高考物理沖刺：知識(shí)講解-機(jī)械能守恒動(dòng)率的應(yīng)用（提高）

物理總復(fù)習(xí)：機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用

編稿：李傳安審稿：

【考綱要求】

1、加深對(duì)機(jī)械能守恒條件的理解，能準(zhǔn)確判斷系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒；

2、知道應(yīng)用機(jī)械能守恒定律與應(yīng)用動(dòng)能定理解決問(wèn)題的區(qū)別；

3、能熟練應(yīng)用機(jī)械能守恒定律解決問(wèn)題。

【考點(diǎn)梳理】

考點(diǎn)一、判斷系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒

判斷機(jī)械能是否守恒的方法一般有兩種：

(1)根舊故功情況來(lái)判定：對(duì)某一系統(tǒng)，若只有重力和彈簧彈力做功，

其它力不做功，則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。

(2)根據(jù)能量轉(zhuǎn)換來(lái)判定(常用于系統(tǒng)),對(duì)某一系統(tǒng)物體間只有動(dòng)能

和重力勢(shì)能及彈性勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，沒(méi)有其它形式能的轉(zhuǎn)化(如沒(méi)有內(nèi)能產(chǎn)生)，

則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。

考點(diǎn)二、機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用

L應(yīng)用機(jī)械能守恒定律與動(dòng)能定理解決問(wèn)即的區(qū)別：

要點(diǎn)詮釋

(1)適用條件不同：機(jī)械能守恒定律適用于只有重力和彈力做功的情形；

而動(dòng)能定理沒(méi)有此條件的限制，它的變化量對(duì)應(yīng)于外力所做的總功。

(2)分析內(nèi)容不同：機(jī)械能守恒定律解題只分析研究對(duì)象的初、末狀

態(tài)的動(dòng)能和勢(shì)能(包括重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能)；而用動(dòng)能定理解題時(shí)，分析研究

對(duì)象的初、末狀態(tài)的動(dòng)能，此外還要分析該過(guò)程中所有外力所做的總功。

(3)機(jī)械能守恒定律與動(dòng)能定理解題時(shí)的方程不同。

2、機(jī)械能守恒定律的幾種表述形式：

若某一系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，則機(jī)械能守恒定律可以表示為如下的形式:

（1）初狀態(tài)的機(jī)械能等于末狀態(tài)的機(jī)械能：%+昂=EP2+Ek2

（2）系統(tǒng)勢(shì)能（或動(dòng)能）的增加量等于動(dòng)能（或勢(shì)能）的減少量：=|A4|

（3）系統(tǒng)內(nèi)A物體的機(jī)械能減少量等于B物體的機(jī)械能增加量：|AEj=|AEB|

要點(diǎn)詮釋?zhuān)焊鶕?jù)（1）列方程時(shí)，一定要明確初、末狀態(tài)的機(jī)械能；根據(jù)（2）

列方程時(shí)一定要分析清楚系統(tǒng)勢(shì)能（或動(dòng)能）的增加量或動(dòng)能（或勢(shì)能）的減少

量，還要注意零勢(shì)面在哪里，重力勢(shì)能是相對(duì)于零勢(shì)面的。

【典型例題】

類(lèi)型一、判斷系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒

例L關(guān)于機(jī)械能守恒，下列說(shuō)法正確的是（）

A.做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的物體機(jī)械能一定守恒

B.只有重力對(duì)物體做功，物體的機(jī)械能一定守恒

C.外力對(duì)物體做功為零,則機(jī)械能一定守恒

D.只發(fā)生動(dòng)能和勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化,不發(fā)生機(jī)械能與其他形式的能的轉(zhuǎn)化，

則機(jī)械能一定守恒

【思路點(diǎn)撥】機(jī)械能守恒的條件是系統(tǒng)內(nèi)沒(méi)有外力做功。

【答案】BD

【解析】對(duì)于勻速運(yùn)動(dòng)的物體，或外力對(duì)物體做功為零時(shí)，只是物體的動(dòng)能不變,

但并不涉及機(jī)械能守恒定律條件：系統(tǒng)只有重力、彈力做功，且只有動(dòng)能和勢(shì)能

之間的相互轉(zhuǎn)化，而無(wú)機(jī)械能與其他形式能量之間的轉(zhuǎn)化。因而A、C選項(xiàng)錯(cuò)，

而B(niǎo)、D選項(xiàng)正確。

【總結(jié)升華】準(zhǔn)確理解機(jī)械能守恒定律的條件是關(guān)鍵。

舉一反三

【變式】如圖所示,一物體以初速度％沖向光滑斜面AB,并能沿斜面升高h(yuǎn)到

達(dá)B點(diǎn)，下列說(shuō)法中正確的是（不計(jì)空氣阻力）（）

A.若把斜面從C點(diǎn)鋸斷，由機(jī)械能守恒定律知，物體沖出C點(diǎn)后仍能升高

h

B.若把斜面彎成如圖所示的圓弧形，物體仍能沿AB，升高h(yuǎn)

C.若把斜面從C點(diǎn)鋸斷或彎成圓弧狀，物體都不能升高h(yuǎn),因?yàn)闄C(jī)械能不守

B人C點(diǎn)鋸斷或彎成圓弧狀，物體都不能升高h(yuǎn),但機(jī)械能仍守

【答案】D

【解析】若把斜面從C點(diǎn)鋸斷，物體將作斜上拋運(yùn)動(dòng)，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)還有水平

速度，由機(jī)械能守恒定律知不能升高到ho若把斜面彎成圓弧形，到達(dá)圖中最高

點(diǎn)所需最小速度為v,有〃K二機(jī)二，即口=我，由機(jī)械能守恒定律知不能升高

到h。只有選項(xiàng)D正確。

例2、判斷下列各種情景系統(tǒng)是否遵循機(jī)械能守恒；若守叵，請(qǐng)利用機(jī)械能

守恒求解相關(guān)問(wèn)題。(注意選擇零勢(shì)能面)

L物體從高為h、傾角為。的光滑斜面由靜止下滑，求物體到達(dá)斜面

底端時(shí)的速率？

2、將物體以初速度%=10/〃/s從高為h=10m的位置分別水平、豎直向上、

豎直向下、斜拋出去，分別求落地時(shí)的速度大??？(g=10〃z/s2)

3、小球在豎直面內(nèi)沿光滑圓軌道做圓周運(yùn)動(dòng)，已知在最低點(diǎn)時(shí)小球的速度

%=師，求小球運(yùn)動(dòng)到與圓心等高位置時(shí)的速度？求小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)的

速度？

4、小球自由下落到使彈簧壓縮x的過(guò)程

以小球、彈簧和地球組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，對(duì)小球受力分析可知，此過(guò)

程中只有重力和彈力對(duì)小球做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。

由機(jī)械能守恒定律，以彈簧的自由伸長(zhǎng)處為零勢(shì)能面

21

mgh=；mv+（-/ngx）+EpEp=mgh+mgx-gmv

【總結(jié)升華】解題首先要確定研究對(duì)象，根據(jù)機(jī)械能守恒條件判斷系統(tǒng)的機(jī)械能

是否守恒，再根據(jù)E川+昂=Eg+Ek2,列方程求解問(wèn)題。

類(lèi)型二、變速運(yùn)動(dòng)中機(jī)械能守恒問(wèn)題

例3、在豎直平面內(nèi)，一根光滑金屬桿彎成如圖所示形狀，相應(yīng)的曲線(xiàn)方程為

），=2.5cos（依+§兀）（單位：m）,式中k=1m-1。將一光滑小環(huán)套在該金屬桿

上，并從

2

X=0處以V0=5m/s的初速度沿桿向下運(yùn)動(dòng),取重力加速度g=10m/so則當(dāng)

小環(huán)運(yùn)動(dòng)到x=1m時(shí)的速度大小v=—m/s;該小環(huán)在x軸方向最遠(yuǎn)能運(yùn)動(dòng)

不要與動(dòng)能定理混淆。

5兀

【答案】5V2,-

V0

【解析】由于金屬桿光滑小環(huán)也光滑，所以小環(huán)在下滑的過(guò)程，滿(mǎn)足機(jī)械能守恒，

然后結(jié)合曲線(xiàn)方程綜合分析求解。根據(jù)橫坐標(biāo)和曲線(xiàn)方程求出縱坐標(biāo)，根據(jù)機(jī)械

能守恒可得出結(jié)論。

=

當(dāng)X=0時(shí)，x=-1.25w；當(dāng)々§時(shí)，y2一2.5機(jī)

取x軸為零勢(shì)面，根據(jù)機(jī)械能守恒定律

mgy4--mvQ=fngy+—mv2,解得v=5五m/s

]222

、___?2

當(dāng)運(yùn)動(dòng)到最遠(yuǎn)處，速度為零，"Q="2赳，y3=2.5cos(Ax3+-^)z

解彳導(dǎo)占=:不。

6

【總結(jié)升華】該題考查了機(jī)械能守恒定律。該題情景新穎，能夠考查學(xué)生靈活運(yùn)

用知識(shí)的能力。近幾年高考題中多次出現(xiàn)“做成光滑的什么軌跡的曲面，如：平

拋運(yùn)動(dòng)的軌跡曲面"等等，解題方法：軌跡曲面的物理規(guī)律(本題給出的是正弦

函數(shù))加上機(jī)械能守恒定律，但要靈活應(yīng)用。

舉一反三

【變式】以初速為％,射程為S的平拋運(yùn)動(dòng)軌跡制成一光滑軌道。一物體由靜止

開(kāi)始從軌道頂端滑下，當(dāng)其到達(dá)軌道底部時(shí)，物體的速率為,其

水平方向的速度大小為。

【答案】gs/%，%/Jl+(%2/gS)2

【解析】平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律s=w,力=4*解得〃=整

22%

根據(jù)機(jī)械能守恒：:心=mgj?,解得速率v==里。

VA=VCOS6^,。是軌道的切線(xiàn)與水平方向的夾角，即為平拋運(yùn)動(dòng)末速度與水平

方向的

夾角，有tan〃=2tana,a是平拋運(yùn)動(dòng)位移方向與水平方法的夾角,則

tan?=—=,所以lan0二片，貝！Jcos0=/%=—

S2用V-府+(片)2

所以V=VCOS0-.1%，

?'jlI卜(2?)2

例4、在高度X=0.馨n的水平光滑桌面上，有一輕彈簧左端固定，質(zhì)量為m

=1kg的小球在外力［乍用下使彈簧處于壓縮狀態(tài)，當(dāng)彈簧具有4.5J的彈性勢(shì)能

時(shí),搐垮需菽灑小球水平彈出，如圖所示,不計(jì)空氣阻力,求小球落地

【思路點(diǎn)撥】正確描寫(xiě)初態(tài)、末態(tài)的機(jī)械能，初態(tài)的機(jī)械能等于末態(tài)的機(jī)械能。

不要與動(dòng)能定理混淆。

【答案】v=5in/s

【解析】由小球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程可知，在彈簧彈開(kāi)小球的過(guò)程中，小球做的是變加速

運(yùn)動(dòng)，牛頓定律無(wú)法解決。從釋放小球到它落地，由于只有重力和彈簧彈力做功，

以彈簧和小球（含地球）為研究對(duì)象，機(jī)械能守恒，以地面為重力勢(shì)能參考平面,

系統(tǒng)初態(tài)機(jī)械能罵=EH++4,蟬=0+〃吆h+E網(wǎng)

落地時(shí)，即末態(tài)機(jī)械能E2=Ek2+Ep2=+0=

因?yàn)镋i=E2PJTLUfnv2=nigh4-=12.5J

解得小球落地速度大小v=5mls

【總結(jié)升華】注意與動(dòng)能定理的聯(lián)系和區(qū)別，只有重力做功問(wèn)題，兩者都可以求

解，但動(dòng)能定理里是以功的形式體現(xiàn)，機(jī)械能守恒定律是以能的形式體現(xiàn)。一般

來(lái)說(shuō)，對(duì)于有彈簧的問(wèn)題，就是說(shuō)有彈性勢(shì)能，不能用動(dòng)能定理（因?yàn)閺椓Φ墓?/p>

高中階段不要求計(jì)算），而是用機(jī)械能守恒定律或功能關(guān)系求解。

類(lèi)型三、機(jī)械能守恒定律與圓周運(yùn)動(dòng)的結(jié)合

例5、長(zhǎng)為L(zhǎng)的紅線(xiàn)的一端系一質(zhì)量為m的小球,另一端固定在。點(diǎn)，細(xì)

線(xiàn)可承受的最大拉力為7mg0將小球拉起，并在水平位置處釋放，小球運(yùn)動(dòng)到

。住的正下方時(shí)：懸線(xiàn)碰到一釘子。求：

Q./

于與?；５木嚯x為多少時(shí),小球剛好能通過(guò)圓周的最高點(diǎn)？

小格層導(dǎo)6點(diǎn)的距離為多少時(shí)，小球能通過(guò)圓周的最高點(diǎn)？

【思路點(diǎn)撥】對(duì)綜合題要分清物理過(guò)程：小球自由下落到最低點(diǎn)的過(guò)程，機(jī)械能

守恒，在D點(diǎn)，小球恰好通過(guò)最高點(diǎn)，重力提供向心力，應(yīng)用牛頓第二定律；

從C至D的過(guò)程,應(yīng)用機(jī)械能守恒定律。第（2）問(wèn)就是要找出臨界條件。

【答案】(1)=1⑵]

JJJJ

【解析】(1)小球自由下落到最低點(diǎn)的過(guò)程,

以最低點(diǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律：

mgL=-mvlvc=yf2gL

在D點(diǎn)，小球恰好通過(guò)最高點(diǎn)，重力提供向心力

由牛頓第二定律：叫=m—vD=Ji?

從C至D的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律：

1212c2r

-/MVC=-/HV-+2^g/；/；=-￡

乙乙J

釘子與。點(diǎn)的距離為:再=L-彳=]L

|r)在C點(diǎn)，繩子剛好不斷,在最低點(diǎn)速度一定的情況下，能提供的

,外力對(duì)應(yīng)的半徑是最小半徑。小球受力如圖

〃/g

由牛頓第二定律:T-G=GL(T=6mgv=J2gL)

「23

釘子與O點(diǎn)的距離為:x2=L-r2=^L

__3__2

??綜上可知,L-q<OA<L-4即-LWOAW—L

53

【總結(jié)升華】機(jī)械能守恒定律往往與圓周運(yùn)動(dòng)結(jié)合在一起，機(jī)械能守恒只是一個(gè)

物理過(guò)程，要把物理過(guò)程分析清楚，滿(mǎn)足機(jī)械能守恒的就用機(jī)械能守恒定律求解,

圓周運(yùn)動(dòng)里與繩子拉力結(jié)合的又是牛頓第二定律，還有臨界條件等等。

舉一反三

【變式1]如圖所示，粗糙水平地面AB與半徑R=0.4m的光滑半圓軌道BCD

相連接，且在同一豎直平面內(nèi)，。是BCD的圓心，BOD在同一豎直線(xiàn)上。質(zhì)量

m=2kg的小物體在9N的水平恒力F的作用下，從A點(diǎn)由靜止開(kāi)始做勻加速直

線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。已知AB=5m,小物塊與水平地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為〃=0.2。當(dāng)小物塊

2

運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)撤去力F。取重力加速度g=10m/se求：

(1)小物塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大??；

(2)小物塊運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí),軌道對(duì)小物塊作用力的大??；

(3)小物塊離開(kāi)D點(diǎn)落到水平地面上的

點(diǎn)與B點(diǎn)之間的距離。

D

【答案】(1)以=5o\*c25N(3)x=1.2/77

【解揚(yáng)次%以必必能定理有(/-〃叫)，=；，就

,曰八/2(，一〃〃吆)【//

彳導(dǎo)以=J—~~=5m/s

Vtn

(2)從B至IJD,根據(jù)機(jī)械能守恒定律有g(shù)〃吟=/科+mg2R

得%=J〈-4Rg=3ni/s

在D點(diǎn)，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律有F+,〃g=〃烝

K

2

彳導(dǎo)/二—機(jī)g=25N

R

(3)由D點(diǎn)到落點(diǎn)小物塊做平拋運(yùn)動(dòng)，在豎直方向有27?弓〃

得'=1=步票=°爾

水平面上落點(diǎn)與B點(diǎn)之間的距離為x=vDt=3x0Am=1.2m

【高清課堂：重力勢(shì)能、機(jī)械能守恒定律例5]

【變式2]如圖所示，半徑為r質(zhì)量不計(jì)的圓盤(pán)盤(pán)面與地面垂直,圓心處有一個(gè)

垂直盤(pán)面的光滑水平固定軸0,在盤(pán)的最右邊緣固定一個(gè)質(zhì)量為m的小球A,

在。點(diǎn)的正下方離。點(diǎn)r/2處固定一個(gè)質(zhì)量也為m的小球B。放開(kāi)盤(pán)讓其自由

轉(zhuǎn)動(dòng)，問(wèn)：

(1)當(dāng)A球轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí),兩小球的重力勢(shì)能之和減少了多少？

(2)A球轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)的線(xiàn)速度是多少？

(3”轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中半徑0A向左偏離豎直方向的最大角度是多少？

卜制('吟"(2)》(3)370

遍析石)以O(shè)為零勢(shì)面

初態(tài)：EpM=0,EPBX=~mgr

末態(tài)：EpA2=-nigrEPB2=0

重力勢(shì)能的減少量：=(EpM+EpBl)-(EpA2+EpB2)=

(2)由于轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒,所以有：=\Ep

即—mv+—m~二二〃2w*解彳導(dǎo)^=

222V5

(3)如圖，設(shè)最大角度為0,此時(shí)A、B速度均為零，即動(dòng)能為零，重力勢(shì)能

分別為：

根據(jù)機(jī)械能守恒EpA3+Epfi3=EpAi+EpBi

BP-mgrcos9+—mgrsin^=--mgr

解得sin6=0.6所以0=37

【總結(jié)升華】本題利用兩小球(系統(tǒng))的重力勢(shì)能之和的減少量等于動(dòng)能的增加

量，這類(lèi)問(wèn)題難度較大，最好學(xué)習(xí)解析中列出初態(tài)、末態(tài)的重力勢(shì)能，再利用公

式計(jì)算重力勢(shì)能的減少量，就可以利用機(jī)械能守恒定律求出小球的速度?！痹谵D(zhuǎn)

動(dòng)過(guò)程中半徑0A向左偏離豎直方向的最大角度〃的意思是：速度為零，畫(huà)出草

圖，找對(duì)幾何關(guān)系。

類(lèi)型四、機(jī)械能守恒定律的靈活應(yīng)用

例6、如圖，質(zhì)量為mi的物體A經(jīng)一輕質(zhì)彈簧與下方地面上的質(zhì)量為m2

的物體B相連，彈簧的勁度系數(shù)為k,A、B都史于靜止?fàn)顟B(tài)。一條不可伸長(zhǎng)的

輕繩繞過(guò)輕滑輪,一端連物體A,另一端連一輕掛鉤。開(kāi)始時(shí)各段繩都處于伸直

狀態(tài)，A上方的一段繩沿豎直方向?，F(xiàn)在掛鉤上掛一質(zhì)量為m3的物體C并從靜

止?fàn)顟B(tài)釋放,已知它怡好能使B離開(kāi)地面但不繼續(xù)上升。若將C換成另一個(gè)質(zhì)

量為（mi+m3）的物體D，仍從上述初始位置由靜止?fàn)顟B(tài)釋放，則這次B剛離

地面時(shí)D的速度的大小是多少？已知重力加速度為go

,對(duì)物理過(guò)程一步一步分析，對(duì)每一個(gè)位置的能量也

要描誦楚，把握臨界條件，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求解。

【答號(hào)8

左（2叫+%）

【解析】開(kāi)始時(shí)，A、B靜止，設(shè)彈簧壓縮量為xi,有：kxi二mig①

掛C并釋放后，C向下運(yùn)動(dòng)，A向上運(yùn)動(dòng)，設(shè)B剛要離地時(shí)彈簧伸長(zhǎng)量為X2,

有：kxz=m2g②

B不再上升,表示此時(shí)A和C的速度為零,C已降到其最低點(diǎn)。由機(jī)械能守恒,

與初始狀態(tài)相比，彈簧性勢(shì)能的增加量為：=+々）-町+工2）③

C換成D后，當(dāng)B剛離地時(shí)彈簧勢(shì)能的增量與前一次相同，由能量關(guān)系得：

3（，/++T嗎V2=（〃?3+犯）g（M+42）一g（F+/）-

由③④式得：（（2叫+嗎）產(chǎn)=〃2|g（N+々）⑤

由①②⑤式得：八隈而⑥

【總結(jié)升華】準(zhǔn)確把握臨界條件所蘊(yùn)含的物理規(guī)律是解題的突破口，如本題B

剛好離地的狀態(tài)是彈力和其重力相等,（即如=叫g(shù)），但要注意第二種情況下B

的平衡即將被打破。本題的臨界條件所蘊(yùn)含的另一物理意義，是兩種情況下彈簧

所具有的彈性勢(shì)能相同，這就建立了兩種情況之間的關(guān)系，這在高考中頻繁出現(xiàn),

要予以高度的重視。

例7、如圖所示，一質(zhì)量不計(jì)的細(xì)線(xiàn)繞過(guò)無(wú)摩擦的輕質(zhì)小定滑輪0與質(zhì)量

為5m的祛碼相連,另一端與套在一根固定的光滑的豎直桿上質(zhì)量為m的圓環(huán)

相連，直桿上有A、C、B三點(diǎn)，且C為A、B的中點(diǎn),A0與豎直桿的夾角6二53。，

C點(diǎn)與滑輪0在同一水平高度,滑輪與豎直桿相距為L(zhǎng),重力加速度為g,設(shè)直

桿足夠長(zhǎng)，圓環(huán)和建碼運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不會(huì)與其他物體相碰?，F(xiàn)將圓環(huán)由A點(diǎn)靜止

開(kāi)始釋放(已知sin53°=0.8,co始3。=0.6),試求:

/1、杜科K降到最低點(diǎn)時(shí)，祛碼和圓環(huán)的速度大小;

A

、滑的最大距離；

冽B點(diǎn)時(shí)的速度大小。

【思路點(diǎn)撥】本題難度較大，把運(yùn)動(dòng)的合成和分解問(wèn)題與機(jī)械能守恒定律綜合在

一起,對(duì)速度要分解，理］順?biāo)俣汝P(guān)系，對(duì)幾何關(guān)系也要分析清楚。

【答案】(1)匕=2如(2)”=等(3)詈

【解析】先分析磋碼在最低點(diǎn)時(shí)，祛碼與圓環(huán)所對(duì)應(yīng)的位置,再利用機(jī)械能守恒

定律可求得圓環(huán)此時(shí)的速度。而圓環(huán)下滑的距離最大時(shí)對(duì)應(yīng)的特點(diǎn)是兩者