人教版八年級數學上冊舉一反三117與三角形有關的角的四大類型解答(學生版+解析)

專題11.7與三角形有關的角的四大類型解答

【人教版】

考卷信息：

本套訓練卷共30題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強學生對與三角形有關的角的四大類型解

答的理解！

【類型1與三角形有關的角的計算】

1.(2023春?甘肅蘭州?八年級蘭州H―中?？计谀?如圖,△■82中,NA=35。，LB=65°,CE^^ACB,

CDDF1CE^F,求/CD/7的度數.

2.(2023春?四川達州?八年級校聯(lián)考期中)如圖，在△4BC中，4E為BC邊上的高，點。為BC邊上的一點,

(1)當為8c邊上的中線時，若AE=6,△4BC的面積為30,求CD的長；

(2)當4D為乙B4C的角平分線時,若“=66。,Z.B=36°,求ND4E的度數.

3.(2023春?安徽淮北?八年級?？计谀?如圖，在44BC中，DE1于點E,DF1BC于點F,且DE=DF,

CD平分乙4CB,乙BDC=135°.

(1)求乙DBF+iDCF的度數；

(2)求乙1的度數.

4.(2023春?湖北孝感?八年級統(tǒng)考期中)如圖，點D為的邊BC上一點，Z.BAD=^ABAC,BP平分4ABe

交于點P,4。=70。，AADB=110°.求48PD的度數.

B

5.(2023春?遼寧鞍山?八年級統(tǒng)考期中)如圖，在四邊形4BCD中，AD\\BC,上力48的平分線交8c的延長線

(1)求證：8G平448E.

(2)若乙OCE=105°,^DAD=60°,求乙3GC的度數.

6.(2023春?浙江溫州?八年級校琰考期中)已知：如圖1,在三角形4BC中，Z.BAC=40°,4c=65。，將

線段AC沿直線平移得到線段DE,連接4E.

圖1圖2

(1)當/E=65。時,請說明AEIIBC.

(2)如圖2,當DE在AC上方時，且乙￡=2乙84￡—29。時，求/BAE與NE4C的度數.

(3)在整個運動中，當4E垂直三角形4BC中的一邊時，求出所有滿足條件的2E的度數.

7.(2023春?吉林長春?八年級長春外國語學校校考期中)將三角形紙片48c沿直線DE折疊，使點4落在片處.

【感知】如果點A落在邊48上，這時圖①中的N1變?yōu)?。，那么乙V與r2之間的關系是

【探究】如果點4落在四邊形8C0E的內部(如圖①)，那么乙4,與Z1、乙2之間存在怎樣的數量關系?并說明理

由.

【拓展】如果點4落在四邊形8C0E的外部(如圖②)，那么請直接寫出乙4'與21、42之間存在數量關

系

BBA'

②

8.(2023春?江西萍鄉(xiāng)?八年級統(tǒng)考期末)已知點A在射線CE上，^C=^ADB.

(1)如圖1,若皿3C,求證:ACWBD；

(2)如圖2,若BD1BC,垂足為B.BD交CE于點G,請?zhí)骄縉/Z4E與的數量關系，寫出你的探究結論，并

說明理由；

(3)如圖3,在(2)的條件下，過點。作。為I8C交射線CE于點F,當N84C=NB40,Z.DFE=求

。的度數.

9.(2023春?福建泉州?八年級統(tǒng)考期末)在△718。中，”>4從/1E平分NB4C,點F為射線4E上一點(不

與點E重合)，且FD1BC于點D.

(1)如圖I,如果點尸在線段力E上，且NC=50。，48=30。，則乙￡TD=.

⑵如果點產在△48。的外部，分別作出NC4E和乙EOF的角平分線，交于點K,請在圖2中補全圖形，探究

乙川(。、“、4?三者之間的數量關系，并說明理由：

(3)如圖3,若點F與點力重合，PE、PC分別平分匕4EC和△48C的外角iACM,連接P4過點P作PG_LBC交

8c延長線于點G,PH1AB交BA的延長線于點H,若4氏4。=4&4。，且“PG=看+“PE),求乙EPH

的度數.

【類型2與三角形有關的角的證明】

1.（2023春?安徽宿州?八年級統(tǒng)考期末）如圖,ABIIC。，點E在AC上,求證：乙4=

2.（2023春?湖北武漢?八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知力B||CD,48=60。，點G在直線EF上且心力BG="GB.

⑴求證：zC=LCGE.

（2）若NC=NCGB+20。，求NC的度數.

3.（2023春?江蘇南通?八年級統(tǒng)考期末）已知點。在乙4BC內，￡為射線BC上一點，連接DE,CD.

（1）如圖1所示，連接4E,^^AED=Z.BAE+Z-CDE.

①線段48與CD有何位置關系？請說明理由；

②過點。作。M||4E交直線8c于點M,求證：乙CDM=ABAE；

（2）皿圖2所示，^AED=z/1-ZD,若M為平面內一動點，MAWED,請直接寫出4M與NCOE的數量關系.

4.（2023春?黑龍江哈爾濱?八年級?？计谥校┥渚€OM、ON交于。點，0C平分乙M0N,乙M0N=60。，

M,

G

OBN0BN

圖1圖2

⑴如圖I,PA.P8分別平分40/1B、時，直接寫出44PB二；

(2)如圖2,PA.PB分別平分2M/1B、乙N8/1時，求出〃PB的度數；

(3)在(2)條件下，如圖2中，求證NP/18+40P8=90。.

5.(2023春?河南南陽?八年級統(tǒng)考期末)請閱讀下列材料，并完成相應任務.

在數學探究課上，老師出了這樣一個題：如圖1,銳角484c內部有一點。，在其兩邊力B和力C上各取任意一

點、E,F,連接06,DF.

求證：乙BED+Z-DFC=^BAC+乙EDF.

小麗的證法小紅的證法

證明：

證明：

如圖2,連接4D并延長至點M,

■:乙BED=80°,Z.DFC=60°,

乙BED=/.BAD+匕EDA,

4BAC=51。,乙《0尸二89。（量角器測量所得）,

Z.DFC=LDAC+Z.ADF（依據）,

???乙BED+乙DFC=140。，

又,：乙BAD+Z.DAC=Z.BAC,

ABAC+/-EDF=140°（計算所得）.

Z.EDA+Z.ADF=乙EDF,

：.ABED+ADFC=LBAC+/-EDF（等量代換）.

，乙BED+"FC=Z.BAC+LEDF.

任務:

(1)小麗證明過程中的“依據”是指數學定理：

(2)下列說法正確的是.

A.小麗的證法用嚴謹的推理證明了該定理

B.小麗的證法還需要改變乙84c的大小，再進行證明，該定理的證明才完整

C.小紅的證法用特殊到?般的方法證明了該定理

D.小紅的證法只要將點。在484c的內部任意移動100次，重新測量進行驗證，就能證明該定理

（3）如圖，若點D在銳用乙BAC外系,ED與力C相交于點G,其余條件不變，原題中結論還成立嗎？若成立,

請說明理由：若不成立，請?zhí)剿?BED,Z.DFC,LBAC,iEDF之間的關系.

6.（2023春?北京大興?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在直角三角形45。中，乙4cB=90。.

（1）如圖1，點M在線段Q?上，在線段的延長線上取一點N,使得=過點3作B014M,

交延長線于點。，過點N作NEII8。，交48于點￡,交4M于點足判斷4CN8與4MAC之間的數量關系，

寫出你的結論，并加以證明：

（2）如圖2,點M在線段CB的延長線上，在線段BC的延長線上取一點N,使得4M4c=4M4C.過點8作8。1

于點D,過點N作NEII8C,交84延長線于點E,交M力延長線于點尸.

①依題意補全圖形；

②若乙。/3=45°,求證：Z.NEA=Z.NAE.

7.（2023春?江蘇揚州?八年級?？计谀咎骄拷Y論】

（1）如圖1,ABWCD,E為形內一點,連結AE、CE得至比/lEC,則乙4EC、乙小乙。的關系是（直接寫

出結論，不需要證明）：

【探究應用】利用（1）中結論解決下面問題：

（2）如圖2,ABWCD,直線MN分別交48、CD于點E、/，EG1和EG2為內滿足N1=22的兩條線，分別

與"FD的平分線交于點Gi和G2,求證：4FG1E+乙G=180。.

(3)如圖3,已知A8IIC0,F為CD上一點、,Z.EFD=60°,Z.AEC=3^CEF,若8°V48AEV20。4c的度數

為整數，則NC的度數為

圖1

8.（2023春?福建泉州?八年級統(tǒng)考期末）在△48C在中，=4C,點。在邊BC上.

（1）如圖①，點E在線段AC上，若，力。E=〃ED,證明：々BAD=24CDE；

（2）如圖②，平分上。40,點尸在線段CD匕FH_LA”交力0延長線于點Q,設乙48c與乙AQF的角平分線交

于點P,求NP與4BFQ的度數之比

【類型3與三角形有關的角的挖空題】

I.（2023春?江蘇揚州?八年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形4BCD中，作點4C1/W,設8D分別與力。、CE交于

點廣、G.若80平分N4BC,且N2=N3,求證：/-CFG=Z-CGF.

完成下面的證明過程：

證明：???AC1AD（B^l）.

:.iCAD=90。（垂直的定義）.

???BD平分匕ABC（已知）

41=Z.2（）

???乙2=匕3（已知）

???乙1二（等一代換）

AD//BC（）

:.尸LCAD=90。（兩直線平行，內錯角相等）

:.zl=Z.CAD=90。（-角三角形的兩個銳珀互余）

同理由CE1AB,

可得/24-乙BGE=90°

:./.CFG=Z.BGE（）

又?,乙BGE=乙CGF（對頂角相等）

Z.CFG=乙CGF（等量代換）

2.(2023春?黑龍江大慶?八年級統(tǒng)考期末)如圖，ABWCD,N8MN與NOMW的平分線相交于點G,

完成下面的證明：

VMG平分乙BMN,

:.NGMN=)BMN(—),

同理NGNM=^NONM.

VZBHCD

:.￡BMN+NDNM=(_).

NGMN+/GNM=.

,?NGMN+NGNM+ZG=，

???NG=.

E

3.（2023春,江蘇鹽城?八年級?？计谥校┗訉W生課堂上，某小組同學對一個課題展開了探究.

小亮：已知，如圖，三角形ABC,點。是三角形4BC內一點，連接B。，CD,試探究N8OC與NA、/I、

N2之間的關系.

小麗：用外角的相關結論也能解決.

（I）請你在橫線上補全小明的探究過程：

180。，（）

???NBDC=180。-NDBC-/BCD,（等式性質）

VZ/\+Zl++ZDBC+ZBCD=180。，

/.ZA+Zl+Z2=180°--NBCD,

：.ZBDC=ZA+Z\+Z2.（）

（2）請你按照小麗的思路完成探究過程.

4.（2023春?河北衡水?八年級?？计谀┤鐖D，已知Nl+N2=180。，且/3=/艮

（1）求證：/AFE=NACB,完成下面的證明.

證明：???N2+NAEC=180°./l+N2=180（已知），

???NAEC=N1（等量代換），

：.AB\\FD（_）,

???N3=_（兩直線平行，內錯角相等）.

又：N3=NB（已知），

???=/B（等量代換），

???_（同位角相等，兩直線平行），

/.^AFE=ZACB（_）；

（2）若CE平分NACB,且N2=110。，N3=5（）。，求NA/E的度數.

5.（2023春?山西晉城?八年級統(tǒng)考期末）綜合與實踐問題情境：在數學活動課上，全班同學分組進行了一

副三角尺上角的探究活動，如圖所示，放置一副三角尺，兩個三角尺的頂點O重合，邊G）與邊48重合，試

求乙AOC的度數.

（1）探究展示勤奮小組展示了如下的解決方法（請結合圖形1,完成填空）

解：VZ0CD=45°,WBC=60°

：,LBOC=（）

乂?:乙AOB=90°,

：.AAOC=.

（2）反思交流：創(chuàng)新小組受勤奮小組的啟發(fā)，繼續(xù)進行探窕，如圖2所示，繞頂點。逆時針旋轉△00C,

當。?！?。時，求得N4E。的度數.（請你寫出解答過程）

B

OA

圖2

（3）探索發(fā)現：小明受到旋轉的啟發(fā)，繼續(xù)進行探究（如圖3）,繼續(xù)繞頂點O逆時針旋轉△DOC,使點B

落在邊DC上，此時發(fā)現與42之間的數量關系.

以下是他的解答過程，請補充完整解：在AZOE與ABCE中,

V2.AE0+Z.1+乙4=Z.CEB+z.2+Z.C

XVz/lFO=乙CEB()

Z.A=，Z.C=

Az.1+=42+乙。

4]-Z2=__________

【類型4探究與三角形有關的角之間的關系】

1.（2023春?全國?八年級期中）將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點C按如圖方式疊放在一起，其

中，=60°,乙D=30°；NE=NB=45°.

（1）①4DCE=30。時，乙ACB的度數為；②乙4cB=135。時，/DCE的度數為

【探究】

⑵由（1）猜想乙4cB與々OCE的數量關系，并說明理由.

【應用】

（3）現按照這種折登方式，用這樣兩塊直角三角尺的木板制作一個畫平行線的工具，需要滿足兩個三角尺存

在一組邊互相平行，若NACEV180。且點E在直線4c的上方時，這兩塊三角尺是否存在一組邊互相平行？若

存在，請直接寫出乙4CE角度所有可能的值（不必說明理由）；若不存在，請說明理由.

2.（2023春?山西陽泉.八年級統(tǒng)考期末）綜合與探究

問題情境:

如圖L已知/IB||CD,乙ABC=60。,48/10=120°,點E,r在直線AB上，fLz/lCD=Z/1CF,CE平分乙BCF.

(1)求NACE的度數.

實踐探究：

(2)若左右平行移動71。，那么NB/C與48FC之間的數顯關系是否發(fā)生變化?若變化，請說明理由；若不變,

請求出NB4C與乙8FC之間的數量關系.

(3)如圖2,若向左平行移動4D,當=時，請求出乙C4D的度數.

3.(2023春?河南南陽?八年級統(tǒng)考期末)問題情景：如圖①，有一塊直角三角板PMN放置在△力BC上(P

點在△A3C內)，二角板PMN的兩條直角邊PM、PN恰好分別經過點，和點C.看弋問乙40P與乙力CP、乙4是

否存在某種確定的數量關系？

②

(1)特殊探究：如圖①，若匕4=50°,乙PBC+乙PCB=度，LABP+Z.ACP=度：LABP與乙ACP、

N4的數量關系是二

⑵類比探究：如圖①，若，A=a,請先寫出匕ABP+4ACP與41的數量關系，并說明理由;

⑶延伸探究：如圖②，改變直角三角板PMN的位置，使P點在AABC外，三角板PMN的兩條直角邊PM、PN

仍然分別經過點8和點C,則(2)中的結論是否仍然成立？若不成立，請重新寫出44BP與N/CP、的數

量關系，井說明理由.

4.(2023春?江西贛州?八年級統(tǒng)考期末)認真閱讀下面關f?三角形內外角平分線所夾角的探究片段，完成

所提出的問題.

A

A

（1）探究I：如圖1,在△48C中，。是448（；與七的平分線80和CO的交點，試分析44（兒與4A有怎樣的

關系？請說明理由.

（2）探究2：如圖2中，O是41BC與外角416的平分線8。和C0的交點，試分析480C與〃有怎樣的關系？

請說明理由.

（3）探究3：如圖3中，。是外角，D8C與外角的平分線80和CO的交點，則/BOC與乙4又有怎樣的關系？

（只寫結論，不需證明）結論：

5.（2023春?湖北?八年級統(tǒng)考期末）在△4BC中，BD平分NABC交AC于點。，點E是線段4c上的動點（不

與點。重合），過點E作EFIIBC交射線8D于點F,NCEF的平分線所在直線與射線BD交于點G.

備用圖

⑴如圖，點E在線段AD上運動.

①若NABC=40。，ZC=60°,則乙4的度數是：ZEFB的度數是；

②探究ZBGE與4力之間的數量關系，并說明理由；

（2）若點E在線段DC上運動時?，請直接寫出N8GE與N4之間的數量關系.

6.（2023春?廣西南寧?八年級統(tǒng)考期末）數學實踐活動課上，研究小組探究如下問題：

【問題情境】如圖，點4,O,B在同一條直線上，將一直角三角尺如圖①放置，使直角頂點與點O重合，

其中NCOD=90。，ZC=30°,0E平分,8。。且交CO所在直線于點￡

【獨立思考】（1）若乙40C=30°,求乙。FC的度數；

【實踐操作】（2）如圖②，將直角三角尺繞點O旋轉，當，OFC=2乙40C時，求乙AOC的度數；

【深入探究】（3）繼續(xù)旋轉直角三角尺，若0C不與A8重合，試探究旋轉過程中，N40C和4OFC之間的數量

關系.

(1)如圖1,點E在AB、CD之間，求證：Z.AEC=^A+

(2)如圖2,在(1)的條件下，MAE的平分線交CE的延長線于點凡NOCE的平分線交4E的延長線于點G,

試探窕△凡NG和N4EC這三個角之間的數量關系，并說明理由.

(3)如圖3,點E在直線48的上方;乙瓦48,NEC。的平分線交于點F,若乙E-ZF=20°,請直接寫出NECO-

".48的值.

8.(2023春?四川瀘州?八年級統(tǒng)考期中)如圖1,已知力8IICD,ACWEF

(1)觀察猜想：若乙4=45。，ZE=65°,則乙COE的度數為一

(2)探究問題：請在圖1中探究乙4,乙CDE與乙E之間有怎樣的數量關系，并說明理由.

(3)拓展延伸：若將圖1變?yōu)閳D2,題設的條件不變，此時乙乙4小4CDE與4小又有怎樣的數量關系呢？請寫

出結論并說明理由.

專題11.7與三角形有關的角的四大類型解答

【人教版】

考卷信息：

本套訓練卷共30題,題型針對性較高，覆蓋面廣.選題有深度,可加強學生對與三角形有關的角的四大類型解

答的理^軍！

【類型1與三角形有關的角的計算】

1.（2023春?甘肅蘭州?八年級蘭州H^一中校考期末）如圖,△482中,LA=35°,乙B=65。，CE平分々4CB,

CDLABfD,DF1CE^F,求NCOF的度數.

【答案】75。

【分析】先由三角形內角和定理得到4=80,再由角平分線的定義得到乙4CE=40,進而利用三角形外

角的性質得到乙CEO=75。，根據垂直的定義和三角形內角和定理求出乙EOF=15°,進而根據垂直的定義求

的度數即可.

【詳解】解：???在△A8C中，LA=35°,48=65。，，

：.LACB=180°-NA—4B=80°,

：,LACE=-Z-ACB=40°,

2

：,LCED=44+AACE=75°,

*：DF1CEtBPzDFE=90°,

：.LEDF=180°-乙DEF-乙DFE=15°,

vrniAR.EPz/ior=90°.

:.乙CDF=Z.ADC-乙EDF=75°.

【點睛】本題主要考查了三角形內角和定理，三角形外角的性質，角平分線的定義等等，熟知三角形內角和

為180。是解題的關鍵.

2.（2023春?四川達州?八年級校聯(lián)考期中）如圖，在△4BC中，4E為BC邊上的高，點。為BC邊上的一點，

連接4D.

(1)當AD為8C邊上的中線時，若AE=6,△力8C的面積為30,求CD的長：

(2)當AD為/BAC的角平分線時，若NC=66。，=36。，求/D4E的度數.

【答案】(l)CD=5

(2)LDAE=15°

【分析】(1)由中線平分三角形面積可得△4DC的面積，再由面積公式即可求得CO的長；

(2)由三角形內角和可求得N84C的度數，由角平分線的性質可求得乙4OE,然后在RtAAOE中即可求得結

果.

【詳解】⑴解：rD為BC邊上的中線，

S^ADC=2^Ai4BC=1X30=15,

?.TE為邊8C上的高，AE=6,

-CD-AE=15,

2

CD=5.

(2)解：vZ.BAC=180°-LB-LC=78°,

???4)為/BAC的角平分線，

???Z.BAD=^BAC=39°,

Z.ADC=+/.BAD=36°+39°=75°,

vAE1BC,

:.Z.AED=90°,

/.DAE=90°-75°=15°.

【點睛】本題考查了三角形中線、角平分線、三角形內角和及三定形外角的性質等知識，掌握這些知識是基

礎與關鍵.

3.(2023春?安徽淮北?八年級校考期末)如圖，在^ABC中，DE1A8于點E,DF18c于點F,且Z)E=DF,

CD平分zACB,^BDC=135°.

A

(1)求4+的度數；

(2)求乙4的度數.

【答案】(1)45。

(2)90°

【分析】(1)根據三角形的內角和定理，即可求解：

(2)先證明8。平分匕A8C,再根據三角形的內角和即可求解.

【詳解】(1)解：?."BDC=135°,

:?乙DBF+乙DCF=180°-135°=45°；

(2)解：*：DELAB,DF1BC,DE=DF,

平分N/18C,即N4BD=Z.CBD.

?10平分N4C8,

/.2.ACD=ABCD.

=180°-LABC-LACB=180°-2QDBC+乙DCB)=180°-2x45°=90°.

【點睛】本題主要考杳了三角形的內角和，角平分線的判定，解題的關鍵是掌握三角形的內角和為180。.

4.(2023春?湖北孝感?八年級統(tǒng)考期中)如圖，點。為△ABC的邊BC上一點，4BAD=：乙BAC,8P平分

交4)于點P,4c=70。，Z.ADB=110°.求乙BPD的度數.

【答案】450

【分析】首先根據三角形的外角和求出乙。40=40。，由此可得40=20。，再根據三角形的內角和和角平

分線的性質求出乙3P0的度數即可.

【詳解】解：???△(?+4CAD

：.700+￡CAD=110°.

：,^CAD=40°.

'：LEAD=-/.BAC,

3

：.LCAB=60°,Z.BAD=20°.

在AABC中，ZC+/.CAB+LABC=180%

???70°+60°+乙48。=180°,

：.LABC=50°.

,.?8〃平分NAAC,

：

,LABP=-2^ABC=25°.

"BPD=Z.ABP+乙BAD=250+20°=45°.

【，點睛】本題主要考查了三角形的內角和、外角和和角平分線的定義，屬于基礎題，要熟練掌握.

5.（2023春?遼寧鞍山?八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形4BCD中，ADWBC,4D48的平分線交8c的延長線

于點￡BGLAE,垂足為點F,交CD于點G.

⑴求證：BG平分乙4BE.

⑵若4DCE=105°,4DAB=60°,求4BGC的度數.

【答案】（1）證明見詳解

（2）35°

【分析】（1）根據平行線的性質得HUZZ4E=LE,再根據角平分線的性質得出ND4E=^BAE,從而得出，E=

乙BAE,最后根據等腰三角形的性質即可得出8G平分N4BE；

（2）根據N0/18=60。，ADIIBC,得出乙4BE=120。，再根據角平分線的性質得出乙G8E=6Q。，從而得出

乙DCE=105°,最后根據Z8GC=（DCE-4G8E即可得出答案.

【詳解】（1）證明：???40IIBC,

???Z.DAE=乙E,

???HE平分乙ZZ4B,

???Z.DAE=Z.BAE,

:,乙E=Z.BAE,

???AB=BE,

vBG1AE,

???8G平分

(2)???乙DAB=60°,ADIIBC,

???LABE=120°,

???8G平分N/BE,

???/.GBE=60°,

vzDCE=105°,

:.Z.BGC=乙DCE-乙GBE=105°-60°=35°.

【點睛】此題考查了多邊形的內角與外角以及平行線的性質，熟記平行線的性質以及三角形的性質是解題的

關鍵.

6.(2023春?浙江溫州?八年級校朕考期中)己如：如圖1,在二角形/WC中，^.BAC=40°,=65°,將

線段AC沿直線AB平移得到線段DE,連接4E.

圖1圖2

(1)當乙E=65。時，請說明AEIIBC.

(2)如圖2,當DE在4c上方時，月/E=2匕84E-29。時，求乙8/1E與2區(qū)4c的度數.

(3)在整個運動中，當4E垂直三角形ABC中的一邊時，求出所有滿足條件的NE的度數.

【答案】(1)見解析

(2)LBAE=23°,/-EAC=17°

⑶25?；?0?；?0。

【分析】(1)由平移的性質可得47II可得NC力E=N￡=65。=〃?，可得結論；

(2)由平行線的性質可得/BAC=48Z)E=40。，LE=Z.EAC,力外角的性質可得4E+28AE=40。，即可

求解;

<3)分三種情況討論，由平行線的性質以及三角形的內角和定珥.即可求解.

【詳解】（1）證明：???將線段AC沿直線AB平移得到線段0E,

:.AC||DE,

???Z.CAE=（E=65°,

乙C=Z.CAE,

???AEIIBC；

（2）解：?.?將線段AC沿直線AB平移得到線段DE,

???DEIIAC,

:.Z.BAC—乙BDE=40°,乙E=Z.EAC,

:.Z.E+乙BAE=40°,

???ZE=2/.BAE-29°,

:./.BAE=23°,乙E=17°,

LEAC=17°；

圖2

VZ.BAC=40°,LC=65°,

/.ABC=75°,

AEA.BC,

???Z.BAE=15°>

vZ.BDE=40°,

/.zF=25°；

如圖3,當力E_L力C時,

B,

圖3

???AC||DE,

:.ZE=Z.CAE=90°,

如圖4,當4EJ.48時,

VZCHDF,LBAC=40°

:,乙E=90°-LADE=50°

綜上所述：乙￡=25。或50。或90。.

【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了平行線的性質，平移的性質，三角形的外角性質等知識，靈活運用

這些性質解決問題是解題的關鍵.

7.（2023春?吉林長春?八年級長春外國語學校?？计谥校⑷切渭埰?8c沿直線DE折疊，使點A落在4處.

【感知】如果點4落在邊力8上，這時圖①中的N1變?yōu)?。，那么乙1'與m2之間的關系是

【探究】如果點4落在四邊形BCOE的內部（如圖①），那么乙4'與21、42之間存在怎樣的數量關系?并說明理

由.

【拓展】如果點4落在四邊形8CDE的外部（如圖②），那么請直接寫出〃'與乙1、42之間存在數量關

系

BBA'

CDA

①②

【答案】感知：N2=2NA探究：2/4=41+42拓展：2^Ar=z2-Z1

【分析】［感知］根據三角形外角性質得出乙1=乙4+乙氏4切，根據折疊性質得出立巴4切=4力，即可求出答案;

［探究］根據三角形內角和定理得出44E0+^ADE=180°-立力，^A'ED+乙A'DE=180°-乙A,兩式相加

可得4/TZM+Z.A'EA=360°-（乙4+44）,即"1+乙4'+LA'DA+^A'EA=360°,根據平角的定義得出

zl+^LA'DA+Z2+Z-A'EA=360°,可得出4力'+乙A=41+乙2,根據折疊性質得出=乙兒即可得出

2Z.A=41+42；

［拓展］根據三角形外角性質得出乙DME=4A'+zl,A.2=Z-A+/.DME,推出42=+/A+土1,即可得

出答案.

【詳解】解：［感知］:42=2“

理由如下：當點A落在邊48上時，由折疊可得：￡.EAfD=^A；

vz.2=Z.A+z.EA'D,

:.z2=2乙4,

故答案為：z2=2乙4：

［探究］:24A=41+42.

理由如下：v/,AED+LADE=180°-Z/4,LA'ED+Z.ArDE=180°-^Ar,

￡A'DA+￡.A'EA=360°-（Z.A+，A'）,

f

???NA++z.ADA+^A/EA=360°,

vZ1+Z-A'DA+42+Z-A'EA=360°,

N4'+Z.A=Z1+Z.Z,

由折疊可得：/-A=4/f,

:.2乙力'=Z14-匕2,

故答案為：2乙4'=41+42；

［拓展］:如圖②，

BA'

C/1DKA

②

VZ.DME=N/V+zl,42=4力+Z.DME,

由折疊可得：/-A=Z.Ar,

z2=z/l+Z,A'+zl=2z/l+zl,

:.2Z.71=z2—zl,

244=Z2-Z1

故答案為：2乙A=42一41.

【點睛】本題考查了折疊的性質，三角形外角性質，三角形內角和定理的應用，本題主要考查運用定理進行

推理和計算的能力.解題的關鍵是結合圖形運用外角的性質列等式求解.

8.(2023春?江西萍鄉(xiāng)?八年級統(tǒng)考期末)已知點4在射線CE上，zC=^ADB.

⑴如圖1,若ADII8C,求證:ACWBD；

(2)如圖2,若BD上BC，垂足為B.BD交CE于點G,清探究NZME與NC的數量關系，.寫出你的探究結論，并

說明理由；

(3)如圖3,在(2)的條件下，過點D作。交射線CE于點凡^BAC=^.BAD,乙。/￡=8zO4E時，求

△84。的度數.

【答案】(I)證明見解析

(2)LDAE+2Z.C=90°,理由見解析

(3)99°

【分析】(1)根據力DIIBC,可得NZME=ZC,再根據zC=4力。8,即可得至Ij/ZME=44DB,即可得證;

(2)ZD/1F+2zC=90°.根據三角形外角的性質，可得至lj4CG8=4108+40/1以根據直角三角形兩銳角

互余，有乙CGB+ZT=90。，再根據“=4力。8即可得到4ZME與"的數量關系；

(3)設4ZME=a,MZDFE=8a,LAFD=180°-8a,根據。F||BC,即可得至Ij/C==180。-8a,

再根據ZD4E+2，C=90。，即可得到a+2(180。-8a)=90。，求得a的值，即可運用三角形內角和定理得

到，8/W的度數.

【詳解】(1)證明：:NDIIBC,

/.DAE=乙c,

XVzC=乙0/8,

：.LDAE=Z.ADB,

：.AC\\BD；

(2)解：LDAE+2LC=90°

理由如下：???乙。63是44。6的外角，

，乙CGB=Z.ADB+Z.DAE,

,：BD1BC,

：.LCBD=90°,

???在△BCG中，Z-CGB+ZC=90°,

???乙408+/.DAE+ZC=90°,

又,：￡C="DB,

AZD71E+2ZC=90O；

(3)設皿IE=a,則WE=8a,

；?￡AFD=180°-8a,

VDFH5C,

AzC=Z.AFD=180°-8a,

又?,?S4E+2"C=90。,

.*.2(180°-8a)4-a=90°,

???a=18°

r.zC=180o-8xl8o=36°,

：.LADB=zf=36°,

又?.?4BAC=^BAD,

：.LABC=180°-zc-Z.BAC=180°-Z.ADB-乙BAD=乙ABD,

'：LCBD=90°,

：,LABC=乙ABD=3乙CBD=45°,

???在448。中，乙BAD=180°-45°-36°=99°,

的度數為99。.

【點睛】本題考?查平行線的判定與性質，三角形內角和定理，三角形外角的性質，直角三角形兩況角互余.靈

活運用三角形內角和定理是解題的關鍵.

9.（2023春?福建泉州?八年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，乙C＞乙B,4E平分點尸為射線4E上一點（不

與點E重合），且F018C于點D.

⑴如圖I,如果點尸在線段4E上，旦NC=50。，28=30。，則2￡7切=.

（2）如果點/在△/BC的外部，分別作出NC4E和“。戶的角平分線，交于點K,請在圖2中補全圖形，探究

2K。、“、M三者之間的數量關系，并說明理由：

（3）如圖3,若點尸與點4重合，PE、PC分別平分乙4EC和△48C的外角乙ACM,連接PA,過點P作尸G_LBC交

8C延長線于點G,PH1A8交8A的延長線于點H,若乙EAO=4&4。，且乙CPG=飛（乙B+乙CPE）,求乙EPH

的度數.

【答案】（1）10°

（2）畫圖見解析，44（。=當空，理由見解析

4

（3）95°

【分析】（1）先求出匕氏1C=100。，進而得到N8AE=50。，Z.AEC=80°,根據FOJ,8C得至Ij/FDE=90。，

即可求出4項W=90°-LAED=10°：

（2）根據題意先畫出圖形，根據三角形內角和定理和角平分線的定義得到乙CDK=：4EO尸=45。，Z.CAK=

-ZC/1F=45°--Z^--ZC,再曰三角形內角和定理得到乙L4C+4c=4T0K+乙4K0,則45。一乙乙8—

2444

；乙。+乙。=45。+乙4長。，據此即可得到答案；

4

（3）根據匕￡;4D=4。4D=2a得到N84E=2LCAE=4a,得到乙&4D=6a,從而求出乙8=90°—6a,進而

求出乙CPE=2a,結合“PG=5QB+NCPE）,得到/CPG=63。一號a.根據PG1BC,得到（45。+。）+

（63°-ya）=90%求出a=10。.從而分別求出，9=9求-6或=30。,"EM=35。,Z.BEP=145°,再

求出4PH8=90°,根據四邊形內角和為360。即可求出NEP4=95°.

【詳解】（1）解：VzF=30°,zC=50°,

：,LBAC=180°-Z.B-Z-C=100°,

??YE是ZM8c的角平分線，

：,LBAE=LCAE=\^BAC=50°,

二乙4EC=4B+皿￡=80。，

?：DF1BC,

:?乙FDE=90°,

：.LEFD=90°-/.AED=10°,

故答案為：10°；

（2）解：乙4KD=軍衛(wèi),理由如下：

4

在△力8c中，Z.BAC=180°-z^-zC,

?「HE平分ZBAC,

:.LBAF=Z.CAF=-￡BAC=90°—248—24c,

222

VDF1BC,

：,LFDE=90°,

???/&4E和NEDF的角平分線交于點K,

：.LCDK=-Z.EDF=45°,/.CAK=-/LCAF=45°--zF--zC,

2244

*：Z.TAC+ZC+Z.ATC=180°=LTDK+Z.AKD+乙DTK,乙DTK=Z.ATC,

：,z.TAC+=rTDK+乙4KD,

:.45°--zfi--zC+zC=45°+^.AKD,

44

(3)解：?ZE/ID=/.CAD=2a,

?ZE平分284C,

*?LBAE=Z.CAE=Z.EAD+Z.CAD=4a,

?"Z?/W=Ga,

'：AD1BC

：,LADE=90°,

：,LB=90°-/-BAD=90°-6a,Z-AED=90°-2a,

：.LACM=Z.B+Z,BAC=90°+2a,

?：PE、PC分別平分48。的夕卜角乙力CM,

，乙乙

PEC=-2z.AEC=45°-a2,PCG=-/.ACM=45°+a,

:.乙EPC=乙PCG-乙PEC=2a,

:.LCPG=V(28+乙CPE)=^(90°-6a4-2a)=63。-詈

■:PG1BC,

；“CG+乙CPG=90°,

即(45°+a)+(63°一=90。，

：.a=10°.

=90°-6a=30°,乙PEC=35。，

LBEP=180°-乙PEM=145°,

■:PHLAB,

?"PHB=90。,

，在四邊形8EPH中，乙EPH=360。-乙BEP-乙B-乙BHP=95°（四邊形內角和可以看做是兩個三角形的

內角和）.

【點睛】本題考查了三角形內角和定理，三角形外角定理，三角形角平分線，綜合性較強，第（3）步難度

較大.熟知相關定理，并根據題意進行角的表示與代換是解題關鍵.

【類型2與三角形有關的角的證明】

1.（2023春?安徽宿州?八年級統(tǒng)考期末）如圖,ABIICD,點E安4c上,求證：乙A=〃：ED+乙D.

【答案】證明見解析

【分析】首先根據平行線的性質得到々力十"=180。，然后根據二角形內角和定理得到乙CZ7D十乙。十乙。=

180°,進而可證明出NA=4；ED+4D.

【詳解】*：ABKD

Azzl+ZC=180°

???在△CED中，ZCFD4-ZD+ZC=180°

/.Z.A=Z.CED+Z.D.

【點睛】本題考查平行線的性質以及三角形的內角和定理，熱練掌握平行線的性質是解題的關鍵.

2.（2023春?湖北武漢?八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知ABIICD,48=60。，點G在直線“上且乙ABG=乙FGB.

（2）若=iCGB+20。，求2C的度數.

【答案】（1）證明見解析：

（2）70°.

【分析】（1）根據平行線的判定及性質即可證明;

(2)先根據平行線的性質求得NCMG=匕8=60。，再利用三角形的內角和定理即可求解.

【詳解】(1)證明：=

：.AB||EF,

a：AB||CD,

???C。IIEF,

Z.zC=乙CGE；

(2)解：如圖,

?"CG8="-20。，

'：AB||CD,ZF=6O°,

：.ACMG=ZF=60°,

VzC+Z.CMG+Z.CGB=180°,

AzC+ZC-20°+60°=180°,

AzC=70°.

【點睛】本題主要考查了平行線的判定及性質以及三角形的內角和定理，熟練掌握平行線的性質是解題的關

鍵.

3.(2023春?江蘇南通?八年級統(tǒng)考期末)已知點。在乙4BC內，E為射線8c上一點，連接DE,CD.

(1)如圖1所示，連接AE,若△8AE+/C0E.

①線段AB與CD有何位置關系？請說明理由；

②過點。作OM||4E交直線8c于點M,求證："DM="/IE；

(2)如圖2所示，^AED=LA-Z-D,若M為平面內一動點，MAWED,請直接寫出乙MA8與ZTDE的數量關系.

【答案】(1)①45IICD,理由見解析：②證明見解析

(2)匕MAB=/CDE或4+zCDF=180°

【分析】(1)①過點E作E尸IIAB,則N4EF=Z.BAE,由N4ED=Z.BAE+乙CDE,^AED=Z.AEF+4尸ED得

到"DE="ED,貝IJFEIICC,即可得至U結論.

②由DM||4E得至IJ44E0=Z-MDE.乙CDE=乙FED,則NMOC=Z.AEF.由/AE尸=Z8/1E即可得至lj/COM=

(2)分點M在直線AB的右側和點M在直線48的左側兩種情況，分別求出乙AM8與nDE的數量關系為：

Z-MAB=乙CDE或匕MAB+乙CDE=180°.

【詳解】(1)解：①力3IICD.理由：

過點E作EFII4B,如圖,

貝IJ/4E尸=Z.BAE,

vZ.AED=Z.BAE+乙CDE,Z.AED=Z.AEF+乙FED,

:.Z.CDE=乙FED,

FE||CD,

-AB||EF,

???ABIICD.

②???DM||AE,

AZ.AED=Z-MDE.

vZ.CDE=乙FED,

???Z.MDC=AAEF.

vZ.AEF=乙BAE,

:.乙CDM=Z.BAE.

(2)當點M在直線48的右側時，如下圖，乙MAB=々CDE,理由:

A

D

MCE

設AE與CD交于點F,

vZ.CFE=ZD+Z.AED,

:.Z.AED=Z.CFE—乙D.

???Z.AED=Z.BAE-乙D,

:.Z.BAE=乙CFE.

AB||CD.

乙ABC=乙DCE.

vAMIIDE,

Z.AMB=乙DEC.

???Z.MAB=1800-Z.ABC-Z-AMB,Z.CDE=180°-zDCE-zDEC,

Z.MAB=Z.CDE,

②當點M在直線4B的左側時,如圖，Z-MAB+zCDE=180°,理由:

由（2）①可知：Z.BAN=Z.CDE.

???Z.BAN+ZLBAM=180°,

AZ.MAB+Z.CDE=180°.

綜上，4與4CDE的數量關系為：LMAB=乙COE或乙MAS4-乙CDE=180°.

【點睛】此題考杳了平行線的性質、三角形內角和定理等知識，熟練掌握平行線的性質、三角形內角和定理

靈活進行角的關系轉換是解題的關鍵.

4.（2023春?黑龍江哈爾濱?八年級?？计谥校┥渚€OM、ON交于。點，0C平分上M0N,乙MON=60。,

M,

C

B