人教版初二數(shù)學上冊壓軸題強化綜合試題含答案

人教版初二數(shù)學上冊壓軸題強化綜合試題含答案

1.（初步探索）（1）如圖：在四邊形48CQ中，AB=AD,ZB=ZADC=90°,E、F分

別是3。、CO上的點，且EF=BE+FD,探究圖中4AE、NE4。、NE4/之間的數(shù)量關

圖]圖2

（1）（1）小明同學探究此問題的方法是：延長尸。到點G,使DG=BE.連接AG,先證明

,再證明產(chǎn)，可得出結論，他的結論應是；

（2）（靈活運用）（2）如圖2,若在四邊形48CD中，AB=AD,Zfi+ZD=180°,E、F

分別是4C、CD上的點，且EF=BE+FD,上述結論是否仍然成立，并說明理由；

3.已知△ABC是等邊三角形，ZkAOE的頂點。在邊8c上

（1）如圖1，若AD=DE,ZAED=60\求N4CE的度數(shù)；

（2）如圖2,若點。為8c的中點，AE=AC,NEAC=90°,連CE,求證：CE=2BF；

（3）如圖3,若點。為8C的一動點，ZAED=9Q°,ZADE=30°,已知8c的面積為

4/，當點。在8c上運動時，△48E的面積是否發(fā)生變化？若不變，請求出其面積；若變

化請說明理由.

3.閱讀材料1：

對于兩個正實數(shù)方，由于（右-〃）>0,所以（右）-2\[a?x/^+（x/^j20,即

a-2\[ab+b>0,所以得到。+力之27^，并且當時，a+b=2\/ab

閱讀材料2：

若4>0,則二11=工+_1=%+1,因為4>0,1>0,所以由閱讀材料1可得:

XXXXx

=即二11的最小值是2,只有]=」時，即工=1時取得最小值.

XVXXx

根據(jù)以上閱讀材料，請回答以下問題:

⑴比較大小

V+1—2x（其中X21）；x+-_-2（其中X<-1）

(2舊知代數(shù)式』變形為》〃+擊’求常數(shù)〃的值

⑶當x=一時,有最小值,最小值為..(直接寫出答案).

4.等腰RSABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點4、點8分別是y軸、x軸上兩個動點，直角

邊AC交x軸于點。，斜邊8c交y軸于點E.

(1)如圖(1),已知C點的橫坐標為-1,直接寫出點4的坐標；

(2)如圖(2),當?shù)妊黂548c運動到使點。恰為AC中點時，連接0E.求證：ZADB=Z

CDE；

(3)如圖(3),若點4在x軸上，且A(-4,0),點8在y軸的正半軸上運動時，分別以

。8、48為直角邊在第一、二象限作等腰直角A8。。和等腰直角△A8C,連結C。交，軸于點

P,問當點R在y軸的正半軸上運動時，8P的長度是否變化？若變化請說明理由，若不變

化，請求出BP的長度.

5.如圖1已知點48分別在坐標軸上，點C(3,-3),C4_L8A于點4且84=CA,

C4C8分別交坐標軸于0,E.

⑴填空：點8的坐標是；

⑵如圖2,連接。E,過點(:作CH_LCA于C,交x軸于點H,求證：ZADB=ZCDE,

⑶如圖3,點F(6,0),點P在第一象限，連PF,過P作PM_LPF交y軸于點M,在PM

上截取PN=PF,連P。，過P作NOPG=45。交8/V于G.求證：點G是8N中點.

6.已知：在平面直角坐標系中，A為x軸負半軸上的點，8為y軸負半軸上的點.

⑴如圖1,以4點為頂點,4B為腰在第三象限作等腰冊JAC,若。4=2,013=4,求C

點的坐標;

⑵如圖2,若點4的坐標為卜26,0）,點8的坐標為（0,-〃?），點。的縱坐標為〃，以8為

頂點，班為腰作等腰RtAABO.當B點沿y軸負半軸向下運動且其他條件都不變時，整

式4〃?+4〃-96的值是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請求出其值；若發(fā)生變化，請說明理

⑶如圖3,若OA=OB,OF上AB于點F,以。8為邊作等邊,08M,連接4M交OF于點

N,若AN=m,ON=n,請直接寫出線段AM的長.

7.如圖1,在平面直角坐標系中，A（0,4）,C（-2,-2）,且NAC8=90。，AC=BC.

（1）求點B的坐標：

（2）如圖2,若8c交y軸于點M,48交x軸與點N,過點B作BEJ_y軸于點邑作

軸于點F,請?zhí)骄烤€段MN,ME,NF的數(shù)量關系，并說明理由；

（3）如圖3,若在點8處有一個等腰RS8DG,且8D=DG,ZBDG=90°,連接八G,點H

為八G的中點，試猜想線段0H與線段CH的數(shù)量關系與位置關系，并證明你的結論.

8.在田△ABC中，AC=BC,NACB=90。，點。是月C上一點.

圖3

⑴如圖1,4D平分NB4C,求證A8=AC+CD：

（2）如圖2,點E在線段AD上，且NCEO=45。，ZBED=30°,求證8E=2AE；

（3）如圖3,BMLAM,M是AABC的中線4。延長線上一點，N在4?上，AN=BM,若DM

=2,則MN=一（直接寫出結果）.

【參考答案】

2.⑴（初步探索）結論：ZBAE+ZFAD=ZEAF；

⑵（靈活運用）成立，理由見解析

【分析】（1）延長FD到點G,使DG=BE,連接AG,可判定△ABE合△ADG,進而得出

ZBAE=ZD

解析：（1）（初步探索）結論：NBAE+NFAD=NEAF；

（2）（靈活運用）成立，理由見解析

【分析】（1）延長FD到點G,使。G=8E,連接4G,可判定“BEgA4DG,進而得出N

BAE=/DAG,AE=AG,再判定△AEFg/XASF,HlZEAF=ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+Z

DAF,據(jù)此得出結論：

（2）延長FD到點G,使。G=8￡,連接AG,先判定△A8E經(jīng)Z^ADG,進而得出NBA￡=/

DAG,AE=AG,再判定絲ZMGF,可得出/"F=NGAF=ND4G+ND4F=/8NE+/D4F.

（1）

解：NBAE+NFAD=NEAF.

理由：如圖1，延長FD到點G,使DG=BE,連接4L

G

圖1

?/ZB-ZADC-90\

NADG=4=90",

\,DG=BE,AB=AD,

：./^ABE^^ADG,

：,ZBAE=ZDAGfAE=AGf

*：EF=BE+FD,DG=BE,

/.EF=DG+FD=GF,AAE=AG,AF=AF,

:.△AEFW^AGF,

Z1EAF=Z：GAF=/DAG十/DAF=/8A￡-h/DAF.

故答案為：N8AE+/EAD=NE4F；

(2)

如圖2,延長FD到點G,使。G=8邑連接AG,

圖2

,:N8+ZADF=180\NAOG+ZADF=18Q0,

：,ZB=ZADG,

又?.?八8=4。，

：./^ABE^/\ADG(SAS):

工N8AE=NDAG,AE=AG,

?.?￡F=8￡+F0=0G+F0=GF,AF=AF,

???△4EF0△4GF(SSS),

:.ZEAF=ZGAF=ZDAG^ZDAF=ZBAE+ZDAF

【點睛】本題考查了全等三角形的判定以及性質的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線

構造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應角相等進行推導變形.解題時注意：同角的補角

相等.

3.(1)60°；(2)見解析；(3)不變，

【分析】(1)由題意，先證△ADE是等邊三角形，再證△BAD3△CAE,得

ZACE=ZB=60°；

（2）由題意，先求出/BEC=30。，然后求出NCF

解析：（1）60°；（2）見解析；（3）不變，2&

【分析】（1）由題意，先證AADE是等邊三角形，再證△勿。紇△CAE,得N4CE=N

8=60°；

（2）由題意，先求出N8EC=30。，然后求出NCFE=90。，利用直角三角形中30度角所對直

角邊等于斜邊的一半，即可得證；

（3）延長至F,使EFME,連DF、CF,先證明△ADF是等邊三角形，然后證明ZkEGFg

△EHA,結合HG是定值，即可得到答案.

【詳解】解:（1）根據(jù)題意,

\'AD=DE,ZAED=60°,

???△ADE是等邊三角形，

:?AD=AE,ZDAE=60°,

,：AB=AC,ZMC=60°,

???ABAC-ZDAC=NDAE-ADAC,

即N84O=NC4E,

:.叢BAD名ACAE,

:.NACE=N8=60°：

（2）連CF,如圖：

圖2

?：AB=AC=AE,

：.ZAEB=ZABE,

VZBAC=60°,ZEAC=9Q0,

：.ZBAE=150\

:.ZAEB=ZABE=15°；

???△4CE是等腰直角三角形，

:.Z4EC=45°,

???N8EC=30°,NEBC=45°,

?.工口垂直平分BC,點「在人￡）上,

:?CF=BF,

:.ZFCB=Z￡BC=45°,

:.NCFE=90°,

在直角ACEF中，ZCFE=90°,ZC￡F=30%

：,CE=2CF=2BF,

(3)延長4E至F,使EF=4E,連OF、CF,如圖:

VZAED=90°,EF=AE,

?*DE是中線，也是高，

???△4DF是等腰三角形，

ZADE=30°,

：,ZDAE=60°,

???△ADF是等邊三角形；

由(1)同理可求/4CF=/A8C=60。，

:.ZACF=ZBAC=6Q\

：,CF//AB,

過E作EG_LCF于G,延長GE交84的延長線于點H,

易證AEGF也△EHA,

:?EH=EG=；HG,

???HG是兩平行線之間的距離，是定值，

:.S^ABE=ySAABC=^X4X/3=2>/3；

【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質，等腰三帶形的判定和性質，垂直平分線的

性質，全等三角形的判定和性質，含30度角的直角三角形的性質，解題的關鍵是熟練掌握

所學的知識，正確的作出輔助線，從而進行解題.

57.已知,4(0,Q),B(b,0),點為X軸正半軸上一個動點,AC=CD,ZACD=9Q°.

(1)已知a,b滿足等式Ia+bI+爐+4匕=-4.

①求A點和B點的坐標；

②如圖1,連8。交y軸于點H,求點H的坐標；

(2)如圖2,已知a+b=O,OOOB,作點8關于y軸的對稱點E,連。2點F為DE的中

點，連OF和CF,請補全圖形，探究OF與CF有什么數(shù)量和位置關系，并證明你的結論.

(1)①4(0,2),B(-2,0)；②〃(0,-2)；(2)CFLOF,CF=OF,證明見解析.

【分析】(1)①利用絕對值、完全平方的非負性的應用，求出a、b的值，即可得到答

案；

②過C作y軸垂線交8A的延長線于￡,然后證明△CEAgaCBD,得到。8=。從即可得到

答案；

(2)由題意，先證明△OFGgAEFO,然后證明△DCGgZ\4：。，得到ZiOCG是等腰直角三角

形，再根據(jù)三線合一定理，即可得到結論成立.

【詳解】解：(1)???|。+4+〃+4〃=-4,

/.\a+t\+b2+4b+4=0,

.?.|a+〃|+S+2)2=0,

.*.?+/?=(),Z?+2=0,

b=-2f

a—2,

：,A(0,2),B(-2,0)；

②過C作x軸垂線交BA的延長線于E,

*：OA=OB=2,ZAOB=9Q\

??.△AOB是等腰直角三角形，

:.NA8O=45°,

VEC±ec,

???△8CE是等腰直角三角形，

；?BC=EC,ZBCE=9Q°=ZACDf

：.NACE=NDCB,

*：AC=DCt

:.△CEAdCBD,

ZCDD=Zf=45°,

：?OH=OB=2,

:.H(0,-2)；

(2)補全圖形，如圖：

???點8、E關于v軸對稱,

：,OB=OE,

a+b=O?BPa——b

：.OA=OB=OE

延長OF至G使FG=OF,連DG,CG,

?：OF=FG,ZOFE=ZDFG,EF=DF

：,DG=OE=OA,ZDGF=ZEOF

：.DG//OE

，NCOG=NOC。；

'：ZACO+ZCAO=ZACO+ZDCO=9Q°,

：.ZDCO=ZCAO；

:.ZCDG=ZDCO=ZCAO；

*：CD=AC,OA=DG

：./\DCG^LACO

：,OC=GC,ZDCG=ZACO

/.ZOC6=90°,

:.NCOF=45°,

???△OCG是等腰直角三角形，

由三線合一定理得CF_LOF

VZOCF=ZCOF=45°,

:?CF=OF；

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，軸對稱的性

質，非負性的應用，解題的關鍵是熟練掌握所學的知識，正確的作出輔助線進行解題.

58.已知點A在X軸正半軸上，以OA為邊作等邊404?,A(x,0),其中X是方程

3I22…

------------7=-------的解.

23x-l6.r-2

(1)求點4的坐標；

(2)如圖1,點C在y軸正半軸上，以AC為邊在第一象限內(nèi)作等邊ACD,連。8并延長

交V軸于點E求N8EO的度數(shù)：

(3)如圖2,點F為x軸正半軸上一動點，點F在點4的右邊，連接FB,以FB為邊在第

一象限內(nèi)作等邊；FBG,連G4并延長交y軸于點H,當點F運動時，?！?人”的值是否發(fā)

生變化？若不變，求其值；若變化，求出具變化的范圍.

(1)4(3,0)；(2)120°：(3)尸的值是定值，9.

【分析】(1)先求出方程的解為x=3,即可求解；

(2)由"SZS'可證△C4O也△048,可得ND84=NCO4=90°,由四邊形內(nèi)角和定理可求

解；

(3)由"S4S"可證△ABG妾AOBF可得OF=AG,N84G=N8OF=60°,可求NOAH=60°,可

得47=6,即可求解.

312，

【詳解】解：(1)〈X是方程;-h、=二?的解.

23x-\6x-2

解得：x=3,

檢驗當x=3時，6x-2w0,3x-lw0,

:.x=3是原方程的解，

工點A(3Q);

(2);△ACD,AAB。是等邊三角形，

：.AO=AB,AD=AC,^BAO=ZCAD=60°,

：.ZCAO=ZBAD,且40=48,AD=AC,

???△CAg△勿8(5A5)

：.ZDBA=ZCOA=90°,

:.ZABE=9Q\

*/NAOE+ZABE+/0A8+NBEO=360°,

，N8EO=120°；

(3)GH-AF的值是定值,

理由如下：???△ABC,Z^FG是等邊三角形，

：,BO=AB=AO=3,FB=BG,ZBOA=ZABO=ZFBG=60°,

：.ZOBF=ZABG,且08=48,BF=BG,

/\AB6^/\0BF(SAS),

：,OF=AG,N84G=N8CF=60°,

?MG=OF=OW+AF=3+AF,

ZOAH=18Q0-ZOAB-ZBAG,

；?NOAH=60°,且N4OH=90°,04=3,

.\AH=6,

:.GH-AF=AH-{-AG-AF=6+3+AF-AF=9.

【點睛】本題是三角形綜合題，考查了分式方程的解法，等邊三角形性質，全等三角形的

性質和判定的應用，主要考查學生運用定理進行推理的能力.

59.等邊A48c中，點〃、K分別在邊3C、AC上，旦AK=C〃，連接A”、歌交于點

F.

(1)如圖1，求NAFB的度數(shù)：

圖1

BF

(2)連接CF,若N6fC=9()。，求——的值；

AF

(3)如圖2,若點G為47邊的中點，連接FG,且Ab=2尸G,則的大小是

圖2

(1)120°；(2)2；(3)120°

【分析】(1)由AA8C是等邊三角形，可得出A8=AC=8C,

ABAC=ZABC=ZACB=60°,再利用AK=C〃，可證A43Kg△C4，(SAS),得出

ZCAH=ZABK,由/3陽=乙$長+/加?=/64/7+/84/可求出/5"/,最后由外角

定義求出/AF8.

(2)在所上取點O,^BD=AF,由&尸8=120?？勺CN4/，C=150。，冉利用

AB=AC,ZABD=^CAF,或>=A尸可證明A48Z涇AC4/(SAS),進而求出

44DB=NCFA=15O°,再用補角的性質得知NAH>=120。，在V4/7)中利用外角的性質可

求出/皿)=44。8-乙4律=30。，進而證出VA")為等腰三角形，最后可證出

HF=BD+DF=2AF即可求解.

(3)延長至E,使AA莊為等邊三角形，延長尸G交CE于7,可得出

^ABF^^ACE(SAS),進而得出NA￡C=N41?8=I2O。，利用角的和差得出

4FET=泣=4AFE,則證出八F//EC,進而證出AAFG當△C76(A4S),再利用

AF=2FG,從尸="＞證出為等邊三角形，進而記出NAR7=120。.

【詳解】(1)???AABC是等邊三角形，

AAB=AC=BC,ZBAC=ZAI3C=ZACI3=60°,

在AABK和A。”中，

AB=CA,/BAK=ZACH,AK=CH,

SABK^ACAH(SAS),

JZCAH=ZABK,

J./RFH=ZABK4NBAF=NGA"-l-NRAF=60°,

JZAFB=180°-NBFH=18()°-60。=120°.

(2)在所上取點￡),使8D=Ab.

由(1)知ZAAB=120。，

又NBFC=90。,

：.ZAFC=150°.

在AAB￡)和ACA尸中，

AB=AC,ZABD=ZCAF,BD=AF,

???AABD^ACAF(SAS),

ZAD2?=ZCE4=15O°,

Z/?=30°,

??,ZAFD=120°,

:.ZLFAD=ZADB-ZAFD=30°,

/.ZFDA=ZFAD.

AF=DF,

VBD=AF,

：.BD=DF=AF,

/.BF=BD+DF=2AF,

；?BF:AF=2.

(3)ZBFG=120°.

提示：目測即得答案.詳細理由如下：

由(1)知NAF3=120。.延長至￡,使44所為等邊三角形.

延長尸G交CE于r.

???ZBAF+ZFAC=ZFAC+Z.CAE=60°,

???ZBAF=NCAE,

在△84F和VC4E中，

AF=AE

ZBAF=乙CAE,

AB=AC

JA/W尸@AACE(%S),

，ZAEC=ZAFB=\2(T.

：.々￡7=60。=44莊，

AF//EC.

:?/FAG=NTCG,ZAFE=ZTEF=6O0

在,AFG和C7G中，

ZAG=4TCG

<AG=CG,

ZFGA=NTGC

??.^AFG^CTG(AAS),

:.FG=TG.

VAF=2FG,AF=EF,

，EF=FT,

ZAFE=Z7EF=60°

???AEFT為等邊三角形,

???NEFF=60。

???ZBFG=1800-ZEFT=120°.

【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定

和性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質及等邊三角形的判定和性質是解題的關鍵.

60、在平面直角坐標系中，4。，0),8(0,b)分別是x軸負半軸和y軸正半軸上一點，點C

與點A關于y軸對稱，點P是x軸正半軸上C點右側一動點.

(1)當2a2+4ab+4b2+2Q+1=0時，求4,8的坐標；

(2)當Q+b=0時，

①如圖1,若。與P關于y軸對稱，P￡_LD8并交。8延長線于E,交28的延長線于F,求

證：P8=PF；

②如圖2,把射線8P繞點8順時針旋轉45o,交x軸于點Q,當CP=4Q時，求N4PB的

(1)A(-1,()),8(0《)；(2)①見解析；②N4P8=225

【分析】(1)利用非負數(shù)的性質求解即可；

(2)①想辦法證明NPBF=NF,可得結論；②如圖2中，過點。作QF_LQ8交P8于F,

過點F作FH_Lx軸于H,可得等腰直角"QF,證明也△QB。(AAS)，再證明FQ=FP

即可解決問題.

【詳解】解：(1)V2a2+4ab+4b2+2a+l=0,

(a+2b)2+(a+1)2=C,

'：(a+2b)2>0,(a+1)2>0,

/.a+2b=0,a+l=0,

???a=-1,b=y,

：.A(-1,0),8(0,y).

:a+b=0,

，a=-b,

：,OA=OB,

又：N4O8=90。，

：,ZBAO=ZABO=45°,

???。與P關于y軸對稱,

:?BD=BP,

；?NBDP=/BPD,

設N80P=N8P0=a,

貝ljNP8F=ZBAP+^BPA=45Q+a,

?；PELDB,

，N8EF=90°,

：.ZF=90°-ZEBF,

又NEBF=/ABD=NBAO_N8OP=450?a,

/.ZF=450+a,

:?NPBF=/F,

：.PB=PF.

②解：如圖2中，過點Q作QF_LQ8交P8「F,過點F作FH_Lx軸于H.可得等腰直角

'：ZBOQ=NBQF=ZFHQ=90°,

/.ZBQO+ZFQH=90%NFQH+NQFH=90。,

工/BQO=/QFH,

?；QB=QF,

：?AFQH學AQBO(AAS),

:.HQ=OB=OA,

:.HO=AQ=PC,

:,PH=OC=OB=QH,

:?FQ=FP,

又N8FQ=45°,

NAP8=22.5°.

【點睛】本題考查完全平方公式、實數(shù)的非負性、全等三角形的判定與性質、等腰直角三

角形的判定與性質，解題的關鍵是綜合運用相關知識解題.

61.如圖，已知C。是線段的垂直平分線，垂足為D,C在。點上方，N84C=30。，P是

直線CD上一動點，E是射線AC上除4點外的一點，PB=PE,連8E.

(1)如圖1，若點P與點C重合，求NA8E的度數(shù)；

(2)如圖2,若P在C點上方，求證：PD+^AC=CE,

(3)若AC=6,CE=2,則PD的值為(直接寫出結果).

(1)Z4BE=90°；(2)PD+^AC=CEt見解析；(3)1

【分析】(1)根據(jù)線段垂直平分線的性質和等邊三角形的判定與性質得到：ABPE為等邊

三角形，則NCB￡=60°,故N48E=90°；

(2)如圖2,過P作PHL4E于H,連8C,作PG_LBC交8c的延長線于G,構造含30度

角的直角APCG、直角ZiCPH以及全等三角形(RZGBgRSPHE)，根據(jù)含30度的直角三

角形的性質和全等三角形的對應邊相等證得結論；

(3)分三種情況討論，根據(jù)(2)的解題思路得至1」。。=4八。+?！昊颉?。=?！?：4。，將數(shù)值代

22

入求解即可.

【詳解】(1)解：如圖1,???點P與點C重合，CD是線段48的垂直平分線，

圖1

：.PA=PB,

：.ZPAB=^PBA=3Q\

:.NBPE=NPAB+NPBA=6G0,

?:PB=PE,

???△8PE為等邊三角形，

:.NC8E=60°,

:.Z48E=90°；

(2)如圖2,過P作PH14E于小連8C,作PG_L8c交8c的延長線于G,

<8垂直平分八8,

：,CA=CB,

???/8AC=30°,

，4CD=N88=60°,

:.ZGCP=ZHCP=ZBCE=ZACD=Z88=60°,

/.ZGPC=ZHPC=30°,

11

：?PG=PH,C6=CH=-CP,CD=-AC,

在R3PGB和中，

PG=PH

PB=PE'

：?R3PGB且R3PHE(HL).

:?BG=EH,BPCB+CG=CE-CH,

：.CB+-CP=CE--CP,BPCB+CP=CE,

22

又?.?C8=4C,

.\CP=PD-CD=PD--AC,

：.PD+-AC=CE；

2

(3)①當。在。點上方時，由(2)得：PD=CE-^AC,

當AC=6,CE=2時，PD=2-3=-l,不符合題意：

②當P在線段CD上時，

如圖3,過P作PH_L4￡于從連8C,作PG_L8C交8c于G,

此時RSPG8gRJPHE(HL),

：.BG=EH,HPCB-CG=CE+CH,

Cfi--CP=C￡+-CP,即CP=CB-CE,

又."8=4(7,

，PD=CD-CP=-AC-CB+CE,

2

：.PD=CE--AC.

2

當4c=6,C￡=2時，PD=2-3=-l,不符合題意;

③當P在。點下方時，如圖4,

同理，PD=-AC-CE,

2

當心6,C￡=2時,PD=3-2=1.

故答案為：1.

【點睛】本題主要考查了三角形綜合題，綜合運用全等三角形的判定與性質，含30度角直

角三角形的性質，等邊三角形的判定與性質等知識點，難度較大，解題時，注意要分類討

論.

62.在平面直角坐標系中，點A的坐標是（0“），點8的坐標（尻0）且a,b滿足

a2-]2a+36+\a-b\=0.

（1）求A、8兩點的坐標；

（2）如圖（1）,點C為x軸負半軸一動點，OC<OB,8OJ.4C于。，交y軸于點E,

求證：OO平分NCOS.

（3）如圖（2）,點F為4B的中點，點G為x正半軸點3右側的一動點，過點F作尺7的

垂線”，交y軸的負半軸于點H,那么當點G的位置不斷變化時，的值是

否發(fā)生變化?若變化，請說明理由；若不變化，請求出相應結果.

（1）40,6）,8（6,0）；（2）證明見解析；（3）不變化，SAFH-SFBG=9.

【分析】（1）由非負性可求。，b的值，即可求4、8兩點的坐標；

（2）過點。作OM_L8O于M,ON_LAC于N,根據(jù)全等三角形的判定和性質解答即可；

（3）由于點F是等腰直角三角形AOB的斜邊的中點，所以連接OF,得出OF=BF.ZfiFO=

ZGFH,進而得出NOFH=/8FG,利用等腰直角三角形和全等三角形的判定和性質以及三

角形面積公式解答即可.

【詳解】解：（1）???。2—12a+36+|a—4=0

工（a—6）~+|a—4=0,

a-6=0

即a=/>=6.

a-b=0

???A(0,6),8(6,0).

(2)如圖，過點。作OM_LA。于M,ON1AC于M

根據(jù)題意可知N4CO+NC4090。.

???BD1AC,

工ZBCD+ZCBE=90°,

工NCAO=4CBE.

A(0,6),4(6,0),

，0A=0B=6.

NCAO=NEBO

在△AOC和△BOE中，OA=OB

/AOC=ZBOE=90°

:.AOC^BOECASA).

：.OE=OC,AC=RE,SAOC=SBOE

.」AC?ON=LBE?OM,

22

：.OM=ON,

:?點、。?定在NCDB的角平分線I.,

即0。平分NCD8.

(3)如圖，連接OF,

???JO"是等腰直角三角形且點F為48的中點,

：.OFLAB,OF=FB,OF平分NA08.

，4OFB=4）FH+格=90。.

又???FG1FH,

/.ZHFG=4BFG+/HFB=90°,

，/OFH=/BFG.

???NFOB=L/AOB=45。,

2

JZFOH=ZLFOB+ZHOB=45°+90°=135°.

又/FBG=1800-ZABO=180°-45°=135°,

ZFOH=/FBG.

ZOFH=Z.BFG

在和AEBG中」OF=BF,

NFOH=NFBG

AFOH=￡,FBG（ASA）.

?q=c

??uFOHuFBG，

X

**,SAFH-SFBG=SAFH~SFOH=SFOA=—SAOB=—^—OA?OB=-6X6=9.

故不發(fā)生變化，且5"〃-SF8G=9.

【點睛】本題為三角形綜合題，考查非負數(shù)的性質，角平分線的判定，等腰直角三角形的

性質和判定、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問

題，正確添加輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

63.如圖1,在平面直角坐標系中，AO=AB,Z640=90°,8O=8cm,動點。從原點。出

發(fā)沿x軸正方向以acm/s的速度運動，動點E也同時從原點0出發(fā)在y軸上以bcm/s的速

度運動，且a,。滿足關系式M+b?-4Q-2。+5=0,連接OD,OE,設運動的時間為t秒.

（1）求。，b的值；

（2）當t為何值時，△MD且△04E：

【分析】（1）將出+62-4。-28+5=0用配方法得出（0-2）2+（b-1）2=0,利用非負數(shù)

的性質，即可得出結論；

（2）先由運動得出8。=8-2t|,再由全等三角形的性質的出貨BQ=OE,建立方程求解

即可得出結論.

(3)先判斷出△OWPgABAQ(SAS),得出OP=8Q,N48Q=N4OP=30。，N4QB=N

4Po=15。，再求出NO4P=135。，進而判斷出△04QgZ\8AQ(SAS),得出NOQ4=N8Q4

=15°,OQ=BQ,再判斷出aOPa是等邊三角形，得出/OQP=60。，進而求出N8QP=

30°,再求出NP8Q=75°,即可得出結論.

【詳解】解：(1)???。2+爐-4a-2b+5=0,

:.(a-2)2+(b-1)2=0,

/.a-2=0,b-1=0,

：?a=2,b=l；

(2)由(1)知，a=2,b=l,

由運動知，0D=2tfOE=t,

VOB=8,

：,DB=\8-2t\

/XBAD^LOAE,

*：DB=OE,

/.18-2t|=t,

解得，t=§(如圖1)或t=8(如圖2)；

(3)如圖3,

過點A作AQ_L4P,使AQ=4P,連接OQ，BQ,PQ,

則NAPQ=45°,ZPAQ=90°,

V^OAB=90°,

:?NPAQ=NOAB,

：.ZOAB+ZBAP=ZPAQ+ZBAP.

即：ZOAP=ZBAQ,

t：OA=AB,AD=AD,

/.△O4P^A84Q(SAS).

：.OP=BQ,ZABQ=ZAOP=3Q°,ZAQB=ZAPO=1S°.

在A40P中，N4OP=30°,ZAPO=15°,

:.ZOAP=13Q°-NAOP-ZAPO=135°,

：.ZOAQ=360°-ZOAP-N%Q=135°-90°=135°=NOAP,

'：OA=AB,AD=AD,

：./\OAQ^/\BAQ(SAS),

：.ZOQA=ZBQA=15°,OQ=BQ,

???0P=8Q,

???OQ=OP,

VZ4PQ=45°,N4PO=15°,

:.NOPQ=ZAPO+ZAPQ=60°,

???△OPQ是等邊三角形，

，NOQP=60。，

；?NBQP=NOQP-NOQ八-N8Q4=60°-15°-15°=30°,

：8Q=PQ,

，NP8Q=g(1800-ZBQP)=75°,

:.NA8P=N48Q+NP8Q=30°+75°=105°.

【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查了配方法、非奐數(shù)的性質、三角形內(nèi)角和定理、

等邊三角形的判定和性質、全等三角形的判定及性質，構造出全等三角形是解題的關鍵.

64.如圖1,在平面直角坐標系中，點人(0刀-2),以。,0),“"6,詢.且〃滿足

/_2必+2從_1劭+64=0,連接A8,AC,AC交x軸于￡)點.

(1)求。點的坐標：

(2)求證：Za4C+ZABO=45°；

(3)如圖2,點E在線段AB上，作EG_L)，軸于G點，交AC于尸點，若￡G=AO,求

(1)C(2,-8)；(2)證明見解析；(3)證明見解析.

【分析】(1)由非負性可求a,b的值，即可求解：

(2)由“SAS"可證△ABPgZ\BCQ,可得AB=BC,NBAP=/CBQ,可證aABC是等腰直角三角

形，可得NBAC=45。，可得結論；

(3)由"AAS”可證△ATO^^EAG,可得AT=AE,OT=AG,由"SAS"可證ATAD也Z\EAD,可得

TD=ED,ZTDA=ZEDA,由平行線的性質可得NEFD=NEDF,可得EF=ED,即可得結論.

【詳解】解:(1)Va2-2ab+2b2-16b+64=0,

:.(a-b)2+(b-8)2=0,

??a=b=89

，b?6=2,

，點C(2,-8)；

(2)Va=b=8,

???點A(0,6),點B(8,0),點C(2,-8),

AAO=6,OB=8,

如圖1，過點B作PQ_Lx軸，過點A作AP_LPQ,交PQ于點P,過點C作CQ_LPQ,交PQ

于點Q,

???四邊形AOBP是矩形，

AAO=BP=6,AP=OB=8,

???點B(8,0),點C(2-8),

ACQ=6,BQ=8,

.??AP=BQ,CQ=BP,

又NAPB二NBCQ

.,.△ABP^ABCQ(SAS),

AAB=BC.ZBAP=ZCBQ.

VZBAP+ZABP=90°,

AZABP+ZCBQ=90%

:.ZABC=90°,

.??△ABC是等腰直角三角形，

??.NBAC=45°,

ZOAD+ZADO=ZOAD+ZBAC+ZABO=90°,

/.ZOAC+ZABO=45°；

(3)如圖2,過點A作ATJ_AB,交x軸丁T,連接ED,

圖2

，ZTAE=90°=ZAGE,

:、ZATO+ZTAO=900=ZTAO+ZGAE=ZGAE+ZAEG,

.\ZATO=ZGAE,ZTAO=ZAEG,

又：EG=AO,

/.△ATO^AEAG(AAS),

AAT=AE,OT=AG,

VZBAC=45°,

/.ZTAD=ZEAD=45°,

XVAD=AD,

.,.△TAD^AEAD(SAS),

ATD=ED,ZTDA=ZEDA,

VEG±AG,

???EG〃OB,

AZEFD=ZTDA,

AZEFD=ZEDF,

AEF-ED,

:.EF=ED=TD=OT+OD=AG+OD,

AEF=AG+OD.

【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，添加恰當輔助線構造全

等三角形是本題的關鍵.

65.(1)模型：如圖1,在［ABC中，A。平分N3AC,DE±AB,DFA.AC,求證：

S?ADB?S△人DC=A5：AC.

(2)模型應用：如圖2,4。平分NE4C交8c的延長線于點D,求證：

AB:AC=BD:CD.

(3)類比應用：如圖3,人8平分ND4E,AE=AD,ZD+ZE=180°,求證：

BE:CD=AB:AC.

A

圖1

（1）證明見解析；（2）

【分析】（1）由題意得DE=DF,5&仙=；68?阻S.0c=,即可得出心加

=

lDcAB：AC；

(2)在AB上取點E,使得AE=AC,根據(jù)題意可證△ACDgAAED,從而可求出絲=絲

ABAE

矍=黑，即可求解；

(3)延長BE至M,使EM=DC,連接AM,根據(jù)題意可證△ADCgZ\AEM,故而得出AE為

AMAC

NBAM的角平分線，即笠=黑=怒，即可得出答案；

BEEMDC

【詳解】解：(1)TAD平分NBAC,DE1AB,DE1AC,

ADE-DF,

,?*Sw)B=；?A8?￡>E,=；?AC?D”,

?,^XADB:*^AADC=AB：AC；

(2)如圖，在AB上取點E,使得AE=AC,連接DE

又??,AD平分NCAE,

/.ZCAD=ZDAE,

SAACD和AAED中，

AC=AE

<ZCAD=ZDAE,

AD=AD

.,.△ACD^AAED(SAS),

/.CD=DEjaZADC=ZADE,

.BDDE

**~AB~~AE'

.BDCD

/.AB：AC=BD：CD：

(3)如圖延長BE至M,使EM=DC,連接AM,

?:ZD+ZAEB=180°,

XVZAEB+ZAEM=180°,

/.ZD=ZAEM,

在4ADC與△AEM中，

AD=AE

ZD=ZAEM,

DC=EM

.,.△ADC^AAEM(SAS),

AZDAC=ZEAM=ZBAE,AC=AM,

，AE為NBAM的角平分線，

,,ABAMAC

故—=----=——,

BEEMDC

/.BE：CD=AB：AC；

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、角平分線的性質、以及三角形的面積的應

用，正確掌握知識點是解題的關鍵：

66.如圖，RJA8C中，N8AC=90。，AB=AC.

圖1圖2

(1)如圖1,AD±AE,BE1.AE,求證：

(2)如圖2,ZAFD=NCEB,AF=CE,請直接用幾何語言寫出的、D4的位置關系

(3)證明(2)中的結論.

(1)見解析；(2)BEIDA；(3)見解析

【分析】(1)根據(jù)垂直的定義可得NADC=NE=90。，根據(jù)余角的性質可得NACD=NBAE,

然后根據(jù)AAS即可證得結論；

(2)由于要得出BE、D4的位置關系，結合圖形可猜想：BEIDA；

(3)如圖，作CP_LAC于點C,延長FD交CP于點P,先證明△BAEg^FCP,可得N3=N

P,AB=CP,然后證明△ASg/XPCD,可得/4=/P,進一步即可推出/4+/2=90。，問題得

證.

【詳解】解：(1)證明：：A￡>_LAE,BE±AE,

.\ZADC=ZE=90°,ZDAC+ZACD=90°,

VZfiAC=90°,

.,.ZDAC+ZBAE=90°,

AZACD=ZBAE,

在ADAC和AEBA中，

VZADC=ZE,ZACD=ZBAE,AC=AB,

(AAS)；

(2)結合圖形可得：BELDA-

故答案為：BE1.DAx

(3)證明：如圖，作CP_LAC「點C,延長FD交CPF點P,

VAF=CE,

/.AE=CF,

???ZAFD=4CEB,

r.zi=Z2,

VZBAE=ZFCP=90°,

/.△BAE^AFCP,

AZ3=ZP,AB=CP,

VZBAC=90°,AB=AC,

.,.ZABC=ZACB=45°,

VZPCP=90°,AB=CP,

/.ZFCD=45°,AC=PC,

.\ZACB=ZPCD,

VCD=CD,

/.△ACD^APCD,

AZ4=ZP,

VZ3=ZP,

AZ3=Z4,

VZ3+Z2=90°,

???Z4+Z2=90°,

.\ZAGE=90o,即HE_L￡)A.

【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質，正確添加輔助

線、熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵.

67.如圖，在平面直角坐標系中，點4(。，0),8(0,b),且a,b滿足(3x")1.

(1)直接寫出a=,b=；

(2)連接A8,P為必(小內(nèi)一點，OPLBP.

①如圖1,過點。作OC1OP,且OP=OC,連接CP并延長，交A3于。.求證：

AD=BD；

②如圖2,在尸。的延長線上取點M,連接3M.若/MBO=ZABP,點、P伽,-n),試求

點M的坐標.

(1)3,-3：(2)①見解析；②”的坐標為(-5,

JJ

【分析】(1)先利用幕的乘方和積的乘方化簡，再利用單項式的性質求解即可；

(2)①連接4C,過點8作8N_L8P,交CP的延長線卜點N,利用S4S證明△OPB94

OCA,再證明A8NP為等腰直角三角形，利用加5證明aACDg△8ND,即可證明4。=。8；

②作出如圖所示的輔助線，證明ABMP為等腰直角三角形，利用/W5證明△P8F0Z\MPE,

求得E(2n,n),M(3n-3rn),證明點M,￡關于y軸對稱,得到3c-3+2a=0,即可求解.

【詳解】(1)V(3xa/*5)2=9x6/,

:.9x2ay2b+'°=9x6y4,

2ci=6,2/?+10=4,

解得：。=3,b=—3,

故答案為:3?-3；

(2)①連接4C,

；NCOP=NAO8=90°,

:.ZCOP-ZAOP=ZAOB-ZAOP,

:,NCOA=NPOB,