2025年湖南師大附中高考數學模擬試卷（一）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2025年湖南師大附中高考數學模擬試卷（一）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.集合A={x∈N|5?x>1}，B={?1,0,1,2,3,4,5}，則?BA=(

)A.{5} B.{4,5} C.{?1,4,5} D.{?1,0,4,5}2.若3?2i=a+bi(a,b∈R,i是虛數單位)，則a，b的值分別等于(

)A.3，?2 B.3，2 C.3，?3 D.?1，43.已知單調遞減的等比數列{an}滿足a2aA.11024 B.1512 C.512 4.已知直線l：2x?y+5=0與圓C：x2+y2?2x?4y?4=0交于A，BA.25 B.4 C.55.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=4，E，F分別是棱CD，A1A.45+42

B.56.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短軸長為4，上頂點為B，O為坐標原點，點D為OB的中點，曲線E：x2m2?y2n2=1(m>0,n>0)的左、右焦點分別與橢圓C的左、右頂點A1，A2A.8510 B.65107.已知定義域為R的函數f(x)滿足f(1)=1e，且f(x)+f′(x)<0，則不等式f(x+1)>1eA.(2,+∞) B.(?∞,2) C.(0,+∞) D.(?∞,0)8.在數列{an}中，a1=4，an+1=5an+2×A.an=2(n+1)?5n?1 B.Tn=(二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知函數f(x)=2sin(2x+π4)+2，則A.f(x)的圖象關于直線x=π8對稱

B.為了得到函數g(x)=2cos(2x+π3)+2的圖象，可將f(x)的圖象向右平移7π24個單位長度

C.f(x)在(0,π10.已知各項均不為零的數列{an}，其前n項和是Sn，a1=aA.a2=1

B.若{an}為遞增數列，則a的取值范圍是(0,1)

C.存在實數a，使得{an}11.某?；@球社團準備招收新成員，要求通過考核才能加入，考核規(guī)則如下：報名參加該社團的學生投籃n次，若投中次數不低于投籃次數的50%，則通過考核.學生甲準備參加該社團，且他的投籃命中率為0.9，每次是否投中相互獨立.若n=3，記甲通過考核的概率為P1，若n=20，記甲通過考核的概率為P2，若n=21，記甲通過考核的概率為P3，若n=19，記甲通過考核的概率為P4，若n=22，記甲通過考核的概率為PA.P1=0.972 B.P2<P3三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.函數f(x)=32x13.已知cosβ=2cos(2α+β)，則tan(α+β)tanα=______．14.若正整數m，n的公約數只有1，則稱m，n互質.對于正整數n，φ(n)是小于或等于n的正整數中與n互質的數的個數.函數φ(n)以其首名研究者歐拉的名字命名，稱為歐拉函數，例如φ(3)=2，則φ(9)=6.若數列{φ(2n)?(3n)}的前四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

折紙是一項玩法多樣的活動.通過折疊紙張，可以創(chuàng)造出各種各樣的形狀和模型，如動物、花卉、船只等.折紙不僅是一種藝術形式，還蘊含了豐富的數學知識.在紙片△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S1，a=5．

(1)證明：S1=5sinBsinC2sinA；

(2)若83S1?sinA=103cos(B?C)+5，求sinA的值；

(3)在(2)的條件下，若16.(本小題12分)

某綠色水果生態(tài)園在某種水果收獲的.隨機摘下該水果100個作為樣本，其質量分別在[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400](單位：克)中，經統(tǒng)計，樣本的頻率分布直方圖如圖所示：

(1)求圖中a的值；

(2)現按分層抽樣的方法從質量為[250,300)，[300,350)的水果中隨機抽取6個，再從6個中隨機抽取3個，求這3個水果中恰有1個質量在[300,350)內的概率；

(3)某經銷商來收購水果時，該生態(tài)園有水果約10000個要出售．

經銷商提出如下兩種收購方案：

方案A：所有水果以10元/千克收購；

方案B：對質量低于250克的水果以2元/個收購，不低于250克的以3元/個收購.假設同組中的每個數據都用該組區(qū)間的中點值代替，請估算該生態(tài)園選擇哪種方案獲利更多？17.(本小題12分)

如圖，三棱錐P?ABC中，平面PAB⊥平面PAC，BC=2AB=2，∠ABC=π3．

(1)證明：PB⊥AC；

(2)若側面PAB是等邊三角形，點D滿足PD=λPA(0<λ<1)，過B，D兩點作平面α，滿足直線AC//α，設平面α與PC交于點E，直線PC與平面α所成角為π18.(本小題12分)

已知k、m∈R，函數y=f(x)的定義域為R，直線l的方程為y=kx+m，記集合Al={x|f(x)≥kx+m}．

(1)若f(x)=2x，k2+(m?1)2=0，求集合Al；

(2)若f(x)=?x4+x3+bx2，且存在實數k、m使得集合Al中有且只有兩個元素，求實數b19.(本小題12分)

已知雙曲線Γ：x2?y2b2=1(b>0)，左、右頂點分別為A1，A2，過點M(?2,0)的直線交雙曲線Γ于P，Q兩點．

(1)若Γ的離心率為2，求b．

(2)若b=263,△MA2P為等腰三角形，且點P在第一象限，求點P的坐標．參考答案1.C

2.A

3.A

4.B

5.B

6.D

7.D

8.D

9.AD

10.ABD

11.AD

12.313.1314.3215.(1)證明：由正弦定理asinA=bsinB，可得b=asinBsinA，

則S1=12absinC=a2sinBsinC2sinA，

又∵a=5，∴S1=5sinBsinC2sinA；

(2)解：將S1=5sinBsinC2sinA代入83S1?sinA=103cos(B?C)+5，

得203sinBsinC=103cos(B?C)+5=103(cosBcosC+sinBsinC)+5，

即103(sinBsinC?cosBcosC)=5，∴?103cos(B+C)=5，

即23cosA=1，解得cosA=36，

又∵A∈(0,π)，∴sinA=1?cos2A=336；

(3)解：由余弦定理得a2=b2+c2?2bccosA，則16.解：(1)根據題意可得(0.002+0.002+0.003+0.004+a+0.001)×50=1，解得a=0.008；

(2)因為[250,300)和[300,350)的頻率之比為2：1，

所以在[250,300)和[300,350)內的分別抽有4個和2個，

設在[250,300)內的4個水果分別為A，B，C，D，

在[300,350)內2個水果分別為a，b，

則再從6個中隨機抽取3個所得樣本空間為：

Ω={{A,B,C}，{A,B,D}，{A,B,a}，{A,B,b}，{A,C,D}，{A,C,a}，

{A,C,b}，{A,D,a}，{A,D,b}，{A,a,b}，{B,C,D}，{B,C,a}，{B,C,b}，

{B,D,a}，{B,D,b}，{B,a,b}，{C,D,a}，{C,D,b}，{C,a,b}，{D,a,b}}，

所以n(Ω)=20，

記E：其中恰有一個在[300,350)內，

則E={{A,B,a}，{A,B,b}，{A,C,a}，{A,C,b}，{A,D,a}，{A,D,b}，

{B,C,a}，{B,C,b}，{B,D,a}，{B,D,b}，{C,D,a}，{C,D,b}}，

所以n(E)=12，

所以P(E)=n(E)n(Ω)=1220=35；

(3)方案A：

收益=(125×0.002+175×0.002+225×0.003+275×0.008+325×0.004+375×0.001)

×50×0.001×10×10000=25750元；

方案B：低于250克獲利(0.002+0.002+0.003)×50×10000×2=7000元，

不低于250克獲利(0.008+0.004+0.001)×50×10000×3=19500元，

總計7000+19500=26500元．

因為25750<26500，所以該生態(tài)園選擇方案B獲利更多．

17.解：(1)證明：三棱錐P?ABC中，平面PAB⊥平面PAC，

∵BC=2AB=2，∠ABC=π3，

∴在△ABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2?2AB?BCcos∠ABC=5?4cosπ3=3，

∴AB2+AC2=BC2，即AB⊥AC，△ABC為直角三角形，

作BF⊥PA，垂足為F，

∵平面PAB⊥平面PAC，平面PAB∩平面PAC=PA，BF?平面PAB，

∴BF⊥平面PAC，又AC?平面PAC，∴BF⊥AC；

∵BF∩AB=B，BF，AB?平面PAB，∴AC⊥平面PAB，

∵PB?平面PAB，∴PB⊥AC．

(2)側面PAB是等邊三角形，點D滿足PD=λPA(0<λ<1)，過B，D兩點作平面α，

∵AC//α，平面α∩平面PAC=DE，∴AC//DE，

又PE=λPC(0<λ<1)，

以點A為坐標原點，AB，AC所在直線分別為x，y軸，過點A垂直于平面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標系，

則B(1,0,0)，P(12,0,32)，A(0,0,0)，C(0,3,0)，

∴PA=(?12,0,?32)，PC=(?12,18.解：(1)因為k2+(m?1)2=0，所以k=0，m=1，

由f(x)=2x，得2x≥1，解得x≥0，

所以Al=[0,+∞)；

(2)存在實數k，m使得集合Al={x1,x2}，

則?x4+x3+bx2≥kx+m的解集為{x1,x2}，

即x4?x3?bx2+kx+m≤0的解集為{x1,x2}，

所以方程x4?x3?bx2+kx+m=0有重根x=x1及x=x2．

因此x4?x3?bx2+kx+m=(x?x1)2(x?x2)2恒成立，

即x4?x3?bx2+kx+m=x4?2(x1+x2)x3+(22x12+x+4x1x2)x2?2x1x2(x1+x2)x+x12x22，

故有?2(x1+x2)=?1x12+x22+4x1x2=?b，

則x1，x2是二次方程x2?12x?12b?18=0的兩個不相等的實數解，

所以Δ=14+2b+12>0，

解得b>?38，

所以實數b的取值范圍是(?38,+∞)；

(3)證明：令g(x)=f(x)?(kx+m)，

因為f′(x)是定義域為R的嚴格減函數，

則g′(x)=f′(x)?k，在R上嚴格減函數，

①必要性：若直線l是函數y=f(x)在點P(t,f(t))處的切線，

則有f(t)=kt+mf′(t)=k，所以g(t)=0g′(t)=0．

故x>t時，g′(x)<0，

所以函數y=g(x)在(t,+∞)上嚴格減函數，

所以g(x)<g(t)=0；

x<t時，g′(x)