江蘇省啟東市高中數(shù)學(xué) 第2章 數(shù)列 課時(shí)9 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（1）教學(xué)設(shè)計(jì) 蘇教版必修5

江蘇省啟東市高中數(shù)學(xué)第2章數(shù)列課時(shí)9等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（1）教學(xué)設(shè)計(jì)蘇教版必修5課題：科目：班級(jí)：課時(shí)：計(jì)劃1課時(shí)教師：?jiǎn)挝唬阂?、課程基本信息1.課程名稱：江蘇省啟東市高中數(shù)學(xué)第2章數(shù)列課時(shí)9等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（1）教學(xué)設(shè)計(jì)

2.教學(xué)年級(jí)和班級(jí)：高一年級(jí)（1）班

3.授課時(shí)間：2022年9月15日星期四上午第二節(jié)課

4.教學(xué)時(shí)數(shù)：1課時(shí)

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同學(xué)們，大家好！今天我們這節(jié)課要來(lái)探討一個(gè)很有趣的數(shù)學(xué)話題——等比數(shù)列的前n項(xiàng)和。讓我們一起走進(jìn)這神秘的數(shù)學(xué)世界，感受等比數(shù)列的魅力吧！????二、核心素養(yǎng)目標(biāo)1.發(fā)展數(shù)學(xué)抽象能力，理解等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式，并將其應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題。

2.培養(yǎng)邏輯推理能力，通過(guò)探究和證明等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式，提升數(shù)學(xué)思維。

3.提升數(shù)學(xué)建模能力，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問(wèn)題，并運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解決。

4.增強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，熟練運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算，提高數(shù)學(xué)計(jì)算的速度和準(zhǔn)確性。三、學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識(shí)：

同學(xué)們?cè)谥暗膶W(xué)習(xí)中已經(jīng)接觸了數(shù)列的基本概念和等比數(shù)列的基本性質(zhì)，了解了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。這些基礎(chǔ)知識(shí)是學(xué)習(xí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的基礎(chǔ)。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：

高一的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣普遍較高，尤其對(duì)于邏輯性和挑戰(zhàn)性較強(qiáng)的內(nèi)容，如數(shù)列和數(shù)列求和問(wèn)題，他們往往表現(xiàn)出濃厚的興趣。在學(xué)習(xí)能力方面，大部分學(xué)生具備一定的邏輯思維能力和抽象思維能力。他們的學(xué)習(xí)風(fēng)格各異，有的學(xué)生偏好通過(guò)圖形直觀理解，有的則更傾向于邏輯推導(dǎo)。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

在學(xué)習(xí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，學(xué)生可能會(huì)遇到以下困難和挑戰(zhàn)：首先，理解和記憶公式本身可能存在困難，特別是對(duì)于公比q的絕對(duì)值不等于1的情況；其次，將公式應(yīng)用于解決具體問(wèn)題時(shí)，學(xué)生可能難以準(zhǔn)確地識(shí)別問(wèn)題中的等比數(shù)列特征；最后，對(duì)于一些復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生可能會(huì)感到計(jì)算過(guò)程繁瑣，難以保持耐心和準(zhǔn)確性。針對(duì)這些挑戰(zhàn)，我們需要在教學(xué)過(guò)程中注重公式的推導(dǎo)過(guò)程，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)等比數(shù)列特征的識(shí)別訓(xùn)練，以及提供足夠的練習(xí)來(lái)提高學(xué)生的計(jì)算能力。四、教學(xué)資源-多媒體教學(xué)設(shè)備：電腦、投影儀、電子白板

-課本與教輔材料：蘇教版必修5教材、數(shù)列相關(guān)教輔書籍

-信息化資源：等比數(shù)列前n項(xiàng)和的在線教學(xué)視頻、相關(guān)數(shù)學(xué)軟件（如Mathematica、MATLAB等）

-教學(xué)手段：實(shí)物教具（如等比數(shù)列模型）、PPT課件、黑板板書工具

-練習(xí)題集：等比數(shù)列前n項(xiàng)和的習(xí)題冊(cè)、在線練習(xí)平臺(tái)（如MOOC、教育平臺(tái)）五、教學(xué)過(guò)程一、導(dǎo)入新課

1.老師提問(wèn)：同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，那么如何求出等比數(shù)列的前n項(xiàng)和呢？今天我們就來(lái)探究這個(gè)問(wèn)題。

2.學(xué)生思考，老師引導(dǎo)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和可以通過(guò)累加每一項(xiàng)來(lái)得到，但這種方法在項(xiàng)數(shù)較多時(shí)會(huì)很繁瑣。那么，有沒(méi)有更簡(jiǎn)潔的方法呢？

二、新課講授

1.老師講解：首先，我們來(lái)回顧一下等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式。等比數(shù)列是指從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比值都相等的數(shù)列。設(shè)首項(xiàng)為a1，公比為q，那么等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1*q^(n-1)。

2.老師板書：an=a1*q^(n-1)

3.老師提問(wèn)：接下來(lái)，我們來(lái)探究等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，那么Sn=a1+a2+a3+...+an。

4.老師引導(dǎo)學(xué)生：我們可以通過(guò)觀察等比數(shù)列的特點(diǎn)，來(lái)推導(dǎo)出前n項(xiàng)和的公式。首先，我們將等比數(shù)列的前n項(xiàng)和寫兩遍，然后將下邊的數(shù)列與上邊的數(shù)列相減，觀察相減后的結(jié)果。

5.老師板書：Sn=a1+a2+a3+...+an

=a1+a1*q+a1*q^2+...+a1*q^(n-1)

-(a1+a1*q+a1*q^2+...+a1*q^(n-1))

6.老師講解：觀察相減后的結(jié)果，我們可以發(fā)現(xiàn)，除了第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)之外，其他的項(xiàng)都被抵消了。因此，我們可以得到以下公式：

Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)

7.老師板書：Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)

8.老師提問(wèn)：這個(gè)公式適用于所有等比數(shù)列嗎？如果公比q的絕對(duì)值大于1，這個(gè)公式還適用嗎？

9.學(xué)生討論，老師總結(jié)：這個(gè)公式適用于所有等比數(shù)列，包括公比q的絕對(duì)值大于1的情況。

三、課堂練習(xí)

1.老師布置練習(xí)題：請(qǐng)同學(xué)們利用今天學(xué)習(xí)的等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，求解以下問(wèn)題：

（1）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為2，公比為3，求前5項(xiàng)和。

（2）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為-4，公比為-2，求前10項(xiàng)和。

（3）已知等比數(shù)列的前5項(xiàng)和為-24，首項(xiàng)為-2，求公比。

2.學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí)，老師巡視指導(dǎo)。

四、課堂小結(jié)

1.老師提問(wèn)：今天我們學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，這個(gè)公式有什么用途呢？

2.學(xué)生回答，老師總結(jié)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可以用于解決實(shí)際問(wèn)題，如計(jì)算貸款的本息、計(jì)算復(fù)利等。

3.老師強(qiáng)調(diào)：掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式對(duì)于學(xué)習(xí)后續(xù)數(shù)學(xué)知識(shí)具有重要意義，希望同學(xué)們能夠熟練運(yùn)用這個(gè)公式。

五、布置作業(yè)

1.老師布置作業(yè)：請(qǐng)同學(xué)們完成課后練習(xí)題，并預(yù)習(xí)下一節(jié)課的內(nèi)容。

2.學(xué)生認(rèn)真聽講，老師強(qiáng)調(diào)作業(yè)的重要性。

六、課堂反饋

1.老師提問(wèn)：同學(xué)們，今天的學(xué)習(xí)內(nèi)容有什么疑問(wèn)嗎？

2.學(xué)生提問(wèn)，老師耐心解答，幫助學(xué)生解決疑問(wèn)。

3.老師總結(jié)：通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，我們掌握了等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式及其應(yīng)用，希望同學(xué)們能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際生活中。六、學(xué)生學(xué)習(xí)效果學(xué)生學(xué)習(xí)效果主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

1.理解與掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：

學(xué)生通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，能夠清晰地理解并掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式，即Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。他們能夠識(shí)別并應(yīng)用這個(gè)公式來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，如計(jì)算等比數(shù)列的求和問(wèn)題。

2.提升數(shù)學(xué)抽象思維能力：

在學(xué)習(xí)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的過(guò)程中，學(xué)生需要將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算。這一過(guò)程鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維能力，使他們能夠更好地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)概念。

3.加強(qiáng)邏輯推理能力：

通過(guò)推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式，學(xué)生學(xué)會(huì)了如何通過(guò)邏輯推理來(lái)解決問(wèn)題。他們能夠理解公比q的絕對(duì)值不等于1時(shí)公式的適用性，以及如何處理特殊情況。

4.增強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力：

在實(shí)際計(jì)算等比數(shù)列前n項(xiàng)和的過(guò)程中，學(xué)生需要熟練運(yùn)用乘法、除法和指數(shù)運(yùn)算。通過(guò)大量的練習(xí)，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力得到了顯著提升，計(jì)算速度和準(zhǔn)確性都有所提高。

5.培養(yǎng)問(wèn)題解決能力：

學(xué)生在學(xué)習(xí)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的過(guò)程中，遇到了各種實(shí)際問(wèn)題，如計(jì)算貸款的本息、計(jì)算復(fù)利等。他們通過(guò)應(yīng)用所學(xué)知識(shí)來(lái)解決這些問(wèn)題，培養(yǎng)了問(wèn)題解決能力。

6.提高學(xué)習(xí)興趣和自信心：

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了更濃厚的興趣，尤其是對(duì)數(shù)列和數(shù)列求和問(wèn)題。他們能夠感受到數(shù)學(xué)的奧妙和實(shí)用性，從而增強(qiáng)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。

7.培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)合作精神：

在課堂練習(xí)和討論環(huán)節(jié)，學(xué)生需要與同學(xué)合作解決問(wèn)題。這一過(guò)程培養(yǎng)了學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神，使他們學(xué)會(huì)了傾聽、溝通和協(xié)作。

8.提升自主學(xué)習(xí)能力：

學(xué)生在預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)過(guò)程中，需要獨(dú)立完成課后作業(yè)和預(yù)習(xí)下一節(jié)課的內(nèi)容。這一過(guò)程鍛煉了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，使他們能夠更好地管理自己的學(xué)習(xí)時(shí)間和學(xué)習(xí)進(jìn)度。七、課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測(cè)課堂小結(jié)：

同學(xué)們，今天我們學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，這是一個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn)。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們達(dá)到了以下幾個(gè)目標(biāo)：

1.理解了等比數(shù)列前n項(xiàng)和的概念，知道它是等比數(shù)列所有項(xiàng)的和。

2.掌握了等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式：Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)，并學(xué)會(huì)了如何運(yùn)用這個(gè)公式來(lái)計(jì)算等比數(shù)列的前n項(xiàng)和。

3.理解了當(dāng)公比q的絕對(duì)值不等于1時(shí)，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的適用性。

4.通過(guò)實(shí)例練習(xí)，學(xué)會(huì)了如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問(wèn)題，并運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算。

在接下來(lái)的課堂小結(jié)中，我將簡(jiǎn)要回顧本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容，并為大家提供一些思考題，幫助鞏固所學(xué)知識(shí)。

當(dāng)堂檢測(cè)：

1.已知等比數(shù)列的首項(xiàng)a1=3，公比q=2，求前5項(xiàng)和S5。

2.已知等比數(shù)列的前5項(xiàng)和S5=31，首項(xiàng)a1=1，求公比q。

3.已知等比數(shù)列的首項(xiàng)a1=-2，公比q=-1/2，求前10項(xiàng)和S10。

4.如果一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為2，公比q=1/3，求該數(shù)列的第10項(xiàng)an。

請(qǐng)同學(xué)們?cè)诩埳溪?dú)立完成以上練習(xí)題，完成后我將請(qǐng)幾位同學(xué)來(lái)展示他們的答案，并對(duì)答案進(jìn)行講解和點(diǎn)評(píng)。

課堂小結(jié)回顧：

1.等比數(shù)列前n項(xiàng)和的概念。

2.等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式：Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。

3.公比q的絕對(duì)值不等于1時(shí)，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的適用性。

4.實(shí)際問(wèn)題的轉(zhuǎn)化和計(jì)算。八、板書設(shè)計(jì)①等比數(shù)列前n項(xiàng)和的概念

-等比數(shù)列：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比值都相等的數(shù)列。

-前n項(xiàng)和：等比數(shù)列所有項(xiàng)的和，記作Sn。

②等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式

-公式：Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)

-其中，a1為首項(xiàng)，q為公比，n為項(xiàng)數(shù)。

③公式適用條件

-當(dāng)公比q≠1時(shí)，公式Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)適用。

-當(dāng)公比q=1時(shí)，公式簡(jiǎn)化為Sn=a1*n。

④公式推導(dǎo)過(guò)程

-將等比數(shù)列的前n項(xiàng)和寫兩遍。

-將下邊的數(shù)列與上邊的數(shù)列相減。

-觀察相減后的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)除了第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)之外，其他的項(xiàng)都被抵消了。

⑤公式應(yīng)用實(shí)例

-計(jì)算等比數(shù)列的求和問(wèn)題。

-解決實(shí)際問(wèn)題，如計(jì)算貸款的本息、計(jì)算復(fù)利等。課后作業(yè)1.已知等比數(shù)列的首項(xiàng)a1=5，公比q=1/2，求前4項(xiàng)和S4。

解：S4=a1*(1-q^4)/(1-q)=5*(1-(1/2)^4)/(1-1/2)=5*(1-1/16)/(1/2)=5*(15/16)*2=37.5/8=4.6875

2.已知等比數(shù)列的前4項(xiàng)和S4=70，首項(xiàng)a1=10，求公比q。

解：S4=a1*(1-q^4)/(1-q)=70

10*(1-q^4)/(1-q)=70

1-q^4=7

q^4=1/7

q=(1/7)^(1/4)≈0.6823

3.已知等比數(shù)列的首項(xiàng)a1=-8，公比q=3，求第6項(xiàng)an。

解：an=a1*q^(n-1)=-8*3^(6-1)=-8*3^5=-8*243=-1944

4.已知等比數(shù)列的前5項(xiàng)和S5=31，首項(xiàng)a1=1，求公比q。

解：S5=a1*(1-q^5)/(1-q)=31

1*(1-q^5)/(1-q)=31

1-q^5=31-31q

q^5-31q+30=0

通過(guò)試錯(cuò)法或使用計(jì)算器，可以找到q≈1.5。

5.一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為2，公比q=-1/2，求該數(shù)列的第10項(xiàng)an。

解：an=a1*q^(n-1)=2*(-1/2)^(10-1)=2*(-1/2)^9=2*(-1/512)=-1/256教學(xué)反思今天這節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，這是一個(gè)比較抽象的數(shù)學(xué)概念，對(duì)于高一的學(xué)生來(lái)說(shuō)，可能會(huì)有一定的難度。在回顧這節(jié)課的教學(xué)過(guò)程時(shí)，我有一些想法和反思。

首先，我覺得我在引入新課時(shí)的方式比較成功。通過(guò)提問(wèn)的方式，激發(fā)了學(xué)生的好奇心，讓他們意識(shí)到學(xué)習(xí)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的重要性。在講解公式推導(dǎo)的過(guò)程中，我盡量用通俗易懂的語(yǔ)言，結(jié)合具體的例子，幫助學(xué)生理解公式的來(lái)源和應(yīng)用。

然而，我也發(fā)現(xiàn)了一些不足。在講解公式推導(dǎo)的過(guò)程中，我可能過(guò)于依賴板書，沒(méi)有充分運(yùn)用多媒體教學(xué)手段。這導(dǎo)致一些學(xué)生可能沒(méi)有跟上我的思路，尤其是在推導(dǎo)過(guò)程中的一些細(xì)節(jié)上。今后，我應(yīng)該在課堂上更多地運(yùn)用多媒體，比如制作動(dòng)畫或者圖表，來(lái)幫助學(xué)生更好地理解抽象的數(shù)學(xué)概念。

在課堂練習(xí)環(huán)節(jié)，我布置了幾個(gè)實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生嘗試運(yùn)用所學(xué)知識(shí)來(lái)解決。從學(xué)生的反饋來(lái)看，他們對(duì)這種類型的題目比較感興趣，也能較好地完成。但是，我也注意到一些學(xué)生在解決復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，仍然存在一些困難。這可能是因?yàn)樗麄儗?duì)等比數(shù)列的性質(zhì)理解不夠深入，或者是對(duì)公式的應(yīng)用不夠熟練。因此，我認(rèn)為在今后的教學(xué)中，我需要加強(qiáng)對(duì)等比數(shù)列性質(zhì)和公式應(yīng)用的訓(xùn)練，讓學(xué)生通過(guò)大量的練習(xí)來(lái)提高他們的應(yīng)用能力。

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