2024-2025學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)蘇教版期中必刷?？碱}之排列

第18頁(yè)（共18頁(yè)）2024-2025學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)蘇教版（2019）期中必刷?？碱}之排列一．選擇題（共5小題）1．（2025?四川開(kāi)學(xué)）2024年11月份，文化和旅游部、交通運(yùn)輸部等六部門(mén)共同遵選出第二批68個(gè)交通運(yùn)輸與旅劇游融合發(fā)展示范案例，并正式公布．四川3個(gè)案例——“川九”旅游公路、夜游錦江（活水長(zhǎng)公園一東湖公園段）、“熊貓”旅游列車(chē)入選．甲、乙等四人準(zhǔn)備各自從上述3個(gè)案例的路線中選一條，寒假各自按自己選擇的路線去旅游，且甲、乙結(jié)伴而行（甲、乙選擇的路線相同），則不同的選擇方案有（）A．6種 B．9種 C．12種 D．27種2．（2025?重慶模擬）現(xiàn)有A，B，C，D，E五人站成一排，則A，B相鄰且C，D不相鄰的排法種數(shù)共有（）A．6 B．12 C．24 D．483．（2024秋?商水縣期末）“City不City”是一個(gè)今年在網(wǎng)絡(luò)上迅速走紅的流行語(yǔ)，這句流行語(yǔ)也成為了外國(guó)游客表達(dá)對(duì)中國(guó)城市深刻印象的一種新穎方式．現(xiàn)將一對(duì)C，一對(duì)i，一對(duì)t，一對(duì)y重新組合排成一行，若至多有2對(duì)相同的字母相鄰（如CCiityty，CCitiyty等），則不同的排法有（）A．2124種 B．2148種 C．2352種 D．2420種4．（2025?南京模擬）有4輛車(chē)停放5個(gè)并排車(chē)位，貨車(chē)甲車(chē)體較寬，停放時(shí)需要占兩個(gè)車(chē)位，并且乙車(chē)與貨車(chē)甲相鄰?fù)７?，則共有多少種停放方法？（）A．8 B．12 C．16 D．105．（2025?廣西開(kāi)學(xué)）文娛晚會(huì)中，學(xué)生的節(jié)目有6個(gè)，已經(jīng)排好出場(chǎng)順序，現(xiàn)臨時(shí)增加2個(gè)教師的節(jié)目，如果教師的節(jié)目既不排在第一個(gè)，也不排在最后一個(gè)，并且6個(gè)學(xué)生的節(jié)目先后出場(chǎng)順序不變，則晚會(huì)的出場(chǎng)順序的種數(shù)為（）A．30 B．42 C．56 D．3960二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?惠山區(qū)校級(jí)期末）某學(xué)校高二年級(jí)數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組中有男生5人，女生3人，則下列說(shuō)法正確的是（）A．從中選2人，1人做正組長(zhǎng)，1人做副組長(zhǎng)，共有64種不同的選法 B．從中選2人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，其中男、女生各1人，共有15種不同的選法 C．將這8名學(xué)生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320種 D．8名學(xué)生排成一排，已知5名男生已排好，現(xiàn)將3名女生插入隊(duì)伍中，則共有336種排法（多選）7．（2024秋?龍巖期末）已知n是正整數(shù)，則（）A．A6B．C5C．A10D．C（多選）8．（2024秋?長(zhǎng)沙縣校級(jí)期末）中國(guó)的五岳是指在中國(guó)境內(nèi)的五座名山，坐落于東西南北中五個(gè)方位，分別是東岳泰山、西岳華山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山．小明與其父母共3人計(jì)劃在假期出游，每人選一個(gè)地方，則（）A．3人選擇的地點(diǎn)均不同的方法總數(shù)為60 B．恰有2人選一個(gè)地方的方法總數(shù)為15 C．恰有1人選泰山的概率是48125D．若小明已選擇去泰山，其父母至少有一人選擇去泰山的概率為16三．填空題（共4小題）9．（2025?長(zhǎng)沙校級(jí)開(kāi)學(xué)）我校田徑隊(duì)有十名隊(duì)員，分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，J，K，為完成某訓(xùn)練任務(wù)，現(xiàn)將十名隊(duì)員分成甲、乙兩隊(duì)．其中將A，B，C，D，E五人排成一行形成甲隊(duì)，要求A與B相鄰，C在D的左邊，剩下的五位同學(xué)排成一行形成乙隊(duì)，要求F與G不相鄰，則不同的排列方法種數(shù)為．10．（2024秋?江西期末）現(xiàn)將8個(gè)體積相同但質(zhì)量均不同的小球放入恰好能容納8個(gè)小球且底面圓直徑與小球直徑相同的圓柱形卡槽內(nèi)，這8個(gè)小球分別為2個(gè)紅球、4個(gè)白球、2個(gè)黑球，若4個(gè)白球互不相鄰，且其中一個(gè)白球不能放入卡槽的兩端，則共有種不同的放法；若2個(gè)紅球之間恰好有白球和黑球各1個(gè)，則共有種不同的放法．11．（2024秋?焦作期末）第13屆中國(guó)電子信息博覽會(huì)將于2025年4月在深圳舉行．某公司要從A，B，C，D，E，F(xiàn)共6個(gè)不同的展位中選3個(gè)分別展示甲、乙、丙3種不同的電子產(chǎn)品，且主推產(chǎn)品甲必須在A展位，則共有種不同的展示方法．12．（2025?廣東一模）如圖，左邊是編號(hào)為1、2、3、4的A型鋼板，右邊是編號(hào)為甲、乙、丙的B型鋼板，現(xiàn)將兩堆鋼板自上而下地堆放在一起．則B型鋼板均不相鄰的放法共種；乙號(hào)鋼板上方的A型鋼板的編號(hào)之和與其下方的A型鋼板的編號(hào)之和相等的放法共種．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?撫順期末）在2名指導(dǎo)老師的帶領(lǐng)下，4名大學(xué)生（男生2名，女生2名）志愿者深入鄉(xiāng)村，開(kāi)啟了支教之旅．他們?yōu)猷l(xiāng)村的孩子們精心設(shè)計(jì)了閱讀、繪畫(huà)、心理輔導(dǎo)等多元化課程，并組織了豐富多彩的文體游戲．支教結(jié)束后，現(xiàn)讓這6名師生站成一排進(jìn)行合影，在下列情況下，各有多少種不同的站法？（1）2名指導(dǎo)老師相鄰且站正中間，2名女大學(xué)生相鄰；（2）2名男大學(xué)生互不相鄰，且男大學(xué)生甲不站最左側(cè)；（3）2名指導(dǎo)老師之間恰有1名女大學(xué)生和1名男大學(xué)生．14．（2024秋?衡水期末）話說(shuō)唐僧師徒四人去西天取經(jīng)，某日路上捉了妖怪甲和妖怪乙，可是取經(jīng)路上，兇險(xiǎn)頗多，那么六位如何站位各人有自己的想法．（結(jié)果用數(shù)值表示）（1）唐僧說(shuō)：“徒兒們，妖怪本性不錯(cuò)，我們六個(gè)隨便站吧．”請(qǐng)問(wèn)一共有多少種站法．（2）八戒提出：兩只妖怪不能站在排頭和排尾，否則他們會(huì)逃走！那么按照八戒的想法，一共有多少種站法．（3）悟空說(shuō)：“師傅！師傅！你必須和我站在一起！如果怕妖怪逃走，讓八戒和妖怪站在一起，并且八戒在妖怪中間！”按照悟空的說(shuō)法，請(qǐng)問(wèn)一共有多少種站法．15．（2024秋?定西期末）甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)站成一排拍照．（1）甲、乙兩人不相鄰的站法共有多少種？（2）甲不站排頭或排尾，且甲、乙兩人相鄰的站法共有多少種？

2024-2025學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)蘇教版（2019）期中必刷?？碱}之排列參考答案與試題解析題號(hào)12345答案DCCBA一．選擇題（共5小題）1．（2025?四川開(kāi)學(xué)）2024年11月份，文化和旅游部、交通運(yùn)輸部等六部門(mén)共同遵選出第二批68個(gè)交通運(yùn)輸與旅劇游融合發(fā)展示范案例，并正式公布．四川3個(gè)案例——“川九”旅游公路、夜游錦江（活水長(zhǎng)公園一東湖公園段）、“熊貓”旅游列車(chē)入選．甲、乙等四人準(zhǔn)備各自從上述3個(gè)案例的路線中選一條，寒假各自按自己選擇的路線去旅游，且甲、乙結(jié)伴而行（甲、乙選擇的路線相同），則不同的選擇方案有（）A．6種 B．9種 C．12種 D．27種【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單排列問(wèn)題．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合．【答案】D【分析】根據(jù)題意甲、乙結(jié)伴而行，可將甲，乙看作一個(gè)整體，與剩下2人進(jìn)行選擇線路，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可解．【解答】解：根據(jù)題意，甲、乙結(jié)伴而行，可將甲，乙看作一個(gè)整體，與剩下2人從3個(gè)案例的路線中選一條，共有33＝27種．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查計(jì)數(shù)原理，考查邏輯推理的核心素養(yǎng)，屬于中檔題．2．（2025?重慶模擬）現(xiàn)有A，B，C，D，E五人站成一排，則A，B相鄰且C，D不相鄰的排法種數(shù)共有（）A．6 B．12 C．24 D．48【考點(diǎn)】部分元素不相鄰的排列問(wèn)題．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)排列數(shù)以及分步計(jì)數(shù)原理即可求解．【解答】解：已知A，B，C，D，E五人站成一排，要求A，B相鄰且C，D不相鄰，將A，B看成一個(gè)整體，則A，B的排列方法有A2然后將這個(gè)整體與E進(jìn)行全排列，則不同的排列方式有A2最后將C，D插入到三個(gè)空中的兩個(gè)中，有A3根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可知排法種數(shù)為A2故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了捆綁法及插空法，重點(diǎn)考查了分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬基礎(chǔ)題．3．（2024秋?商水縣期末）“City不City”是一個(gè)今年在網(wǎng)絡(luò)上迅速走紅的流行語(yǔ)，這句流行語(yǔ)也成為了外國(guó)游客表達(dá)對(duì)中國(guó)城市深刻印象的一種新穎方式．現(xiàn)將一對(duì)C，一對(duì)i，一對(duì)t，一對(duì)y重新組合排成一行，若至多有2對(duì)相同的字母相鄰（如CCiityty，CCitiyty等），則不同的排法有（）A．2124種 B．2148種 C．2352種 D．2420種【考點(diǎn)】部分位置的元素有限制的排列問(wèn)題．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】采用間接法求解，先找出所有可能的排列情況，再排除不符合“至多有2對(duì)相同字母相等B''這一條件的排列，從而得到符合要求的排法，然后進(jìn)行全排列計(jì)算：由于存在重復(fù)字母，在計(jì)算8個(gè)字母的全排列時(shí)，需依據(jù)有重復(fù)元素的排列公式，消除重復(fù)計(jì)算的部分，得到實(shí)際的全排列情況數(shù)．再對(duì)不符合情況分析，最后得出結(jié)果：用總的全排列情況數(shù)減去上述兩種不符合要求的排法數(shù)，得到滿足條件的排法數(shù)，完成問(wèn)題求解．【解答】解：①求8個(gè)字母的全排列情況因?yàn)?個(gè)位置排8個(gè)元素全排列是8!，但這里有4組重復(fù)的字母，每組2個(gè)相同字母，所以8個(gè)字母全排列的情況數(shù)為8!2!×2!×2!×2!=②求3對(duì)相同字母相鄰的情況，先將每對(duì)字母視為一個(gè)整體，共4個(gè)整體，恰好3對(duì)相鄰的情況：從4對(duì)中選3對(duì)視為整體，有C433個(gè)整體的排列數(shù)為3!種，剩余兩個(gè)字母需插入3個(gè)整體形成的4個(gè)間隙中且不相鄰，插入方式為C42=6種，總數(shù)為4×3!×6③求4對(duì)相同字母相鄰的情況把4組相鄰字母看作4個(gè)大元素（每組內(nèi)部?jī)蓚€(gè)字母相鄰）全排列，有A4④求至多有2對(duì)相同字母相鄰的排法數(shù)用全排列的情況數(shù)減去3對(duì)相同字母相鄰和4對(duì)相同字母相鄰的情況數(shù)，即2520﹣144﹣24＝2352種．綜上所述：不同的排法有2352種．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．（2025?南京模擬）有4輛車(chē)停放5個(gè)并排車(chē)位，貨車(chē)甲車(chē)體較寬，停放時(shí)需要占兩個(gè)車(chē)位，并且乙車(chē)與貨車(chē)甲相鄰?fù)７?，則共有多少種停放方法？（）A．8 B．12 C．16 D．10【考點(diǎn)】部分元素相鄰的排列問(wèn)題．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】結(jié)合相鄰問(wèn)題捆綁法求解．【解答】解：有4輛車(chē)停放5個(gè)并排車(chē)位，貨車(chē)甲車(chē)體較寬，停放時(shí)需要占兩個(gè)車(chē)位，并且乙車(chē)與貨車(chē)甲相鄰?fù)７?，則共有A22故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，重點(diǎn)考查了捆綁法，屬基礎(chǔ)題．5．（2025?廣西開(kāi)學(xué)）文娛晚會(huì)中，學(xué)生的節(jié)目有6個(gè)，已經(jīng)排好出場(chǎng)順序，現(xiàn)臨時(shí)增加2個(gè)教師的節(jié)目，如果教師的節(jié)目既不排在第一個(gè)，也不排在最后一個(gè)，并且6個(gè)學(xué)生的節(jié)目先后出場(chǎng)順序不變，則晚會(huì)的出場(chǎng)順序的種數(shù)為（）A．30 B．42 C．56 D．3960【考點(diǎn)】部分位置的元素有限制的排列問(wèn)題．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】將教師的兩個(gè)節(jié)目按照題目要求依次安排到學(xué)生的節(jié)目中，再利用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解．【解答】解：根據(jù)題意，教師的節(jié)目既不排在第一個(gè)，也不排在最后一個(gè)，并且6個(gè)學(xué)生的節(jié)目先后出場(chǎng)順序不變，則6個(gè)學(xué)生的節(jié)目之間有5個(gè)空位，因?yàn)榻處煹墓?jié)目既不排在第一個(gè)，也不排在最后一個(gè)，則先將第一個(gè)教師節(jié)目安排到5個(gè)空位中，有5種方法；再將第二個(gè)教師的節(jié)目安排到7個(gè)節(jié)目之間的6個(gè)空位中，有6種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，共有5×6＝30種方法．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?惠山區(qū)校級(jí)期末）某學(xué)校高二年級(jí)數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組中有男生5人，女生3人，則下列說(shuō)法正確的是（）A．從中選2人，1人做正組長(zhǎng)，1人做副組長(zhǎng)，共有64種不同的選法 B．從中選2人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，其中男、女生各1人，共有15種不同的選法 C．將這8名學(xué)生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320種 D．8名學(xué)生排成一排，已知5名男生已排好，現(xiàn)將3名女生插入隊(duì)伍中，則共有336種排法【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單排列問(wèn)題．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】BCD【分析】選項(xiàng)A可以看作從8個(gè)人中取2個(gè)人的排列；選項(xiàng)B先從男生中選1個(gè)有A51種情況，再?gòu)呐羞x1人有A31種情況，進(jìn)而可得；選項(xiàng)C先排3位女生有A33種情況，再把3位女生看成1個(gè)人與5個(gè)男生一起排列有A66種情況，進(jìn)而可得；選項(xiàng)D依次把3個(gè)女生插入隊(duì)伍中，共有【解答】解：選項(xiàng)A：從8個(gè)人中選2人，1人做正組長(zhǎng)，1人做副組長(zhǎng)選法共有A82=56選項(xiàng)B：從8個(gè)人中選2人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，其中男、女生各1人選法共有A51A選項(xiàng)C：選排3位女生有A33種情況，再把3位女生看成1個(gè)人與5個(gè)男生一起排列有共有A33A選項(xiàng)D：8名學(xué)生排成一排，已知5名男生已排好，先排第一個(gè)女生可以排5個(gè)男生中間的4個(gè)空或2頭，有6種情況，再排第二個(gè)女生可以排到排好的6個(gè)人中間的5個(gè)空或2頭，有7種情況，最后排第三個(gè)女生可以排到排好的7個(gè)人中間的6個(gè)空或2頭，有8種情況，共有6×7×8＝336種情況，故D正確．故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了排列組合知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．（多選）7．（2024秋?龍巖期末）已知n是正整數(shù)，則（）A．A6B．C5C．A10D．C【考點(diǎn)】排列及排列數(shù)公式；組合及組合數(shù)公式．【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】AB【分析】由組合數(shù)、排列數(shù)的計(jì)算公式逐個(gè)判斷即可．【解答】解：對(duì)于A，A62=6×5=30對(duì)于B，C53+對(duì)于C，A104=10×9×8×7≠10×9×8×7×6×5=對(duì)于D，由Cn0+Cn故選：AB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查組合數(shù)、排列數(shù)的計(jì)算公式，屬于中檔題．（多選）8．（2024秋?長(zhǎng)沙縣校級(jí)期末）中國(guó)的五岳是指在中國(guó)境內(nèi)的五座名山，坐落于東西南北中五個(gè)方位，分別是東岳泰山、西岳華山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山．小明與其父母共3人計(jì)劃在假期出游，每人選一個(gè)地方，則（）A．3人選擇的地點(diǎn)均不同的方法總數(shù)為60 B．恰有2人選一個(gè)地方的方法總數(shù)為15 C．恰有1人選泰山的概率是48125D．若小明已選擇去泰山，其父母至少有一人選擇去泰山的概率為16【考點(diǎn)】部分位置的元素有限制的排列問(wèn)題；古典概型及其概率計(jì)算公式．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】AC【分析】由排列及排列數(shù)的計(jì)算即可判斷A；由分步計(jì)數(shù)乘法原理及組合即可判斷B；由古典概型概率公式即可判斷C；由對(duì)立事件的概率即可判斷D．【解答】解：小明與其父母共3人計(jì)劃在假期出游，每人在東岳泰山、西岳華山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山中選一個(gè)地方，對(duì)于A，3人選擇的地點(diǎn)均不同的方法總數(shù)為A5故A正確；對(duì)于B，恰有2人選一個(gè)地方的方法總數(shù)為C3故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，恰有1人選泰山的方法總數(shù)為C3又所有的方法數(shù)為53＝125，所以恰有1人選泰山的概率是48125故C正確；對(duì)于D，父母都不選擇去泰山的概率為45所以小明已選擇去泰山的情況下，其父母至少有一人選擇去泰山的概率1-故D錯(cuò)誤．故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，重點(diǎn)考查了古典概型概率公式，屬中檔題．三．填空題（共4小題）9．（2025?長(zhǎng)沙校級(jí)開(kāi)學(xué)）我校田徑隊(duì)有十名隊(duì)員，分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，J，K，為完成某訓(xùn)練任務(wù)，現(xiàn)將十名隊(duì)員分成甲、乙兩隊(duì)．其中將A，B，C，D，E五人排成一行形成甲隊(duì)，要求A與B相鄰，C在D的左邊，剩下的五位同學(xué)排成一行形成乙隊(duì)，要求F與G不相鄰，則不同的排列方法種數(shù)為1728．【考點(diǎn)】部分元素不相鄰的排列問(wèn)題．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】1728．【分析】甲隊(duì)利用捆綁法和除序法計(jì)算，乙隊(duì)利用插空法計(jì)算，最后利用分步乘法原理計(jì)算即可．【解答】解：由題意將A，B，C，D，E五人排成一行形成甲隊(duì)，要求A與B相鄰，C在D的左邊，剩下的五位同學(xué)排成一行形成乙隊(duì)，要求F與G不相鄰，可分兩步進(jìn)行：甲隊(duì)，先用捆綁法，將A與B捆綁有A22=2種排法，將A與B看作一個(gè)整體，再用除序法得A44A2乙隊(duì)，利用插空法得A3按照分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，一共有24×72＝1728種排法．故答案為：1728．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列組合的運(yùn)用，是中檔題．10．（2024秋?江西期末）現(xiàn)將8個(gè)體積相同但質(zhì)量均不同的小球放入恰好能容納8個(gè)小球且底面圓直徑與小球直徑相同的圓柱形卡槽內(nèi)，這8個(gè)小球分別為2個(gè)紅球、4個(gè)白球、2個(gè)黑球，若4個(gè)白球互不相鄰，且其中一個(gè)白球不能放入卡槽的兩端，則共有1728種不同的放法；若2個(gè)紅球之間恰好有白球和黑球各1個(gè)，則共有3840種不同的放法．【考點(diǎn)】部分元素不相鄰的排列問(wèn)題．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】1728；3840．【分析】依題意可將把8個(gè)小球放入卡槽內(nèi)的過(guò)程轉(zhuǎn)化為這8個(gè)小球位置上的排列組合問(wèn)題，若4個(gè)白球互不相鄰，且其中一個(gè)白球不能放入卡槽的兩端，先排紅球和黑球，再利用插空法排白球，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；若2個(gè)紅球之間恰好有白球和黑球各1個(gè)，先任選1個(gè)白球，1個(gè)黑球放入2個(gè)紅球中間，再將1個(gè)白球，1個(gè)黑球和2個(gè)紅球進(jìn)行捆綁與剩余的4個(gè)小球進(jìn)行全排列，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得．【解答】解：將8個(gè)體積相同但質(zhì)量均不同的小球放入恰好能容納8個(gè)小球且底面圓直徑與小球直徑相同的圓柱形卡槽內(nèi)，這8個(gè)小球分別為2個(gè)紅球、4個(gè)白球、2個(gè)黑球，若4個(gè)白球互不相鄰，且其中一個(gè)白球不能放入卡槽的兩端，則把8個(gè)小球放入卡槽內(nèi)的過(guò)程轉(zhuǎn)化為這8個(gè)小球位置上的排列組合問(wèn)題，若4個(gè)白球互不相鄰，且其中一個(gè)白球不能放入卡槽的兩端，先排紅球和黑球共有A44種方法，再排其中1個(gè)白球有最后排剩余的3個(gè)白球有A43種方法，所以共有A443×若2個(gè)紅球之間恰好有白球和黑球各1個(gè)，先任選1個(gè)白球，1個(gè)黑球放入2個(gè)紅球中間，有C2又2個(gè)紅球的放法有A2再將1個(gè)白球，1個(gè)黑球和2個(gè)紅球進(jìn)行捆綁與剩余的4個(gè)小球進(jìn)行全排列有A5所以共有C2故答案為：1728；3840．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，重點(diǎn)考查了分類(lèi)加法及分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬中檔題．11．（2024秋?焦作期末）第13屆中國(guó)電子信息博覽會(huì)將于2025年4月在深圳舉行．某公司要從A，B，C，D，E，F(xiàn)共6個(gè)不同的展位中選3個(gè)分別展示甲、乙、丙3種不同的電子產(chǎn)品，且主推產(chǎn)品甲必須在A展位，則共有20種不同的展示方法．【考點(diǎn)】部分位置的元素有限制的排列問(wèn)題．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】20．【分析】運(yùn)用分步乘法原理，結(jié)合排列知識(shí)計(jì)算即可．【解答】解：從A，B，C，D，E，F(xiàn)共6個(gè)不同的展位中選3個(gè)分別展示甲、乙、丙3種不同的電子產(chǎn)品，且產(chǎn)品甲必須在A展位，所以需從B，C，D，E，F(xiàn)共5個(gè)不同的展位中任選2個(gè)分別展示乙、丙，故共有A5故答案為：20．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，重點(diǎn)考查了分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬中檔題．12．（2025?廣東一模）如圖，左邊是編號(hào)為1、2、3、4的A型鋼板，右邊是編號(hào)為甲、乙、丙的B型鋼板，現(xiàn)將兩堆鋼板自上而下地堆放在一起．則B型鋼板均不相鄰的放法共1440種；乙號(hào)鋼板上方的A型鋼板的編號(hào)之和與其下方的A型鋼板的編號(hào)之和相等的放法共336種．【考點(diǎn)】部分元素不相鄰的排列問(wèn)題．【專(zhuān)題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】1440，336．【分析】第一空：用插空法分析：先將A型鋼板放好，再將B型鋼板插在其空位中，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；第二空：分析可得乙號(hào)鋼板上方的A型鋼板的編號(hào)之和與其下方的A型鋼板的編號(hào)之和相等的情況，再將甲號(hào)、丙號(hào)鋼板安排在空位中，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，第一空：先將A型鋼板放好，有A44＝24種放法，排好后，有5個(gè)空位，再將B型鋼板插在其空位中，有A53＝60種情況，則有24×60＝1440種不同的放法，第二空：要求乙號(hào)鋼板上方的A型鋼板的編號(hào)之和與其下方的A型鋼板的編號(hào)之和相等，則乙號(hào)鋼板上方為1、4的A型鋼板，下方為2、3的A型鋼板或者上方為2、3的A型鋼板，下方為1、4的A型鋼板，則A型鋼板的放法有A22×A22×A22＝8種，排好后，有6個(gè)空位，則甲號(hào)鋼板有6種放法，排好后，有7個(gè)空位，則丙號(hào)鋼板有7種放法，則有8×7×6＝336種放法；故答案為：1440，336．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步分類(lèi)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于中檔題．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?撫順期末）在2名指導(dǎo)老師的帶領(lǐng)下，4名大學(xué)生（男生2名，女生2名）志愿者深入鄉(xiāng)村，開(kāi)啟了支教之旅．他們?yōu)猷l(xiāng)村的孩子們精心設(shè)計(jì)了閱讀、繪畫(huà)、心理輔導(dǎo)等多元化課程，并組織了豐富多彩的文體游戲．支教結(jié)束后，現(xiàn)讓這6名師生站成一排進(jìn)行合影，在下列情況下，各有多少種不同的站法？（1）2名指導(dǎo)老師相鄰且站正中間，2名女大學(xué)生相鄰；（2）2名男大學(xué)生互不相鄰，且男大學(xué)生甲不站最左側(cè)；（3）2名指導(dǎo)老師之間恰有1名女大學(xué)生和1名男大學(xué)生．【考點(diǎn)】部分元素不相鄰的排列問(wèn)題；部分元素相鄰的排列問(wèn)題．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】（1）16．（2）384．（3）96．【分析】（1）利用分步計(jì)數(shù)原理即可；（2）利用插空法來(lái)排列即可；（3）利用捆綁法來(lái)排列即可．【解答】解：（1）這6名師生站成一排進(jìn)行合影，2名指導(dǎo)老師相鄰且站正中間，2名女大學(xué)生相鄰，先排2名指導(dǎo)老師，有A22再排2名女大學(xué)生，有C21最后排剩余的2名男大學(xué)生，有A22所以共有A2（2）先排2名指導(dǎo)老師和2名女大學(xué)生，有A44再用插空法排男大學(xué)生甲，除去最左側(cè)有C41最后繼續(xù)用插空法，排剩余的1名男大學(xué)生，有C41所以2名男大學(xué)生互不相鄰，且男大學(xué)生甲不站最左側(cè)，共有A4（3）先選1名女大學(xué)生和1名男大學(xué)生站2名指導(dǎo)老師中間，有C21再排2名指導(dǎo)老師，有A22最后將選中的1名女大學(xué)生，1名男大學(xué)生及2名指導(dǎo)老師視為一個(gè)整體，利用捆綁法與剩余的2名大學(xué)生全排列，有A33所以2名指導(dǎo)老師之間恰有1名女大學(xué)生和1名男大學(xué)生，共有C2【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列、組合的實(shí)際應(yīng)用，是中檔題．14．（2024秋?衡水期末）話說(shuō)唐僧師徒四人去西天取經(jīng)，某日路上捉了妖怪甲和妖怪乙，可是取經(jīng)路上，兇險(xiǎn)頗多，那么六位如何站位各人有自己的想法．（結(jié)果用數(shù)值表示）（1）唐僧說(shuō)：“徒兒們，妖怪本性不錯(cuò)，我們六個(gè)隨便站吧．”請(qǐng)問(wèn)一共有多少種站法．（2）八戒提出：兩只妖怪不能站在排頭和排尾，否則他們會(huì)逃走！那么按照八戒的想法，一共有多少種站法．（3）悟空說(shuō)：“師傅！師傅！你必須和我站在一起！如果怕妖怪逃走，讓八戒和妖怪站在一起，并且八戒在妖怪中間！”按照悟空的說(shuō)法，請(qǐng)問(wèn)一共有多少種站法．【考點(diǎn)】部分位置的元素有限制的排列問(wèn)題．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】（1）720；（2）288；（3）24．【分析】（1）因是六個(gè)人隨便站，即相當(dāng)于六個(gè)人在六個(gè)空位上全排；（2）因兩只妖怪不站兩頭，運(yùn)用特優(yōu)法分步完成，第一步在中間四個(gè)位置上排好兩個(gè)妖怪，第二步在剩余四個(gè)位置排其他四個(gè)人，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理即得；（3）因師傅和悟空要站一起，八戒要站在兩個(gè)妖怪中間，沙僧不管，所以應(yīng)先按照1，2，（3分）成三組，悟空和師傅在分配好的兩個(gè)位置上有個(gè)全排，八戒在兩只妖怪之間，兩只妖怪有個(gè)全排，最后位置則是沙僧的．【解答】解：（1）六個(gè)人隨便站，即六個(gè)人進(jìn)行全排列，故符合條件的排法共有A6（2）因總共有六個(gè)位置，兩只妖怪不能站在排頭和排尾，先將兩只妖怪排好，故有A4剩下四個(gè)人四個(gè)位置，故有A4故共有A4（3）先將六人分成三組，且這三組人數(shù)分別為1、2、3，并排列，故有A3師傅和悟空站在一起共有A22種排法，八戒站在兩只妖怪中間共有故共有A3【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，重點(diǎn)考查了分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理及分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬中檔題．15．（2024秋?定西期末）甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)站成一排拍照．（1）甲、乙兩人不相鄰的站法共有多少種？（2）甲不站排頭或排尾，且甲、乙兩人相鄰的站法共有多少種？【考點(diǎn)】部分元素不相鄰的排列問(wèn)題；部分元素相鄰的排列問(wèn)題．【專(zhuān)題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】（1）72；（2）36．【分析】（1）先排丙、丁、戊，再插空排甲、乙，結(jié)合排列數(shù)運(yùn)算求解；（2）分乙站在排頭或排尾和甲、乙都不站排頭或排尾兩種情況，結(jié)合排列數(shù)運(yùn)算求解．【解答】解（1）根據(jù)題意，先排丙、丁、戊，有A33再將甲、乙安排在三人的空位中，有A42故甲、乙兩人不相鄰的站法共有6×12＝72種．（2）根據(jù)題意，分2種情況討論：若乙站在排頭或排尾，則有2×A若甲、乙都不站排頭或排尾，則有2×A故甲不站排頭或排尾，且甲、乙兩人相鄰的站法共有12+24＝36種．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步、分類(lèi)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

考點(diǎn)卡片1．古典概型及其概率計(jì)算公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義：如果一個(gè)試驗(yàn)具有下列特征：（1）有限性：每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果（即基本事件）只有有限個(gè)；（2）等可能性：每次試驗(yàn)中，各基本事件的發(fā)生都是等可能的．則稱這種隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型為古典概型．*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個(gè)重要特征，所以求事件的概率就可以不通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，而只要通過(guò)對(duì)一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分析和計(jì)算即可．2．古典概率的計(jì)算公式如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是1n如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率為P（A）=m【解題方法點(diǎn)撥】1．注意要點(diǎn)：解決古典概型的問(wèn)題的關(guān)鍵是：分清基本事件個(gè)數(shù)n與事件A中所包含的基本事件數(shù)．因此要注意清楚以下三個(gè)方面：（1）本試驗(yàn)是否具有等可能性；（2）本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；（3）事件A是什么．2．解題實(shí)現(xiàn)步驟：（1）仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；（3）分別求出基本事件的個(gè)數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)m；（4）利用公式P（A）=mn求出事件3．解題方法技巧：（1）利用對(duì)立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．2．排列及排列數(shù)公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義（1）排列：一般地，從n個(gè)不同的元素中任取m（m≤n）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．（其中被取的對(duì)象叫做元素）（2）排列數(shù)：從n個(gè)不同的元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)An2．相關(guān)定義：（1）全排列：一般地，n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)不同元素的一個(gè)全排列．（2）n的階乘：正整數(shù)由1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n!表示．（規(guī)定0!＝1）3．排列數(shù)公式（1）排列計(jì)算公式：Anm=n(n-1)(n-2)?(n（2）全排列公式：Ann=n?（n﹣1）?（n﹣2）?…?3?2?1＝3．簡(jiǎn)單排列問(wèn)題【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣簡(jiǎn)單排列問(wèn)題通常涉及無(wú)任何限制條件的排列情況．n個(gè)不同元素的全排列總數(shù)為An﹣該類(lèi)問(wèn)題通常是排列問(wèn)題的基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)對(duì)基本排列公式的理解與應(yīng)用．【解題方法點(diǎn)撥】﹣直接應(yīng)用排列公式進(jìn)行計(jì)算．對(duì)于全排列問(wèn)題，計(jì)算階乘即可得到排列數(shù)．﹣在計(jì)算過(guò)程中，注意排列數(shù)中的階乘表示法，并理解排