高數(shù)期中考卷及詳解

高數(shù)期中考卷及詳解一、選擇題（每題5分，共20分）1.下列函數(shù)中，哪個(gè)是奇函數(shù)？A.$y=x^2$B.$y=\sinx$C.$y=e^x$D.$y=\lnx$2.下列極限中，哪個(gè)是無窮小量？A.$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}$B.$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}$C.$\lim_{x\to0}x^2$D.$\lim_{x\to\infty}e^x$3.下列函數(shù)中，哪個(gè)是單調(diào)遞增函數(shù)？A.$y=x^2$B.$y=\frac{1}{x}$C.$y=\lnx$D.$y=e^{x}$4.下列積分中，哪個(gè)是定積分？A.$\intx^2dx$B.$\int_0^1x^2dx$C.$\inte^xdx$D.$\int_{\infty}^{+\infty}e^{x^2}dx$二、填空題（每題5分，共20分）1.函數(shù)$y=x^33x$的導(dǎo)數(shù)為$y'=\_\_\_\_\_$。2.函數(shù)$y=\lnx$在$x=1$處的切線方程為$\_\_\_\_\_$。3.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=\_\_\_\_\_$。4.$\intx^2dx=\_\_\_\_\_+C$。三、計(jì)算題（每題15分，共60分）1.求函數(shù)$y=x^33x^2+2x$的極值點(diǎn)和拐點(diǎn)。2.求函數(shù)$y=e^x\sinx$在區(qū)間$[0,\pi]$上的最大值和最小值。3.計(jì)算定積分$\int_0^1(x^2+2x)dx$。4.計(jì)算不定積分$\int\frac{1}{x+1}dx$。四、證明題（每題20分，共40分）1.證明函數(shù)$y=\lnx$在$x>0$上單調(diào)遞增。2.證明不等式$\ln(1+x)<x$對(duì)所有$x>1,x\neq0$成立。五、應(yīng)用題（每題20分，共40分）1.某物體從靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為$a$，求物體在時(shí)間$t$內(nèi)的位移。2.某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為$1000$元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品的可變成本為$5$元，產(chǎn)品售價(jià)為$10$元，求公司的利潤(rùn)函數(shù)，并計(jì)算當(dāng)生產(chǎn)$200$件產(chǎn)品時(shí)的利潤(rùn)?？季碓斀猓阂弧⑦x擇題1.B。因?yàn)?\sin(x)=\sinx$，所以$y=\sinx$是奇函數(shù)。2.B。因?yàn)?\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0$，所以$\frac{1}{x}$是無窮小量。3.C。因?yàn)?y'=\frac{1}{x}>0$（$x>0$），所以$y=\lnx$是單調(diào)遞增函數(shù)。4.B。因?yàn)榉e分區(qū)間是有限的，所以$\int_0^1x^2dx$是定積分。二、填空題1.$y'=3x^26x$。2.切線方程為$y=x1$。3.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$。4.$\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3+C$。三、計(jì)算題1.極值點(diǎn)：$x=1,x=2$；拐點(diǎn)：$x=\frac{2}{3}$。2.最大值：$y=e^{\frac{\pi}{2}}$；最小值：$y=e^{\frac{\pi}{2}}$。3.$\int_0^1(x^2+2x)dx=\frac{5一、選擇題答案1.B2.B3.C4.B二、填空題答案1.3x26x2.y=x13.14.frac13x3+C三、計(jì)算題答案1.極值點(diǎn)：x=1,x=2；拐點(diǎn)：x=frac232.最大值：y=e^fracpi2；最小值：y=e^fracpi23.int01(x22x)dx=frac52四、證明題答案1.證明：因?yàn)閒'(x)=3x26x=3x(x2)，令f'(x)=0，得x=0或x=2。當(dāng)x<0或x>2時(shí)，f'(x)>0；當(dāng)0<x<2時(shí)，f'(x)<0。所以f(x)在(infty,0)和(2,+infty)上單調(diào)遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減。又因?yàn)閒(0)=0，f(2)=4，所以f(x)在x=0處取得極大值，在x=2處取得極小值。2.證明：令g(x)=ln(1+x)x，則g'(x)=frac1x1。令g'(x)=0，得x=1。當(dāng)x<1時(shí)，g'(x)>0；當(dāng)x>1時(shí)，g'(x)<0。所以g(x)在(1,1)上單調(diào)遞增，在(1,+infty)上單調(diào)遞減。又因?yàn)間(0)=0，所以g(x)<0對(duì)所有x>1,xneq0成立，即ln(1+x)<x對(duì)所有x>1,xneq0成立。五、應(yīng)用題答案1.位移：frac12at22.利潤(rùn)函數(shù)：P(x)=10x(5x+1000)=5x1000；當(dāng)x=200時(shí)的利潤(rùn)：P(200)=10001000=0。1.導(dǎo)數(shù)與微分：導(dǎo)數(shù)的概念、計(jì)算方法、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、微分的概念和計(jì)算方法。2.積分：定積分和不定積分的概念、計(jì)算方法、微積分基本定理、換元積分法和分部積分法。3.極限：極限的概念、計(jì)算方法、極限的性質(zhì)、兩個(gè)重要極限。4.函數(shù)的單調(diào)性與極值：函數(shù)單調(diào)性的判斷、函數(shù)極值的求法、函數(shù)的最值。5.函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)：函數(shù)凹凸性的判斷、拐點(diǎn)的求法。6.微分方程：微分方程的概念、可分離變量的微分方程、一階線性微分方程。7.應(yīng)用題：利用微積分知識(shí)解決實(shí)際問題，如最值問題、面積問題、體積問題等。各題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例：1.選擇題：考察學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)與微分、積分、極限、函數(shù)的單調(diào)性與極值等知識(shí)點(diǎn)的理解和應(yīng)用能力。2.填