遼寧省撫順市六校協(xié)作體2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 含解析

高三數(shù)學(xué)考試注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容（概率與統(tǒng)計(jì)除外）.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)不等式的解法及集合的表示方法，求得集合，，結(jié)合集合交集的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由不等式，即，解得，所以，又由，所以.故選：B.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義即可求解.【詳解】，則，.故選：A3.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)，找到中間變量，進(jìn)行比較即可.詳解】，，，.故選:C.4.已知為等比數(shù)列，且，則（）A.216 B.108 C.72 D.36【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式列式計(jì)算即可求.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意，所以.故選：A5.已知曲線在點(diǎn)處的切線與圓相切，則的半徑為（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】求出曲線在點(diǎn)處的切線方程，利用直線與圓相切的幾何關(guān)系即可求出圓的半徑．【詳解】由，得，故切線的斜率，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.又因?yàn)榕c圓相切，所以的半徑.故選：C6.已知，是方程的兩個(gè)根，則（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)韋達(dá)定理得，，即可結(jié)合和差角公式以及弦切互化，代入求解.【詳解】因?yàn)?，是方程的兩個(gè)根，所以，，所以.故選：D7.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，.過(guò)作其中一條漸近線的垂線，垂足為，則（）A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，其中，所以到的距離為，因此，，，則，由，得，解得.故選：B8.已知函數(shù)，若，是銳角的兩個(gè)內(nèi)角，則下列結(jié)論一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，得出，由的單調(diào)性即可判斷選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以，即，所以在上單調(diào)遞減.因?yàn)椋卿J角的兩個(gè)內(nèi)角，所以，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，故，故D正確.同理可得，C錯(cuò)誤；而的大小不確定，故與，與的大小關(guān)系均不確定，所以與，與的大小關(guān)系也均不確定，AB不能判斷.故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與交于M，N兩點(diǎn)，則（）A. B.C.的最小值為6 D.的最小值為12【答案】BD【解析】【分析】先根據(jù)題意及直線過(guò)定點(diǎn)即可判斷A，B；再根據(jù)拋物線的性質(zhì)知直線垂直于軸，取得最小值，進(jìn)而即可判斷C，D．【詳解】對(duì)于A，B，由直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C，D，當(dāng)直線垂直于軸，即時(shí)，取得最小值，且最小值為．故C錯(cuò)誤，D正確．故選：BD．10.如圖，點(diǎn)在以為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)（不含A，B），，，記，，的弧度數(shù)為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.是的函數(shù) B.是的函數(shù) C.是的函數(shù) D.是的函數(shù)【答案】AD【解析】【分析】注意點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中的值的變化情況，結(jié)合函數(shù)的定義可判斷.【詳解】設(shè)圓的半徑為R，由題可得，，，其中當(dāng)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到的過(guò)程中，的值從一直減小到0，的值從增大到，再?gòu)臏p小到，的值從0一直增大到，由函數(shù)的定義可知不是的函數(shù)，是的函數(shù)，不是的函數(shù)，是的函數(shù).故選：AD.11.如圖，在三棱錐中，平面，，且，，過(guò)點(diǎn)的平面分別與棱，交于點(diǎn)M，N，則下列說(shuō)法正確的是（）A.三棱錐外接球的表面積為B.若平面，則C.若M，N分別為，的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為D.周長(zhǎng)的最小值為3【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)垂直關(guān)系結(jié)合直角三角形的性質(zhì)即可判斷球心位置，進(jìn)而可求解A,根據(jù)垂直以及相似即可求解B，根據(jù)等體積法即可求解C，根據(jù)展開(kāi)圖結(jié)合余弦定理即可求解D.【詳解】取中點(diǎn)為，連接,因?yàn)槠矫?，平面，所?故,,所以,又，且，，所以因此,所以三棱錐外接球的半徑，表面積，A不正確.若平面，平面,則，.平面，平面，所以,又,,平面，所以平面，平面，故，所以.由于,又，所以，，解得，B正確因?yàn)镸，N分別為，的中點(diǎn)，所以，由于平面,則平面，又平面，平面，故平面，則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，易知，，，由，得，解得，C正確.如圖，將，翻折至平面內(nèi)，連接，易知即周長(zhǎng)的最小值，，周長(zhǎng)的最小值為3，D正確.故選:BCD12.已知，均是由自然數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，且，，，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由題意，判斷出的取值范圍，進(jìn)而得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，依次判斷選項(xiàng).【詳解】由，得，又，故，得，即，記表示不大于的最大整數(shù)，因?yàn)?，所以，故，則，A正確；若，則，，故，所以，即，B不正確.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故，C正確.，則，D正確故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵在于判斷出的取值范圍，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，?故答案為：14.先將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，寫出圖象的一條對(duì)稱軸的方程：__________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】利用伸縮和平移變換寫出的函數(shù)表達(dá)式，再求對(duì)稱軸方程.【詳解】先將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到，向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，令，，解得，，可取，則.故答案為：（答案不唯一）.15.降雨量是指降落在水平地面上單位面積的水層深度（單位：mm）.氣象學(xué)中，把24小時(shí)內(nèi)的降雨量叫作日降雨量.等級(jí)劃分如下表：日降雨量/mm等級(jí)小雨中雨大雨暴雨某數(shù)學(xué)建模小組為了測(cè)量當(dāng)?shù)啬橙盏慕涤炅浚谱髁艘粋€(gè)圓臺(tái)形水桶，如圖所示，若在一次降雨過(guò)程中用此桶接了24小時(shí)的雨水恰好是桶深的，則當(dāng)日的降雨量等級(jí)為_(kāi)_________.【答案】大雨【解析】【分析】依據(jù)圖形計(jì)算圓臺(tái)的體積求解即可.【詳解】由題可知水桶的上底面半徑，下底面半徑，桶深，水面半徑，水深，則水桶中水的體積，則日降雨量為，故當(dāng)日的降雨量等級(jí)為大雨.故答案為：大雨16.已知，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)為，圖象交點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性即可求解.【詳解】顯然，當(dāng)時(shí)，令，得.令，，則的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為與圖象的交點(diǎn).因?yàn)椋?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.，故的圖象也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，則.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.（1）求；（2）若，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換即可求解，（2）根據(jù)余弦定理，結(jié)合面積公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，又，所?由為銳角三角形，得.【小問(wèn)2詳解】由（1）及余弦定理知.因?yàn)椋?，所以，所以的面積.18.已知函數(shù).（1）若，求的極值；（2）若在上恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）極大值為，極小值為；（2）.【解析】【分析】（1）把代入，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性并求出極值即可.（2）根據(jù)給定條件，分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即得.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以的極大值為，的極小值為.【小問(wèn)2詳解】由在上恒成立等價(jià)于在上恒成立，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，于是，所以的取值范圍為.19.在正項(xiàng)等差數(shù)列中，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量運(yùn)算得解；（2）由（1），再根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)的公差為d，則，解得或（舍去），故.【小問(wèn)2詳解】證明：由（1）可知，則.20.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，，，.（1）證明：.（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）證明平面即可.（2）建系，利用空間向量求面面夾角.【小問(wèn)1詳解】連接，與交于點(diǎn)，連接.因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所?因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以.因，平面，平面，所以平面.又平，所以.【小問(wèn)2詳解】過(guò)作的垂線，垂足為，由第一問(wèn)可知：平面平面平面平面，且平面平面，平面，可得：平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)且平行于，的直線分別為軸，軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系如下圖所示：由，得，因?yàn)椋?，所以，則，，，則，，，.由，得，，.設(shè)平面的法向量為，由得令，解方程組可得，故.由圖可知是平面的一個(gè)法向量.，顯然二面角為銳角，故.故平面與平面夾角的余弦值為.21.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，并與交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作一條斜率存在且不為0的直線與交于M，N兩點(diǎn)，，的周長(zhǎng)為8.（1）求的方程.（2）記，分別為的左、右頂點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)Q，和的面積分別為，，試問(wèn)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）是定值，定值為【解析】【分析】（1）根據(jù)通徑以及焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)即可聯(lián)立求解，（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)直線方程可得坐標(biāo)，即可由三角形的面積公式化簡(jiǎn)求解.【小問(wèn)1詳解】將代入可得，所以解得，，故的方程為【小問(wèn)2詳解】為定值，定值為.理由如下：依題可設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立方程組整理得，則，.易知，，直線的方程為，則直線的方程為，令，得，同理可得..故為定值，且該定值為.22.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，，且恒成立，證明：.【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)判斷單調(diào)性；（2）由推出，結(jié)合換元，，證明，令轉(zhuǎn)化為，繼而構(gòu)造函數(shù)，判斷其單調(diào)性，求出最值，從而證明結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，所?若，則在上恒成立，在上單調(diào)遞增，若，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】由，得，令，則.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，