第1課時(shí) 勾股定理逆定理

17.2勾股定理的逆定理第十七章勾股定理第1課時(shí)勾股定理的逆定理講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)新課導(dǎo)入目錄新課導(dǎo)入教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命題、定理的概念、關(guān)系及勾股數(shù).（重點(diǎn)）2.能證明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是直角三角形.（難點(diǎn)）復(fù)習(xí)導(dǎo)入B

C

A

問(wèn)題1

勾股定理的內(nèi)容是什么?如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊為c,那么a2+b2=c2.bca問(wèn)題2

求以線段a、b為直角邊的直角三角形的斜邊c的長(zhǎng)：①

a＝5，b＝12；②

a＝2.5，b＝6；③a＝24，c＝25.c=13c=6.5b=7思考

以前我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了通過(guò)角的關(guān)系來(lái)確定直角三角形，可不可以通過(guò)邊來(lái)確定直角三角形呢？講授新課典例精講歸納總結(jié)

同學(xué)們你們知道古埃及人用什么方法得到直角的嗎?（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（13）（12）（11）（10）（9）據(jù)說(shuō)，古埃及人用下圖的方法畫(huà)直角：把一根長(zhǎng)繩打上等距離的13個(gè)結(jié),然后以3個(gè)結(jié)間距，4個(gè)結(jié)間距，5個(gè)結(jié)間距的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)，用木樁釘成一個(gè)三角形，其中一個(gè)角便是直角.講授新課一、勾股定理的逆定理這個(gè)意味著，如果圍成的三角形的三邊長(zhǎng)分別為3,4,5,它們滿(mǎn)足關(guān)系“32+42=52”,那么圍成的三角形是直角三角形.

畫(huà)畫(huà)看，如果三角形的三邊長(zhǎng)分別為2.5cm,6cm,6.5cm.它們滿(mǎn)足關(guān)系“2.52+62=6.52”,畫(huà)出的三角形是直角三角形嗎？換成三邊分別為4cm,7.5cm,8.5cm，再試一試.我覺(jué)得這個(gè)猜想不準(zhǔn)確，因?yàn)闇y(cè)量結(jié)果可能有誤差.我也覺(jué)得猜想不嚴(yán)謹(jǐn)，前面我們只取了幾組數(shù)據(jù)，不能由部分代表整體.問(wèn)題

據(jù)此你有什么猜想呢?由上面幾個(gè)例子，我們猜想：命題2如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿(mǎn)足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.△ABC≌△A′B′C′

？

∠C是直角△ABC是直角三角形A

B

C

abc已知：如圖，△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c，滿(mǎn)足a2+b2=c2．求證：△ABC是直角三角形．構(gòu)造兩直角邊分別為a,b的Rt△A′B′C′證一證:

作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，

B′C′=a，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)，∴∠C=∠C′=90°

，

即△ABC是直角三角形.則ACaBbc證明：勾股定理的逆定理:

如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿(mǎn)足

a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.ACBabc勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三邊長(zhǎng)，且滿(mǎn)足兩條較小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方，即可判斷此三角形為直角三角形，最長(zhǎng)邊所對(duì)應(yīng)的角為直角.特別說(shuō)明：歸納總結(jié)

例1

下面以a,b,c為邊長(zhǎng)的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一個(gè)角是直角？(1)a=15，

b=8，c=17;解：(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，根據(jù)勾股定理的逆定理，這個(gè)三角形是直角三角形，且∠C是直角.(2)a=13，b=14，c=15.

(2)∵132+142=365，152=225，∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，∴這個(gè)三角形不是直角三角形.歸納：根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊長(zhǎng)的平方和是否等于最大邊長(zhǎng)的平方.變式1：若△ABC的三邊a,b,c滿(mǎn)足

a:b:c=3:4:5，試判斷△ABC的形狀.解：設(shè)a=3k,b=4k,c=5k(k＞0),∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,∴(3k)2+(4k)2=(5k)2,∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角.歸納：已知三角形三邊的比例關(guān)系判斷三角形形狀：先設(shè)出參數(shù)，表示出三條邊的長(zhǎng)，再用勾股定理的逆定理判斷其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三邊中有兩個(gè)相同的數(shù)，那么該三角形還是等腰三角形.變式2：若△ABC的三邊a,b,c，且a+b=4,ab=1,c=，試說(shuō)明△ABC是直角三角形.解：∵a+b=4,ab=1,∴a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14.又∵c2=14,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形.變式3：若△ABC的三邊a,b,c滿(mǎn)足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.試判斷△ABC的形狀.解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，∴a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0.即(a－3)2+(b－4)2+(c－5)2=0.∴a=3,b=4,c=5，即a2+b2=c2.∴△ABC是直角三角形.命題1

如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊為c,那么a2+b2=c2.

命題2

如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿(mǎn)足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.前面我們學(xué)習(xí)了兩個(gè)命題，分別為：二、互逆命題與互逆定理命題1：直角三角形a2+b2=c2命題2：直角三角形a2+b2=c2題設(shè)結(jié)論它們是題設(shè)和結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題.問(wèn)題1

兩個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是什么？問(wèn)題2

兩個(gè)命題的條件和結(jié)論有何聯(lián)系？

如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2互逆定理勾股定理勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿(mǎn)足那么這個(gè)三角形是直角三角形.a2+b2=c2一般地，原命題成立時(shí)，它的逆命題既可能成立，也可能不成立.如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是正確的，那么它也是一個(gè)定理，我們稱(chēng)這兩個(gè)定理互為逆定理.勾股定理與勾股定理的逆定理為互逆定理.

題設(shè)和結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題，叫做互逆命題，其中一個(gè)叫做原命題，另一個(gè)叫做原命題的逆命題.歸納總結(jié)例2

說(shuō)出下列命題的逆命題,這些逆命題成立嗎？(1)兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；(2)如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值相等；

(3)如果ab＜0，那么a＞0，b＜0；

如果a＞0，b＜0，那么ab＜0.(4)在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條直線平行.如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么它們相等.

在角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

成立不成立成立成立如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿(mǎn)足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.滿(mǎn)足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱(chēng)為勾股數(shù).三、勾股數(shù)概念學(xué)習(xí)常見(jiàn)勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；

6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.勾股數(shù)拓展性質(zhì)：

一組勾股數(shù)，都擴(kuò)大相同倍數(shù)k(k為正整數(shù))，得到一組新數(shù)，這組數(shù)同樣是勾股數(shù).(1)確定是否是三個(gè)正整數(shù)；(2)確定最大數(shù)；(3)計(jì)算：看較小兩數(shù)的平方和是否等于最大數(shù)的平方．判斷勾股數(shù)的方法：

例3下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是(

)

A.6，8，10B.7，8，9C.0.3，0.4，0.5D.52，122，132A方法點(diǎn)撥：根據(jù)勾股數(shù)的定義，勾股數(shù)必須為正整數(shù)，先排除小數(shù)，再計(jì)算最長(zhǎng)邊的平方是否等于其他兩邊的平方和即可.當(dāng)堂練習(xí)當(dāng)堂反饋即學(xué)即用當(dāng)堂練習(xí)1.下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是()A.3，4，7B.5，12，13C.1.5，2，2.5D.1，3，5B2.下列各組線段中，能構(gòu)成直角三角形的是（）A．2，3，4B．3，4，6C．5，12，13D．4，6，7C3.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，且(a＋b)(a－b)＝c2，則(

)A．∠A為直角

B．∠B為直角C．∠C為直角

D．△ABC不是直角三角形A4.如圖，△ABC的頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，若小方格的邊長(zhǎng)為1，則△ABC是(

)A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．以上都不對(duì)B5.已知下列命題：①若a>b，則ac>bc；②若a＝1，則

＝a；③內(nèi)錯(cuò)角相等．其中原命題與逆命題均為真命題的個(gè)數(shù)是(

)A．0B．1C．2D．3A6.一個(gè)三角形的三邊的長(zhǎng)分別是3，4，5，則這個(gè)三角形最長(zhǎng)邊上的高是_____________.

2.47.若△ABC的三邊a、b、c滿(mǎn)足(a-b)(a2+b2-c2)=0，則△ABC是_______________________.等腰三角形或直角三角形

8.如圖，在四邊形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，AD