2024-2025學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)蘇教版期中必刷?？碱}之空間向量的應(yīng)用

第33頁(yè)（共33頁(yè)）2024-2025學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)蘇教版（2019）期中必刷常考題之空間向量的應(yīng)用一．選擇題（共5小題）1．（2025?四川開學(xué)）在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為AB上任意一點(diǎn)，E，F(xiàn)為CD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF的長(zhǎng)為定值，則點(diǎn)P到平面A1EF的距離（）A．和點(diǎn)E，F(xiàn)的位置有關(guān) B．和EF的長(zhǎng)度有關(guān) C．和點(diǎn)P的位置有關(guān) D．等于22．（2024秋?蘇州期末）△ABC中，AB＝2，AC＝4，BC＝3，點(diǎn)P在平面ABC外，且PA→?PB→=3，PA→?PC→A．724 B．524 C．35 3．（2024秋?聊城期末）在四面體ABCD中，∠BAD＝∠CAD＝60°，AC⊥AB，AB＝AD＝2，AC＝3，則異面直線AC與BD所成的角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°4．（2024秋?廣西期末）在平行四邊形ABCD中，AB＝2，AD＝1，BD=3，E是BC的中點(diǎn)，沿BD將△BCD翻折至△BC′D的位置，使得平面BC′D⊥平面ABD，F(xiàn)為C′D的中點(diǎn)，則異面直線EF與A．35 B．45 C．13 5．（2024秋?長(zhǎng)壽區(qū)期末）已知向量a→=(2，-1A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1二．多選題（共3小題）（多選）6．（2025?臨沂一模）圓柱O1O2的軸截面是正方形，O1，O2分別是上、下底面的圓心，A，B是下底面圓周上兩個(gè)不同的點(diǎn)，BC是母線，若圓柱O1O2的側(cè)面積為16π，則（）A．圓柱O1O2的體積是16π B．圓柱O1O2內(nèi)切球的表面積是8π C．AOD．點(diǎn)B到直線AO1距離的最大值為3（多選）7．（2025?安徽模擬）如圖，已知圓臺(tái)的軸截面為ABCD，其中AB=3CD=123，AD＝8，M為圓弧A．圓臺(tái)的體積為208π B．圓臺(tái)母線所在直線與平面ABCD所成角的最大值為π3C．過(guò)任意兩條母線作圓臺(tái)的截面，截面面積的最大值為323D．過(guò)C，E，M三點(diǎn)的平面與圓臺(tái)下底面的交線長(zhǎng)為36（多選）8．（2024秋?合肥期末）如圖，矩形BDEF所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直，AE=BD=42，A．AE⊥CF B．平面PBC與平面ADE可能平行也可能垂直 C．PC2+PE2的取值范圍是[32，64] D．點(diǎn)B到平面CEF的距離為4三．填空題（共4小題）9．（2024秋?呼和浩特期末）已知直線l的一個(gè)方向向量為d→=(1，2，-1)，平面α的一個(gè)法向量n→=(x，-10．（2025?東興區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為線段BD的中點(diǎn)，N為AA1上的一動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），當(dāng)直線C1M與平面BDN所成角取得最大值時(shí)，AN的長(zhǎng)度為．11．（2024秋?泰安期末）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，M為側(cè)面ADD1A1內(nèi)（含邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P是線段CC1的中點(diǎn)，若直線PM與平面ADD1A1所成的角為π4，則點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為12．（2025?江西模擬）已知正四棱柱ABCD﹣AB1C1D1的底面邊長(zhǎng)為2，沿該棱柱的表面從點(diǎn)A經(jīng)過(guò)棱A1B1或棱BB1上的一點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C1的最短距離為13，則異面直線AE與BD所成角的余弦值為．四．解答題（共3小題）13．（2025?安康模擬）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面BCC1B1⊥平面ACC1A1，平面ABC⊥平面ACC1A1，A1C⊥AB．（1）求證：BC⊥平面ACC1A1；（2）已知A1C＝2AC＝2BC，求直線AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值．14．（2025?安徽模擬）如圖，在四棱錐E﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD且AB=12CD=1，AB⊥BC，∠ADC＝60（1）若M，N分別是棱AD，EC的中點(diǎn)，證明：MN∥平面ABE；（2）求平面BCE與平面ADE夾角的余弦值．15．（2025?延慶區(qū)模擬）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD，且PD＝AD＝2，E是PC的中點(diǎn)，平面ABE與線段PD交于點(diǎn)F．（Ⅰ）求證：AB∥FE；（Ⅱ）若CF=5，求直線BE與平面

2024-2025學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)蘇教版（2019）期中必刷?？碱}之空間向量的應(yīng)用參考答案與試題解析題號(hào)12345答案DBCAA一．選擇題（共5小題）1．（2025?四川開學(xué)）在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為AB上任意一點(diǎn)，E，F(xiàn)為CD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF的長(zhǎng)為定值，則點(diǎn)P到平面A1EF的距離（）A．和點(diǎn)E，F(xiàn)的位置有關(guān) B．和EF的長(zhǎng)度有關(guān) C．和點(diǎn)P的位置有關(guān) D．等于2【考點(diǎn)】空間中點(diǎn)到平面的距離．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)及線面平行、線面垂直的性質(zhì)可求得結(jié)論．【解答】解：因?yàn)镋，F(xiàn)為CD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以平面A1EF即為平面A1B1CD，因?yàn)锳B∥CD，CD?平面A1CD，所以AB∥平面A1CD，又P為AB上任意一點(diǎn)，所以點(diǎn)P到平面A1B1CD的距離即點(diǎn)A到平面A1B1CD的距離，在正方體中，AD1⊥A1D，CD⊥AD1，CD∩A1D＝D，所以AD1⊥平面A1B1CD，則點(diǎn)A到平面A1B1CD的距離為22所以點(diǎn)P到平面A1EF的距離為22故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間點(diǎn)到平面距離的求法，屬中檔題．2．（2024秋?蘇州期末）△ABC中，AB＝2，AC＝4，BC＝3，點(diǎn)P在平面ABC外，且PA→?PB→=3，PA→?PC→A．724 B．524 C．35 【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角；平面向量的數(shù)量積運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】根據(jù)題意，取AC的中點(diǎn)E，連接DE、PE，由三角形中位線定理、異面直線所成角定義，證出∠PDE（或補(bǔ)角）就是異面直線DP與BC的所成角．然后在△PAB中，根據(jù)PA→?PB→=3且AB＝2，運(yùn)用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求出PD＝2，同理在△PAC中求出PE=5.最后在△【解答】解：取AC的中點(diǎn)E，連接DE、PE，因?yàn)椤鰽BC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，所以DE=12BC=32且可得∠PDE（或補(bǔ)角）就是異面直線DP與BC的所成角．由PA→?PB→=3，得（PD→+DA→）?（PD所以PD→2-DA→2=3，結(jié)合DA→2=14|AB→|2＝同理可得PE→2=EA→2+PA→在△PDE中，PD＝2，DE=32，PE所以cos∠PDE=PD2+DE2-P故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查異面直線所成角的定義與求法、空間向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算性質(zhì)、余弦定理等知識(shí)，屬于中檔題．3．（2024秋?聊城期末）在四面體ABCD中，∠BAD＝∠CAD＝60°，AC⊥AB，AB＝AD＝2，AC＝3，則異面直線AC與BD所成的角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間角；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)題意，以AB→、AC→、AD→為基向量，運(yùn)用空間向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算法則，求出cos＜AC→，BD【解答】解：根據(jù)題意，可得AB→?AC→=0，AB→?AD→=|AB→|?|AD→|cos∠BAD＝2，AC→?AD→=|△ABD中，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，所以△ABD是等邊三角形，可得BD＝2．因?yàn)锳C→?BD→=AC→?（AD→-AB→）=AC所以cos＜AC→，BD→＞=AC→?BD→|AC→|?|所以異面直線AC與BD所成的角等于60°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間向量的數(shù)量積及其運(yùn)算法則、異面直線所成角的定義與求法等知識(shí)，屬于中檔題．4．（2024秋?廣西期末）在平行四邊形ABCD中，AB＝2，AD＝1，BD=3，E是BC的中點(diǎn)，沿BD將△BCD翻折至△BC′D的位置，使得平面BC′D⊥平面ABD，F(xiàn)為C′D的中點(diǎn)，則異面直線EF與A．35 B．45 C．13 【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角；平面與平面垂直．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間角；運(yùn)算求解；空間想象．【答案】A【分析】先證BC'⊥平面ABD，再以B為原點(diǎn)建系，利用向量法求異面直線所成角即可．【解答】解：由AB＝2，AD＝1，BD=3，知AD2+BD2＝AB2，即AD⊥因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD，所以AD∥BC，所以BC⊥BD，即BC'⊥BD，又平面BC′D⊥平面ABD，平面BC′D∩平面ABD＝BD，BC'?平面BC′D，所以BC'⊥平面ABD，故以B為原點(diǎn)，BC，BD，BC'所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則E（12，0，0），F(xiàn)（0，32，12），A（﹣1，3，0），C′（0，0所以EF→=（-12，32，12），AC'所以cos＜EF→，因?yàn)楫惷嬷本€所成角的取值范圍為（0，π2]所以異面直線EF與AC′所成角的余弦值為35故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成角的求法，熟練掌握面面垂直的性質(zhì)定理，利用向量法求異面直線所成角是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．5．（2024秋?長(zhǎng)壽區(qū)期末）已知向量a→=(2，-1A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】代入空間向量垂直的坐標(biāo)表示，即可求解．【解答】解：向量a→=(2，則a→?b→=2×5+(-1)×1+3故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2025?臨沂一模）圓柱O1O2的軸截面是正方形，O1，O2分別是上、下底面的圓心，A，B是下底面圓周上兩個(gè)不同的點(diǎn)，BC是母線，若圓柱O1O2的側(cè)面積為16π，則（）A．圓柱O1O2的體積是16π B．圓柱O1O2內(nèi)切球的表面積是8π C．AOD．點(diǎn)B到直線AO1距離的最大值為3【考點(diǎn)】空間中點(diǎn)到直線的距離及兩平行直線間的距離；圓柱的體積．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】AC【分析】根據(jù)圓柱體積公式、側(cè)面積公式，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式、點(diǎn)到線距離公式逐一判斷即可．【解答】解：根據(jù)題意可知，圓柱O1O2的軸截面是正方形，O1，O2分別是上、下底面的圓心，設(shè)圓柱O1O2的底面半徑為r，∴母線為2r，∵圓柱O1O2的側(cè)面積為16π，∴2πr?2r＝16π?r＝2．∵圓柱O1O2的體積是π?22×2×2＝16π，∴選項(xiàng)A正確；∵圓柱O1O2的底面半徑為2，∴母線為4，∴圓柱O1O2內(nèi)切球的半徑為2，∴圓柱O1O2內(nèi)切球的表面積是4π?22＝16π，因此選項(xiàng)B不正確；建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，O1（0，0，4），B（0，2，0），C（0，2，4），設(shè)A（2cosθ，2sinθ，0），sinθ≠1，AOAO∴選項(xiàng)C正確；設(shè)a→直線AO1的單位方向向量為u→∴點(diǎn)B到直線AO1距離為d=-由題意﹣1≤sinθ＜1，∴當(dāng)sinθ＝﹣1時(shí)，dmax=8故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．（多選）7．（2025?安徽模擬）如圖，已知圓臺(tái)的軸截面為ABCD，其中AB=3CD=123，AD＝8，M為圓弧A．圓臺(tái)的體積為208π B．圓臺(tái)母線所在直線與平面ABCD所成角的最大值為π3C．過(guò)任意兩條母線作圓臺(tái)的截面，截面面積的最大值為323D．過(guò)C，E，M三點(diǎn)的平面與圓臺(tái)下底面的交線長(zhǎng)為36【考點(diǎn)】空間向量法求解直線與平面所成的角；圓臺(tái)的體積．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】ABD【分析】求出圓臺(tái)的高，根據(jù)體積公式可判定選項(xiàng)A；把圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐，根據(jù)母線TM與平面ABCD所成的角最大可判定選項(xiàng)B；利用兩條母線所在直線夾角為π2時(shí)截面面積最大可判定選項(xiàng)C；找出過(guò)C，E，M三點(diǎn)的平面與圓臺(tái)下底面的交線，結(jié)合垂徑定理可判定選項(xiàng)D【解答】解：選項(xiàng)A，因?yàn)锳B=3所以圓臺(tái)上底面圓半徑為23，下底面圓半徑為6所以圓臺(tái)的高h(yuǎn)=故圓臺(tái)的體積V=4π3×(12+36+108)=208選項(xiàng)B，由h＝4，BC＝8，得sin∠由∠OBC∈(0如圖，將圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐，頂點(diǎn)記為T，底面圓的圓心記為O，連接TO，MO，MT，因?yàn)镸為圓弧AB的中點(diǎn)，所以MO⊥AB，因?yàn)門O⊥平面AMB，MO?平面AMB，所以TO⊥MO，因?yàn)門O∩AB＝O，TO，AB?平面ABCD，所以MO⊥平面ABCD，又MO?平面TMO，所以平面TMO⊥平面ABCD，此時(shí)母線所在直線TM與平面ABCD所成的角最大，最大為∠MTO，∠MTO=π選項(xiàng)C，由∠TBO可得TO＝6，BT＝12，所以TC＝12﹣8＝4，當(dāng)兩條母線所在直線夾角為π2最大值為12×122×sinπ2選項(xiàng)D，如圖，在梯形ABCD中，連接CE并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接MF交底面圓于點(diǎn)N，則MN為截面與底面圓的交線，由CDAF=DEEA=2所以tan∠OMF=取MN中點(diǎn)G，則OG⊥MN，MN＝2MG，所以MN=2×6故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓臺(tái)的性質(zhì)，考查線面角的求法及立體幾何的綜合應(yīng)用，屬中檔題．（多選）8．（2024秋?合肥期末）如圖，矩形BDEF所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直，AE=BD=42，A．AE⊥CF B．平面PBC與平面ADE可能平行也可能垂直 C．PC2+PE2的取值范圍是[32，64] D．點(diǎn)B到平面CEF的距離為4【考點(diǎn)】空間中點(diǎn)到平面的距離；直線與平面垂直；平面與平面平行．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】ABD【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可判斷AB中的位置關(guān)系，利用空間距離公式計(jì)算CD后可判斷它們的正誤．【解答】解：根據(jù)題意可知，矩形BDEF所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直，AE=建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，A項(xiàng)．∵AE=BD=42，∴AB＝AD＝4，∴則A（4，0，0），B（4，4，0），C（0，4，0），E（0，0，4），F(xiàn)（4，4，4）．A項(xiàng).AE→=(-4，∴AE→⊥CFB項(xiàng)．當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合時(shí)，平面PBC//平面ADE，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，平面PBC⊥平面ADE，故B項(xiàng)正確；C項(xiàng)．根據(jù)題意，可設(shè)點(diǎn)P（4，4λ，4λ），其中0≤λ≤1，則PC2+PE2＝42+（4λ﹣4）2+（4λ）2+42+（4λ）2+（4λ﹣4）2＝64λ2﹣64λ+64＝64（λ2﹣λ+1），當(dāng)λ∈[0，1]]時(shí)，λ2∴64（λ2﹣λ+1）∈[48，64]，即PC2+PE2的取值范圍是[48，64]，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；D項(xiàng).CE→設(shè)平面CEF的法向量為m→=(x故-4y+4∴點(diǎn)B到平面CEF的距離為|CB→?故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間直角坐標(biāo)系的建立，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題）9．（2024秋?呼和浩特期末）已知直線l的一個(gè)方向向量為d→=(1，2，-1)，平面α的一個(gè)法向量n→=(x，-【考點(diǎn)】空間向量語(yǔ)言表述線面的垂直、平行關(guān)系；平面的法向量．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】10．【分析】根據(jù)直線與平面平行，得到直線的方向向量與平面的法向量垂直，進(jìn)而利用空間向量數(shù)量積為0列出方程，求出x的值．【解答】解：因?yàn)閘∥α，所以直線l的方向向量與平面α的法向量垂直，即n→解得：x＝10．故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10．（2025?東興區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為線段BD的中點(diǎn)，N為AA1上的一動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），當(dāng)直線C1M與平面BDN所成角取得最大值時(shí)，AN的長(zhǎng)度為1．【考點(diǎn)】空間向量法求解直線與平面所成的角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間角；運(yùn)算求解；空間想象．【答案】1．【分析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建系，設(shè)AN＝a（0≤a≤2），直線C1M與平面BDN所成角為θ，利用向量法求線面角，可將sinθ表示成關(guān)于a的函數(shù)，再結(jié)合換元法，配方法，求解即可．【解答】解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AN＝a（0≤a≤2），則D（0，0，0），B（2，2，0），M（1，1，0），C1（0，2，2），N（2，0，a），所以C1M→=(1，設(shè)平面BDN的法向量為n→=(x令x＝a，則z＝﹣2，y＝﹣a，所以n→設(shè)直線C1M與平面BDN所成角為θ，則sinθ=|令t＝a+2，則a＝t﹣2，且t∈[2，4]，設(shè)f（t）=(當(dāng)1t=13時(shí)，f（t）取得最大值，sinθ取得最大值，即θ取得最大值，此時(shí)t＝3，即a所以a＝1，所以AN的長(zhǎng)度為1．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中線面角的求法，熟練掌握利用向量法求線面角是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．11．（2024秋?泰安期末）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，M為側(cè)面ADD1A1內(nèi)（含邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P是線段CC1的中點(diǎn)，若直線PM與平面ADD1A1所成的角為π4，則點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為2π【考點(diǎn)】空間向量法求解直線與平面所成的角．【專題】數(shù)形結(jié)合；向量法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】23【分析】根據(jù)線面角得出M的軌跡，結(jié)合邊長(zhǎng)得出角進(jìn)而應(yīng)用弧長(zhǎng)公式求出側(cè)面內(nèi)的劣?。弧窘獯稹拷猓赫襟wABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，M為側(cè)面ADD1A1內(nèi)（含邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P是線段CC1的中點(diǎn)，若直線PM與平面ADD1A1所成的角為π4以D為原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所在直線為z軸，建立坐標(biāo)系，易知平面A1ADD1的一個(gè)法向量為n→=(0，1，0)，P（設(shè)M（t，0，n），t，n∈[0，2]，當(dāng)直線PM與平面A1ADD1所成的角為π4sinπ∴t2+（n﹣1）2＝4，則點(diǎn)M的軌跡是以E（0，0，1）為球心，2為半徑的球，M為側(cè)面ADD1A1內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡在側(cè)面ADD1A1內(nèi)是以E（0，0，1）為圓心，2為半徑的劣弧，設(shè)軌跡分別交AD，A1D1于點(diǎn)M2，M1，可得M1則∠M1ED1=∠M2劣弧M1M2的長(zhǎng)為π3故答案為：23【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方體結(jié)構(gòu)特征、劣弧、點(diǎn)的軌跡、球等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．12．（2025?江西模擬）已知正四棱柱ABCD﹣AB1C1D1的底面邊長(zhǎng)為2，沿該棱柱的表面從點(diǎn)A經(jīng)過(guò)棱A1B1或棱BB1上的一點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C1的最短距離為13，則異面直線AE與BD所成角的余弦值為2613【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角；多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問(wèn)題．【專題】分類討論；綜合法；空間角；立體幾何；運(yùn)算求解；空間想象．【答案】2613【分析】設(shè)該棱柱的高為h，利用點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C1的最短距離為13，求出h的值，再過(guò)點(diǎn)E作B1D1的平行線與A1D1交于點(diǎn)F，易知∠AEF或其補(bǔ)角即為所求，然后根據(jù)解三角形的知識(shí)求解即可．【解答】解：設(shè)該棱柱的高為h（h＞0），如圖所示，若沿該棱柱表面從點(diǎn)A經(jīng)過(guò)棱BB1上一點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C1，則最短距離為(2+2)若從點(diǎn)A經(jīng)過(guò)棱A1B1上的一點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C1，則最短距離為22+(2+h)2=13因?yàn)锳1E∥C1D1，所以A1EC過(guò)點(diǎn)E作EF∥B1D1，交A1D1于點(diǎn)F，因?yàn)锽1D1∥BD，所以EF∥BD，所以∠AEF或其補(bǔ)角即為AE與BD所成角，在△AEF中，AE=AF=12+(23所以cos∠故答案為：2613【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成角的求法，棱柱表面最短距離等問(wèn)題，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．四．解答題（共3小題）13．（2025?安康模擬）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面BCC1B1⊥平面ACC1A1，平面ABC⊥平面ACC1A1，A1C⊥AB．（1）求證：BC⊥平面ACC1A1；（2）已知A1C＝2AC＝2BC，求直線AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值．【考點(diǎn)】空間向量法求解直線與平面所成的角；直線與平面垂直．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】（1）證明見解析；（2）25【分析】（1）根據(jù)線面垂直得到線線垂直，再根據(jù)一條直線垂直于一個(gè)平面里兩條相交的直線，即可得到線面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，直線與平面所成角的正弦值即為直線所在的方向向量與平面法向量夾角的余弦值，可求得結(jié)果．【解答】解：（1）證明：設(shè)P∈平面ACC1A1，過(guò)P作PM⊥C1C、PN⊥AC，垂足分別為M、N，因?yàn)槠矫鍮CC1B1⊥平面ACC1A1，平面BCC1B1∩平面ACC1A1＝CC1，PM⊥C1C、PM?平面AA1C1C，所以PM⊥平面BCC1B1，因?yàn)锽C?平面BCC1B1，所以PM⊥BC，同理PN⊥BC，又因?yàn)镻M∩PN＝P，PM、PN?平面AA1C1C，所以BC⊥平面ACC1A1．（2）由（1）知BC⊥平面ACC1A1，因?yàn)锳1C?平面AA1C1C，所以BC⊥A1C，又因?yàn)锳1C⊥AB，所以CA，CB，CA1兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA→，CB→，CA1→由AC=BC=12A1C，可設(shè)AC＝BC＝則A（1，0，0），B（0，1，0），A1（0，0，2），所以AB→所以AB設(shè)n→=(x，y，則n→⊥CB取n→設(shè)直線AB1與平面BCC1B1所成的角為θ，則sinθ=|即直線AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值為25【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直的判定，以及向量法的應(yīng)用，屬于中檔題．14．（2025?安徽模擬）如圖，在四棱錐E﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD且AB=12CD=1，AB⊥BC，∠ADC＝60（1）若M，N分別是棱AD，EC的中點(diǎn)，證明：MN∥平面ABE；（2）求平面BCE與平面ADE夾角的余弦值．【考點(diǎn)】空間向量法求解二面角及兩平面的夾角；直線與平面平行．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；空間角；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）證明見解答；（2）217【分析】（1）通過(guò)線線平行得到平面MNF∥平面BAE，進(jìn)而證明MN∥平面ABE．（2）通過(guò)分析可得MD，ME，MC兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可求兩平面夾角的余弦值．【解答】（1）證明：如圖，取DE的中點(diǎn)F，連接MF，NF，∵M(jìn)，N分別是棱AD，EC的中點(diǎn)，∴MF∥AE，NF∥CD，∵AB∥CD，∴NF∥AB，∵M(jìn)F∥AE，MF?平面BAE，AE?平面BAE，∴MF∥平面BAE，同理可得NF∥平面BAE，∵M(jìn)F∩NF＝F，MF，NF?平面MNF，∴平面MNF∥平面BAE，又MN?平面MNF，∴MN∥平面ABE；（2）解：如圖，連接CM，ME，AC，取DC的中點(diǎn)G，連接AG，∵AB∥CD且AB=12CD=1，∴AB∥CG∴四邊形ABCG為平行四邊形，故BC∥AG，∵AB⊥BC，∴AG⊥CD，且GD＝1，∵∠ADC＝60°，∴AD＝2，故△ADC為等邊三角形，∴CM⊥AD，CM=∵△ADE為等邊三角形，∴DE=2在△CDE中，由余弦定理得：CE∴CM2+ME2＝CE2，即CM⊥ME，故MD，ME，MC兩兩互相垂直，以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則C(0，0，3)，E(0，3，0)，D（1，0由AB→=1∴EC→設(shè)平面BCE的一個(gè)法向量為n→則由n→⊥EC→，令z＝3，則y=3，x取平面ADE的一個(gè)法向量為m→則cos＜∴平面BCE與平面ADE夾角的余弦值為217【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的判定，考查平面與平面夾角的余弦值求法，屬中檔題．15．（2025?延慶區(qū)模擬）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD，且PD＝AD＝2，E是PC的中點(diǎn)，平面ABE與線段PD交于點(diǎn)F．（Ⅰ）求證：AB∥FE；（Ⅱ）若CF=5，求直線BE與平面【考點(diǎn)】空間向量法求解直線與平面所成的角；直線與平面平行．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；空間角；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）3030【分析】（Ⅰ）由線面平行的判定與性質(zhì)定理得證；（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可．【解答】（Ⅰ）證明：在矩形ABCD中，AB∥DC，又AB?平面DCP，DC?平面DCP，所以AB∥平面DCP，又因?yàn)锳B?平面ABE，且平面ABE∩平面DCP＝FE，所以AB∥FE．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知FE∥DC，又因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，所以F是PD的中點(diǎn)，因?yàn)镃F=5，即CD2+因?yàn)镻D⊥平面ABCD，AD，DC?平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥DC．又在正方形ABCD中，AD⊥CD，所以DA，DC，DP兩兩垂直．如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，則B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F(xiàn)（0，0，1）．所以BE→設(shè)平面BCF的一個(gè)法向量為n→則BF→?n→=-2x-設(shè)直線BE與平面BCF所成角為θ，則sinθ＝|cos＜BE→，故直線BE與平面BCF所成角的正弦值為3030【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線面平行的判定與性質(zhì)定理，直線與平面所成角的求法，考查運(yùn)算求解能力與邏輯推理能力，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．平面向量的數(shù)量積運(yùn)算平面向量的數(shù)量積運(yùn)算2．多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問(wèn)題【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問(wèn)題的解法：求多面體表面上兩點(diǎn)間的最短距離，一般將表面展開為平面圖形，從而把它轉(zhuǎn)化為平面圖形內(nèi)兩點(diǎn)連線的最短長(zhǎng)度問(wèn)題，要注意的是，如果不是指定的兩點(diǎn)間的某種特殊路徑，其表面上兩點(diǎn)間的距離應(yīng)是按各種可能方式展開成平面圖形后各自所得最短距離中的最小者．旋轉(zhuǎn)體側(cè)面上兩點(diǎn)間的最短距離，如同多面體一樣，將側(cè)面展開，轉(zhuǎn)化為展開面內(nèi)兩點(diǎn)連線的最短長(zhǎng)度問(wèn)題來(lái)解決．3．圓柱的體積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】圓柱的體積計(jì)算依賴于底面圓的半徑r和圓柱的高度h．【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算公式：體積計(jì)算公式為V=﹣實(shí)際應(yīng)用：如何根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的圓柱尺寸進(jìn)行體積計(jì)算．【命題方向】﹣圓柱的體積計(jì)算：考查如何根據(jù)底面圓的半徑和高度計(jì)算圓柱的體積．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用圓柱的體積計(jì)算．4．圓臺(tái)的體積【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】圓臺(tái)的體積計(jì)算依賴于底面圓的半徑r1、頂面圓的半徑r2和圓臺(tái)的高度h．【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算公式：體積計(jì)算公式為V=﹣實(shí)際應(yīng)用：如何根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的圓臺(tái)尺寸進(jìn)行體積計(jì)算．【命題方向】﹣圓臺(tái)的體積計(jì)算：考查如何根據(jù)底面和頂面的半徑以及高度計(jì)算圓臺(tái)的體積．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用圓臺(tái)的體積計(jì)算．5．異面直線及其所成的角【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、異面直線所成的角：直線a，b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O，作直線a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．異面直線所成的角的范圍：θ∈（0，π2]．當(dāng)θ＝902、求異面直線所成的角的方法：求異面直線的夾角關(guān)鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來(lái)轉(zhuǎn)移直線．3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識(shí)：6．直線與平面平行【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行．用符號(hào)表示為：若a?α，b?α，a∥b，則a∥α．2、直線與平面平行的判定定理的實(shí)質(zhì)是：對(duì)于平面外的一條直線，只需在平面內(nèi)找到一條直線和這條直線平行，就可判定這條直線必和這個(gè)平面平行．即由線線平行得到線面平行．1、直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行．用符號(hào)表示為：若a∥α，a?β，α∩β＝b，則a∥b．2、直線和平面平行的性質(zhì)定理的實(shí)質(zhì)是：已知線面平行，過(guò)已知直線作一平面和已知平面相交，其交線必和已知直線平行．即由線面平行?線線平行．由線面平行?線線平行，并不意味著平面內(nèi)的任意一條直線都與已知直線平行．正確的結(jié)論是：a∥α，若b?α，則b與a的關(guān)系是：異面或平行．即平面α內(nèi)的直線分成兩大類，一類與a平行有無(wú)數(shù)條，另一類與a異面，也有無(wú)數(shù)條．7．直線與平面垂直【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】直線與平面垂直：如果一條直線l和一個(gè)平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么就說(shuō)直線l和平面α互相垂直，記作l⊥α，其中l(wèi)叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直的判定：（1）定義法：對(duì)于直線l和平面α，l⊥α?l垂直于α內(nèi)的任一條直線．（2）判定定理1：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面．（3）判定定理2：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面．直線與平面垂直的性質(zhì)：①定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行．符號(hào)表示為：a⊥α，b⊥α?a∥b②由定義可知：a⊥α，b?α?a⊥b．8．平面與平面平行【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】?jī)蓚€(gè)平面平行的判定：（1）兩個(gè)平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．（2）垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行．即a⊥α，且a⊥β，則α∥β．（3）平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行．即α∥γ，β∥γ，則α∥β．平面與平面平行的性質(zhì)：性質(zhì)定理1：兩個(gè)平面平行，在一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另外一個(gè)平面．性質(zhì)定理2：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行．性質(zhì)定理3：一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面．9．平面與平面垂直【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】平面與平面垂直的判定：判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直．平面與平面垂直的性質(zhì)：性質(zhì)定理1：如果兩個(gè)平面垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面．性質(zhì)定理2：如果兩個(gè)平面垂直，那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi)．性質(zhì)定理3：如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線垂直于第三個(gè)平面．性質(zhì)定理4：三個(gè)兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直．10．空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】一、空間向量及其有關(guān)概念語(yǔ)言描述共線向量（平行向量）表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合．共面向量平行于同一平面的向量．共線向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量a→，b→（b→≠0），a→∥b→?存在λ∈R共面向量定理若兩個(gè)向量a→，b→不共線，則向量p→與向量a→，b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y），使p→空間向量基本定理（1）定理：如果三個(gè)向量a→、b→、c不共面，那么對(duì)空間任一向量p→，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}使得p→=xa（2）推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間一點(diǎn)P都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x、y、z使＝x+y+z且x+y+z＝1．二、數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算1．兩個(gè)向量的數(shù)量積（1）a→?b→＝|a→||b→|cos（2）a→⊥b→?a→?b→=0（3）|a→|2=a→2，|a2．向量的坐標(biāo)運(yùn)算a→=（a1，a2，a3），b→=（b1，b2向量和a→+b→=（a1+b1，a2+b2，a向量差a→-b→=（a1﹣b1，a2﹣b2，a數(shù)量積a→?b→=a1b1+a2b2+a共線a→∥b→?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈垂直a→⊥b→?a1b1+a2b2+a3b3夾角公式cos＜a→，11．平面的法向量【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、直線的方向向量：空間中任意一條直線l的位置可以由l上一個(gè)定點(diǎn)A以及一個(gè)定方向確定．直線l上的向量e→以及與e→共線的向量叫做直線①一條直線l有無(wú)窮多個(gè)方向向量，這些方向向量之間互相平行．②直線l的方向向量也是所有與l平行的直線的方向向量．2、方向向量的求法：可根據(jù)直線l上的任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)寫出直線l的一個(gè)方向向量．3、平面的法向量：由于垂直于同一平面的直線是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直線的方向向量來(lái)刻畫平面的“方向”．如果表示向量n→的有向線段所在直線垂直于平面α，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作n→⊥α，如果n→⊥α，那么向量n①法向量一定是非零向量；②一個(gè)平面α有無(wú)窮多個(gè)法向量，這些法向量之間互相平行；③向量n→是平面的法向量，向量m→是與平面平行或在平面內(nèi)，則