數(shù)學(xué)模型競賽試題及答案

數(shù)學(xué)模型競賽試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題5分，共20分）

1.下列哪一項不是數(shù)學(xué)模型的基本要素？

A.目標函數(shù)

B.約束條件

C.模型參數(shù)

D.模型名稱

2.在線性規(guī)劃中，目標函數(shù)通常表示為：

A.最大值

B.最小值

C.最大值或最小值

D.無限制

3.下列哪個不是常見的數(shù)學(xué)模型類型？

A.線性規(guī)劃模型

B.非線性規(guī)劃模型

C.動態(tài)規(guī)劃模型

D.模糊數(shù)學(xué)模型

4.下列哪個不是數(shù)學(xué)模型建立的基本步驟？

A.確定模型目標

B.收集數(shù)據(jù)

C.建立模型

D.模型驗證

5.在求解線性規(guī)劃問題時，如果目標函數(shù)是最大化，那么約束條件中的等式右側(cè)應(yīng)該是：

A.≥

B.≤

C.=

D.無限制

二、填空題（每題5分，共25分）

1.數(shù)學(xué)模型是運用數(shù)學(xué)語言對實際問題進行抽象、簡化和概括的一種方法，它包括______、______、______等基本要素。

2.在線性規(guī)劃中，如果目標函數(shù)是最大化，那么在求解過程中，我們需要找到目標函數(shù)的______。

3.在建立數(shù)學(xué)模型時，首先要明確模型的______，這是模型建立的基礎(chǔ)。

4.數(shù)學(xué)模型建立的基本步驟包括：確定模型目標、______、建立模型、模型驗證。

5.在求解線性規(guī)劃問題時，如果目標函數(shù)是最大化，那么約束條件中的等式右側(cè)應(yīng)該是______。

三、簡答題（每題10分，共30分）

1.簡述數(shù)學(xué)模型的基本要素。

2.簡述線性規(guī)劃模型的基本步驟。

3.簡述數(shù)學(xué)模型建立的意義。

四、計算題（每題20分，共40分）

1.某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要3小時的人工和2小時的機器時間，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要2小時的人工和3小時的機器時間。工廠每天有8小時的人工和12小時的機器時間。產(chǎn)品A的利潤為每件50元，產(chǎn)品B的利潤為每件40元。要求求解以下問題：

（1）每天生產(chǎn)A和B各多少件時，工廠可以獲得最大利潤？

（2）如果產(chǎn)品B的利潤提高到每件60元，其他條件不變，工廠的最大利潤是多少？

2.設(shè)某城市有三種類型的商店：大型商店、中型商店和小型商店。這三種商店在一個月內(nèi)的銷售量分別為x、y和z。已知大型商店的月銷售量與中型商店的月銷售量之比為2:1，中型商店的月銷售量與小型商店的月銷售量之比為3:2。如果該城市的總銷售量為1000件，要求求解以下問題：

（1）大型商店、中型商店和小型商店的月銷售量分別是多少？

（2）如果大型商店的月銷售量增加50件，其他條件不變，總銷售量將如何變化？

五、應(yīng)用題（每題20分，共40分）

1.某城市公交公司計劃開通一條新的公交線路，該線路需要經(jīng)過三個站點：A、B和C。已知A站到B站的距離為10公里，B站到C站的距離為15公里。根據(jù)交通規(guī)劃，公交車在A站和B站之間的平均速度為60公里/小時，在B站和C站之間的平均速度為50公里/小時。要求求解以下問題：

（1）如果公交車在A站和B站之間的行駛時間為t小時，那么在B站和C站之間的行駛時間是多少？

（2）如果公交車在A站和B站之間的行駛時間為2小時，那么這條公交線路的總行駛時間是多少？

2.某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其生產(chǎn)過程包括兩個階段：加工和組裝。加工階段需要投入原材料和人工，組裝階段需要投入人工和設(shè)備。已知加工階段每單位產(chǎn)品的原材料成本為10元，人工成本為5元；組裝階段每單位產(chǎn)品的人工成本為3元，設(shè)備成本為2元。要求求解以下問題：

（1）如果公司計劃生產(chǎn)1000單位產(chǎn)品，那么加工階段和組裝階段的總成本是多少？

（2）如果原材料成本降低到每單位8元，其他條件不變，公司生產(chǎn)1000單位產(chǎn)品的總成本將如何變化？

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析思路：

1.D（模型名稱不是數(shù)學(xué)模型的基本要素，其他三項是）

2.B（線性規(guī)劃的目標函數(shù)可以是最大化或最小化，但通常表示為最小值）

3.D（模糊數(shù)學(xué)模型是一種特殊的數(shù)學(xué)模型，但不是常見的類型）

4.D（模型驗證是數(shù)學(xué)模型建立后的一個步驟，不是基本步驟）

5.B（線性規(guī)劃中，等式右側(cè)通常是小于等于，表示約束條件）

二、填空題答案及解析思路：

1.目標函數(shù)、約束條件、模型參數(shù)

2.最小值（線性規(guī)劃中，目標函數(shù)通常是最大化或最小化）

3.模型目標（明確模型目標是建立模型的第一步）

4.收集數(shù)據(jù)（在建立模型之前，需要收集相關(guān)數(shù)據(jù)）

5.≤（線性規(guī)劃中，等式右側(cè)通常是小于等于，表示約束條件）

三、簡答題答案及解析思路：

1.數(shù)學(xué)模型的基本要素包括：目標函數(shù)、約束條件、模型參數(shù)、模型變量等。

2.線性規(guī)劃模型的基本步驟包括：確定模型目標、建立模型、選擇合適的算法求解、分析結(jié)果。

3.數(shù)學(xué)模型建立的意義在于：可以簡化復(fù)雜問題、提供決策依據(jù)、提高解決問題的效率。

四、計算題答案及解析思路：

1.

（1）設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，則目標函數(shù)為：50x+40y

約束條件為：

3x+2y≤8（人工時間）

2x+3y≤12（機器時間）

x≥0，y≥0

（2）如果產(chǎn)品B的利潤提高到每件60元，則目標函數(shù)為：50x+60y

2.

（1）設(shè)大型商店月銷售量為2x，中型商店月銷售量為x，小型商店月銷售量為2/3x

則2x+x+2/3x=1000

解得x=300，2x=600，2/3x=200

所以大型商店月銷售量為600件，中型商店月銷售量為300件，小型商店月銷售量為200件。

（2）如果大型商店的月銷售量增加50件，則大型商店月銷售量為650件，其他條件不變

總銷售量為650+300+200=1150件

五、應(yīng)用題答案及解析思路：

1.

（1）由速度、時間和距離的關(guān)系，可得：

10=60t

t=1/6小時

15=50(1-t)

t=3/10小時

所以B站和C站之間的行駛時間為3/10小時。

（2）總行駛時間為1/6+3/10=8/15小時。

2.

（1）加工階段總成本為10*1000+5*1000=15000元

組裝階段總成本為3*1000+2*1000=5000元