新人教版數(shù)學九年級下冊全冊教學設(shè)計

第二十六章反比例函數(shù)

26.1反比例函數(shù)

26.1.1反比例函數(shù)

1.理解反比例函數(shù)的概念；（難點）

2.能判斷一個給定的函數(shù)是否為反比例函數(shù)，并會用待定系數(shù)法求解析式；（重點）

3.能根據(jù)實際問題中的條件建立反比例函數(shù)模型.（重點）

一、情境導入

1.京廣高鐵全程為2298km,某次列車的平均速度。（單位：km/h）與此次列車的全程運

行時間《單位：h）有什么樣的等量關(guān)系？

2.冷凍一個物體，使它的溫度從20C下降到零下100℃,每分鐘平均變化的溫度T（單

位：°C）與冷凍時間《單位：min）有什么樣的等量關(guān)系？

問題：這些關(guān)系式有什么共同點？

二、合作探究

探究點一：反比例函數(shù)的定義

［類型—］反比例函數(shù)的識別

［例H卜.列函數(shù)中：①y=*；②3xy=l；③）平；④.反比例函數(shù)有（）

A.I個B.2個C.3個D.4個

解析：①y=第是反比例函數(shù)，正確；②3xy=l可化為>=（，是反比例函數(shù)，正確；

1—x

③/二一是反比例函數(shù)，正確；④y=5是正比例函數(shù)，錯誤.故選C.

方法總結(jié)：判斷一個函數(shù)是否是反比例函數(shù)，首先要看兩個變量是否具有反比例關(guān)系，

然后根據(jù)反比例函數(shù)的定義去判斷，其形式為y=^k為常數(shù)，〃W0）,y=kx-\k為常數(shù)，k

WO）或?qū)O=k伏為常數(shù)，ZWO）.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第3題

［類型二］根據(jù)反比例函數(shù)的定義確定字母的值

［例應已知函數(shù)y=（2m2+〃L1）工2加2+3〃?-3是反比例函數(shù)，求m的值.

解析：由反比例函數(shù)的定義可得2〃尸+3/〃-3=-1,2〃尸+/〃一1#0,然后求解即可.

2〃0+3〃L3=-1,

解：；y=（2m2+???—!）x2nr+3〃L3是反比例函數(shù)，，,解得〃1=—

2〃F+〃?-1WO,

2.

方法總結(jié)：反比例函數(shù)也可以寫成），二履—|代"0）的形式，注意x的次數(shù)為一1,系數(shù)不

等于0.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第3題

探究點二：用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式

［類型一］確定反比例函數(shù)解析式

［例?已知變量y與x成反比例，且當x=2時，y=-6.求：

（1）），與文之間的函數(shù)解析式；

（2）當y=2時，x的值.

解析：（1）由題意中變量y與x成反比例，設(shè)出函數(shù)的解析式，利用待定系數(shù)法進行求

解.（2）代入求得的函數(shù)解析式，解得x的值即可.

k

解：（1）???變量y與x成反比例，，設(shè)尸##0）,1?當尸2時，尸一6,??=2X（一

6）=-12,與x之間的函數(shù)解析式是），=—?：

A

12

（2）當y=2時，y=~—=2,解得工=-6.

方法總結(jié)；用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式時要注意；①設(shè)出含有待定系數(shù)的反比例

函數(shù)解析式，形如y=5（4為常數(shù)，AW0）；②將已知條件（自變量與函數(shù)的對應值）代入解析

式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程；③解方程，求出待定系數(shù)；④寫出解析式.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第8題

［類型二］解決與正比例函數(shù)和反比例函數(shù)有關(guān)的問題

砸1已知尸》+以，》與（x—1）成正比例，”與（x+1）成反比例，當工=0時，）=一3：

當x=l時，y=-1.求：

（l）y關(guān)于x的關(guān)系式；

（2）當x=一5寸，y的值.

解析：根據(jù)正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的定義得到y(tǒng)i,y2的關(guān)系式，進而得到），的關(guān)系式，

把所給兩組數(shù)據(jù)代入即可求出相應的比例系數(shù)，也就求得了所要求的關(guān)系式.

%

解：⑴??飛與（X—I）成正比例，”與（》+1）成反比例，，設(shè)1）為#0）,戶=不仃

%

伏2大0），Vy=yi+>',.,??=々1（工-1）+-7^7.當x=0時，y=-3；當x=I時，y=-1,/.

2人I1

（2）把A=一;代入（I）中函數(shù)關(guān)系式得y=-3

方法總結(jié)：能根據(jù)題意設(shè)出V,比的函數(shù)關(guān)系式并耗待定系數(shù)法求得等量關(guān)系是解答此

題的關(guān)鍵.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第8題

探究點三：建立反比例函數(shù)模型及其相關(guān)問題

所寫出下列問題中兩個變量之間的函數(shù)表達式，并判斷其是否為反比例函數(shù).

(1)底邊為3cm的三角形的面積ycnf隨底邊上的高4cm的變化而變化：

(2)一艘輪船從相距5km的甲地駛往乙地，輪船的速度詠m/h與航行時間th的關(guān)系；

(3)在檢修100m長的管道時，每天能完成10m,剩下的未檢修的管道長.vm隨檢修天數(shù)

x的變化而變化.

解析：根據(jù)題意先對每一問題列出函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)反比例函數(shù)的定義判斷其是否為

反比例函數(shù).

解：(1)兩個變量之間的函數(shù)表達式為：y=13r，不是反比例函數(shù)：

(2)兩個變量之間的函數(shù)表達式為：v=：,是反比例函數(shù)；

⑶兩個變量之間的函數(shù)表達式為：j=100-10.v,不是反比例函數(shù).

方法總結(jié)：解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)實際問題中的等量關(guān)系，列出函數(shù)解析式，然后根據(jù)

解析式的特點判斷是什么函數(shù).

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第6題

三、板書設(shè)計

1.反比例函數(shù)的定義：

形如伏為常數(shù)，AW0)的函數(shù)稱為反比例函數(shù).其中x是自變量，自變量x的取值

范圍是不等于0的一切實數(shù).

2.反比例函數(shù)的形式：

(1?=§(我為常數(shù)，-0);

(2閃，=2僅為常數(shù)，斤0)；

(3))，=履一?為常數(shù)，�).

3.確定反比例函數(shù)的解析式：待定系數(shù)法.

4.建立反比例函數(shù)模型.

讓學生從生活實際中發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題，從而引入學習內(nèi)容，這不僅激發(fā)了學生學習數(shù)學的

興趣，還激起了學生自主參與的積極性和主動性，為自主探究新知創(chuàng)造了現(xiàn)實背景.因為反

比例函數(shù)這一部分內(nèi)容與正比例函數(shù)相似，在教學過程中，以學生學習的正比例函數(shù)為基礎(chǔ)，

在學生之間創(chuàng)設(shè)相互交流、相互合作、相互幫助的關(guān)系，讓學生通過充分討論交流后得出它

們的相同點，在此基礎(chǔ)上來揭示反比例函數(shù)的意義.

26.1.2反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

第1課時反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

1.會用描點的方法畫反比例函數(shù)的圖象；（重點）

2.理解反比例函數(shù)圖象的性質(zhì).（重點，難點）

一、情境導入

已知某面粉廠加工出了4000噸面粉，廠方?jīng)Q定把這些面粉全部運往B市.則所需要

的時間，（天）和每天運出的面粉總重量"?（噸）之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？你能在平面直角坐標

系中畫出這個圖形嗎？

二、合作探究

探究點一：反比例函數(shù)的圖象

［類型—］反比例函數(shù)圖象的畫法

___4

1例U作函數(shù)y=（的圖象.

解析：根據(jù)陽數(shù)圖象的畫法，進行列表、描點、連戰(zhàn)即可.

解：列表:

X-4-2-1124

V-1-2-4421

描點、連線:

方法總結(jié)：作圖的一般步驟為：①列表；②描點；③連線；④注明函數(shù)解析式.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第4題

［類型二］反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象位置的確定

畫國在同一坐標系中（水平方向是x軸），函數(shù)），一§和），一匕+3的圖象大致是（）

爭

ARCD

解析：A.由函數(shù)），="妁圖象可知k>0與1y=丘+3的圖象中女>0且過點（0,3）一致，故

k

A選項正確；B.由函數(shù)的圖象可知A>0與），=辰+3的圖象中％>0且過點（（），3）矛盾,

故B選項錯誤；C.由函數(shù))，=§的圖象可知AVO與y=h+3的圖象中LVO且過點(0,3)矛

盾，故C選項錯誤；D.由函數(shù)y=5的圖象可知〃>0與)，=履+3的圖象中氏vo且過點(0,

3)矛盾，故D選項錯誤.故選A.

方法總結(jié)：解答此類問題時，通常先根據(jù)雙曲線圖象所在的象限確定左的符號，再確定

一次函數(shù)的系數(shù)及經(jīng)過的點是否也符合圖案，如果符合，可能正確；如果不符合，一定錯誤.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第2題

［類型三］實際問題中函數(shù)圖象的確定

麗若按xL/min的速度向容枳為20L的水池中注水，注滿水池需ymin.則所需時間)，min

與注水速度xL/min之間的函數(shù)關(guān)系用圖象大致可表示為()

解析：???水池的容積為20L,二孫=20,(x>0),故選B.

.X

方法總結(jié)；解答此類問題要先根據(jù)題意列出反比例函數(shù)關(guān)系式，然后依據(jù)實際情況確定

函數(shù)自變量的取值范圍，從而確定函數(shù)圖象.

［類型四］反比例函數(shù)圖象的對稱性

畫。若正比例函數(shù)『=一標與反比例函數(shù))，=§圖象的一個交點坐標為(-1,2),則另

一個交點坐標為()

A.(2,-1)B.(L-2)

C.(-2,-1)D.［-2,1)

解析：???正比例函數(shù)y=-2A?與反比例函數(shù).v=(的圖象均關(guān)于原點對稱，，兩函數(shù)的交

點也關(guān)于原點對稱.丁一個交點的坐標是(一1,2),???另一個交點的坐標是(1,-2).故選

B.

方法總結(jié)：反比例函數(shù)丁=號伏云0)的圖象既是軸對秋圖形又是中心對稱圖形，對稱軸是

一、三(或二、四)象限角口分線所在的直線，對稱中心是坐標原點.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第6題

探究點二：反比例函數(shù)的性質(zhì)

［類型一］根據(jù)解析式判定反比例函數(shù)的性質(zhì)

碉已知反比例函數(shù),，=一?下列結(jié)論不正確的是()

A.圖象必經(jīng)過點(-1,2)

B.)，隨x的增大而增大

C.圖象分布在第二、四象限

D.若x>l,則一2VyV0

解析：A.(-l,2)滿足扇數(shù)解析式，則圖象必經(jīng)過點(-1,2),命題正確；B.在第二、

四象限內(nèi)y隨k的增大而增大，忽略了K的取值范圍，命題錯誤；C.命題正確；D.根據(jù))，=

2

-一的圖象可知，在第四象限內(nèi)命題正確.故選B.

方法總結(jié)：解答此類問題要熟記反比例函數(shù)圖象的性質(zhì).

變式訓練：見《學練優(yōu)》木課時練習“課后鞏固提升”第1題

［類型二］根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)判定系數(shù)的取值范圍

___I—k

所在反比例函數(shù)一的每一條曲線上，都隨x的增大而減小，則Z的值可以是

()

A.-1B.3C.1D.2

1—k

解析：???反比例函數(shù))，=丁的圖象在每一條曲線上，y都隨x的增大而減小，：.\-k

>0,解得〃VI.故選A.

方法總結(jié)：對于函數(shù)y=*當k>0時，其圖象在第一、三象限，在每個象限內(nèi)),隨x

的增大而減小；當AV0時，在第二、四象限，在每個象限內(nèi)y隨x的增大而增大，熟記這

些性質(zhì)在解題時能事半功倍.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第4題

三、板書設(shè)計

1.反比例函數(shù)的圖象：雙曲線既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形.

2.反比例函數(shù)的性質(zhì)：

(1)當心>0時，雙曲線的兩支分別位于第一、三象限，在每個象限內(nèi))，值隨x值的增大

而減??；

(2)當左V0時，雙曲線的兩支分別位于第二、四象限，在每個象限內(nèi))，值隨x值的增大

而增大.

通過引導學生自主探索反比例函數(shù)的性質(zhì)，全班學生都能主動地觀察與討論，實現(xiàn)了在學習

中讓學生自己動手、主動探索、合作交流的目的.同時通這練習讓學生理解“在每個象限內(nèi)”

這句話的必要性，體會數(shù)學的嚴謹性.

第2課時反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合運用

SB

1.使學生進一步理解和掌握反比例函數(shù)及其圖象與性質(zhì)；（重點）

2.深刻領(lǐng)會函數(shù)解析式與函數(shù)圖象之間的聯(lián)系，體會數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的思想方法；（重

點）

3.探索反比例函數(shù)和一次函數(shù)、幾何圖形以及圖形面積的綜合應用.（難點）

一、情境導入

如圖所示，對于反比例函數(shù)產(chǎn)家>0）,在其圖象上任取一點P,過。點作

軸于。點，并連接OP.

試看猜想△OP。的血積與反比例函數(shù)的關(guān)系，并探討反比例函數(shù)y=i（女W0）中k

值的幾何意義.

二、合作探究

探究點一：反比例函數(shù)解析式中k的幾何意義

如圖所示,x軸于點C,且△AOC的

面積為2,求該反比例函數(shù)的表達式.

解析：先設(shè)點A的坐標，然后用點A的坐標表示△AOC的面積，進而求出A的值.

k1

解：???點A在反比例函數(shù)的圖象上，，必，SMOC=2?2=2,.??2=4,

???反比例函數(shù)的表達式為產(chǎn)士

方法總結(jié)：過雙曲線上任意一點與原點所連的線段與坐標軸和向坐標軸作垂線所圍成的

直角三角形的面積等于因的一半.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第1題

探究點二：反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合運用

【類型一】利用反比例函數(shù)的性質(zhì)比較大小

____k

的國若M—4,戶）、M—2,”）、尸⑵力）三點都在函數(shù)y=;（AV0）的圖象上，則》，

>2，”的大小關(guān)系為（）

A.yi>y3>y\B.

C.>'3>yi>^D.y3>yi>y\

解析：??乂VO,故反;匕例函數(shù)圖象的兩個分支在第二、四象限，且在每個象限內(nèi)），隨x

的增大而增大.???加（一4,》）、N（-2,聞是雙曲線）=縱<0）上的兩點，???"小>0.丁2>0,

P（2,第）在第四象限，???y3Vo.故y,）%”的大小關(guān)系為故選B.

方法總結(jié)：反比例函數(shù)的解析式是），=5伙工0）,當k<0時，圖象在第二、四象限，且

在每個現(xiàn)象內(nèi)y隨X的增大而增大；當Q>0,圖象在第一、三象限，且在每個象限內(nèi)）隨X

的增大而減小.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第8題

［類型二］利用反比例函數(shù)計算圖形的面積

畫?如圖，直線/和雙曲線丁=§伏>（））交于A、8兩點，P是線段A8上的點（不與A、B

重合），過點4、B、P分別向x軸作垂線，垂足分別是C、。、E,連接0A、。8、0P,設(shè)

△AOC的面積是Si,ABOD的面積是S2，XPOE的面枳是S3,則（）

A.$VS2Vs3

B.S\>S2>Si

C.S\=S?>S3

D.Si=S2Vs3

L1I

解析：如圖，???點A與點8在雙曲線），=7上，???$=/,S2=］k,S=S2「??點P在雙曲

線的上方，.-.S3>k,，Si=S2VS3.故選D.

方法總結(jié)：在反比例函數(shù)的圖象上任選一點向坐標軸作垂線，這一點和垂足以及坐標原

點所構(gòu)成的三角形的面積是耳，且保持不變.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第2題

［類型三］反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

砸1函數(shù)的圖象與直線），=-x沒有交點，那么人的取值范圍是（）

A.k>\B.k<\

C.k>-\D.k<-\

解析：直線y=-x經(jīng)過第二、四象限，要使兩個函數(shù)沒有交點，那么函數(shù)的圖

象必須位于第一、三象限，則即攵VI.故選B.

方法總結(jié)：判斷正比例函數(shù)y=ht和反比例函數(shù)在同一直角坐標系中的交點個數(shù)

可總結(jié)為：①當明與心同號時，正比例函數(shù),，=2述與反比例函數(shù))，=早有2個交點；②當

h與公異號時，正比例函數(shù)y=A"與反比例函數(shù)沒有交點.

［類型四］反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題

［例?如圖，已知A(—4,；)，8(—1,2)是一次函數(shù)與反比例函數(shù))，=々(用V0)

圖象的兩個交點，4CJ_x軸于點C,軸于點O.

(1)根據(jù)圖象直接回答：在第二象限內(nèi)，當x取何值時，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)

的值；

(2)求一次函數(shù)解析式及m的值；

(3)P是線段A8上的一點，連接PC,PD,若△PC4和△PQ8的面積相等，求點戶的

坐標.

解析：(1)觀察函數(shù)圖象得到當一4VxV—l時，一次舀數(shù)圖象都在反比例函數(shù)圖象上方:

⑵先利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，然后把A點或B點坐標代入)，=§可計算出機的

值；(3)設(shè)出夕點坐標，利用△PCA與△PO8的面積相等列方程求解，從而可確定P點坐標.

解：(1)當一4<%<一1時，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值；

女

左+。=，=5

把一%省,僅一代入中得'—472

(2)41,2)解得所以一次函

—4+/>=2,b=y

數(shù)解析式為y=%+9，把8(—1,2)代入尸點中得〃2=-1X2=-2；

⑶設(shè)P點坐標為VAPC4和APDB的面積相等，.?《尺><(-4)=京1X

55

--

(2—|),即得『一?，；.4

2*

方法總結(jié)：解決問題的關(guān)鍵是明確反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點坐標所包含的信

息.本題也考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及觀察函數(shù)圖象的能力.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第7題

三、板書設(shè)計

1.反比例函數(shù)中系數(shù)4的幾何意義：

2.反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；

3.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.

本節(jié)課主要是要注重提高學生分析問題與解決問題的能力.數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學學習的?個

重要思想，也是我們學習數(shù)學的一個突破口.在教學中要加強這方面的指導，使學生牢固掌

握基本知識，提升基本技能，提高數(shù)學解題能力.

26.2實際問題與反比例函數(shù)

第1課時實際問題中的反比例函數(shù)

SB

1.經(jīng)歷分析實際問題中變顯之間的關(guān)系，建立反比例函數(shù)模型，進而解決問題；（重點）

2.體會數(shù)學與現(xiàn)實生活的緊密朕系，增強應用意識，提高運用代數(shù)方法解決問題的能

力.（難點）

一、情境導入

小明和小華相約早晨一起騎自行車從人鎮(zhèn)出發(fā)前往相距20km的8鎮(zhèn)游玩，在返回時,

小明依舊以原來的速度騎自行車，小華則乘坐公交車返回A鎮(zhèn).

假設(shè)兩人經(jīng)過的路程一樣，自行車和公交車的速度保持不變，且自行車速度小于公交車

速度.你能找出兩人返回時間與所乘交通工具速度間的關(guān)系嗎？

二、合作探究

探究點：實際問題與反比例函數(shù)

［類型一］反比例函數(shù)在路程問題中的應用

的U王強家離工作單位的距離為3600米，他每天騎自行車上班時的速度為。米;分，

所需時間為1分鐘.

（1）速度。與時間/之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？

（2）若王強到單位用15分鐘，那么他騎車的平均速度是多少？

（3）如果王強騎車的速度最快為300米/分，那他至少需要幾分鐘到達單位？

解析：（1）根據(jù)速度、時間和路程的關(guān)系即可寫出函數(shù)的關(guān)系式；（2）把/=15代入函數(shù)

的解析式，即可求得速度；（3）把。=300代入函數(shù)解析式，即可求得時間.

解：（1）速度。與時間/之間是反比例函數(shù)關(guān)系，由題意可得平；

（2）把/=15代入函數(shù)解析式，得。=曙=240.故他騎車的平均速度是240米/分；

⑶把。=300代入函數(shù)解析式得竿=300,解得，=12.故他至少需要12分鐘到達單位.

方法總結(jié)：解決問題的關(guān)鍵要掌握路程、速度和時間的關(guān)系.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第5題

［類型二］反比例函數(shù)在工程問題中的應用

的國在某河治理工程施工過程中，某工程隊接受?項開挖水渠的工程，所需天數(shù)y（天）

與每天完成的工程量x（m/天）的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示.

(I)請根據(jù)題意，求y與文之間的函數(shù)表達式；

(2)若該工程隊有2臺挖掘機，每臺挖掘機每天能夠開挖水渠15米，問該工程隊需用多

少天才能完成此項任務？

(3)如果為了防汛工作的緊急需要，必須在一個月內(nèi)［按30天計算)完成任務，那么每天

至少要完成多少米？

解析：⑴將點(24,50)代入反比例函數(shù)解析式，即可求得反比例函數(shù)的解析式；⑵用工

作效率乘以工作時間即可得到工作量，然后除以工作效率即可得到工作時間；(3)工作量除

以工作時間即可得到工作效率.

解:⑴設(shè)尸§??,點(24,5())在其圖象上，??4=24乂50=12()0,所求函數(shù)表達式為尸整；

人A

(2)由圖象可知共需開挖水渠24X50=1200(m),2臺挖掘機需要工作12004-(2X15)=

40(天);

(3)1200+30=40(m),故每天至少要完成40m.

方法總結(jié)：解決問題的關(guān)鍵是掌握工作量、工作效率和工作時間之間的關(guān)系.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第4題

［類型三］利用反比例函數(shù)解決利潤問題

畫?某商場出售一批進價為2元的賀卡，在銷售中發(fā)現(xiàn)此商品的日售價M元)與銷售量

y(張)之間有如下關(guān)系：

M元)3456

M張)20151210

(1)猜測并確定y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當H銷售單價為10兀時，賀卡的H銷售量是多少張？

(3)設(shè)此R的利潤為W元，試求出W與x之間的函數(shù)關(guān)系式，若物價部門規(guī)定此卡的銷

售單價不能超過10元，試求出當日銷售單價為多少元時，每天獲得的利潤最大并求出最大

利潤.

解析：(1)要確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，通過觀茶表中數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)x與)，的乘積

是相同的，都是60,所以可知)，與x成反比例，用待定系數(shù)法求解即可；(2)代入上=10求

得)，的值即可；(3)首先要知道純利潤=(日銷售單價x-2)X日銷售數(shù)量)，，這樣就可以確定

W與x的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)銷售單價最高不超過10元，就可以求出獲得最大日銷售利

潤時的日銷售單價X.

解：(1)從表中數(shù)據(jù)可知y與x成反比例函數(shù)關(guān)系，設(shè)為常數(shù)，^0),把點(3,

20)代入得左=60,

(2)當x=10時，)，=耨=6,???日銷售單價為10元時，賀卡的日銷售量是6張;

IJ

(3)???W=(x—2))，=60—華，又???工或10,???當％=10時，W取最大值，W處大=60—嘴

人IU

=48(%).

方法總結(jié)：本題考查了根據(jù)實際問題列反比例函數(shù)的關(guān)系式及求最大值，解答此類題目

的關(guān)鍵是準確理解題意.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第6題

［類型四］反比例函數(shù)的綜合應用

砸1如圖所示，制作某種食品的同時需將原材料加熱，設(shè)該材料溫度為/C,從加熱

開始計算的時間為x分鐘.據(jù)了解，該材料在加熱過程中溫度y與時間x成一次函數(shù)關(guān)系.己

知該材料在加熱前的溫度為4C,加熱一段時間使材料溫度達到28℃時停止加熱，停止加熱

后，材料溫度逐漸下降，這時溫度），與時間工成反比例函數(shù)關(guān)系.已知第12分鐘時，材料

溫度是14eC.

（I）分別求出該材料加熱和停止加熱過程中y與x的函數(shù)關(guān)系式（寫出x的取值范圍）；

（2）根據(jù)該食品制作要求，在材料溫度不低于12c的這段時間內(nèi)，需要對該材料進行特

殊處理，那么對該材料進行特殊處理的時間為多少分鐘？

解析；（1）首先根據(jù)題意，材料加熱時，溫度y與時間x成一次函數(shù)關(guān)系；停止加熱進

行操作時，溫度），與時間x成反比例函數(shù)關(guān)系.將題中數(shù)據(jù)代入可求得兩個函數(shù)的關(guān)系式：

⑵把y=12代入y=4x+4得x=2,代入>=丹得x=14,則對該材料進行特殊處理所用的

時間為14-2=12（分鐘）.

解：（1）設(shè)加熱停止后反比例函數(shù)表達式為y=§,?.3=%（12,14）,得的=12X14=

168,則），=?；當），=28時，28=?，解得工=6.設(shè)加熱過程中一次函數(shù)表達式為），=%>

b=4,他=4,

6A2+力=28,解得|〃=4,-

+人由圖象知y=k2x^b過點(0,4)與(6,28),

4+4x（0WxW6〉，

^（x>6）；

（2）當），=12時，），=4x+4,解得工=2.由），=?，解得K=I4,所以對該材料進行特殊

處理所用的時間為14—2=12（分鐘）.

方法總結(jié)：現(xiàn)實生活中存在大量成反比例函數(shù)關(guān)系的兩個變量，解答此類問題的關(guān)鍵是

首先確定兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法求出它們的關(guān)系式.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第4題

三、板書設(shè)計

1.反比例函數(shù)在路程問題中的應用；

2.反比例函數(shù)在工程問題中的應用；

3.利用反比例函數(shù)解決利潤問題；

4.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應用.

本節(jié)課是用函數(shù)的觀點處理實際問題，關(guān)鍵在于分析實際情境，建立函數(shù)模型，并進一

步明確數(shù)學問題.將實際問題置于已有的知識背景之中，用數(shù)學知識重新解釋“這是什么”，

使學生逐步形成考察實際問題的能力.在解決問題時，應充分利用函數(shù)的圖象，滲透數(shù)形結(jié)

合的思想.

第2課時其他學科中的反比例函數(shù)

1.能夠從物理等其他學科問題中建構(gòu)反比例函數(shù)模型；(重點)

2.從實際問題中尋找變量之間的關(guān)系，利用所學知識分析物理等其他學科的問題，建

立函數(shù)模型解決實際問題.(難點)

一、情境導入

問題：某?？萍夹〗M進行野外考察，途中遇到一片十幾米寬的濕地，為了安全、迅速通

過這片濕地，他們沿著前進路線鋪墊了若干塊木板，構(gòu)筑成一條臨時通道，從而順利完成任

務.

問題思考：

(1)請你解釋他們這樣做的道理：

(2)當人和木板對濕地的壓力一定時，隨著木板面積5(m2)的變化，人和木板對地面的壓

強〃(Pa)將如何變化？

二、合作探究

探究點：反比例函數(shù)在其他學科中的應用

［類型一］反比例函數(shù)與電壓、電流和電阻的綜合

的II已知某電路的電壓U(V),電流/(A)和電阻R(Q)三者之間有關(guān)系式為U=/R,且

電路的電壓U恒為6V.

(1)求出電流/關(guān)于電徂R的函數(shù)表達式；

(2汝口果接入該電路的電阻為25Q,則通過它的電流是多少？

(3)如圖，怎樣調(diào)整電阻箱R的阻值，可以使電路中的電流/增大？若電流/=0.4A,求

電阻R的值.

解析：⑴根據(jù)電流/(A)是電阻R(Q)的反比例函數(shù)，設(shè)出/=/(RWO)后把U=6V代入

求得表達式即可；(2)將A=25Q代入上題求得的函數(shù)關(guān)系式即可得電流的值；(3)根據(jù)兩個

變量成反比例函數(shù)關(guān)系確定答案，然后代入0.4A求得火的值即可.

解:⑴：某電路的電壓U(V),電流/(A)和電阻&Q)三者之間有關(guān)系式U=/R,.??/=%

代入U=6V得/=*???電流/關(guān)于電阻R的函數(shù)表達式是4

(2)?.?當/?=25。時?，，=^=0.24A,???電路的電阻為25。時，通過它的電流是0.24A；

(3)???/=+，???電流與電阻成反比例函數(shù)關(guān)系，，要使電路中的電流/增大可以減小電

阻.當/=0.4A時,0.4=4,解得R=15Q.

K

方法總結(jié)：明確電壓、電流和電阻的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第5題

［類型二］反比例函數(shù)與氣休壓強的綜合

的區(qū)某容器內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當溫度不變時，容器內(nèi)氣體的氣壓p(kPa)是氣

體體積Mn?)的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示.

(1)求出這個函數(shù)的解析式；

(2)當容器內(nèi)的氣體體積是0.6H?時，此時容器內(nèi)的氣壓是多少千帕？

(3)當容器內(nèi)的氣壓大于240kPa時，容器將爆炸，為了安全起見，容器內(nèi)氣體體積應不

小于多少m3?

解析：(1)設(shè)出反比例函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)圖象給出的點確定關(guān)系式；(2)把V=0.6m3代入

函數(shù)關(guān)系式，求出〃的值即可；(3)因為當容器內(nèi)的氣壓大于240kPa時，容器將爆炸，可列

出不等式求解.

解：⑴設(shè)這個函數(shù)的表達式為〃=￡根據(jù)圖象可知其經(jīng)過點(2,60),得60=$解得K

=120.則〃=1寫20；

120

(2)當V=0.6n)3時，〃=痂=200(kPa)；

(3)當〃W240kPa時，得爺W240,解得丫23.所以為了安全起見，容器的體積應不小于

5m

方法總結(jié)：根據(jù)反比例函數(shù)圖象確定函數(shù)關(guān)系式以及知道變量的值求函數(shù)值或知道函數(shù)

值的范圍求自變量的范圍是解決問題的關(guān)鍵.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第5題

［類型三］反比例函數(shù)與杠桿知識的綜合

麗公元前3世紀，占希臘科學家阿基米德發(fā)現(xiàn)了著名的“杠桿原理”，小明利用此

原理，要制作一個杠桿撬動一塊大石頭，已知阻力和阻力臂不變，分別為1200N和0.5m.

(1)動力廠與動力臂/有怎樣的函數(shù)關(guān)系？當動力臂為L5m時，撬動石頭至少要多大的

力？

(2)若想使動力/不超過(1)題中所用力的一半，則動力臂至少要加長多少？

解析：(1)根據(jù)‘'動力X動力管=阻力X阻力臂”，可得出產(chǎn)與/的函數(shù)關(guān)系式，將/=

1.5m代入可求出F;(2)根據(jù)(1)的答案，可得尸W200,解出/的最小值，即可得出動力臂至

少要加長多少.

解：(l)77=1200X0.5=600N?m,則尸=平.當/=1.5m時，F(xiàn)=yy=400N；

(2)由題意得,尸=軍<00,解得/23m,故至少要加長1.5m.

方法總結(jié)：明確“動力X動力臂=阻力X阻力臂”是解題的關(guān)鍵.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第7題

［類型四］反比例函數(shù)與功率知識的綜合

的副某汽車的輸出功率P為一定值，汽車行駛時的速度。(m/s)與它所受的牽引力戶(N)

之間的函數(shù)關(guān)系如下圖所示：

(1)這輛汽車的功率是多少？請寫出這一函數(shù)的表達式；

(2)當它所受牽引力為2400N時，汽車的速度為多少？

(3)如果限定汽車的速度不超過30m/s,則〃在什么范圍內(nèi)？

p

解析：(I)設(shè)。與廠之間的函數(shù)關(guān)系式為。=了,把(3000,20)代入即可；(2)當F=12(X)N

時，求出。即可：(3)計算出r=30m/s時的尸值，尸不小于這個值即可.

pp

解：(1)設(shè)。與尸之間的函數(shù)關(guān)系式為把(3000,20)代入。=「得尸=60000,工

60000

這輛汽車的功率是這一函數(shù)的表達式為v=

60000W.F'

(2)將F=2400N代入9=更詈，得。=今翳=25(m/s),???汽車的速度i>=3600X25^1000

=90(km/h)；

(3)把。W30代入。=以警，得尸22000(N),/.F^2000N.

方法總結(jié)：熟練掌握功率的計算公式是解決問題的關(guān)鍵.

三、板書設(shè)計

1.反比例函數(shù)與電壓、電流和電阻的綜合；

2.反比例函數(shù)與氣體壓強的綜合；

3.反比例函數(shù)與杠檸知識的綜合；

4.反比例函數(shù)與功率知識的綜合.

本節(jié)是在上一節(jié)的基礎(chǔ)上，進一步學習與反比例函數(shù)有關(guān)的涉及其他學科的知識.盡量

選用學生熟悉的實例進行教學，使學生從身邊事物入手，真正體會數(shù)學知識來源于生活.注

意要讓學生經(jīng)歷實踐、思考、表達與交流的過程，給學生留下充足的活動時間，不斷引導學

生利用數(shù)學知識解決實際問題.

第二十七章相似

27.1圖形的相似

SB

1.從生活中形狀相同的圖形的實例中認識圖形的相似；(重點)

2.理解成比例線段的概念，會確定戌段的比.(難點)

一、情境導入

如圖是兩張大小不同的世界地圖，左邊的圖形可以看作是右邊的圖形縮小得來的.由于

不同的需要，對某一地區(qū)，經(jīng)常會制成各種大小的地圖，但其形狀(包括地圖中所描繪的各

個部分)肯定是相同的.

H常生活中我們會碰到很多這種形狀相同、大小不一定相同的圖形，在數(shù)學上，我們把

具有相同形狀的圖形稱為相似圖形.像這樣的圖形有哪些性質(zhì)？下面我們就一起探討一下吧!

二、合作探究

探究點一：相似圖形

的11觀察下面圖形，指出(1)?(9)中的圖形有沒有與給出的圖形3)、(勿、(c)形狀相同

的？

解析：通過觀察尋找與(a),S),(c)形狀相同的圖形，在所給的9個圖形中仔細觀察，

然后作出判斷.

解：通過觀察可以發(fā)現(xiàn)：圖形(4)、(8)與圖形S)形狀相同；圖形(6)與圖形(〃)形狀相同；

圖形(5)與圖形⑹形狀相同.

方法總結(jié)：判斷兩個圖形的形狀是否相同，應仔細觀察，當兩個圖形的形狀除了大小沒

有其他任何差異時，我們才可以說這兩個圖形形狀相同.變式訓練：見《學練優(yōu)》本課

時練習“課堂達標訓練”第1題

探究點二：比例線段

［類型—］判斷四條線段是否成比例

的區(qū)下列各組中的四條線段成比例的是()

A.4cm,2cm,Icnii3cm

B.Icm,2cm,3cm,5cm

C.3cm?4cm,5cm,6cm

D.1cm,2cin,2cm?4cm

解析：選項A.從小到大排列，由于1X4W2X3,所以不成比例，不符合題意；選項B.

從小到大排列，由于1X5W2X3,所以不成比例，不符合題意；選項C.從小到大排列，由

于3X6W4X5,所以不成比例，不符合題意；選項D.從小到大排列，由于1X4=2X2,所

以成比例，符合題意.故選D.

方法總結(jié)：判定四條段段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條

線段之比與后兩條線段之比是否相等即可.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第3題

［類型二］利用成比例線段的定義，求線段的長

1例?已知線段a、b、c、d是成比例線段，其中a=2m,〃=4m,c=5m,貝Ud=()

A.ImB.10mC.pnD.5m

解析；’??線段a、b、c、d足成比例線段，Aa'b=c'd,而a=2m,Z?=4m,c=5m,

b?c4X5，….

:.d=―~~~2—10(m).故選B.

方法總結(jié)：求線段之比時，要先統(tǒng)一線段的長度單位，然后根據(jù)比例關(guān)系求值.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第4題

［類型三］利用比例尺求距離

砸1若一張地圖的比例尺是1：150000,在地圖上量得甲、乙兩地的距離是5c%則

甲、乙兩地的實際距離是［)

A.3000mB.3500m

C.5000mD.7500m

解析：設(shè)甲、乙兩地的實際距離是xcm,根據(jù)題意得I:150000=5：x,x=750000(cm),

750000cm=7500m.故選D.

方法總結(jié)：比例尺=圖上距離：實際距離.根據(jù)比例尺進行計算時，要注意單位的轉(zhuǎn)換.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第5題

探究點三：相似多邊形

［類型一］利用相似多邊形的性質(zhì)求線段和角

碉如圖所示，給出的兩個四邊形是相似形，具體數(shù)據(jù)如圖所示，求出未知邊a、8的

長度及角?的值.

C

C

解析：根據(jù)相似多邊形對應角相等和對應邊成比例解答.

解：因為四邊形ABC。與四邊形相似，所以N夕=NB=63°,N。'=NQ,

A，?=A，*=8，'所以M以a=5,人=18.在四邊形48，(7￡)，中，N

D'=360°一(84°+75°+63°)=138°./1=/。=/。'=138°.

方法總結(jié)：若兩個多邊形相似，那么它們的對應角相等，對應邊成比例.在書寫兩個多

邊形相似時，要注意把表示對應角頂點的字母寫在對應的位置上.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第8題

［類型二］相似多邊形的判定

麗如圖，一塊長3m、寬1.5m的矩形黑板ABC。如圖所示，鑲在其外圍的木質(zhì)邊框

寬75cm.邊框的內(nèi)邊緣所成的矩形ABCD與邊框的外邊緣所成的矩形EFGH相似嗎？為什

么？

Ei----------------------------\H

A~D

BC

F--------------------G

解析：兩個矩形的四個角雖然相等，但四條邊不一定對應成比例，判定兩個矩形是否相

似，關(guān)鍵是看對應邊是否成比例.

解：不相似.???矩形中，A8=1.5m,AD=3m,鑲在其外圍的木質(zhì)邊框?qū)?5cm

=0.75m,AEF=1.5+2X0.75=3m,EH=3+2X0.75=4.5m,?第=學=\，絲=工=］

cr32EH4.33

???#,，???內(nèi)邊緣所成的矩形ABCD與邊框的外邊緣所成的矩形EFGH不相似.

方法總結(jié)：判定兩個多邊形相似，需要對應角相等，對應邊成比例，這兩個條件缺一不

可.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第10題

三、板書設(shè)計

1.相似圖形的概念；

2.比例線段；

3.相似多邊形的判定和性質(zhì).

本節(jié)課中對相似多邊形的特征的教學要注意難度的把握，不要過高要求學生掌握更多的

內(nèi)容.學生能了解性質(zhì)，并能簡單運用即可，重要的還是后續(xù)的相似三角形的學習，當相似

三角形的特征掌握之后，再進一步研究相似多邊形的性質(zhì)，學生就比較容易掌握.

27.2.1相似三角形的判定

第1課時平行線分線段成比例

SB

i.了解相似比的定義；(重點)

2.掌握平行線分線段成比例定理的基木事實以及利用平行線法判定三角形相似：(重點)

3.應用平行線分線段成比例定理及平行線法判定三角形相似來解決問題.(難點)

一、情境導入

如圖，在△A8C中，。為邊AB上任一點，作DE//BC,交邊4c于E,用刻度尺和量

角器量一量，判斷△AOE與△ABC是否相似.

二、合作探究

探究點一：相似三角形的有關(guān)概念

的II如圖所示，已知△OACS/^OB。，且0A=4,AC=2,OB=2,ZC=ZD,求:

(l)Z\0AC和△08。的相似比；

(2)BD的長.

解析：(1)由△OACS^OB。及NC=N。，可找到兩個三角形的對應邊，即可求出相似

比：(2)根據(jù)相似三角形對應邊成比例，可求出8。的長.

解：(口???△QACS^OB。，NC=N。，???線段0A與線段OB是對應邊，則△04C與

49

△OBD的相似比為而=5=1；

A,ACOAAC?OB2X2

(2)VAOAC^AO5D,???麗=而，-*?BD=-()A=~=1.

方法總結(jié)：相似三角形的定義既是相似三角形的性質(zhì)，也是相似三角形的判定方法.

變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第1題

探究點二：平行線分線段成比例定理

［類型一］平行線分線段成比例的基本事實

曲的如圖，直線八、，2、，3分別交直線于點A、&C,交直線/5于點。、E、F,直線

乙、k交于點、O,且八〃/2，勿3，已知￡P(guān)：DF=5：8,AC=24.

(1)求彳|的值：

(2)求25的長.

解析：（1）根據(jù)推出宗CR=而FF：（2）根據(jù)/|〃，2〃，3,推F出FR左C5代入AC

Z1OLJIZUI/IVO

=24求出BC即可求出AB.

「RFFCR5

解：(??〃〃，???言:而又???。［：：：：：?；

l)X/2/3/\t>D匕DF=58,.EFDE=53,FA=t)WJ

FFRC5

(2)：/I〃/23,：：，斤=二，：