2024-2025學年高中數(shù)學 第3章 導數(shù)及其應用 3.1 3.1.1 變化率問題 3.1.2 導數(shù)的概念（教師用書）教學設計 新人教A版選修1-1

2024-2025學年高中數(shù)學第3章導數(shù)及其應用3.13.1.1變化率問題3.1.2導數(shù)的概念（教師用書）教學設計新人教A版選修1-1授課內(nèi)容授課時數(shù)授課班級授課人數(shù)授課地點授課時間教學內(nèi)容本節(jié)課主要圍繞新人教A版選修1-1教材第3章“導數(shù)及其應用”中的3.1.1“變化率問題”和3.1.2“導數(shù)的概念”展開。具體內(nèi)容包括：通過實例引入變化率的概念，講解導數(shù)的定義及其幾何意義，以及導數(shù)在函數(shù)單調(diào)性、極值等應用。核心素養(yǎng)目標培養(yǎng)學生數(shù)學抽象能力，通過導數(shù)的概念學習，使學生能夠從具體問題中抽象出數(shù)學模型；提升邏輯推理能力，通過導數(shù)的定義和性質(zhì)，引導學生進行嚴密的邏輯推理；增強數(shù)學建模意識，通過解決實際問題，讓學生體會到數(shù)學在現(xiàn)實生活中的應用價值；提高數(shù)學運算能力，通過導數(shù)的計算，鍛煉學生的運算技巧和精度。學情分析本節(jié)課面向的是高中一年級的學生，他們在進入高中階段之前已經(jīng)學習了基本的數(shù)學知識，具備了一定的數(shù)學基礎。在知識層面，學生已經(jīng)掌握了函數(shù)、極限等基本概念，但導數(shù)作為微積分的基礎，對于他們來說是一個全新的概念，需要教師引導他們從直觀到抽象的理解過程。

在能力方面，學生具備一定的分析問題和解決問題的能力，但面對抽象的數(shù)學概念和理論時，可能會感到困惑。他們對數(shù)學的興趣和動力也是影響學習效果的重要因素。此外，學生的數(shù)學運算能力參差不齊，部分學生在處理復雜運算時可能存在困難。

在素質(zhì)方面，學生的自主學習能力和合作學習意識有待提高。由于高中數(shù)學課程的難度逐漸增加，學生需要學會獨立思考和自主學習，同時，合作學習有助于他們在解決問題時能夠互相啟發(fā)，共同進步。

行為習慣上，學生在課堂上普遍能夠遵守紀律，但部分學生在面對困難時可能會表現(xiàn)出焦慮或放棄的態(tài)度，這需要教師在教學過程中給予適當?shù)墓膭詈鸵龑?。教學資源準備1.教材：確保每位學生都具備新人教A版選修1-1教材，以便在課堂上進行同步學習。

2.輔助材料：準備與導數(shù)概念相關(guān)的圖片、圖表和視頻，以幫助學生直觀理解導數(shù)的幾何意義和應用。

3.教學工具：準備計算器或計算軟件，以便在講解導數(shù)計算時輔助學生操作。

4.教室布置：設置分組討論區(qū)，便于學生進行小組合作學習，同時準備白板或投影儀，以便展示教學過程和計算結(jié)果。教學過程1.導入（約5分鐘）

-激發(fā)興趣：以生活中常見的速度變化為例，提問學生如何描述物體運動的速度變化，引出變化率的概念。

-回顧舊知：回顧函數(shù)的概念、極限的基本思想，為導數(shù)的引入做好鋪墊。

2.新課呈現(xiàn)（約30分鐘）

-講解新知：詳細講解導數(shù)的定義、幾何意義以及導數(shù)的性質(zhì)。

-導數(shù)的定義：通過實例說明平均變化率，引導學生理解瞬時變化率的概念，進而引入導數(shù)的定義。

-幾何意義：利用幾何圖形，展示導數(shù)在切線斜率中的應用，幫助學生理解導數(shù)的幾何意義。

-導數(shù)的性質(zhì)：講解導數(shù)的四則運算、復合函數(shù)的導數(shù)等性質(zhì)，使學生掌握導數(shù)的基本運算規(guī)則。

-舉例說明：通過具體的數(shù)學問題，如求函數(shù)的極值、判斷函數(shù)的單調(diào)性等，展示導數(shù)在實際問題中的應用。

-互動探究：分組討論，讓學生嘗試用導數(shù)解決實際問題，如計算物體運動的速度變化率等。

3.鞏固練習（約30分鐘）

-學生活動：分組進行練習，鞏固導數(shù)的定義、性質(zhì)和計算方法。

-分組討論：針對每個問題，學生分組討論，嘗試獨立解決問題。

-互評互學：每組選派代表展示解題過程，其他組進行評價和提問。

-教師指導：對學生在練習過程中遇到的問題進行個別指導和點撥，確保每個學生都能理解并掌握知識。

4.拓展延伸（約20分鐘）

-引導學生思考導數(shù)的實際應用，如工程、物理等領域，激發(fā)學生對數(shù)學應用的興趣。

-提供一些拓展題目，讓學生嘗試運用導數(shù)解決更復雜的問題，如求函數(shù)的最大值和最小值、證明不等式等。

5.總結(jié)回顧（約5分鐘）

-教師總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容，強調(diào)導數(shù)的定義、性質(zhì)和應用。

-學生回顧本節(jié)課所學，整理筆記，鞏固知識。

6.課后作業(yè)（約15分鐘）

-布置一些課后作業(yè)，包括計算題、證明題和應用題，讓學生進一步鞏固所學知識。

-要求學生在課后自主完成作業(yè)，并按時提交。教學資源拓展1.拓展資源：

-**數(shù)學史上的導數(shù)發(fā)展**：介紹導數(shù)概念的演變過程，從古代的幾何學發(fā)展到現(xiàn)代的微積分，讓學生了解數(shù)學知識的傳承和發(fā)展。

-**導數(shù)的應用領域**：探討導數(shù)在物理、工程、經(jīng)濟學等領域的應用實例，如物體運動的速度、加速度，曲線的斜率等。

-**導數(shù)在實際生活中的應用**：收集一些生活中常見的與導數(shù)相關(guān)的問題，如商品的定價策略、經(jīng)濟變化的趨勢分析等。

-**導數(shù)的計算技巧**：介紹一些導數(shù)計算的技巧，如復合函數(shù)的求導法則、隱函數(shù)求導等。

2.拓展建議：

-**閱讀數(shù)學史資料**：推薦學生閱讀《數(shù)學的故事》等書籍，了解數(shù)學概念的發(fā)展歷程。

-**實踐項目研究**：鼓勵學生參與數(shù)學建?；蚩茖W實驗項目，將導數(shù)的概念應用于實際問題中。

-**網(wǎng)絡資源利用**：指導學生訪問學校圖書館或在線資源庫，查找相關(guān)教材和學術(shù)論文，以拓寬知識面。

-**小組合作學習**：組織學生以小組形式進行學習，通過討論和分享，共同解決復雜的數(shù)學問題。

-**參加數(shù)學競賽**：鼓勵學生參加數(shù)學競賽，如美國數(shù)學競賽（AMC）、國際數(shù)學奧林匹克（IMO）等，提高解題能力和數(shù)學思維能力。

-**編寫數(shù)學小論文**：引導學生選擇感興趣的數(shù)學問題，進行深入研究，并撰寫小論文，鍛煉學生的研究能力和寫作能力。

-**觀看數(shù)學教育視頻**：推薦一些優(yōu)秀的數(shù)學教育視頻，如“數(shù)獨”、“數(shù)學之美”等，以娛樂和啟發(fā)的方式學習數(shù)學。

-**參與數(shù)學討論**：鼓勵學生在學校或在線平臺上參與數(shù)學討論，與不同背景的同學交流學習心得。典型例題講解1.例題1：求函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+4\)在\(x=1\)處的導數(shù)。

解答：首先，我們需要求出函數(shù)\(f(x)\)的導數(shù)。根據(jù)導數(shù)的定義和冪函數(shù)的求導法則，我們有

\[f'(x)=3x^2-6x.\]

然后，將\(x=1\)代入\(f'(x)\)中，得到

\[f'(1)=3(1)^2-6(1)=3-6=-3.\]

所以，函數(shù)\(f(x)\)在\(x=1\)處的導數(shù)是\(-3\)。

2.例題2：已知函數(shù)\(f(x)=e^x-x\)，求\(f(x)\)在\(x=0\)處的導數(shù)。

解答：對于指數(shù)函數(shù)\(e^x\)，其導數(shù)仍然是\(e^x\)。因此，我們有

\[f'(x)=e^x-1.\]

將\(x=0\)代入\(f'(x)\)中，得到

\[f'(0)=e^0-1=1-1=0.\]

所以，函數(shù)\(f(x)\)在\(x=0\)處的導數(shù)是\(0\)。

3.例題3：求函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x}\)的導數(shù)。

解答：這是一個冪函數(shù)的導數(shù)問題，其中\(zhòng)(\sqrt{x}\)可以寫成\(x^{1/2}\)。根據(jù)冪函數(shù)的求導法則，我們有

\[f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.\]

所以，函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x}\)的導數(shù)是\(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)。

4.例題4：已知函數(shù)\(f(x)=\ln(x)\)，求\(f(x)\)的導數(shù)。

解答：對數(shù)函數(shù)\(\ln(x)\)的導數(shù)是\(\frac{1}{x}\)。因此，我們有

\[f'(x)=\frac{1}{x}.\]

所以，函數(shù)\(f(x)=\ln(x)\)的導數(shù)是\(\frac{1}{x}\)。

5.例題5：求函數(shù)\(f(x)=\sin(x)\)的導數(shù)。

解答：三角函數(shù)\(\sin(x)\)的導數(shù)是\(\cos(x)\)。因此，我們有

\[f'(x)=\cos(x).\]

所以，函數(shù)\(f(x)=\sin(x)\)的導數(shù)是\(\cos(x)\)。課堂小結(jié)，當堂檢測課堂小結(jié)：

在本節(jié)課的學習中，我們共同探討了導數(shù)及其應用的相關(guān)知識。首先，我們通過實例引入了變化率的概念，幫助學生理解了導數(shù)的實際意義。接著，詳細講解了導數(shù)的定義、幾何意義以及導數(shù)的性質(zhì)，使學生掌握了導數(shù)的基本計算方法。以下是本節(jié)課的主要內(nèi)容小結(jié)：

1.導數(shù)的定義：導數(shù)描述了函數(shù)在某一點的瞬時變化率，是連接微積分與幾何學的重要橋梁。

2.導數(shù)的幾何意義：導數(shù)可以表示曲線在某一點的切線斜率，幫助我們理解曲線的局部變化情況。

3.導數(shù)的性質(zhì)：包括導數(shù)的四則運算、復合函數(shù)的導數(shù)、高階導數(shù)等，是進行函數(shù)分析的基礎。

4.導數(shù)的應用：導數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等方面有著廣泛的應用。

當堂檢測：

為了檢測學生對本節(jié)課知識的掌握程度，以下提供幾道檢測題，請學生獨立完成。

1.求函數(shù)\(f(x)=x^2+2x+1\)的導數(shù)，并求其在\(x=1\)處的導數(shù)值。

2.已知函數(shù)\(f(x)=e^x-\ln(x)\)，求\(f(