19.2.3　一次函數(shù)與方程、不等式（第2課時　一次函數(shù)與二元一次方程組）

1/819.2.3一次函數(shù)與方程、不等式第2課時一次函數(shù)與二元一次方程組函數(shù)、方程和不等式都是人們刻畫現(xiàn)實世界的重要數(shù)學(xué)模型．用函數(shù)的觀點看方程（組）與不等式，不僅能幫助學(xué)生加深對方程（組）、不等式的理解，提高認識問題的水平，而且能從函數(shù)的角度將三者統(tǒng)一起來，感受數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美．本節(jié)課是學(xué)生學(xué)習(xí)完一次函數(shù)、一元一次方程及一元一次不等式的聯(lián)系后對一次函數(shù)和二元一次方程（組）關(guān)系的探究，學(xué)生在探索過程中體驗數(shù)形結(jié)合的思想方法和數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價值，這對今后的學(xué)習(xí)有著十分重要的意義．【置疑導(dǎo)入】小聰和小惠去某景區(qū)游覽，約好在“飛瀑”見面．上午7：00小聰乘電動汽車從“古剎”出發(fā)：沿景區(qū)公路去“飛瀑”，車速為36km/h，小慧也于上午7：00從“塔林”出發(fā)，騎電動自行車沿景區(qū)公路去“飛瀑”，車速為26km/h.（1）當(dāng)小聰追上小慧時，他們是否已經(jīng)過了“草甸”？（2）當(dāng)小聰?shù)竭_“飛瀑”時，小慧離“飛瀑”還有多遠？追問：當(dāng)小聰追上小慧時，他們兩個人的什么量是相同的？是否已經(jīng)過了“草甸”？該用什么量來表示？你會選擇用哪種方式來解決？圖象法？還是解析式法？【說明與建議】說明：通過問題串的精心設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實際問題建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，利用該函數(shù)圖象的特征解決問題，在此過程中滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力．建議：在這個環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)過程中，如果學(xué)生入手感到困難．可用以下問題串引導(dǎo)學(xué)生進行分析：（1）兩個人是否同時起步？（2）在兩個人到達之前所用時間是否相同？所行駛的路程是否相同？出發(fā)地點是否相同？兩個人的速度各是多少？（3）這個問題中的兩個變量是什么？它們之間是什么函數(shù)關(guān)系？（4）如果用s表示路程，t表示時間，那么他們各自的解析式分別是什么？【情景導(dǎo)入】在河道A，B兩個碼頭之間有客輪和貨輪通行．一天，客輪從A碼頭勻速行駛到B碼頭，同時貨輪從B碼頭出發(fā)，運送一批物資勻速行駛到A碼頭，兩船距B碼頭的距離y（km）與行駛時間x（min）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，請根據(jù)圖象解決下列問題：（1）A，B兩個碼頭之間的距離是80km；（2）已知貨輪距B碼頭的距離與行駛時間的函數(shù)解析式為y1＝eq\f(1,2)x，求客輪距B碼頭的距離y2（km）與時間x（min）之間的函數(shù)解析式；（3）求出點P的坐標，并指出點P的橫坐標與縱坐標所表示的實際意義．【說明與建議】說明：通過學(xué)生熟悉的問題導(dǎo)入新課，培養(yǎng)學(xué)生的識圖能力和探究能力，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的自主意識及學(xué)習(xí)興趣．建議：引導(dǎo)學(xué)生建立函數(shù)模型，結(jié)合圖象利用“數(shù)形結(jié)合”解決問題．命題角度1利用兩個一次函數(shù)圖象求二元一次方程組的解1.如圖，已知函數(shù)y＝ax＋b和y＝kx的圖象交于點P，則根據(jù)圖象可得，關(guān)于x，y的二元一次方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝ax＋b，,y＝kx))的解是（C）A．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝－1))B．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3,y＝－1))C．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3,y＝1))D．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝1))第1題圖第3題圖2.在平面直角坐標系中，直線y＝－2x＋11與直線y＝eq\f(1,3)x＋eq\f(5,3)的交點坐標是（4，3），則方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝11，,x－3y＝－5))的解為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4,y＝3))．命題角度2利用兩個一次函數(shù)圖象求一元一次不等式的解集3.函數(shù)y＝kx與y＝－x＋3的圖象如圖所示，根據(jù)圖象可知，不等式kx＞－x＋3的解集是x＞1．命題角度3利用一次函數(shù)與方程、不等式的聯(lián)系解決實際問題4.某電信公司有兩種上網(wǎng)費用的計算方式，方式A以每分鐘0.1元的價格按上網(wǎng)時間計費；方式B除收月基本費20元外，再以每分鐘0.05元的價格按上網(wǎng)時間計費．設(shè)上網(wǎng)時間為x分鐘，所需費用為y元．用函數(shù)方法解答何時兩種計費方式費用相等．解：yA＝0.1x，yB＝0.05x＋20.函數(shù)圖象如圖所示．∴當(dāng)每月上網(wǎng)時間為400分鐘時，兩種計費方式費用相等．課題19.2.3第2課時一次函數(shù)與二元一次方程組授課人素養(yǎng)目標1.理解一次函數(shù)的圖象與二元一次方程（組）的關(guān)系．2.經(jīng)歷用函數(shù)觀點分析二元一次方程（組）的過程，進一步體會類比思想、分類討論思想．3.利用一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，解決實際問題．4.體會數(shù)學(xué)知識的融會貫通，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．教學(xué)重點借助兩個一次函數(shù)圖象求二元一次方程（組）的解或一元一次不等式的解集．教學(xué)難點借助四個一次[一次函數(shù)、一元一次方程、二元一次方程（組）的解、一元一次不等式]之間的關(guān)系，解決實際問題．授課類型新授課課時教學(xué)活動教學(xué)步驟師生活動設(shè)計意圖回顧1.解二元一次方程組2.一次函數(shù)y＝5x＋6與y＝3x＋10的交點坐標是多少？復(fù)習(xí)舊知，引發(fā)思考，為突破本節(jié)課重難點做鋪墊．活動一：創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入新課【課堂引入】1號探測氣球從海拔5m出發(fā)，以1m/min的速度上升，與此同時，2號探測氣球從海拔15m處出發(fā)，以0.5m/min的速度上升，兩個氣球都上升了1小時．用式子分別表示兩個氣球所在位置的海拔y（單位：m）關(guān)于上升時間t（單位：min）的函數(shù)關(guān)系；1號氣球：y＝x＋5，2號氣球：y＝0.5x＋15.從實際問題抽象出數(shù)學(xué)問題，一方面有助于發(fā)展學(xué)生抽象邏輯能力，另一方面可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更好地開展新課．活動二：實踐探究、交流新知【探究新知】針對【課堂引入】的問題，繼續(xù)思考在某時刻兩個氣球能否位于同一高度？如果能，這時氣球上升了多少時間？位于什么高度？問題1從數(shù)的角度看，二元一次方程組與一次函數(shù)有什么關(guān)系？問題2從形的角度看，二元一次方程組與一次函數(shù)有什么關(guān)系？師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生類比一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系，結(jié)合兩個一次函數(shù)的圖象，探求與二元一次方程組之間的關(guān)系．最后，教師幫助學(xué)生總結(jié)．歸納：（2）圖象法解方程組的步驟：①將方程組中各方程化為y＝ax＋b的形式；②畫出各函數(shù)的圖象；③由交點坐標得出方程組的解．自主探究：在什么時候，1號氣球比2號氣球高？在什么時候，2號氣球比1號氣球高？通過類比一次函數(shù)與一元一次方程，分別從數(shù)和形兩個角度分析二元一次方程組與一次函數(shù)之間的關(guān)系，進一步開拓學(xué)生的思維，感受數(shù)形結(jié)合思想以及分類討論思想，體會數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用價值．活動三：開放訓(xùn)練、體現(xiàn)應(yīng)用【典型例題】例1如圖，一次函數(shù)y＝kx＋b與y＝x＋2的圖象相交于點P（m，4），則關(guān)于x的方程kx＋b＝x＋2的解是（B）A.x＝1B．x＝2C．x＝3D．x＝4例2如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝－2x和y＝ax＋2相交于點A（m，1），則不等式－2x<ax＋2的解集為（D）A.x<eq\f(1,2)B．x<1C．x>1D．x>－eq\f(1,2)【變式訓(xùn)練】在同一平面直角坐標系內(nèi)畫一次函數(shù)y1＝－x＋4和y2＝2x－5的圖象，解決下列問題：（1）求方程－x＋4＝2x－5的解；（2）求二元一次方程組的解；（3）當(dāng)x取何值時，y1＞y2？當(dāng)x取何值時，y1＞0且y2＜0？解：畫函數(shù)圖象如圖所示．（1）∵一次函數(shù)y1＝－x＋4和y2＝2x－5的圖象相交于點（3，1），∴方程－x＋4＝2x－5的解為x＝3.（2）由圖可知，二元一次方程組（3）由圖可知，當(dāng)x＜3時，y1＞y2；當(dāng)x＜eq\f(5,2)時，y1＞0且y2＜0.師生活動：學(xué)生獨立思考，舉手回答，師生交流心得和方法．通過典型例題和變式訓(xùn)練．進一步感受兩個一次函數(shù)與二元一次方程組的解之間的聯(lián)系．由形判數(shù)，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想，體會數(shù)學(xué)知識的融會貫通．活動四：課堂檢測【課堂檢測】1.如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝－2x和y＝ax＋2相交于點A（m，1），則關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為（C）第1題圖第2題圖第3題圖2.如圖，一次函數(shù)y1＝k1x＋b1與y2＝k2x＋b2的圖象交于點A（3，2），它們與x軸的交點橫坐標分別為1和－1，則不等式k2x＋b2>0>k1x＋b1的解集為（D）A.x>3B．x<－1C．x>1D．－1<x<13.一次函數(shù)y1＝mx＋n與y2＝－x＋a的圖象如圖所示，則不等式mx＋n＞－x＋a的解集為（A）A.x＞3B．x＜3C．x＜2D．x＞24.如圖，直線l1：y＝x＋1與直線l2：y＝mx＋n相交于點P（1，b）.（1）求b的值；（2）不解關(guān)于x，y的方程組請你直接寫出它的解．解：（1）∵P（1，b）在直線l1上，∴b＝1＋1，即b＝2.（2）師生活動：學(xué)生進行當(dāng)堂檢測，完成后，教師進行批閱、點評、講