遞減，在(；，+00)遞增，

故〃(x)../z(g)=1+ln2+a,

又x—>(T時，h(x)—>+oo,xT+oo時，h(x)f+oo,

故/z(—)>0>ci>-1-妨2,

故答案為：(一1一歷2,+oo).

14.(2020秋?成都期末)已知關(guān)于x的方程2'川-23=-Y+ar-l在區(qū)間3］上有兩個

不相等的實數(shù)根，則實數(shù)〃的取值范圍為_(2,孑_.

【解答】解：因為方程2~-23=—2+如_1,

所以變形為2*"+(%2+1)=2"+ax,

令/⑺=2、f,

則有/，+D=f3)，

因為/?)=2'+/在氏上單調(diào)遞增，

所以/(x2+1)=/(ar)即為f+1=6，

故當(dāng)xe［；,3］時，J+1”有兩個不相等的實數(shù)根，

3掇W6

6/2-4>0

在V+l-or=0中，則有<△>，即<11

/(|)-0

9—3ci+1..0

/(3)..0

解得2<4,—,

所以實數(shù)。的取值范圍為（2,

故答案為：（2,1].

15.（2020秋?連云港月考）已知a>0,若恒成立，則a的值是_e

【解答】解：方法一：因為a>0,若a/m;,恒成立，

InxIna

問題轉(zhuǎn)化為/（X）,s，,—

a

當(dāng)xw(0,e)時，/r(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)xw(e,+oo)時，f\x)<0,/*)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=e時，f(x)=-,

nuixe

所以1,，tna_,即e[na__ao,

ea

令〃(a)=elna-a,所以問題轉(zhuǎn)化為。(a)mjn=0,

[,(、ee-a

h!(a)=---1=----,

aa

當(dāng)〃￡(0,e)時，〃(a)>0,h(a)單調(diào)遞增，

當(dāng)Q￡(e,+co)時，h!(a)<0,h(a)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)o=e時，h(a)=h(e)=0,

方法二：空,㈣,令〃x)=媽，

xax

則/(x),,/(a),即/(a)為/O)的最大值，

又(")=一上，易知f(x)在(0,e)上單增，在(e,+00)上單減，

x

所以/(x)s=/(e),所以a=e.

故答案為：e.

四.解答題(共29小題)

16.(2021春?西湖區(qū)校級期中)設(shè)函數(shù)，(*)=以6*-0￥-1(4亡/?).

(1)若。=1,求函數(shù)/(X)的圖象在(-1,/(-I))處的切線方程；

(2)若不等式/?(x)../nx在區(qū)間iL+oo)上恒成立，求。的取值范圍.

e

【解答】解：(1)當(dāng)。=1時，f(x)=xex-x-\,ff(x)=(x+V)ex-l,...............................(2

分)

又f(—1)=—,/'(—I)=-1,yH—=—(x+1)，(3分)

ee

即函數(shù)/(x)的圖象在(-1,7(一1))處的切線方程為y=—x—1」.............(4分)

e

(2)當(dāng)％=1時，etc—a—1..0,/.(i...----->

e-\

⑺當(dāng)一!一,，〃<1時，令"(x)=ax(，-1)一/nx-l(X.」)...................(6分)

e-\e

貝UH(x)—a(文+l)e------ci—ci^x+l)e---------,,cii^x+1)---------.

xxx

令R(x)=xe*—l(x.l)，貝IJR'(X)=(X+1)，>0,又R(1)<0,R(1)>0,

ee

所以存在1),使得當(dāng)4)時，R(x)<0,

ee

所以當(dāng)4)時，〃'(》)<0即“。)在［1,4>)上單調(diào)遞減，

ee

所以H(x)<W(-)=/(e?-l)<0,

ee

這與題意矛盾....................(8分)

(?-)當(dāng)a.1時，“不等式/(x)../心在區(qū)間上,+oo)上恒成立”等價于：

e

“不等式xe'-x-弧-L.0在區(qū)間［L+⑹上恒成立.”

e

令尸(x)=xe*-lnx-x-\{x...—),即“不等式/(?..O在區(qū)間［士+8)上恒成立”.

ee

iq_i

F(x)=(x+IX-1-l=r=?(x,—1),令G(x)=xex-l,

XX

則G'(X)=(X+1)/(X..L).....................(9分)

e

因為當(dāng)x.」時，G'(x)=(x+l)/>0,

e

所以函數(shù)G。)在區(qū)間/,+8)上單調(diào)遞增，

e

所以函數(shù)G(x)在區(qū)間［L+8)上最多有一個零點.

e

又因為6(1)=、3-1<0,G(l)=e-l>0.

ee

所以存在唯一的cw(L1),使得G(c)=0.......................(10分)

e

當(dāng)時，G(x)<0；當(dāng)工￡(0,+8)時,G(x)>0,

e

即當(dāng)xw［1,c)時，F(xiàn)\x)<0；當(dāng)x￡(c,+oo)時，F(xiàn)\x)>0,

e

所以函數(shù)F(x)在區(qū)間［Lc)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(c,+oo)上單調(diào)遞增，

e

從而F(x)..歹(c)=c-ec-lnc-c-\.................(11分)

由G(c)=0,得c/'-l=0,即c4=l,兩邊取對數(shù)得加c+c=0,

所以f(c)=c-ec-Inc-c-1=(c-el-1)-{Inc+c)=0-0=0,

所以尸(x)..F(c)=0,即F(x)..O,

所以不等式/(x)..在區(qū)間(0,+<?)上恒成立.

所以a的取值范圍為a..l....................(12分)

17.(2019春?城關(guān)區(qū)校級月考)已知函數(shù)/(x)=x-(a+l)阮v,awR.

(1)當(dāng)a=l時，求曲線y=f(x)在點(1,/(1))處的切線方程；

(2)令g(x)=f(x)-@,討論g(x)的單調(diào)性；

X

(3)當(dāng)。=幼時，xe'+m+/(x)..O恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.(e為自然對數(shù)的底數(shù),

e=2.71828…).

【解答】解析：(1)函數(shù)/(x)=x-3+l)/nx,a&R.

當(dāng)a=l時，曲線y=/(x)在點(1,f(1))處有：

2

r?=i—,f(i)=-i,f(i)=i,

x

所以曲線y=/(x)在點(1,f(1))處的切線方程由點斜式可得：

x+y-2=0：

(2)g(x)=x-(a+V)lnx——,定義域為：(0,+oo),

x

,a+\a(x