浙江專升本（高等數(shù)學）模擬試卷1

浙江專升本(高等數(shù)學)模擬試卷1(共

8套)

(共216題)

浙江專升本(高等數(shù)學)模擬試卷第1

套

一、綜合題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)

1、求函數(shù)y=vG.(x-1)的單調區(qū)間、極值、凹凸區(qū)間和拐點.

標準答案：據(jù)題意，函數(shù)y=>7.(x—1)的定義域為xe(—8,+00),且片0,

令戶0,解得唯一駐點x=y，=,令y"=0,解得x=另外，顯然x=0是函數(shù)y=.(x—

1)的不可導點則將函數(shù)f(x)的定義域劃分，并列表如下：由表可知，函數(shù)f(x)的單

調增區(qū)間為(一8，0),(,+8)函數(shù)f(x)的單調減區(qū)間為|0,函數(shù)f(x)在x=0處取得

極大值，且極大值為f(0)=0函數(shù)f(x)在*=處取得極小值，且極小值為f函數(shù)f(x))

的凹區(qū)間為或(一8,

知識點解析：暫無解析

設函數(shù)f(x)滿足微分方程xF(x)—2f(x)=—(a+l)x(其中a為正常數(shù))且f(l)=L由

曲線y=f(x)(xgl)與直線=1,y=0所圍成的平面圖形記為D,已知D的面積為

2

3.求：

2、函數(shù)f(x)的表達式；

2岡

標準答案：據(jù)題意得F(x)—xf(x)=—(a+l)所以f(x)=dx+C]=x2.[(a+l)J(—idx

+C]=x2(+C尸Cx2+(a+l)x再由f(l)=l知C=-a,故f(x)=-ax2+(a+l)x令

f(x)=0,求得曲線與x軸的兩個交點分別為x=0,x=l十所以由曲線y=f(x)(x$l)與直

線x=l,y=0所圍成的平面圖形D如下圖所示平面圖形D的面積;[一

ax2+(a+l)x]dx=(—=,所以a=L即f(x)=-x2+2x

知識點解析：暫無解析

3、求平面圖形D繞x軸旋轉一周所形成的旋轉體的體積Vx；

標準答案：由(1)知f(x)=—x?+2x,則平面圖形D繞x軸旋轉一周所形成的旋轉體

的體積VX=TTJ。\53/Io15

知識點解析：暫無解析

4、求平面圖形D繞y軸旋轉一周所形成的旋轉體的體積Vy.

標準答案：令y=-x?+2x,所以y—1=—(x—1猿，x=l+/1一歲(舍去),x=l—

因平面圖形D繞y軸旋轉一周所形成的旋轉體的體積Vy=7L12—兀

知識點解析：暫無解析

5、設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，且a

標準答案：因為f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，且aVcVdVb所以f(x)在閉區(qū)間［c,

d|上連續(xù)，故f(x)在閉區(qū)間［c,d］上可取得最大值M和最小值即mSf(x)SM,

xG［c,d］所以m<f(c)<M,m<f(d)<M又因P,q為任意正常數(shù)所以pm<pf(c)<pM,

>3+qf(d)

qmWf(d)WqM所以mgWM由介值定理可知，至少存在一點樂(c,d)

」(a,b),使得f?=

知識點解析：暫無解析

二、選擇題(本題共5題，每題7.0分，共5分。)

6、下列關于連續(xù)與間斷的表述正確的是()

A、如果f(x)在x=a處連續(xù)，那么If(x)I在x=a處連續(xù).

如果If(x)I在x=a處連續(xù)，那么f(x)在x=a處連續(xù).

C、如果f(x)在R上連續(xù)，(p(x)在R上有定義，且有間斷點，則(p(f(x))必有間斷

點.

D、如果(p(x)在R上有定義，且有間斷點，則(p2(x)必有間斷點.

標準答案：A

p工eQ

知識點解析：B選項，構造f(x)=I—11eQ,x=O處間斷，但If(x)I在x=O連

續(xù)；C選項，構造(p(x)=sgnx,f(x)=ex,則(p(f(x))連續(xù)；D選項，構造cp(x尸

P-

1-IzEQ,但(p2(x)在R上連續(xù).通過排除法知：A正確.

J

以工)

7、設M彳＞1,則也)在x=l處()

A、左、右導數(shù)都存在

B、左導數(shù)存在，右導數(shù)不存在

C、左導數(shù)不存在，右導數(shù)存在

D、左、右導數(shù)都不存在

標準答案：B

2

因f⑴第蚱譬.因而心⑴二呼――2,「旬尸

知識點解析：

故該函數(shù)的左導數(shù)存在，右導數(shù)不存在，可見選項B正確.

8、下列等式中，正確的結果是：()

A、ff(x)dx=f(x)

B、Jdf(x)=^x)

d

C^d/Jf(x)dx=Rx)

D、dff(x)=f(x)+c

標準答案：C

d

知識點解析：由不定積分和原函數(shù)概念可知Jf(x)dx=f(x)+c,Jdf(x尸f(x)+C,八

Jf(x)dx=f(x),由微分與導數(shù)關系可知djf(x)dx=f(x)dx,可見選項C正確.

9、已知向量沅=?十3?,法二j+3k,則AOAB的面積是()

A、/19

B、俯

C、網(wǎng)

D、圖

標準答案：A

OAXOf5I,而承X葩

知識點解析：根據(jù)向量叉積的幾何意義得SMOR=E

171一

=-3i—3j+k,所以，可見選項A正確.

10、下列級數(shù)發(fā)散的是()

oo

A、/

力(一1尸

B士ln(〃+D

V(-D"

C、M2,

yy〃+a

D、iM(a和常數(shù)i

標準答案：D

lim-4-=lim近辛=1,因為X4發(fā)散，所以X中：

知識點解析：G發(fā)散，故D

正確.

三、填空題(本題共70題，每題1.0分，共70分。)

]

11、設函數(shù)f(x)=l一廣，則其第一類間斷點為

標準答案：x=l

知識點解析：

lim/(x)=lim-----=lim---------1工=1?lim/(j)=liny--

-「I-Br?i1-J'M24x-l1一2=

故x=l是函數(shù)f(x)的第一類跳躍間斷點.

12、設向量a與單位向量j成60。，與單位向量k成120。，且IaI=5々，則a=

標準答案：a=(5,7T一/或。=(一熱聞一片

知識點解析：由題意設向量a的方向角為a,60°,120°,故由cos%+cos26()o+

cos2120°=1.可得cos%=

向，所以cosa=±%故a=|aIa0=572.y?-y)

(5赍/)或。=(-5/-鼾

1，|x|<l

f(工)=<0,Ix|=1.

13、設I一1,g(x)=ex,則g[f(ln2)]=

標準答案：e

知識點解析：據(jù)題意知f(ln2)=l,所以g[f(ln2)]=虱l)=J=e

14、設尸eX(C|sinx+C2C0sx)為某二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解，則該方程

為?

標準答案：y"—2y，+2y=0

知識點解析：由通解可知該方程的特征根為ri=l+i,r2=1—i,從而可知特征方

程為r2—2r+2=0,故此二階常系數(shù)齊次線性微分方程為y〃-2y』2y=0.

15>若川+1-ax-ab)=2,則a=,b=.

標準答案：a=1,b=-3

-ar-6)=2可得lim[“上，

知識點解析：由-34+1-aN+1—(穌+1?+2)]=0直線

…x+b+2可看成f(x尸-1=b+2==—1,故b=-3.

16、已知f(0)=2,f(2)=3,f(2)=4,貝ijJoxF(x)dx=.

標準答案：7

if^(xJcLr=xd/z(x)=J-/z(x)—\

知識點解析：JoJ。0Jof(x)dx=2f(2)-

2

[f(x)]o=2f⑵-f(2)+f⑼=7.

17、y=(l+sinx)x,則dyIx=n=

標準答案：一71dx

jrcosj

知識點解析：對數(shù)求導法,lny=xln(l+sinx),則y=ln(l+sinx)+1+simr.所以點

](1+siar)，,故唉

=[ln(l+sinx)+l+sinrdx|x=n=—兀'因此‘dyIx=n

兀dx.

fXl-cosx)

ilim2

18、設f(0)=1,f(0)=0,則一tanx

1

標準答案：2

知識點解析：

lim.Ey)=lim八1一廠一八°).lim匕等=

■r-otarir^J-*O1-COSJTX

1T2

/(0)lim尊=4/(0)?而八0)=1,所以lim八】一號紅2=1.

ix4ZztanrZ

19、設JCJ—tedt,則常數(shù)a=.

標準答案：a=2

lim("葉=lim(1+2廠回

知識點解析：左邊Li,工)，…八r)=ea,右邊口e'dt=aea

-el=(a-I)a,所以ea=g—l圮a,故a=2.

20、JJr2+x-2dx=.

j_iIt-1I

標準答案：可n7+2'+c

知識點解析：j-2czz=j(x+2)(x-l)dx=

4■口~~:?

3Jx—1JN+23彳十/+c

四、解答題(本題共8題，每題7.0分，共8分。)

1.ln(1-FX2)-ln(14-sin2x)

lim----------------------------------

21、…xsin'x

.(1+?)

11

I.ln(l+12)-ln(l+sin?JT)_i；1+sin2上

liTn.y1MM-iim4

DxsinxDx

AX2

221

標準答案：=3r=T

知識點解析：暫無解析

22、設f(x)在(一處+8)內(nèi)有一階連續(xù)導數(shù)，且f(0)=0,存在f(0).若

^\/工0

F(x)=?”.

.廠(0),工=0求F<x),并說明F(x)在(-8,+oo)上的連續(xù)性.

工f(工)-f(x)

標準答案：當X#)時，"X尸"囚所以尸儀)=當/0時，顯然

P(x)處處連續(xù),又因為所以F，(x)在x=O處也連續(xù),綜上可知,F'(x)在(一8,+8)內(nèi)

處處連續(xù).

知識點解析：暫無解析

23、求函數(shù)f(x)=(x+l)31G=D'的單調區(qū)間

標準答案：li|f(x)=(x+l)3%工一l)'=(x+l)3區(qū)知,定義域xWR,x=l是不可導點

當沒1時，F(xiàn)(X)=3(X+D2(X+I)3令f\x)=O,得到駐點x=-1,x=當x>l或xV時，

f(x)>0；當VxVl時,f(x)<0,故函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間為xR—8,],[1,

+℃)；單調減區(qū)間為(，1)

知識點解析：暫無解析

lim/r"+j"2"+1?

24、設xNO,求函數(shù)f(x)=-▽2”的表達式.

1而，”+/+.=limM

標準答案：當叱xSl時，f(x)=i5/2T**[xn(l+xn4-==x；

當1Vxg2時，f(x)===x2；當x>2時f(x)==所以f(x)=

知識點解析：暫無解析

25、設F(，)=z+1.(t>0)且f(O)=O,求解f(x).

Gx

標準答案：設x=F,則f(x)=G+l(x>0)由公式：f(x)-f(0)=f(t)dt：又因

為：f(t)dt=du=2du=2(U-Ddu+2du=(u2-2u)+2In(u+I)=x-2+21n(+l)

知識點解析：暫無解析

26、求微分方程xhixdy+(y—lnx)dx=O滿足yIx=e=l的特解.

1=_1_㈤

標準答案：原方程可化為一階線性微分方程y」而^一二，其中P(x)二四,

Q(x)=故原方程的通解為y=e-Jp(x)dxlfQ(x).eJp(x)dxdx+C]=dx+CJ=e-

ln(lnx)[jeln(lnx)dx+C]=lnxdx+C]=將初始條件y|x=e=l代入，得到C=故微分方程

xlnxdy+(y—lnx)dx=O滿足初始條件yIx=e=l的特解為丫=

知識點解析：暫無解析

j2?04工42

27、求由y=0,y=3與16一工，工>2所圍成的平面圖形繞y軸旋轉一周所

得旋轉體的體積Vv.

標準答案：據(jù)題意，所圍平面圖形如卜.陰影部分所示

0

=7t(x~-13y+36)dy=

知識點解析：暫無解析

28、利用已知募級數(shù)將函數(shù)f(x)=xarctanx展開為x的基級數(shù).

標準答案:令g(x)=arctanx,則g，(x尸l+M因回(―l)nxn,xG(—I,I),所以

(-l)nx2n,xe(-l,l)所以g'(x尸(一1)/2'x?—l,1)將事級數(shù)(一1)為2n逐項積

分，可得，XG(—1,1)另一方面g<t)dt=g(x)—g(O)=g(x)故g(x)=,XG(—1,1)所以

f(x)=xarctanx=,x€(—1.1)

知識點解析：暫無解析

浙江專升本(高等數(shù)學)模擬試卷第2

套

一、綜合題(本題共3題，每題7.0分，共3分。)

1、設戶y(x)是由方程y3+xy+x2—2x+1=0所確定并且滿足y(l)=O的函數(shù)，求

..(jL1

lim7-

r?1

y^jr'fdr

標準答案：方程y3+xy+x2-2x+l=0兩邊同時對x求導得3y2.y,+y+xy,+2x一

2=0(*)式將y⑴=0代入(*)式中可得/(1)=0在3y2.y，+y+xy'+2x—2=0兩邊繼續(xù)對x

求導得6y.(y￥+3y2.y〃2/xy"+2=0再把y(l)=O,y")=0代入上式可得y〃(0尸一

一尸_..2

.lim.7(--1----1--=hm-3-(-J；~-~r1—)

lim5<4^=lim-4-r

y(x)r-*jy{Jr)

=6?■]六=-3

2.所以y(i)

知識點解析：暫無解析

!n^_lnu、一

2、證明不等式，，一丁二+護,其中(OVa<b).

標準答案：(拉格朗H中值定理)令函數(shù)f(x)=lnx,xG[a,b],f(x)在閉區(qū)間[a,b|±

連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導，由拉格朗日中值定理可知，至少存在一點&E(a，

1

T岡

b),使得f(b)—f(a尸「?(b—a),即lnb—lna=<(b—a)所以二，由于OVaVgV

b,故，又因為a，b2>2ab,所以>則F(x尸2x(lnx-Ina)+—2a=2x(lnx—lna)+因

為x>a>0,所以F(x)>0,故函數(shù)f(x)在|a,+8)上為增函數(shù)所以f(b)>f(a)=O,即

(b2+a2)(lnb-Ina)—2a(b—a)>0因此

知識點解析：暫無解析

3、設p>0,證明：/'一1?1十"dxVl

標準答案：”>0,0<x<l.-.0<xp<l,且］+“VxPvi.??區(qū)VI??.由定積分性

質可得xpdx而

知識點解析：暫無解析

二、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)

1一工

右,則當x—l時()

4、已知函數(shù)f(x)=l卜工，g(x)=3—3.

A^f(x)是比g(x)高階的無窮小

B、g(x)是比f(x)高階的無窮小

C、f(x)與g(x)是同階無窮小，但不是等價無窮小

D、f(x)與g(x)是等價無窮小

標準答案：C

1—7

lim/心工<=lim—［七=4-lim

知識點解析：因為1雙幻13—3?G

111m(1-日)。+陽+石)=1

6二1一力2,因此答案C正確.

5、已知函數(shù)y=x3—ax,xG［O,1］,設經(jīng)過該函數(shù)的兩個端點處有一條直線，則函

數(shù)圖像上與該直線平行的切線上切點的坐標是：()

A、

B、(6,“一口。)

C、(1,1—a)

D、(一1,-1—a)

標準答案：A

知識點解析：由題意，曲線y=x3—ax在區(qū)間［0,1］上的兩個端點坐標為(0,0),

(1,1-a),故過這兩個端點的直線的斜率為ki=l-a,設所求相切點的坐標為

(xo,yo)?則函數(shù)y=X3—ax在該點的切線的斜率為k2=3x2—aIx=xo=3x()2—a,由

題意，ki=k2?故有云3,又由于xo曰0，1]，故xo=口，又由于點(xo，yo)

在曲線y=x3—ax上，故y(尸，故所求的切點的坐標為().

6、由曲線廣/笈-4,x=2,x=4所圍平面圖形的面積為()

4

A、-3

8

B、3

16

C、3

D、4

標準答案：B

2J—41[xl

知識點解析：據(jù)題意畫圖可知，所圍平面圖形的面積為S」2J*dx=U

d(2x—4)=,因此，選項B正確.

[1

7、設函數(shù)f(x)連續(xù)且不等于0,若Jxf(x)dx=arcsinx+C,則(1)dx=()

標準答案：D

]

知識點解析：因Jxf(x)dx=arcsinx+C,f(x)連續(xù)且不等于0所以xf(x)=/1—，，即

志■同志業(yè)二X/I—X2dr=—J-(l—x2)

+C,答案D

正確.

8、方程y〃-2y，+3y=dsin(：&x)的特解形式為()

A、xex[Acos(>/2j-)-f-Bsin(-/2x)]

B、ex[Acos(y2r)+Bsin(72x)J

C、Aexsin(^x)

標準答案：A

知識點解析：特征方程為J—2r+3=0,解得口=l+/i,「2=1一回i又因

九+3i=l+i是特征方程的根，所以取k=l所以y〃-2y，+3y=eXsin(x)的特解形式可設

為xex[Acos(x)+Bsin(x)].可見選項A正確.

三、填空題(本題共70題，每題1.0分，共10分。)

9、設函數(shù)'?-r?(?廠'-1)的第一類間斷點為.

標準答案：x=0,x=l

lim/(x)=lim-1、=-1，lim/(x)=limii

知識點解析：IIT_W/_】)I*Ux=1,故

X=0為函數(shù)的跳躍間斷點；X=1為可去間斷點.

limr

10>—X=.

標準答案：0

x

6-，14

lim=lim-7-------?而limr'

JT"J-^0j2(A

知識點解析：

1

X

limr'=8.故limJr

r*0X'=Q.

—IxI

11、已知f(2)=2,f(2)=0,f(x)dx=l,貝I」x2『Qx)dx=

標準答案：0

知識點解析：

Ix2f\2,r)dr\fr/grdf^t)

JUOJooJU

=￡『/'⑺I：-2J：廣⑺汕］=一4*/⑺=一］”⑺I：—⑺山］=o.

,廣■■一-

12、計算定積分JL2一i]dx二

_2

標準答案：行

知識點解析：函數(shù)’2在對稱區(qū)間上為奇函數(shù)，因而題設中函數(shù)的積分可化為

口—x2dx=_2x2dx=

13、設函數(shù)y=y(x)由方程x=yX所確定，則y，=.

y—

標準答案：產(chǎn)

知識點解析：用對數(shù)法和隱函數(shù)求導求函數(shù)乂=丫*的導數(shù)，可得y，=彳''

*>

.r

14、由橢圓〃+y2=l所圍成的封閉圖形的面積是__________.

標準答案：7ta

知識點解析：橢圓的面積：s=7iab,因而該橢圓的面積為兀a.

15、設函數(shù)yjmanx,R|Jdy=.

In5

標準答案：5m僦siarcoardx

1ln5

知識點解析：d尸y'dx=5Msnx』n5赤sec2xdx=5mianx.siucFdx

￡_±—三.r-1_y+]=之一2

16、兩異面直線L|：T-2--3,L2：1—1—1之間的距離

_5_

標準答案：而

知識點解析：Li的方向向量為Si=(l,2,3),經(jīng)過點Pi(0,0,0),L2的方向向量

123

為S2=（1,1,1）,經(jīng)過點P2(l，—1，2),所以S|xS2=111=-i+2j-

k,ISixSI=兇

2,故L]與L2之間的距離為d二

17、級數(shù)、九/一"型的收斂區(qū)間是___________.

標準答案：(一8，—2)(2*+oo)

丁Fx|

知識點解析：a產(chǎn)sin2"，由于口=2,故當IIV2,即IxI>時，，級數(shù)絕對收

斂.因而收斂區(qū)間是：(-8,)U(,+00)

18、設a=(2,—3,1),b=(l,一2,3),則同時垂直于a和b,且在向量c=(2,

1,2)上投影為14的向量c=.

標準答案：e=(14,10,2)

知識點解析：據(jù)題意設6=入綸1>)=(-7入,—5X,—Z),則Prjce=IeIcosz(e,c)=

e?c

1c?=14,解得入二-2,故e=(14,10,2)

四、解答題(本題共8題，每題7.0分，共8分。)

19、設f(x尸八+，,求f(f(x)),f(f(f(x))).

標準答案：由于f(x)=,所以f(f(x))=化簡可得f(f(x))=f(f(x))=化簡可

得f(f(x))=

知識點解析：暫無解析

20設函數(shù)f(x)=ax3—6ax?+b在區(qū)間[-1，2]上的最大值為8,最小值為一24,且

知a>0,求系數(shù)a,b的值.

標準答案：f(x)=3ax2—12ax=3ax(x—4),xW[—1,2],a>0令f(x)=0,解得x=0

當一IVxVO時,￡(x)>0當0VxV2時,f(x)<0,所以函數(shù)f(x)在x=0處取得極

大值，且f(。)為[一1，2]上的最大值.所以f(0)=b=8,又因f(-l)=-a-6a+b=b

―7a=8—7af(2)=b-16a,所以最小值為f(2)=b-16a=~24由b=8,可知a=2.

知識點解析：暫無解析

21、求函數(shù)f(x)=x2ln(l+x)tfx=0處的n階導數(shù)^n)(0)(n>3).

標準答案：(萊布尼茲公式)令u=x2,v=ln(l+x),則u'=2x,u〃=2,u?=0(nZ3)故由

萊布尼茲公式(uv)(嘰各0u(k)v(n-k)可知(uv)(嘰回u(k)v(n-k)=u(0)v(n)+u(1)v(n-1)

+u⑵v(n-2)=x2[|n(l+x并n)+2nx[ln(l+x)](nr)+n(n—+x)產(chǎn)―2)又因為加。

(n)(n-,)

+X)]=(-l),故當吟3時,阿⑻=x2(-1/一1)+血一1)(一1)(廠3)因此

f<n)(0)=(-l)(n-3)!n(n-l)=

知識點解析：暫無解析

22、求通過點M](3,—5,1)和M2(4,1,2)且垂直于平面x—8y+3z—1=0的平

面方程.

標準答案：設所求平面的法向量為n,因為平面過點Mi(3,-5,1),M2(4,1,2)

所以6,1),且nl回；又因所求平面垂直已知平面，且已知平面的

法向量為ni=(l,—8,3),故nlni.所以法向量n可以取為xni==(26,—2,一

14)又平面過點M|(3,—5,1),所以由點法式方程知，所求平面方程為26(x—3)

-2(y+5)-14(z—1)=0,即13x—y—7z—37=0.

知識點解析：暫無解析

23、求不定積分jln(x+J1+M)dx.

標準答案：

原積分jln(.r+Ji+M)dr=/ln(.r+/+M)—j\rdln(.r+vl4.r)

J

=j*ln(J-4-s/1+)—f---cLr=八+/')—J\+C?

Jy14-x~

知識點解析：暫無解析

24、計算積分J,47T

標準答案：x=l是瑕點

ln(24-73)

〃什/?=冷+ln(24->/3)

所以J*/I1一'

知識點解析：暫無解析

._m八/(.r+—X2)

25、求定積分Judx.

(J+J2工一熱)dr=[xdz+fJ2工一2dr

0J0J0

=4x2+f>/l—(1—x)zdr=2+[—(1—z)'dr

L0JoJO

u2+J：/HTck=2+2f/PTdr

^^-2+21cos2〃d〃=2+(1+cos2u)du

o

=2+(?+|sin2M)|*=2+f

標準答案:

知識點解析：暫無解析

y(J?一D"

26、求基級數(shù)占"-2"的收斂域.

■.“e(z)=|.(?r-D1rH〃.2"I=..n

標準答案：山出？w-(x)=即(〃+1)?2f?(x-D-1=出22(〃+l)|

X-1I=回IX-I|<1解得一1<*<3,故基級數(shù)的收斂區(qū)間為x€(—1,3)

當x=-1時，由萊布尼茨判別法知，交錯級數(shù)收斂；當x=l時，發(fā)散，所以累

級數(shù)的收斂域為［一1,3).

知識點解析：暫無解析

浙江專升本(高等數(shù)學)模擬試卷第3

套

一、綜合題(本題共3題，每題7.0分，共3分。)

1、設y=f(x)是第一象限內(nèi)連接點A(0,1),B(l,0)的一段連續(xù)曲線,M(x,y)為該

曲線上任意一點，點C為M在x軸上的投影，O為坐標原點.若梯形0CMA的面

￡1.A

積與曲邊三角形CBM的面積之和為6T,求f(x)的表達式.

標準答案：據(jù)題意可知2(f(x)+l)+凹f(t)dt=在上式兩邊同時對x求導數(shù)得

(f(x)+l)+x2當X/)時，可得一階線性微分方程P(x)—f(x)=由通解公式為

f(x)=dx+C］=x+C)=x2+Cx+lXHf(l)=O,所以可得C=-2,因此所求f(x)=x2一

2x+l

知識點解析：暫無解析

且物口+工十號］:二試求

2、設f(x)在x=0的鄰域內(nèi)具有三階導數(shù),

1+/

f(0),f(0),F(O)及…JT」

=J1nos手)臼

標準答案：因為［l+x+1」所以」=3=0=0,且f(0)=0所以

=3所以f(x)-2x2=x2.a(x),其中a(x)=0所以，f(x)=2x2+o(x2)又因f(x)在x=0處的

二階泰勒公式為f(x)=f(0)+x2+o(x2)所以可知f(0)=0,『(0)=4所以而『(0)=2所以

知識點解析：暫無解析

3、設函數(shù)f(x),g(x)在［a,b］上連續(xù)，求證：至少存在一點斤(a,b)使得解)

JR出『司:f(x)dx.

.…J區(qū)?.

標準答案：令F(x)=J“f(t)dt.g(t)dt,x6［a,b］??,設函數(shù)f(x),g(x)在［a,b］上連續(xù)

???F(x)在⑶b］上可導,且F(a尸F(xiàn)(b)=0.??由羅爾定理可知,至少存在一點斤(a,b),

使得P6)=0，即熊)g(x)dx=g0f(x)dx

知識點解析?：暫無解析

二、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)

4、下列結論正確的是：()

A、當XTO時,若函數(shù)f(x)極限存在，函數(shù)g(x)極限不存在，則函數(shù)和f(x)+g(x)的

極限不存在.

當XTO時,若函數(shù)f(x)極限不存在,函數(shù)g(x)極限不存在，則函數(shù)和f(x)+g(x)

的極限不存在.

C、當X-0時，若函數(shù)f(x)極限存在，函數(shù)g(x)極限存在,則函數(shù)和f(x)+g(x)的極

限可能不存在.

D、當X—>0時，若函數(shù)f(x)極限存在,函數(shù)g(x)極限不存在，則函數(shù)和f(x)+g(x)的

極限可能不存在.

標準答案：A

知識點解析：根據(jù)極限運算的基本性質，可以得出結論A成立.

5、微分方程y^y=x2+l+sinx的特解形式可設為()

A、y*=ax2+bx+c+Asinx

B、y=ax-+bx+c+Acosx

C、y=ax+bx+c+x(Asinx+Bcosx)

D、y=x(ax+bx+c+Asinx+Bcosx)

標準答案：C

知識點解析:對應齊次方程為J+1=O,特征根為“=-i,12=i，對于y"+y=x?-1,

因為九=0不是特張方程的根，取k=0,從而其特解形式可設為y「=ax2+bx+c；對

于y"+y=sinx,因為入=0,co=l,入+coi=i是特征方程的根，取k=l,從而其特解形式

可設為y2*=x(Asinx+Bcosx),所以yM+y=x2+l+sinx的特解形式可設為y*=yj+y2”，

可見選項C正確.

6、下列可推出函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上可積的是()

A、f(x)在閉區(qū)間［a,b］上只有有限個間斷點

B、f(x)是有界函數(shù)

C^f(x)在閉區(qū)間［a,b］上無單調性

D、f(x)是連續(xù)函數(shù)

標準答案：D

知識點解析：由可積分的條件可知選項D正確.對于選項A,f(x)在閉區(qū)間［a,b］

上只有有限個間斷點的有界函數(shù)可推出f(x)在閉區(qū)間［a,b］上可積；對于B和C,

Lz是有理數(shù)

V

可以舉反例，例如，狄利克雷函數(shù)D(x)=Ou是無理數(shù)，顯然D(x)是有界函數(shù)，

且在［0,1］上無單調性，但是D(x)在［0,1］上不可積；可見只有選項D正確.

7、下列等式不正確的是()

A、d上rJ「?f(x)dx］=f(x)

色廣'

B、必J“f(t)dt］=f［b(x)］bXx)

C、石［Lf(x)dx］=f(x)

D、叫drJ「-F,(t)dt］=F,(x)

標準答案：A

知識點解析：因為f(x)在［a,b］定積分計算結果是一個常數(shù)，故五U“f(x)dx］=O,

B,C,D計算都正確.

8、下列微分方程是線性方程的是()

A、exy.y-y

sinr

B、1.y"+x2y，+ylnx=e*

T

C、y〃一y，+2y=y

D、(y+l)y-x+1

標準答案：B

知識點解析：一階線性微分方程形如y，+P(x)y=Q(x),二階線性微分方程形如

y"+P(x)y，+Q(x)y=f(x),可見選項B正確.

三、填空題(本題共70題，每題1.0分，共70分。)

,1-八+/(工)tanr-1n.

9、設…/—I=3,則督f(x)=.

標準答案：12

]-/1+/(?r)tarv-1_「2^*r^arlr]y(x)tan.r

lim------F----：------=iim----T-----=Thm?*--------

知識點解析：…」1—1…2/4,一)x

(3

f(x)=3,所以f(x)=12.

10、設函數(shù)「1=0在x=0處連續(xù)，常數(shù)

a=,b=.

標準答案：a=-2,b=0

lim因

知識點解析：囚為f(x)在x—0處連續(xù)，故」一/f(x尸f(0尸4而口二0,故必有

(ax+b)=0,因此b=0；所以==-2a=4即a=-2

Hma(/)

11、設函數(shù)f(x)在x=0處滿足f(x)=f(0)—3x+a(x),且…~=0,則f(0)

標準答案：-3

知識點解析：由函數(shù)在一點處的導數(shù)定義知式0)=

lim/a)-/(0)=|imZL3￡±aO2=_3+lin)3

jTJC尸＞0JC，WJT=—3

12、已知函數(shù)f(x尸xe?x,則?50)(x)=

標準答案：250xe2x+50.249e2x

知識點解析：令u=x,v=e2x,則W=l,u"=0,因此由萊布尼茨公式可知(uv)(5°)二

50

<Xu(0)v<)+au(I)v(49)=250xe2x+50<249e2x

13、設f(x)=2x—5,則flf(x)—l]=.

標準答案:4x+13

知識點解析：f(x)=2x+5nf[f(x)—1l=fI2x+4]=2(2x+4)+5=4x+13.

14、已知P(1nx)=x5—1,則f(x)=.

J_

標準答案：5e5x+x+C

知識點解析：令曰nx,則*=，f(t)=e5t+l,因此f(x)=k(x)dx=J(e5i+l)出=5

e5t+t+C.

阡

15、(X3-t)f(t2)dt=__________.

標準答案：3X2JOf(t2)dt+2x3f(x4)(x-1)

「岡

知識點解析:Jo(x3—t)f(t2)dt=x3-f(t2)dt-tf(t2)dt(X3-

t)f(t2)dt=3x2f(t2)dt+2x4f(x4)-2x3f(x4)

n

16、若IaI=5,b=I8I,a與b的夾角為3,則|a—bI=.

標準答案：7

知識點解析：因為Ia—bI2=(a一b).(a—b)=IaI2—2a.b+IbI2=IaI2

2IaIIbIcos3+IbI2=25—2x5x8x兇+64=49,故Ia~bI==7.

17、(I+x)ydx+(l-y)xdy=0的通解是.

標準答案：xy=ceyr(c為任意實數(shù))

岡

知識點解析：原方程可化為：l,ydy=o,即:dx=dy,兩邊積分

得到：xy=ceyr(c為任意實數(shù)).

1

18、在x=2處，函數(shù)f(x)=3—才事級數(shù)展開式為

eo

標準答案：?-o(x—2)n,xe(l,3)

1g

-L.=火

知識點解析：因為I""*"Qx"，xE(—1,1),所以f(x尸

CD

i=i=z

3-J1一(1―2)??o(x-2)n,收斂區(qū)間x€(l,3).

四、解答題(本題共8題，每題7.0分，共8分。)

limJ"7f二

19、求極限-J2+siu

lim.八二3二1一山

Zr2+sior+siar

=_luim---N---------工-"--------7--—--—2—-J-1-----_-

—J1+至

標準答案：7/

知識點解析：暫無解析

20、設函數(shù)f(x)的導函數(shù)為sinx且f(0)=—l；若F(x)是f(x)的一個原函數(shù)且

F(0)=0,求解：J1+一工)"

標準答案：由題意：f(x)=sinx,則f(x)=—cosx+C,而f(0)=—1,此時C=0,因而

f(x)=—cosx；又有F〈x)=f(x),則F(x)=—sinx+C,而F(0)=0,此時C=0,因而

f737^7^^=[i~~&

J1-rF(JT)J1—sinr

1+siordr=[-—F-^7^-dr

COS2JTJcos'J*COS4X

2

=Jsecxdr-J—d(cosr)

cos-x

_1+sinj+(.

所以：.e?

F(x)=-sinx；

知識點解析:暫無解析

21、求函數(shù)f(x)=x—，^*的凹凸區(qū)間和拐點.

標準答案：函數(shù)f(x)的定義域為問一1,1］當X力且對一1時，f(x)=

、'一"一岡

/I-X4f，=一令F(x尸0,可得x=0,當x>0時，r(x)<0；當x

<0時，f(x)>0所以函數(shù)f(x)的凹區(qū)間為(一1,0),凸區(qū)間為(0,1)拐點為(0,0).

知識點解析：暫無解析

22、求由方程x2-xy+y2=3確定的隱函數(shù)y=f(x)的極大值和極小值.

2才二y

標準答案；首先對方程x2—xy"=3兩邊關于x求導，得廣？一2丁令y,=o,

岡

得：2x=y，代入原方程得駐點x=l,x=-1又因V0,所以函數(shù)y=y(x)在x=l

處取得極大值，且極大值為y(l)=2；同理可知y"Ix=-i=>0，所以函數(shù)y=y(xj在

x=-l處取得極小值，且極小值為y(—l)=-2.

知識點解析：暫無解析

,__"

23、求積分?1J1二丘

=p2dM=2

標準答案：x=e是瑕點J1uJo

知識點解析：暫無解析

1

24、當xW［0,兀］時，，討論方程sirr'xcosx―4的實根個數(shù).

J_

標準答案：令函數(shù)f(x)=sin'xcosx—4,xG［0,兀］,則F(x尸sin—G—4si/x)令

Fxi,

f(x)=0,得x=0,X=7t,x=」,X=f(0)=V0fm)V0因為函數(shù)f(x)=sin3xcosx一在閉

區(qū)間［0,］和閉區(qū)間上連續(xù)所以由零點定理知，至少存在格日。，),使得f(4)=0,

f化2)=0當xE(0,)和(，兀)時，f(x)>0,故函數(shù)f(x)為增函數(shù)當xe()時,f(x)<0,

函數(shù)f(x)為減函數(shù)所以當x6［0,兀］時，方程si"xcosx=僅有兩個實根

知識點解析：暫無解析

「，-

25、己知函數(shù)Jo［2f(t)+t"cost］dt=xf(x),且f(2)=0,求函數(shù)f(x).

標準答案：據(jù)題意方程Jo[2f(t)+t2cost]dt=xf(x)兩端同時對X求導數(shù)，得F(x)一

f(x)=xcosx則此方程為一階線性微分方程，令P(x)=,Q(x)=xcosx則此一階微分方

程的通解為f(x)=e-

,p(x)dx.[fQ(x).e,p(x)dxdx+C]=+C]=elnx.[fxcosxelnxdx4-C]=x[fcosxdx+C]=x(sinx+C)又因

f()=0,所以C=—1,故f(x)=x(sinx-1)

知識點解析：暫無解析

26、求曲線x2+(y—4產(chǎn)=4所圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周所形成的旋轉體體

積.

標準答案：yi=4+，4-/,y2=4—所以Vx=7tdx=16兀dx=16兀.=32兀2

知識點解析：暫無解析

浙江專升本(高等數(shù)學)模擬試卷第4

套

一、綜合題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)

i

1、求函數(shù)y=x+"+1的單調區(qū)間、極值、凹凸區(qū)間和拐點.

]

標準答案：據(jù)題意，函數(shù)y=x+”+1的定義域為(一8,—1)U(—1,+o