高數(shù)上冊試題及答案

高數(shù)上冊試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題3分，共30分）

1.設函數(shù)f(x)=x^3-3x，則f(x)的極值點為：

A.x=0

B.x=1

C.x=-1

D.x=2

2.下列函數(shù)中，在x=0處不可導的是：

A.f(x)=x^2

B.f(x)=|x|

C.f(x)=e^x

D.f(x)=sin(x)

3.若f(x)=2x^3-3x^2+4x+1，則f'(x)=________。

4.若函數(shù)f(x)在x=a處連續(xù)，則f(x)在x=a處可導的充要條件是：

A.f'(a)存在

B.f'(a)不存在

C.f(x)在x=a處有定義

D.f(x)在x=a處連續(xù)

5.設f(x)=x^2，則f''(x)=________。

6.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上必有：

A.最大值

B.最小值

C.有界

D.均勻連續(xù)

7.若函數(shù)f(x)在x=a處可導，則f(x)在x=a處的導數(shù)f'(a)等于：

A.f(a+h)-f(a)/h

B.f(a-h)-f(a)/h

C.f(a+h)-f(a)/2h

D.f(a-h)-f(a)/2h

8.設函數(shù)f(x)=x^3-3x，則f'(x)=________。

9.若函數(shù)f(x)在x=a處可導，則f(x)在x=a處的導數(shù)f'(a)等于：

A.f(a+h)-f(a)/h

B.f(a-h)-f(a)/h

C.f(a+h)-f(a)/2h

D.f(a-h)-f(a)/2h

10.若函數(shù)f(x)在x=a處連續(xù)，則f(x)在x=a處可導的充要條件是：

A.f'(a)存在

B.f'(a)不存在

C.f(x)在x=a處有定義

D.f(x)在x=a處連續(xù)

二、填空題（每題3分，共30分）

1.若函數(shù)f(x)=x^2-3x+2，則f(1)=________。

2.若函數(shù)f(x)=e^x，則f'(x)=________。

3.若函數(shù)f(x)=sin(x)，則f''(x)=________。

4.若函數(shù)f(x)=ln(x)，則f'(x)=________。

5.若函數(shù)f(x)=x^3，則f''(x)=________。

6.若函數(shù)f(x)=e^x，則f''(x)=________。

7.若函數(shù)f(x)=sin(x)，則f'(x)=________。

8.若函數(shù)f(x)=x^2，則f'(x)=________。

9.若函數(shù)f(x)=e^x，則f'(x)=________。

10.若函數(shù)f(x)=ln(x)，則f''(x)=________。

三、解答題（每題10分，共40分）

1.求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+4x+1的導數(shù)。

2.求函數(shù)f(x)=e^x-x^2的二階導數(shù)。

3.求函數(shù)f(x)=sin(x)在x=π/2處的導數(shù)。

4.求函數(shù)f(x)=ln(x)在x=1處的導數(shù)。

四、計算題（每題10分，共40分）

1.計算極限：lim(x→0)(sin(x)-x)/x^3。

2.計算極限：lim(x→∞)(x^3-3x^2+2x)/(x^2+4x+5)。

3.計算極限：lim(x→1)[(x-1)/(x^2-1)]/[(x-1)/(x^2+1)]。

4.計算極限：lim(x→0)(cos(x)-1)/(x^2)。

五、證明題（每題10分，共20分）

1.證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上必存在最大值和最小值。

2.證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可導，且f(a)=f(b)，則存在至少一點c∈(a,b)，使得f'(c)=0。

六、應用題（每題10分，共20分）

1.一質點做直線運動，其位移s(t)=t^3-6t^2+9t+3（單位：m），求該質點在t=2s秒時的速度。

2.一物體做勻加速直線運動，其速度v=t^2+4t（單位：m/s），求該物體在t=3s時的位移。

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析：

1.B

解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，得x=0或x=2，代入f''(x)=6x-6，得f''(0)=0，f''(2)=6，因此x=0是極大值點，x=2是極小值點。

2.B

解析：f(x)=|x|在x=0處不可導，因為左右導數(shù)不相等。

3.6x^2-6x+4

解析：對f(x)=2x^3-3x^2+4x+1求導得f'(x)=6x^2-6x+4。

4.D

解析：若f(x)在x=a處連續(xù)，則f(x)在x=a處有定義，同時f(x)在x=a處可導。

5.2x

解析：對f(x)=x^2求導得f'(x)=2x。

6.A

解析：根據(jù)極值定理，連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值。

7.A

解析：根據(jù)導數(shù)的定義，f'(a)=lim(h→0)[f(a+h)-f(a)]/h。

8.3x^2-6x+4

解析：對f(x)=x^3-3x^2+4x+1求導得f'(x)=3x^2-6x+4。

9.A

解析：根據(jù)導數(shù)的定義，f'(a)=lim(h→0)[f(a+h)-f(a)]/h。

10.D

解析：若f(x)在x=a處連續(xù)，則f(x)在x=a處可導。

二、填空題答案及解析：

1.0

解析：代入x=1得f(1)=1^2-3*1+2*1+1=0。

2.e^x

解析：對f(x)=e^x求導得f'(x)=e^x。

3.-cos(x)

解析：對f(x)=sin(x)求導得f'(x)=cos(x)，再求導得f''(x)=-sin(x)。

4.1/x

解析：對f(x)=ln(x)求導得f'(x)=1/x。

5.6x

解析：對f(x)=x^3求導得f'(x)=3x^2，再求導得f''(x)=6x。

6.e^x

解析：對f(x)=e^x求導得f'(x)=e^x。

7.-sin(x)

解析：對f(x)=sin(x)求導得f'(x)=cos(x)，再求導得f''(x)=-sin(x)。

8.2x

解析：對f(x)=x^2求導得f'(x)=2x。

9.e^x

解析：對f(x)=e^x求導得f'(x)=e^x。

10.1/x^2

解析：對f(x)=ln(x)求導得f'(x)=1/x，再求導得f''(x)=-1/x^2。

三、解答題答案及解析：

1.f'(x)=3x^2-6x+4

解析：對f(x)=x^3-3x^2+4x+1求導得f'(x)=3x^2-6x+4。

2.f''(x)=2+4x

解析：對f(x)=e^x-x^2求導得f'(x)=e^x-2x，再求導得f''(x)=e^x-2。

3.f'(π/2)=1

解析：對f(x)=sin(x)求導得f'(x)=cos(x)，代入x=π/2得f'(π/2)=cos(π/2)=0。

4.f'(1)=1

解析：對f(x)=ln(x)求導得f'(x)=1/x，代入x=1得f'(1)=1。

四、計算題答案及解析：

1.-1/2

解析：利用泰勒展開，sin(x)≈x-x^3/6，代入得lim(x→0)[(x-x^3/6)-x]/x^3=-1/2。

2.0

解析：分子分母同除以x^3，得lim(x→∞)[(x^3-3x^2+2x)/x^3]/[(x^2+4x+5)/x^3]=lim(x→∞)[1-3/x+2/x^2]/[1+4/x+5/x^2]=0。

3.1/2

解析：化簡得lim(x→1)[(x-1)/(x^2-1)]/[(x-1)/(x^2+1)]=lim(x→1)[(x-1)/(x-1)(x+1)]/[(x-1)/(x+1)]=lim(x→1)1/(x+1)=1/2。

4.-1/2

解析：利用泰勒展開，cos(x)≈1-x^2/2，代入得lim(x→0)[(1-x^2/2)-1]/x^2=-1/2。

五、證明題答案及解析：

1.證明：由介值定理，存在c∈[a,b]，使得f(c)=max{f(x)}或f(c)=min{f(x)}。

2.證明：由羅爾定理，存在c∈(a