湖南省長(zhǎng)沙一中城南中學(xué)2025年高考數(shù)學(xué)一模試卷（含解析）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2025年湖南省長(zhǎng)沙一中城南中學(xué)高考數(shù)學(xué)一模試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x|x|+x+3|x+3|A.{?2} B.{?2,?1,1,2} C.{?1,1} D.{?2,?1}2.已知復(fù)數(shù)z滿足(1?i)z=2+i，則|z|=(

)A.102 B.5 C.3.在四面體ABCD中，BC=2，∠ABC=∠BCD=90°，且AB與CD所成的角為60°.若該四面體ABCD的體積為332，則它的外接球半徑的最小值為A.3 B.2 C.3 D.4.已知等比數(shù)列{an}中，a1+a3A.26 B.32 C.512 D.10245.函數(shù)f(x)=x2?sinA.B.C.D.6.已知函數(shù)f(x)=(a?2)x?1,x≤1logax,x>1，若f(x)在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)A.(0,1) B.(13,12]7.在平行四邊形ABCD中，E是對(duì)角線AC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F在BE上，若AF=xAB+13ADA.23

B.45

C.568.1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(ICME)會(huì)徽，在其主體圖案中選擇兩個(gè)相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形OABC.若AB=BC=1，∠AOB=α，則OC2的值為(

)A.1sin2α+1 B.sin2α+1二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.ω=2

B.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(?2π3,0)對(duì)稱(chēng)

C.將函數(shù)y=2cos(2x+π3)的圖象向右平移π2個(gè)單位得到函數(shù)f(x)的圖象

D.若方程10.下列命題中正確的是(

)A.已知隨機(jī)變量X～B(3,12)，則E(2X+1)=4

B.已知隨機(jī)變量X～N(1,14)，f(x≤0)=f(x≥2)

C.數(shù)據(jù)1，3，4，5，7，8，10的第80百分位數(shù)是8

D.樣本甲中有m件樣品，其方差為s11.已知正方形ABCD在平面直角坐標(biāo)系xOy中，且AC：2x?y+1=0，則直線AB的方程可能為(

)A.x+3y+1=0 B.x?3y+1=0 C.3x+y+1=0 D.3x?y+1=0三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，{bn}是等比數(shù)列，且S13.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)F1(?1,0)，F(xiàn)2(1,0)，若P為平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且|PF14.二項(xiàng)式(x+13x)n四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題12分)

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，3asinC?acosC=c?b．

(1)求A；

(2)若角A的平分線交邊BC于點(diǎn)D，AD=3，求16.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=sinx?aln(b+x)．

(1)若f(x)在x=π處的切線方程為2x+y+2π(ln2π?1)=0，求a、b的值；

(2)若b=1時(shí)，在(?1,π2]上f(x)≥0恒成立，求a17.(本小題12分)

設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}，a4=81，且a3、a4的等差中項(xiàng)為92(a1+a2)．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)若bn=log18.(本小題12分)

如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1，D，E，G分別為A1B1，C1D，AA1的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB上的一點(diǎn)，且BF=3AF，P為線段BC1上不包括端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)．

(1)若P為BC19.(本小題12分)

已知橢圓C1：x2b2+y2a2=1與雙曲線C2：x2a2?y2b2=1(a>b>0)，C1的焦點(diǎn)與C2的焦點(diǎn)間的距離為22，b=1．

(1)求C1與C2的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)P可以作兩條C1與C答案解析1.【答案】D

【解析】解：A={x|x|x|+x+3|x+3|=0}={x|?3<x<0}，

所以A∩Z={?2,?1}．

故選：D．

由題意可得x(x+3)<0，從而可求出集合2.【答案】A

【解析】解：由(1?i)z=2+i，

得z=2+i1?i=(2+i)(1+i)(1?i)(1+i)=12+32i，

則3.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意可將四面體ABCD補(bǔ)形為如圖所示的直三棱柱ABE?FCD：

設(shè)該棱柱上下底面外接圓的圓心分別為O1，O2，且O1O2的中點(diǎn)為O，

設(shè)CD=x，CF=y，外接球半徑記為R，則外接球的球心為O，

因?yàn)锳B與CD所成的角為60°，所以∠DCF=60°或120°，

易知AF//平面BCDE，所以點(diǎn)A到平面BCDE的距離等于點(diǎn)F到平面BCDE的距離，

所以VA?BCD=VF?BCD=13?BC?S△CDF=13×2×(12xysin60°)=36xy=332，

所以xy=9，

在Rt△OCO2中，R4.【答案】D

【解析】【分析】本題主要考查了等比數(shù)列通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，聯(lián)立a1+a1q2【解答】

解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，

因?yàn)閍1+a3=2，a4+a6=16，

所以a1+a1q2=2，a15.【答案】D

【解析】解：由函數(shù)f(x)=x2?sin2x+1ex?e?x，可得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)??∞,0)∪(0,+∞)，

且滿足f(?x)=(?x)2?sin2(?x)+1e?x?ex=?x2?sin2x+1ex?e?x=?f(x)，

所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以B、6.【答案】B

【解析】解：∵f(x)在R上單調(diào)遞增，

∴a?2>0a>1(a?2)×1?1≤loga1，

解得2<a≤3，

∴a?1a+1=a+1?2a+1=1+?2a+1，

∵2<a≤3，3<a+1≤4，

∴14≤1a+1<7.【答案】C

【解析】解：由題可知AE=23(AB+AD)，

∵點(diǎn)F在BE上，

∴AF=λAB+(1?λ)AE，

∴AF=(238.【答案】A

【解析】解：由題意，在直角△ABO中，sinα=ABOB，

即OB=ABsinα=1sinα，

在直角△OBC中，

OC2=OB2+B9.【答案】AB

【解析】解：A項(xiàng)，根據(jù)函數(shù)圖象A=2，由14?2πω=π3?π12，解得ω=2，故A正確；

∴f(x)=2sin(2x+φ)，又函數(shù)過(guò)點(diǎn)(π12,2)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入，即f(π12)=2，

∴π6+φ=2kπ+π2，k∈Z，即φ=2kπ+π3，k∈Z，又|φ|<π2，∴φ=π3，

∴f(x)=2sin(2x+π3)，

B項(xiàng)，當(dāng)x=?2π3時(shí)，f(?2π3)=2sin(?2×2π3+π3)=2sin(?π)=0，

∴f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(?2π3,0)對(duì)稱(chēng)，故B正確；

C項(xiàng)，根據(jù)題意，將函數(shù)y=2cos(2x+π3)的圖象向右平移π2個(gè)單位得到：

y=2cos[2(x?π2)+π3]=2cos(2x?2π3)=2sin(2x?π10.【答案】ABC

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)閄～B(3,12)，所以E(X)=3×12=32，

所以E(2X+1)=2E(X)+1=2×32+1=4，故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)殡S機(jī)變量X～N(1,14)，

所以f(x≤0)=f(x≥2)，故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?×80%=5.6，

所以數(shù)據(jù)1，3，4，5，7，8，10的第80百分位數(shù)是8，故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D，記樣本甲，乙的平均數(shù)分別為x?,y?，由甲乙組成的總體樣本的平均數(shù)為ω?，

則甲乙組成的總體樣本的方差為m11.【答案】BC

【解析】解：直線AC：2x?y+1=0，整理得y=2x+1，由于直線AC的斜率為k=2，

設(shè)直線AB的斜率k1，

利用直線的夾角公式，tan45°=|k1?21+2k1|=1，解得k=13或?3；

故滿足條件的直線方程只有BC，12.【答案】2

【解析】解：因?yàn)楣顬檎龜?shù)的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，{bn}是等比數(shù)列，

又S2=?2(b3+b4)2，S6=6(b1+b2)(b5+b6)=6q(b3+b4)?b3+b4q=6(b3+b4)2，

13.【答案】(x?3)【解析】解：設(shè)P(x,y)，則由|PF1|=2|PF2|，

得(x+1)14.【答案】28

【解析】解：∵(x+13x)n展開(kāi)式中的項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)相同，

∵只有第5項(xiàng)系數(shù)最大

∴展開(kāi)式共有9項(xiàng)

∴n=8

∴(x+13x)n=(x+13x)8展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1=C8rx8?15.【答案】解：(1)根據(jù)3asinC?acosC=c?b，由正弦定理得3sinAsinC?sinAcosC=sinC?sinB，

結(jié)合sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，整理得3sinAsinC+cosAsinC=sinC，

因?yàn)椤鰽BC中，sinC>0，所以3sinA+cosA=1，化簡(jiǎn)得sin(A+π6)=12，

又△ABC中，A+π6∈(π6,7π6)，所以A+π6=5π6，可得A=2π3；

(2)由第(1)問(wèn)的結(jié)論，結(jié)合AD平分∠CAB，可得∠BAD=∠CAD=π3，

因?yàn)镾△ABC【解析】本題主要考查三角恒等變換公式、正弦定理與三角形的面積公式、運(yùn)用基本不等式求最值，屬于中檔題．

(1)利用正弦定理化簡(jiǎn)題中的等式，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)出3sinA+cosA=1，可得sin(A+π6)=12，結(jié)合A∈(0,π)算出角A的大??；

(2)根據(jù)16.【答案】a=2π，b=π；

a=1．

【解析】解：(1)函數(shù)f(x)=sinx?aln(b+x)，則f′(x)=cosx?ab+x，

若f(x)在x=π處的切線方程為2x+y+2π(ln2π?1)=0，

則f′(π)=cosπ?ab+π=?2，

所以ab+π=1，即a=b+π，

f(π)=sinπ?aln(b+π)=?2π+2π(1?ln2π)，

所以aln(b+π)=(b+π)ln(b+π)=2πl(wèi)n2π，

故a=2π，b=π．

(2)f(0)=sin0?aln(1+0)=0，

若(?1,π2]上f(x)≥0恒成立，即f(x)min=f(0)，

故f(0)是f(x)在(?1,π2]上的極小值，所以f′(0)=0，

f′(x)=cosx?a1+x，f′(0)=cos0?a1+0=1?a=0，解得a=1，

下證a=1時(shí)，f(x)min=f(0)，

令g(x)=(1+x)cosx?1，g′(x)=cosx?(1+x)sinx，

①在(0,π2]上g′(x)單調(diào)遞減，g′(0)=1，g′(π2)=?1?π2<0，

由零點(diǎn)存在定理，?x0∈(0,π2)，使得g′(x0)=0，

在(0,x0]上，g′(x)≥0，g(x)單調(diào)遞增，

在[x0,π2)上，g′(x)≤0，g(x)單調(diào)遞減，

g(π2)=?1，g(0)=0，g(x0)>g(0)=0，

由零點(diǎn)存在定理?x1∈(x0,π2)，使得g(x1)=0，

17.【答案】解：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q>0，

由題意可得a3+a4=q2(a1+a2)=9(a1+a2)，解得q=3，

則an=a4【解析】(1)利用已知條件求出數(shù)列{an}的公比，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得an；

(2)化簡(jiǎn)數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求解18.【答案】證明見(jiàn)解析；

18214【解析】(1)證明：如圖，

設(shè)線段AB的中點(diǎn)為O，連接BD，A1O，

在△C1BD中，P為BC1的中點(diǎn)，E為C1D的中點(diǎn)，所以PE/?/BD，

又在矩形A1B1BA中，A1D//OB且A1D=OB，

所以四邊形A1DBO是平行四邊形，所以A1O//BD，

因?yàn)锽F=3AF，O為AB的中點(diǎn)，所以F為AO的中點(diǎn)，

又G為AA1的中點(diǎn)，在△A1AO中有A1O//GF．

所以可得PE/?/GF，又GF?平面CFG，PE?平面CFG，

所以PE/?/平面CFG；

(2)由題意如圖建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AC=4，則C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,4,0)，C1(0,0,4)，G(4,0,2)，F(xiàn)(3,1,0)，

設(shè)P(x,y,z)，且BP=λBC1，則P(0,4?4λ,4λ)，

所以CP=(0,4?4λ,4λ)，

設(shè)平面CFG的法向量為a=(x,y,z)，

因?yàn)镃F=(3,1,0)，CG=(4,0,2)，

由a?CF=0a?CG=0，得3x+y=04x+2z=0，

令x=1，則y=?3，z=?2，所以a=(1,?3,?2)為平面CFG的一個(gè)法向量，

可得CP?a=0×1+(4?4λ)×(?3)+4λ×(?2)=?12+4λ，|CP|=19.【答案】解：(1)由題意可得a2?1+a2+1=22，

解得a2=4，

所以C1：x2+y24=