2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第25講、函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題（學(xué)生版）

第25講函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

知識(shí)梳理

1、函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的常見(jiàn)題型：判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)或者求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；根據(jù)含參函

數(shù)零點(diǎn)情況，求參數(shù)的值或取值范圍.

求解步驟：

第一步：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與x軸(或直線yk)

在某區(qū)間上的交點(diǎn)問(wèn)題；

第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性、極值、端點(diǎn)值等性質(zhì)，進(jìn)而畫(huà)出其

圖像；

第三步：結(jié)合圖像判斷零點(diǎn)或根據(jù)零點(diǎn)分析參數(shù).

2、函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：

(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．

(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)

＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．

(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫(huà)兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)

的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．

3、求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，常用的方法有：一、直接根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷；二、將fx

整理變形成fxgxhx的形式，通過(guò)gx,hx兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)

數(shù)；三、結(jié)合導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).

4、利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問(wèn)題：

（1）確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，

可用導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖像；

（2）方程的有解問(wèn)題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問(wèn)題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值

域問(wèn)題處理.可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題；

（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②

利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究.

必考題型全歸納

題型一：零點(diǎn)問(wèn)題之一個(gè)零點(diǎn)

例1．（2024·江蘇南京·南京市第十三中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)

1

fxlnx,gxx22x1.

2

（1）求函數(shù)xgx3fx的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）設(shè)hxafxgx，aR.

①求證：函數(shù)yhx存在零點(diǎn)；

②設(shè)a0，若函數(shù)yhx的一個(gè)零點(diǎn)為m.問(wèn)：是否存在a，使得當(dāng)x0,m時(shí)，函數(shù)

yhx有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且總有hx0恒成立？如果存在，試確定a的個(gè)數(shù)；如果不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

例2．（2024·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)exasinx1，

2xa2

gxacosxsinx2，fx在0,上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)x0.

ex

(1)求a的取值范圍；

(2)證明：若1a2，則gx在,0上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)x1，且x0x10.

x1

例3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fxalnx.

ex

(1)當(dāng)a1時(shí)，求曲線yfx在點(diǎn)1,f1處的切線方程；

(2)證明：當(dāng)a0時(shí)，fx有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

(3)若fx在區(qū)間0,1,1,各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

變式1．（2024·廣東茂名·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知a0，函數(shù)fxxexa，gxxlnxa.

(1)證明：函數(shù)fx，gx都恰有一個(gè)零點(diǎn)；

(2)設(shè)函數(shù)fx的零點(diǎn)為x1，gx的零點(diǎn)為x2，證明x1x2a.

題型二：零點(diǎn)問(wèn)題之二個(gè)零點(diǎn)

例4．（2024·海南?？凇そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)xex2.

(1)求f(x)的最小值；

(2)設(shè)F(x)f(x)a(x1)2(a0).

（?。┳C明：F(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2；

（ⅱ）證明：F(x)的兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2滿足x1x220.

例5．（2024·甘肅天水·高三天水市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)

f(x)lnxax2(2a1)x．

（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)a0時(shí)，g(x)(x1)f(x)x21，證明：函數(shù)g(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，兩個(gè)零點(diǎn)

互為倒數(shù)．

例6．（2024·四川遂寧·高三射洪中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)f(x)lnxax2(2a1)x．

（1）若函數(shù)f(x)在x1處取得極值，求曲線yf(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程；

（2）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

（3）當(dāng)a0時(shí)，g(x)(x1)f(x)x21，證明：函數(shù)g(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，且兩個(gè)零

點(diǎn)互為倒數(shù)．

變式2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)exlnxa.

（1）若a3.證明函數(shù)f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；

x1x2x1x2

（2）若函數(shù)f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2，證明：eee22a.

變式3．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)lnxax(aR)在其

定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．

（1）求a的取值范圍；

（2）記兩個(gè)零點(diǎn)為x1,x2，且x1x2，已知0，若不等式lnx21lnx110恒成立，

求的取值范圍．

1

變式4．（2024·江蘇·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fxax4x2，x(0,)，

2

gxfxfx．

(1)若a0，求證：

（ⅰ）fx在f(x)的單調(diào)減區(qū)間上也單調(diào)遞減；

（ⅱ）gx在(0,)上恰有兩個(gè)零點(diǎn)；

(2)若a1，記gx的兩個(gè)零點(diǎn)為x1,x2，求證：4x1x2a4．

題型三：零點(diǎn)問(wèn)題之三個(gè)零點(diǎn)

ax2

例7．（2024·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fxlnxlna1有三

ex1

個(gè)零點(diǎn).

(1)求a的取值范圍；

x1x3

(2)設(shè)函數(shù)fx的三個(gè)零點(diǎn)由小到大依次是x1,x2,x3.證明：aee.

x1

例8．（2024·廣東深圳·?？级＃┮阎瘮?shù)f(x)alnx.

x1

(1)當(dāng)a1時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

1

(2)①當(dāng)0a時(shí)，試證明函數(shù)f(x)恰有三個(gè)零點(diǎn)；

2

xx22

②記①中的三個(gè)零點(diǎn)分別為1，2，x3，且x1x2x3，試證明x1(1x3)a(x11).

例9．（2024·廣西柳州·統(tǒng)考三模）已知f(x)x3ax1lnx．

（1）若函數(shù)f(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）在（1）的前提下，設(shè)三個(gè)零點(diǎn)分別為x1,x2,x3且x1x2x3，當(dāng)x1x32時(shí)，求實(shí)數(shù)

a的取值范圍．

1

變式5．（2024·貴州遵義·遵義市南白中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fxx3ax2bx1（a，

3

bR）.

（1）若b0，且fx在0，內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求a的值；

（2）若a2b0，且fx有三個(gè)不同零點(diǎn)，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)a使得這三個(gè)零點(diǎn)成等差數(shù)列？

若存在，求出a的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

e

變式6．（2024·浙江·校聯(lián)考二模）設(shè)a，已知函數(shù)fxx2exax22x2有3個(gè)

2

不同零點(diǎn).

(1)當(dāng)a0時(shí)，求函數(shù)fx的最小值：

(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)設(shè)函數(shù)fx的三個(gè)零點(diǎn)分別為x1、x2、x3，且x1x30，證明：存在唯一的實(shí)數(shù)a，使

得x1、x2、x3成等差數(shù)列.

lnxax

變式7．（2024·山東臨沂·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)f(x)和g(x)有相同的最大值.

xex

(1)求a，并說(shuō)明函數(shù)h(x)f(x)g(x)在（1，e）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

(2)證明：存在直線yb，其與兩條曲線yf(x)和yg(x)共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從

左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列.

題型四：零點(diǎn)問(wèn)題之max，min問(wèn)題

x

例10．（2024·湖北黃岡·黃岡中學(xué)校考三模）已知函數(shù)fxxsinxcosxax2,gxxln．

π

(1)當(dāng)a0時(shí)，求函數(shù)fx在π,π上的極值；

(2)用maxm,n表示m,n中的最大值，記函數(shù)hxmaxfx,gx(x0)，討論函數(shù)hx

在0,上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

1x

例11．（2024·四川南充·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)f(x)xsinxcosxax2，g(x)xln．

2π

(1)當(dāng)a0時(shí)，求函數(shù)f(x)在[,]上的極值；

(2)用max{m,n}表示m，n中的最大值，記函數(shù)h(x)max{f(x),g(x)}(x0)，討論函數(shù)h(x)

在(0,)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

axx2

例12．（2024·四川南充·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)fxx，gxlnx其中e為自然對(duì)

ex2

數(shù)的底數(shù).

(1)當(dāng)a1時(shí)，求函數(shù)fx的極值；

(2)用maxm,n表示m，n中的最大值，記函數(shù)hxmaxfx,gx(x0)，當(dāng)a0時(shí)，

討論函數(shù)hx在0,上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

1

變式8．（2024·廣東·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)lnx，g(x)x3ax，aR.

4

(1)若函數(shù)g(x)存在極值點(diǎn)x0，且gx1gx0，其中x1x0，求證：x12x00；

(2)用min{m,n}表示m，n中的最小值，記函數(shù)h(x)min{f(x)，g(x)}(x0)，若函數(shù)h(x)有

且僅有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

變式9．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)exax2(aR)，gxx1．

(1)若直線ygx與曲線yfx相切，求a的值；

(2)用minm,n表示m，n中的最小值，討論函數(shù)h(x)min{f(x),g(x)}的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

變式10．（2024·山西朔州·高三懷仁市第一中學(xué)校校考期末）已知函數(shù)

1

fxx3ax,gx1xlnx.

4

(1)若過(guò)點(diǎn)1,0可作fx的兩條切線，求a的值.

(2)用minm,n表示m,n中的最小值，設(shè)函數(shù)hxminfx,gx(0x1)，討論hx零

點(diǎn)的個(gè)數(shù).

題型五：零點(diǎn)問(wèn)題之同構(gòu)法

ax

例13．已知函數(shù)f(x)xln(ax)2(a0)，若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,)內(nèi)存在零

ex1

點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

a

例14．已知f(x)xlnxx21．

2

（1）若函數(shù)g(x)f(x)xcosxsinxxlnx1在(0,]上有1個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取

2

值范圍．

a

（2）若關(guān)于x的方程xexaf(x)x2ax1有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍．

2

例15．已知函數(shù)f(x)aexln(x1)lna1．

（1）若a1，求函數(shù)f(x)的極值；

（2）若函數(shù)f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

題型六：零點(diǎn)問(wèn)題之零點(diǎn)差問(wèn)題

例16．已知關(guān)于x的函數(shù)yf(x)，yg(x)與h(x)kxb(k，bR)在區(qū)間D上恒

有f(x)h(x)g(x)．

（1）若f(x)x22x，g(x)x22x，D(,)，求h(x)的表達(dá)式；

（2）若f(x)x2x1，g(x)klnx，h(x)kxk，D(0,)，求k的取值范圍；

（3）若f(x)x42x2，g(x)4x28，h(x)4(t3t)x3t42t2(0|t|2)，D[m，

n][2，2]，求證：nm7．

例17．已知函數(shù)f(x)(x33x2axb)ex．

（1）如ab3，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若f(x)在(,)，(2,)單調(diào)增加，在(,2)，(,)單調(diào)減少，證明：6．

1

例18．已知函數(shù)f(x)ae2xx2ax，aR．

2

（1）當(dāng)a1時(shí)，求函數(shù)g(x)f(x)x2的單調(diào)區(qū)間；

4

（2）當(dāng)0a，時(shí)，函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x，x(xx)，證明：xx2．

e41121221

題型七：零點(diǎn)問(wèn)題之三角函數(shù)

例19．（2024·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考一模）已知函數(shù)fxasinxln1x．

(1)若對(duì)x1,0時(shí)，fx0，求正實(shí)數(shù)a的最大值；

n1

證明：；

(2)sin2ln2

k2k

(3)若函數(shù)gxfxex1asinx的最小值為m，試判斷方程e1xmln1x0實(shí)數(shù)根的

個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．

πx

例20．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)fxxsin.

2

(1)證明：當(dāng)x0,1時(shí)，fx0；

(2)記gxfxalnx，若gx有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，求a的值.

1

例21．（2024·廣東深圳·紅嶺中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知f(x)asinxx(x1)，且0