人教版初二八年級下冊數(shù)學(xué)詳細(xì)教案

16.1.1二次根式

教案序號：1時間：

教學(xué)內(nèi)容

二次根式的概念及其運用

教學(xué)目標(biāo)

理解二次根式的概念，并利用&(a>0)的意義解答具體題目.

提出問題，根據(jù)問題給出概念，應(yīng)用概念解決實際問題.

教學(xué)重難點關(guān)鍵

1.重點：形如G(a>0)的式子叫做二次根式的概念；

2.難點與關(guān)鍵：利用“JZ(a>0)”解決具體問題.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

(學(xué)生活動)請同學(xué)們獨立完成下列三個課本P2的三個思考題：

二、探索新知

很明顯6、而、J|，都是一些正數(shù)的算術(shù)平方根.像這樣一些正數(shù)的算術(shù)平方根

的式子，我們就把它稱二次根式.因此，一般地，我們把形如右(a>0)的式子叫做二

次根式，“、廠”稱為二次根號.

(學(xué)生活動)議一議：

1.-1有算術(shù)平方根嗎？

2.()的算術(shù)平方根是多少？

3.當(dāng)a<0,&有意義嗎?

老師點評：(略)

例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：6、冷、>、五(x>0)>

x

x/0>蚯、-&、一!—、A/X+y(xNO,y20).

x+y

分析：二次根式應(yīng)滿足兩個條件：第一，有二次根號“?”：第二，被開方數(shù)是正數(shù)

或0.

解：二次根式有：6、4x(x>0)、而、-也、yjx+y(x20,y20)；不是二

次根式的有：過、啦、—

xx+y

例2.當(dāng)又是多少時，1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義?

分析：由二次根式的定義可知，被開方數(shù)一定要大于或等于0,所以3X-120,V3X-1

才能有意義.

解：由3x-120,得：X2，

3

當(dāng)X21時，后二I在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.

3

三、鞏固練習(xí)

教材P5練習(xí)1、2、3.

四、應(yīng)用拓展

例3.當(dāng)x是多少時，，2丁+3+」一在實數(shù)范圍內(nèi)有意義?

x+1

分析：要使J2汗+3+」一在實數(shù)范圍內(nèi)有意義,必須同時滿足j2x+3中的20和

x+\

」一中的x+lWO.

X+1

[2x+3>0

解；依題意，得

x+1工0

3

由①得：x2--

2

由②得:xW?l

當(dāng)x2.一且xW?l時，V2x+3+——在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.

2x+1

例4（1）已知y=J2-X+Jx-2+5,求三的值.（答案:2）

.V

⑵若求22叫4?儂的值.（答案:：）

五、歸納小結(jié)（學(xué)生活動，老師點評）

本節(jié)課要掌握：

1.形如&（a20）的式子叫做二次根式，“、廠”稱為二次根號.

2.要使二次根式在實數(shù)范I制內(nèi)有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).

六、布置作業(yè)

1.教材P51,2,3,4

2.選用課時作業(yè)設(shè)計.

第一課時作業(yè)設(shè)計

一、選擇題

1.下列式子中，是二次根式的是（）

A.-V?B.i/lC.4xD.x

2.下列式子中，不是二次根式的是（）

A.>/4B.716C.A/8D.-

x

3.已知一個正方形的面積是5,那么它的邊長是（）

A.5B.\[5C.-D.以上皆不對

5

二、填空題

1.形如的式子叫做二次根式.

2.面積為a的正方形的邊長為.

3.負(fù)數(shù)平方根.

三、綜合提高題

1.某工廠要制作一批體積為Inf的產(chǎn)品包裝盒，其高為0.2m,按設(shè)計需要，底面應(yīng)

做成正方形，試問底面邊長應(yīng)是多少？

2.當(dāng)x是多少時，"2x+3+x?在實數(shù)范圍內(nèi)有意義?

x

3.若+有意義，則.

4使式子」-（。-5尸有意義的未知數(shù)x有（）個.

A.0B.1C.2D.無數(shù)

5.已知a、b為實數(shù)，且Ja-5+2J10—2a=b+4,求a、b的值.

第一課時作業(yè)設(shè)計答案：

一、1.A2.D3.B

二、1.Ja（a20）2.Ja3.沒有

三、1.設(shè)底面邊長為x,則62x2=1,解答：x=JL

2x+3>0

2.依題意得:2

xw()

.?.當(dāng)x>.|且xWO時，,2：+3+乂2在實數(shù)范圍內(nèi)沒有意義.

1

3.-

3

4.B

5.a=5,b=-4

16.1.2二次根式⑵

教案序號：2時間:

教學(xué)內(nèi)容

1.4a（a>0）是一個非負(fù)數(shù);

2.（\[a）2=a（a20）.

教學(xué)目標(biāo)

理解右（a，0）是一個非負(fù)數(shù)和（右）2=a（a20）,并利用它們進行計算和化簡.

通過復(fù)習(xí)二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出右（ae（））是一個非負(fù)數(shù)，用具體

數(shù)據(jù)結(jié)合算術(shù)平方根的意義導(dǎo)出（JZ）2=a（a20）；最后運用結(jié)論嚴(yán)謹(jǐn)解題.

教學(xué)重難點關(guān)鍵

1.重點：4a（a20）是一個非負(fù)數(shù)；（G）（a20）及其運用.

2.難點、關(guān)鍵：用分類思想的方法導(dǎo)出G（a^O）是一個非負(fù)數(shù)；用探究的方法導(dǎo)

出（G）2=a（a20）.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動）口答

1.什么叫二次根式？

2.當(dāng)a20時，右叫什么？當(dāng)a<0時，右有意義嗎？

老師點評（略）.

二、探究新知

議一議：（學(xué)生分組討論，提問解答）

yfa（a^O）是一個什么數(shù)呢？

老師點評：根據(jù)學(xué)生討論和上面的練習(xí)，我們可以得出

&（a20）是一個非負(fù)數(shù).

做--做：根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空：

（4）2=；（V2）2=；（M）2=；（6）2=：

（卜（島2=——；心之一一.

老師點評：4是4的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的意義，血是一個平方等于4的

非負(fù)數(shù)，因此有（4）

同理可得：(&)2=2,(囪)2=9,(石)2=3,(J-)2=-(vl)2=l

V33

(>/0)2=(),所以

(\[a)2=a(a20)

例1計算

1.(C)22.(3x/5)23.(4)24.(斗)2

分析：我們可以宜接利用（JZ）2=@（a20）的結(jié)論解題.

解：(.—)2=—,(3A/5)2=32,(>/5)2=32,5=45?

V22

、2,￡?

V662224

三、鞏固練習(xí)

計算下列各式的值：

（V18）2（\日）2（也）2

(C)2

V34

（3府-（5后

四、應(yīng)用拓展

例2計算

2

1.（Vx+T）（x20）2.（病）3.(\la~+2。+1)

4.(>/4x2-12x+9)

分析：(I)因為x20,所以x+l>0；(2)a2>0；(3)a2+2a+l=(a+1)20；

(4)4X2-12X+9=(2X)2-2?2x-3+32=(2x-3)2^0.

所以上面的4題都可以運用（4）2=a（a>0）的重要結(jié)論解題.

解：(1)因為x20,所以x+l>0

(\/x+\)2=x+1

(2)Va2^0,:.(V?)2=a2

(3)Va2+2a+l=(a-1)2

又???(a+1)220,.-.a2+2a+l>0,/.>/?2+2f/4-1=a2+2a+1

(4)V4X2-12X+9=(2X)2-2?2x-3+32=(2x-3)2

又???(2x-3)220

A4X2-12X+9^0,J(>/4x2-12x+9)2=4X2-I2X+9

例3在實數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式：

(1)X2-3(2)X4-4(3)2X2-3

分析：(略)

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

1.\[a(a20)是一個非負(fù)數(shù)；

2.(Ja)2=a(a20);反之:a=(>[a)2(a20).

六、布置作業(yè)

1.教材P55,6,7,8

2.選用課時作業(yè)設(shè)計.

第二課時作業(yè)設(shè)計

一、選擇題

1.下列各式中后、技、揚一1、J/+-2、，毋+20、7-144,二次根式

的個數(shù)是().

A.4B.3C.2D.1

2.數(shù)a沒有算術(shù)平方根，則a的取值范圍是().

A.a>0B.a》0C.a<0D.a=0

二、填空題

1.(-x/3)2=.

2.已知JTTT有意義，那么是一個數(shù).

三、綜合提高題

1.計算

(1)(V9)2(2)-(V3)2(3)(-x/6)2(4)(-3.P)2

2V3

(5)(2行+3^)(2百一30)

2.把下列非負(fù)數(shù)寫成一個數(shù)的平方的形式：

(1)5(2)3.4(3)-(4)x(x20)

6

3.己知"x-y+l+\lx-3=0,求X、'的值.

4.在實數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式：

(1)X2-2(2)X4-93X2-5

第二課時作業(yè)設(shè)計答案：

一、1.B2.C

二、1.32.非負(fù)數(shù)

I]3

三、1.(1)(癡)2=9(2)-(>/3)2=-3(3)(-x/6)2=-X6=-

242

[22

(4)(-3J-)2=9X^-=6(5)-6

2.(1)5=(石尸(2)3.4=(734)2

(3)-=(J-)2(4)x=(Vx)2(x20)

6V6

x-y+1=0x=3

xyu=34=81

|x-3=0v=4

4.(1)X2-2=(x+x/2)(x-5/2)

(2)X4-9=(X2+3)(X2-3)=(X2+3)(x+百)(x-\/3)

⑶略

16.1二次根式(3)

教案總序號：3時間：

教學(xué)內(nèi)容

=a(a20)

教學(xué)目標(biāo)

理解J/=a(a>0)并利用它進行計算和化簡.

通過具體數(shù)據(jù)的解答，探究值=a(a20),并利用這個結(jié)論解決具體問題.

教學(xué)重難點關(guān)鍵

1.重點：\[a^=a(a20).

2.難點：探究結(jié)論.

3.關(guān)鍵：講清a20時，>//=@才成立.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

老師口述并板收上兩節(jié)課的重要內(nèi)容；

1.形如&(a20)的式子叫做二次根式；

2.(a>0)是一?個非負(fù)數(shù);

3.(&)2=2(a20).

那么，我們猜想當(dāng)a'O時，J/=a是否也成立呢？下面我們就來探究這個問題.

二、探究新知

(學(xué)生活動)填空：

V?=；A/O.012=

(老師點評)：根據(jù)算術(shù)平方根的意義，我們可以得到:

V?=2;Vo.012=001;yj(-^)2Jc|)2=j；Vtf=0:Jc|)2

因此，一般地：=a(a>0)

例1化簡

(1)郎(2)J(-4尸(3)x/25(4)J(-3)2

分析：因為(為9=02,(2)(-4)2=42,(3)25=52,

(4)(?3)2=32,所以都可運用J/』(a20)去化簡.

解：(1)X/9=A/F=3(2)d(-4f=歷=4

(3)后=后=5(4)3￥=啟=3

三、鞏固練習(xí)

教材P7練習(xí)2.

四、應(yīng)用拓展

例2填空：當(dāng)a20時，x[a^=_____；當(dāng)a<0時，,并根據(jù)這一性質(zhì)

回答F列問題.

(1)若后=a,則a可以是什么數(shù)？

(2)若"=-a,則a可以是什么數(shù)？

(3)J/>a,則a可以是什么數(shù)？

分析：???J7=a(aNO),???要填第一個空格可以根據(jù)這個結(jié)論，第二空格就不行，

應(yīng)變形，使“()2”中的數(shù)是正數(shù)，因為，當(dāng)a/0時，病=J(F)2,那么?a20.

(1)根據(jù)結(jié)論求條件：(2)根據(jù)第二個填空的分析，逆向思想；(3)根據(jù)(1)、(2)

可知C=Ia|,而|a|要大于a,只有什么時候才能保證呢？a<0.

解：(1)因為后"二a,所以a20；

(2)因為必=-a,所以a<0；

(3)因為當(dāng)aNO時、//=a，要使J/>a,即使a>a所以a不存在；當(dāng)a<0時，J/=-a,

要使J/>a,即使-a>a,a<0綜上，a<0

例3當(dāng)心2,化簡J(.t-2)2-J(l-2/)2.

分析：(略)

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：J/=a(a20)及其運用，同時理解當(dāng)a<0時，J/=-a的應(yīng)用拓

展.

六、布置作業(yè)

1.教材P5習(xí)題16.13、4、6、8.

2.選作課時作業(yè)設(shè)計.

第三課時作業(yè)設(shè)計

一、選擇題

1.舊7+J(-26的值是().

22

A.0B.—C.4—D.以上都不對

33

2.a20時，C、"(-32、?",比較它們的結(jié)果，下面四個選項中正確的是().

A.\[a^=B.>-\fa^

C.J(-a)2<-后D.>\[a^=y](-a)2

二、填空題

1.-V0.(XX)4=.

2.若7礪是一個正整數(shù)，則正整數(shù)m的最小值是.

三、綜合提高題

1.先化簡再求值：當(dāng)a=9時，求a+Jl-2a+〃2的值,甲乙兩人的解答如下:

甲的解答為：原式=a+J(l—a)2=a+(1-a)=1；

乙的解答為：原式=a+-a)?=a+(a-1)=2a-l=17.

兩種解答中，的解答是錯誤的，錯誤的原因是.

2.若|1995-a|+J〃-2000=a,求a-19952的值.

(提示：先由a-200020,判斷1995-a的值是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，去掉絕對值)

3.若-34W2時，試化簡|x-2|+7(-V+3)2+>/X2-10X+25.

答案：

一、1.C2.A

二、1.-0.022.5

三、1.甲甲沒有先判定1-a是正數(shù)還是負(fù)數(shù)

2.由已知得a-200020,a22000

所以a-1995+<a-2(X)0=a,7^2000=1995,a-2000=19952,

所以a-19952=2000.

3.10-x

16.2二次根式的乘除

教案總序號：4時間：

教學(xué)內(nèi)容

\fa?\[b=4ab(a20,b20),反之=??4b(a20,b20)及其運用.

教學(xué)目標(biāo)

理解&,\[b=\[ab(a20,b20),\fab=yfa?\[b(a20,b20),并利用它

們進行計算和化簡

由具體數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出&-血=J%(a20,b20)并運用它進行計算；

利用逆向思維，得出，石=6-4b(a>0,b20)并運用它進行解題和化簡.

教學(xué)重難點關(guān)鍵

重點：\[a,4b—4cib(a20,b20),>[ab=\fa,4b(a20,b20)及它們的

運用.

難點：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，導(dǎo)出6,4b=\fab(a20,b20).

關(guān)鍵：要講清\[ab(a<0,b<0)=加,如J(-2)x(-3=J-(-2)x-(-3)或

7(-2)x(-3)=x/2^3=5/2X73.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

(學(xué)生活動)請同學(xué)們完成卜列各題.

1.填空

(1)4X囪=,14x9=_____；

(2)716x725=,716x25=.

(3)7100x736=,Vl(X)x36=.

參考上面的結(jié)果，用“>、<或="填空.

V4X79____74^9,V16x>/25_____J16x25,VlOOx

底Vl(X)x36

2.利用計算器計算填空

(1)夜X6V6,(2)及X逐回,

(3)75Xx/6同，(4)74X75V20,

（5）V7xVio屈.

老師點評（糾正學(xué)生練習(xí)中的錯誤）

二、探索新知

（學(xué)生活動）讓3、4個同學(xué)上臺總結(jié)規(guī)律.

老師點評：（1）被開方數(shù)都是正數(shù)；

（2）兩個二次根式的乘除等于一個二次根式，并且把這兩個二次根式中的數(shù)相乘，作

為等號另一邊二次根式中的被開方數(shù).

一般地，對二次根式的乘法規(guī)定為

4a?\[b=\fab.（a20,b20）

反過來：>[ab=\[a?>[b（a20,b20）

例1.計算

（1）>/5xV7⑵gx的（3）>/9Xx/27⑷￡X&

分析：直接利用6-y[b=4^b（a20,b20）計算即可.

解：（1）x/5X77=735

(3)y/9Xx/27=V9x27=V92X3=9>/3

(4)XV6=^xZ=V3

例2化簡

(1)J9xl6(2)716x81(3),81xl(X)

(4)J942y2(5)回

分析：利用，^=右?Jb(a>0,b^O)直接化簡即可.

解：(1)79x76=79X716=3X4=12

(2)716x81=V16XV81=4X9=36

(3)V81X1OO=\/8TXV100=9X10=90

(4)=后又后于二后X后又后=3xy

(5)=彘X>/6=3>/6

三、鞏固練習(xí)

(1)計算(學(xué)生練習(xí)，老師點評)

①V16X78②3#X25/10③\[5a?Ray

(2)化簡：V20;V18；V24;屈；yj\2a2h2

教材P”練習(xí)全部

四、應(yīng)用拓展

例3.判斷下列各式是否正確，不正確的請予以改正:

(1)J(T)x(-9)=Cx"

(2)XV25=4Xx后m舊X岳=4厄=8百

解：(I)不正確.

改正：J(Y)x(—9)=7^="X內(nèi)=2X3=6

(2)不正確.

改正:X725=XV25=J—x25=VH2=V16x7=4S

25

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：(1)\[a,\fb=\[ab=(a20,b20),\!ab=\fa,4b(a20,b

20)及其運用.

六、布置作業(yè)

1.課本Pu1,4,5,6.(1)(2).

2.選用課時作業(yè)設(shè)計.

第一課時作業(yè)設(shè)計

一、選擇題

「［的結(jié)果是(

1.化簡).

A.y/-aB.y[aC.-\f-aD.-\[a

2.等式j(luò)n=一1成立的條件是()

A.x2lB.x2-lC.-IWXWID.x21或xW-1

3.下列各等式成立的是().

A.4x/5X2石=By/5B.5cX4應(yīng)=206

C.40義3五二7舊D.5GX4a二20?

二、填空題

1.Viob4=.

2.自由落體的公式為S二;gl2（g為重力加速度，它的值為lOm/s?）,若物體下落的高

度為720m,則下落的時間是.

三、綜合提高題

1.一個底面為30cmX30cm長方體玻璃容器中裝滿水，現(xiàn)將一部分水例入一個底面為

正方形、高為10cm鐵桶中，當(dāng)鐵桶裝滿水時，容器中的水面下降了20cm,鐵桶的底面邊

長是多少厘米？

2.探究過程：觀察下列各式及其驗證過程.

同理可得：4舟21

通過上述探究你能猜測出:（a>0）,并驗證你的結(jié)論.

答案：

一、1.B2.C3.A4.D

二、1.13\/62.12s

三、1.設(shè)：底面正方形鐵桶的底面邊長為X,

則x2X10=30X30X20,X2=3()X30X2,

X=V30X30XVI=3072.

16.2二次根式的乘除⑵

教案總序號：5時間:

教學(xué)內(nèi)容

號=亨（a20,b>0）及利用它們進行計算和化

（a20,b>0）,反過來

簡.

教學(xué)目標(biāo)

理解坐羋（a>0,b>0）和，口二平（a20,b>0）及利用它們進行運算.

MNb4b

利用具體數(shù)據(jù)，通過學(xué)生練習(xí)活動，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出除法規(guī)定，并用逆向思維寫出逆

向等式及利用它們進行計算和化簡.

教學(xué)重難點關(guān)鍵

1.重點：理解李二百（a^O,b>0）,《二苧（a>O,b>0）及利用它們進行計

算和化簡.

2.難點關(guān)鍵：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納出二次根式的除法規(guī)定.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動）請同學(xué)們完成下列各題：

1.寫出二次根式的乘法規(guī)定及逆向等式.

2.填空

(1)

Vl6

V16

(2)

736

(3)

3.利用計算器計算填空:

百五五萬

⑴二二_________,⑵一二_________，(3)V=______,(4)—

V4V3V5V8

每組推薦一名學(xué)生上臺闡述運算結(jié)果.

(老師點評)

二、探索新知

剛才同學(xué)們都練習(xí)都很好，上臺的同學(xué)也回答得十分準(zhǔn)確，根據(jù)大家的練習(xí)和回答，我

們可以得到:

一般地,對二次根式的除法規(guī)定:

a、、

反過來,.—=—^=(a20,b>0)

下面我們利用這個規(guī)定來計算和化簡一些題目.

分析：上面4小題利用(a20,b>0)便可直接得出答案.

解：⑴

X=2X/3

J；x16="=2

(3)口

\416

分析:直接利用(a>0,b>0)就可以達到化簡之目的.

⑴區(qū)6一石

解:⑴W=>=T

64〃J64b28b

3〃

(3)

5x

(4)2

169y169j

三、鞏固練習(xí)教材P14練習(xí)1.

四、應(yīng)用拓展

,且x為偶數(shù)，求（1+x）「一一5工+4的值

例3.已知

Vx2-l

分析：式子］|=%，只有a、。，b>0時才能成立.

因此得到9-x20旦x-6>0,即6<xW9,乂因為x為偶數(shù)，所以x=8.

9-x>0x<9

解：由題意得《即《

x-6>0x>6

??.6<xW9

Vx為偶數(shù)

x=8

，原式二“X)

lx-4

=(1+x)Vx+T

=(1+X)

當(dāng)x=8時，原式的值二—4x9=6.

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課要掌握亨=《（a20,b>0）和-=^(a20,b>0)及其運用.

b4b

六、布置作業(yè)

1.習(xí)題16.22、7、8、9.

2.選用課時作業(yè)設(shè)計.

第二課時作業(yè)設(shè)計

一、選擇題

A.-x/5B.-C.&D.—

777

2.閱讀下列運算過程：

1_x/3_V32_26_2&

&-氐下T3'行一石x石一5

2

數(shù)學(xué)上將這種把分母的根號去掉的過程稱作“分母有理化”那么，化簡的結(jié)果是

76

).

A.2B.6C.-D.x/6

3

二、填空題

1.分母有理化:(1)-U=_______;(2)」==—

3V2V12

2.已知x=3,y=4,z=5,那么J五+的最后結(jié)果是?

三、綜合提高題

1.有一種房梁的截面積是一個矩形，且矩形的長與寬之比為J5：1,現(xiàn)用直徑為

3V15cm的一種圓木做原料加工這種房梁，那么加工后的房染的最大截面枳是多少？

答案：一、I.A2.C

二「⑴白為名⑶牛=叵*=與

662V52V523

三、1.設(shè)：矩形房梁的寬為x(cm),則長為gxcm,依題意,

得：(&)2+x2=(3厲)2,

3/

4X2=9X15,x=—(cm),

2

x/3x,X=A/3X2=-^-A/3(cm2).

⑵原式陛坐匕*生二人

V2a“7724-77，〃一〃V2

16.2二次根式的乘除⑶

教案總序號：6時間：

教學(xué)內(nèi)容

最簡二次根式的概念及利用最簡二次根式的概念進行二次根式的化簡運算.

教學(xué)目標(biāo)

理解最簡二次根式的概念，并運用它把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式.

通過計算或化簡的結(jié)果來提煉出最簡二次根式的概念，并根據(jù)它的特點來檢驗最后結(jié)果

是否滿足最簡二次根式的要求.

重難點關(guān)鍵

1.重點：最簡二次根式的運用.

2.難點關(guān)鍵：會判斷這個二次根式是否是最簡二次根式.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動）請同學(xué)們完成下列各題（請三位同學(xué)上臺板書）

L計算⑴?、?，⑶M

V5V27

老師點評:5叵,電巫,導(dǎo)巫

V55y/273y/2aa

2.現(xiàn)在我們來看本章引言中的問題：如果兩個電視塔的高分別是h|km,h2km,那么

它們的傳播半徑的比是.

它們的比是瑞.

二、探索新知

觀察上面計算題1的最后結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)這些式子中的二次根式有如下兩個特點:

1.被開方數(shù)不含分母；

2.被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.

那么上題中的比是否是最簡二次根式呢？如果不是，把它們化成最簡二次根式.

學(xué)生分組討論，推薦3?4個人到黑板上板書.

老師點評：不是.

12M

〃2

+凸'2限學(xué)

例1.⑴：(2);(3)

例2.如圖，在RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=2.5cm,BC=6cm,求AB的長.

A

解：因為AB:ACN+BC?

所以AB=J2.52+6?=J(?)2+36==￡=6.5(cm)

因此AB的長為6.5cin.

三、鞏固練習(xí)

練習(xí)2、3

四、應(yīng)用拓展

例3.觀察下列各式，通過分母有理數(shù)，把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式:

1_1X(0-1)8-1_r-

V2+l-(V2+l)(>/2-l)-2-1-，

I_1x(73->/2)>/3-V2_仄位

1

同理可得:=\[i->/3,

4+G

從計算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計算

(-^―+廣1廠+/廠+…….1.)(7^+1)的值.

V2+1V3+V2V4+V3V2002+V2001

分析：由題意可知，本題所給的是一組分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以

達到化簡的目的.

解：原式=(&-1+石-收+”?石+……+J2OO2?J2OO1)X(V2002+1J

=(V2002-1)(72002+1)

=2002-1=2001

五、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：最簡二次根式的概念及其運用.

六、布置作業(yè)

1.習(xí)題16.23、7、1().

2.選用課時作業(yè)設(shè)L.

第三課時作業(yè)設(shè)計

一、選擇題

1.如果寺（y>0）是二次根式，那么，化為最簡二次根式是（）.

A.—（y>0）B.（xy（y>0）C.'（y>0）D.以上都不對

yjyy

2.把（a-1）J--—中根號外的（a-l）移入根號內(nèi)得（）.

Va-\

A.yja-lB.\j\-aC.-da—1D.

3.在下列各式中，化簡正確的是（）

A.=3>/15B.

42

C.\jab=a\!bD.y/x3-x2=xVx-1

4.化簡二更的結(jié)吳是（

)

V27

2C正

A.------B?--產(chǎn)D.-y/2

3>/33

二、填空題

1.化簡J7777三(x20)

2.a化簡二次根式號后的結(jié)果是

三、綜合提高題

1.已知a為實數(shù)，化簡:，閱讀下面的解答過程，請判斷是否正確？若

不正確，請寫出正確的解答過程:

解:

......_4+>/4-工2+]/-------/,,

2.若x、y為頭數(shù)，且丫=--------------------,求Jx+yJx-y的值.

xI2

答案：

一、1.C2.D3.C4.C

+y~2.-—1

三、1.不正確，正確解答：

-6?>0

因為|1

,所以a<0,

——>0

.a

2-a?J'=\[^a?\fa^-a?=-a+V—

原式=\j—aa

2/、

2.??“、.*.x-4=0,/.x=±2,但?.,x+2N0,x=2,y=—

4一廠>04

\jx+yy]x^y=k=K=4-

16.3二次根式的加減⑴

教案總序號：7時間：

教學(xué)內(nèi)容

二次根式的加減

教學(xué)目標(biāo)

理解和掌握二次根式加減的方法.

先提出問題，分析問題，在分析問題中，滲透對二次根式進行加減的方法的理解.再總

結(jié)經(jīng)驗，用它來指導(dǎo)根式的計算和化簡.

重難點關(guān)鍵

1.重點：二次根式化簡為最簡根式.

2.難點關(guān)鍵：會判定是否是最簡二次根式.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

學(xué)生活動：計算下列各式.

(1)2x+3x；(2)2X2-3X2+5X2；(3)x+2x+3y；(4)3a2-2a2+a3

教師點評：上面題目的結(jié)果，實際上是我們以前所學(xué)的同類項合并.同類項合并就是字

母不變，系數(shù)相加減.

二、探索新知

學(xué)生活動：計算下列各式.

(1)2&+3&(2)278-378+578

(3)A/7+2X/7+379^7(4)3G二島五

老師點評：

(1)如果我們把血當(dāng)成x,不就轉(zhuǎn)化為上面的問題嗎？

25/2+3x/2=(2+3)V2=5V2

(2)把血當(dāng)成y；

2次?3次+5龍=(2-3+5)瓜=4瓜

(3)把不當(dāng)成z；

近+26+囪不

=277+2近+3行=(1+2+3)5/7=65/7

(4)看為x,、傷看為y.

3X/3-2A/3+V2

=(3-2)G+逝

=V3+V2

因此，二次根式的被開方數(shù)相同是可以合并的，如2也與人表面上看是不相同的，

但它們可以合并嗎？可以的.

(板書)3叵+瓜=3叵+2叵=5叵

36+a=3石+36=6右

所以，二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的

二次根式進行合并.

例1.計算

(1)>/8+8(2)Ji6尤+J64x

分析：第一步，將不是最簡二次根式的項化為最簡二次根式；第二步，將相同的最簡二

次根式進行合并.

解：(1)x/8+V18=2>/2+3V2=(2+3)6=50

(2)J16x+，64x=46+8>/7=(4+8)Vx=12>/x

例2.計算

(1)3-48-9+3-\/12

(2)(V48+V20)+(712-\/5)

解：(1)3748-9^-+3>/12=12>/3-3V3+6>/3=(12-3+6)0=\50

(2)(回+而)+(疵-6)=聞+而+厄-6

=4>/3+2X/5+2A/3->/5=6X/3+^

三、鞏固練習(xí)

教材P19練習(xí)1、2.

四、應(yīng)用拓展

例3.4x2+y2-4x-6y+10=0,求(x\/9x+y2)-(x2^^-5x^^)的值.

分析：本題首先將已扣等式進行變形，把它配成完全平方式，得(2x-l)2+(y-3)2=0,

BPX=1,y=3.其次，根據(jù)二次根式的加減運算，先把各項化成最簡二次根式，再合并同

2

類二次根式，最后代入求值.

解：V4x2+y2-4x-6y+IO=O

V4x2-4x+l+y2-6y+9=0

???(2x-l)2+(y-3)I。

1

2

=2xA/X+yjxy-xy/x-5

=xx[x+6Jxy

當(dāng)x=；,y=3時,

原式=1xI-+6、日+3"

2V2

五、歸納小結(jié)

本節(jié)深應(yīng)掌握：（I）不是最他二次根式的，應(yīng)化成最徇二次根式；（2）相同的最簡二

次根式進行合并.

六、布置作業(yè)

1.習(xí)題16.31、2、3、5.

2.選作課時作業(yè)設(shè)計.

第一課時作業(yè)設(shè)計

一、選擇題

1.以下二次根式：。/；②"；；④厲中，與G是同類二次根式的

是().

A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

④篝=2&,

2.下列各式：①36+3=6&；②，近=1；③&+遙=次=2&；

7

其中錯誤的有（）.

A.3個B.2個C.1個D.0個

二、填空題

1.在龍、說、詬、j運、2J彳、3血5、-2上中,與島是同類

33aV8

二次根式的有.

2.計算二次根式5&-3揚-76+9妍的最后結(jié)果是.

三、綜合提高題

1.已知石.2.236,求（瘋j-舊）-（出+:后）的值.（結(jié)果精確到0.01）

2.先化簡，再求值.

答案：

一、1.C2.A

二、1.—Ji5a—，3優(yōu)2.6\fb-2

3a

々A1oii

二、1.原式=4y/5—--y/5-—\fs=-s/S——X2.236=0.45

55555

2.y/^+3yfxy-+6yjxy)=(6+346)y[xy=-y/xy>

當(dāng)x=；,y=27時，原式=-J.x27=-y叵

16.3二次根式的加減⑵

教案總序號：8時間：

教學(xué)內(nèi)容

利用二次根式化簡的數(shù)學(xué)思想解應(yīng)用題.

教學(xué)目標(biāo)

運用二次根式、化簡解應(yīng)用題.

通過復(fù)習(xí)，將二次根式化成被開方數(shù)相同的最簡二次根式，進行合并后解應(yīng)用題.

重難點關(guān)鍵

講清如何解答應(yīng)用題些是本節(jié)課的重點，又是本節(jié)課的難點、關(guān)鍵點.

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

上節(jié)課，我們已經(jīng)講了二次根式如何加減的問題，我們把它歸為兩個步驟：第一步，先

將二次根式化成最簡二次根式：第二步，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并，下面我們

講三道例題以做鞏固.

二、探索新知

例1.如圖所示的RlZXABC中，NB=90°,點P從點B開始沿BA邊以1厘米/秒的

速度向點A移動：同時，點Q也從點B開始沿BC邊以2厘米/秒的速度向點C移動.問：

幾秒后4PBQ的面積為35平方厘米？（結(jié)果用最他二次根式表示）

分析：設(shè)x秒后4PBQ的面積為35平方厘米，那么PB=x,BQ=2x,根據(jù)三角形面積

公式就可以求出x的值.

解：設(shè)x后4PBQ的面積為35平方厘米.

貝IJ有PB=x,BQ=2x

依題意，得：—x,2x=35

2

X2=35

x=>/35

所以后秒后4PBQ的面積為35平方厘米.

答：病秒后4PBQ的面積為35平方厘米.

例2.要焊接如圖所示的鋼架，大約需要多少米鋼材（精確到0.1m）?

分析：此框架是由AB、BC、BD、AC組成，所以要求鋼架的鋼材，只需知道這四段

的長度.

B

解：由勾股定理，得

AB=dAI^+Bb2=V42+22=J20=2J5

BC=^BDr+CDr=722+12=石

所需鋼材長度為

AB+BC+AC+BD

=2石+石+5+2=3舊+7^3X2.24+7^13.7(m)

答：要焊接一個如圖所示的鋼架，大約需要13.7m的鋼材.

三、鞏固練習(xí)

教材練習(xí)3

四、應(yīng)用拓展

例3.若最簡根式*弋4a+3b與根式耳廬-6+的是同類二次根式，求a、b的值.(

同類二次根式就是被開方數(shù)相同的最簡二次根式)

分析：同類二次根式是指幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同：事實上,

根式。2abjUbb不是最簡二次根式，因此把d2ab?-求+6片化簡成

|b|?，2。-2+6,才由同類二次根式的定義得3a-b=2,2a-b+6=4a+3b.

解：首先把根式J2?/?一從+6從化為最簡二次根式:

hab?-1」+6從=升(2a-1+6)=|b|-+6

4。+3〃=2。一人+6

由題意得

3a-b=2

(