安徽省池州市2025屆高三下學期3月二模試題 數(shù)學 含解析

年池州市普通高中高三教學質(zhì)量統(tǒng)一監(jiān)測數(shù)學滿分：分考試時間：分鐘注意事項：答卷前，務必將自己的姓名和座位號填寫在答題卡和試卷上.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑如需改動，務必擦凈后再選涂其它答案標號回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由復數(shù)除法結(jié)合共軛復數(shù)概念可得答案.【詳解】，則.故選：B2.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出集合、，利用交集的定義可求得集合.【詳解】因為，，故.故選：C.第1頁/共20頁3.春季是流感的高發(fā)季節(jié)，某醫(yī)院對8名甲型流感患者展開臨床觀察，記錄了從開始服藥到痊愈所需的天7，4，6，5，8，5，6，4.則下列說法正確的是（）A.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為5B.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5C.這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為6D.這組數(shù)據(jù)的極差為5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)眾數(shù)，平均數(shù)，百分位數(shù)，極差的定義逐一判斷即可.【詳解】對于A，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，故A錯誤；對于B，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故B錯誤；對于C，將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為，因為，所以這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為6，故C正確；對于D，這組數(shù)據(jù)的極差為，故D錯誤.故選：C.4.已知向量滿足，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律求解即可.【詳解】由，所以.故選：A.5已知，則（）A4B.2C.D.【答案】A第2頁/共20頁【解析】【分析】由題，可得，利用二倍角余弦公式化簡運算得解.【詳解】由，得，.故選：A.6.已知函數(shù)有4的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求解方程，得到的表達式，再結(jié)合函數(shù)的圖象，分析取不同值時方程根的個數(shù)，進而確定的取值范圍.【詳解】令，則方程可轉(zhuǎn)化為.對進行因式分解可得，則，.所以或.當時，在在上單調(diào)遞增，且.當時，，對其求導，.令，即，解得（）當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.所以在處取得極小值，也是最小值，.對于：第3頁/共20頁當時，，即，，解得，有個根.因為有個互不相同的根，已經(jīng)有需要有個不同的根.結(jié)合的圖象可知，當時，與有個不同的交點，即有個不同的根.的取值范圍為.故選：B.7.已知雙曲線左?右焦點分別為，是的右支上一點，在軸上的射影為，為坐標原點.若，則的離心率為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)與交于點，根據(jù)條件可得，，求出點的坐標，由關(guān)系求出點的坐標，利用得到關(guān)系，運算得解.【詳解】如圖，設(shè)與交于點，由，且是的中點，所以，又，所以，又，易得，，第4頁/共20頁則，代入雙曲線方程可得，設(shè)點，則，，又設(shè)，由可得，即，由，得，即，化簡整理得，，解得或，又，，解得.故選：D.8.已知直線，圓，過上一點作的兩條切線，切點分別為，使四邊形的面積為的點有且僅有一個，則此時直線的方程為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，可得，由點到直線的距離公式求得，進而求得直線是圓與以為直徑的圓的公共弦所在直線，兩圓方程相減得解.第5頁/共20頁【詳解】如圖，，解得，所以，因這樣的點有且僅有一個，由圖知此時，則圓心到直線的距離為6，即，化簡得，其中，，則，，所以，即，則直線的斜率為，所以直線，即，聯(lián)立，解得，即，因的中點坐標為，且，則以為直徑的圓的方程為，整理得，易知直線是圓與以為直徑的圓的公共弦所在直線，將兩圓的方程相減得，故直線的方程為.故選：B.第6頁/共20頁二多選題：本題共3個小題，每小題6分，共分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某彈簧振子（簡稱振子）在完成一次簡諧運動的過程中，時間（單位：秒）與位移（單位：毫米）之間滿足函數(shù)關(guān)系為，下列敘述中正確的是（）A.當時間時，該簡諧運動的位移B.該簡諧運動的初相為C.該函數(shù)的一個極值點為D.該函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】ABD【解析】【分析】本題可根據(jù)三角函數(shù)初相的概念、極值點的判斷以及單調(diào)性的相關(guān)性質(zhì)，分別對選項中的內(nèi)容進行分析判斷.【詳解】當時，將其代入函數(shù)中，可得：則.所以選項A正確.在函數(shù)中，，所以該簡諧運動的初相為，選項B正確.對函數(shù)求導，可得.第7頁/共20頁當時，.因為極值點處導數(shù)為，所以不是該函數(shù)的極值點，選項C錯誤.令，，解這個不等式求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.得到，.當時，單調(diào)遞增區(qū)間為，而，所以該函數(shù)在上單調(diào)遞增，選項D正確.故選：ABD.10.定義：既有對稱中心又有對稱軸的曲線稱為“和美曲線”“和美曲線”與其對稱軸的交點叫做“和美曲線”的頂點.已知曲線，下列說法正確的是（）A.曲線是“和美曲線”B.點是曲線的一個頂點C.曲線所圍成的封閉圖形的面積D.當點在曲線上時，【答案】AD【解析】【分析】由曲線方程結(jié)合選項逐項判斷即可.【詳解】對于A，將代入曲線方程，易知成立，故曲線關(guān)于原點對稱，將代入，易知成立，故曲線關(guān)于坐標軸對稱，故A正確；對于B，令可得：，即，故B錯，對于C，，所以曲線所圍成的封閉圖形在橢圓內(nèi)部，而橢圓面積為：，故C錯誤；第8頁/共20頁對于D,由，可得：，所以，當時取等號，故D正確；故選：AD在三棱錐中，給定下列四個條件：①；②.下列組合條件中，一定能斷定三棱錐是正三棱錐的有（）A.①②B.①③C.②④D.③④【答案】ACD【解析】【分析】正三棱錐是指底面是等邊三角形，側(cè)面是三個全等的等腰三角形，利用向量數(shù)量積的運算律逐個判斷各個選項即可.【詳解】對于A，由①-②得，即，即，再代回①由數(shù)量積的定義可得，在側(cè)面三個三角形中由余弦定理可得，所以由①②一定能斷定三棱錐是正三棱錐，選項A正確；對于B，由①得，化簡即為③，而由①得，即，同理可得，即在底面的投影為的垂心，但無法保證為等邊三角形，所以由①③不一定能斷定三棱錐是正三棱錐，選項B不正確；對于C，由④-②得，即，代入④可得，在側(cè)面三個三角形中由余弦定理可得，第9頁/共20頁，，三式兩兩相減得，化簡可得，所以由②④一定能斷定三棱錐是正三棱錐，選項C正確；對于D，由③+④得，由選項C可知，選項D正確.故選：ACD.三填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.在等差數(shù)列中，若，則__________.【答案】16【解析】【分析】根據(jù)題意，列式求出公差，求得通項公式，得解.【詳解】由，則，解得，，則，.故答案為：16.13.在學校三月文明禮儀月中，學生會4打亂順序后，要求每人隨機抽取一張進行互評審核，則恰好有2位干事抽到自己所寫建議卡的概率為__________.【答案】##【解析】【分析】假設(shè)所有人拿到自己的卡，則恰好有2位干事抽到自己所寫建議卡，相當于從4人中選兩人交換自己的卡，據(jù)此可得答案.【詳解】假設(shè)所有人拿到自己的卡，則恰好有2位干事抽到自己所寫建議卡，相當于從4人中選兩人交換自己的卡，有種可能，而每人隨機抽取一張有種可能性，則相應概率為：.第10頁/共20頁故答案為：14.定義在上的函數(shù)滿足.若，對，，則__________，并寫出的一個函數(shù)解析式__________.【答案】①.4②.【解析】【分析】由題及反證法可得當時，；當時，及當時，；當時，②.然后由題意可得，據(jù)此可得答案.【詳解】由得：當時，；當時，.假設(shè)，使得，則題意得，即，取時，有，即這與矛盾.所以不，使得.綜上，當時，；當時，①.當時，；當時，②.對于①而言：當時，即，則，所以，所以，注意到的任意性，所以當時，即，則，所以，所以，注意到的任意性，所以所以或即或，舍.所以，則第11頁/共20頁對于②而言：同理得，則.故答案為：4；.【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于某些較復雜求值問題，可利用“兩邊夾”原理，即證所求小于等于定值的前提下，又大于等于定值.四解答題：本題共5小題，共分解答底寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求；（2）在三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，并求邊上高線的長.①；②；③的周長為.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】1）根據(jù)題意，由兩角差的正弦公式化簡得，利用平方關(guān)系求得答案；（2）若選①，由正弦定理可知存在且唯一確定，由求得答案；若選②，由，由正弦定理知，所以不存在；若選③，由正弦定理可得，結(jié)合求得答案.【小問1詳解】由題意知.又，所以，即，化簡得，又，，則，第12頁/共20頁又，解得，.【小問2詳解】由（1）知為定值.若選①，由正弦定理可知存在且唯一確定，記邊上高為，則，所以邊上高線的長為9；若選②1，由正弦定理知，所以不存在；若選③的周長為，即由，由正弦定理，設(shè)，則，解得，所以，故存在且唯一確定，記邊上高為，則，即邊上高線的長為9.16.如圖，在四棱錐中，底面.（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.第13頁/共20頁【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1）解法一：取的中點，證明，利用線面垂直的性質(zhì)和判定定理即可證得結(jié)果，解法一：過作，垂足為，證明，利用線面垂直的性質(zhì)和判定定理即可證得結(jié)果.（2）解法一：過作，可求得是二面角的平面角，計算求得結(jié)果，解法二：以為坐標原點，以為軸，為軸，過作軸，建立直角坐標系，求得平面的法向量計算求得結(jié)果.【小問1詳解】解法一：取的中點由得，由得又平面，所以三點共線，所以由平面得又平面，所以平面解法二：過作，垂足為由得，所以又平面，所以三點共線，所以由平面得又平面，所以平面【小問2詳解】解法一：過作，由（1）知又平面，所以平面，所以又平面平面平面平面所以是二面角的平面角，即是平面與平面的夾角.由得，又，則，則，則第14頁/共20頁所以，所以所以平面與平面夾角的余弦值為.解法二：由得，又，所以如圖，以為坐標原點，以為軸，為軸，過作軸，建立直角坐標系，則.記平面的法向量為則有，即，則，令，得所以取平面的法向量的一個法向量為記平面PAC的法向量為取平面的法向量的一個法向量為第15頁/共20頁所以所以平面與平面夾角余弦值為.17.已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，且左?右焦點分別為.（1）求的方程；（2為坐標原點，點在滿足的最小值，并指出此時點的坐標.【答案】（1）（2），或【解析】1）根據(jù)題意，列出方程求出的得解；（2結(jié)合點在橢圓上求出點離公式，利用轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，得解；法二，由，解得，將用表示，利用橢圓范圍求出答案.【小問1詳解】由題意可設(shè)橢圓，且所以，解得所以的方程為.【小問2詳解】解法一：設(shè)點，所以，第16頁/共20頁由，得，解得.又，所以，化解得，所以，由得，解得，所以，當且僅當時，取“=”，則，即，所以的最小值為，此時點的坐標為或.解法二：設(shè)點，所以，由，得，解得.由得，解得，所以，當且僅當時，取“=”，即，所以的最小值為，此時點的坐標為或.18.已知.（1）若，求曲線在處的切線方程；第17頁/共20頁（2）設(shè)，是否存在，使得曲線與關(guān)于原點對稱？若存在，求；若不存在，說明理由；（3）證明：對任意，存在，使得有兩個不同的零點.【答案】（1）；（2）存在，；（3）證明見解析.【解析】1）把代入，求出函數(shù)的導數(shù)，再利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程.（2）假定存在，求出曲線關(guān)于原點對稱的曲線方程，再利用兩個函數(shù)相等求解.（3的零點并確定性定義推理判斷.【小問1詳解】函數(shù)，求導得，則，而，所以曲線在處的切線方程為，即.【