2025年湖南省高考普通高中名校聯考高考數學一模試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2025年湖南省高考普通高中名校聯考高考一模數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若集合M={x|x2?4x?5≤0}，N={x|?4≤x≤2}，則M∪N=A.[?4,5] B.[?1,3] C.[?4,2] D.[?1,2]2.若復數z=1+i3?i，則1z的虛部為A.?2i B.2i C.2 D.?23.甲同學每次投籃命中的概率為p，在投籃6次的實驗中，命中次數X的均值為2.4，則X的方差為(

)A.1.24 B.1.44 C.1.2 D.0.964.若函數f(x)=emx?m在區(qū)間(2,+∞)上單調遞增，則實數m的取值范圍為A.[?2,0) B.(?∞,?2] C.(?∞,0) D.[2,+∞)5.已知橢圓M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，點P在M上，QA.33 B.13 C.16.已知正四面體的高等于球O的直徑，則正四面體的體積與球O的體積之比為(

)A.334π B.322π7.在△ABC中，sin(A?C)+sinC=sinB，且BC邊上的高為32，則A.△ABC的面積有最大值，且最大值為32

B.△ABC的面積有最大值，且最大值為34

C.△ABC的面積有最小值，且最小值為38.已知函數f(x)的定義域為R，函數F(x)=f(1+x)?(1+x)為偶函數，函數G(x)=f(2+3x)?1為奇函數，則下列說法錯誤的是(

)A.函數f(x)的一個對稱中心為(2,1) B.f(0)=?1

C.函數f(x)為周期函數，且一個周期為4 D.f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=6二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.設公比為q的等比數列{an}的前n項和為Sn，若數列{an}滿足a1A.a2>0 B.0<q<1 C.an+110.將函數f(x)=2sin(x+π6)圖象的橫坐標縮短為原來的12，縱坐標不變，得到函數g(x)A.f(x+π3)為偶函數

B.g(x)的最小正周期為4π

C.f(x)與g(x)在(π3,2π3)上均單調遞減11.若函數f(x)=x3+axA.f(x)可能只有1個極值點

B.當f(x)有極值點時，a2>3b

C.存在a，使得點(0,f(0))為曲線y=f(x)的對稱中心

D.當不等式f(x)<0的解集為(?∞,1)∪(1,2)時，f(x)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知{an+3}是等比數列，a1=?2，a2=?113.甲、乙玩一個游戲，游戲規(guī)則如下：一個盒子中裝有標號為1，2，3，4，5，6的6個大小質地完全相同的小球，甲先從盒子中不放回地隨機取一個球，乙緊接著從盒子中不放回地隨機取一個球，比較小球上的數字，數字更大者得1分，數字更小者得0分，以此規(guī)律，直至小球全部取完，總分更多者獲勝.甲獲得3分的概率為______．14.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，若在該正方體的棱上恰有4個點四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

為了研究學生的性別和是否喜歡跳繩的關聯性，隨機調查了某中學的100名學生，整理得到如下列聯表：男學生女學生合計喜歡跳繩353570不喜歡跳繩102030合計4555100(1)依據α=0.1的獨立性檢驗，能否認為學生的性別和是否喜歡運動有關聯？

(2)已知該校學生每分鐘的跳繩個數X～N(170,100)，該校學生經過訓練后，跳繩個數都有明顯進步.假設經過訓練后每人每分鐘的跳繩個數都增加10，該校有1000名學生，預估經過訓練后該校每分鐘的跳繩個數在[170,200]內的人數(結果精確到整數)．

附：χ2=n(ad?bc)α0.10.050.01x2.7063.8416.635若X～N(μ,σ2)，則P(μ?σ?X?μ+σ)≈0.6827，P(μ?2σ?X?μ+2σ)≈0.9545，16.(本小題12分)

如圖，在三棱錐A?BCD中，平面ABC⊥平面BCD，∠BCD=∠BDC=π6，P為棱AC的中點，點Q在棱CD上，PQ⊥BC，且DQ=2QC．

(1)證明：AB⊥平面BCD；

(2)若AB=BD，求平面CPQ與平面ABD17.(本小題12分)

已知函數f(x)=e2x?(a+b)x+2，且曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線斜率為2?2a．

(1)比較a和b的大小；

(2)討論f(x)的單調性；

(3)若f(x)有最小值，且最小值為g(a)，求g(a)18.(本小題12分)

已知雙曲線Γ：x2?y24=1與直線l：y=x+1交于A、B兩點(A在B左側)，過點A的兩條關于l對稱的直線l1、l2分別交雙曲線Γ于C、D兩點(C在右支，D在左支)．

(1)設直線l1的斜率為k1，直線l2的斜率為k2，求k1?k19.(本小題12分)

若數列{an}滿足an+12+anan+2≤an+an+2，且an>0，則稱數列{an}為“穩(wěn)定數列”．

(1)若數列m，m，2為“穩(wěn)定數列”，求m的取值范圍；

(2)若數列{bn}的前參考答案1.A

2.D

3.B

4.C

5.C

6.A

7.D

8.C

9.BC

10.ACD

11.BCD

12.2n13.1814.[2,15.解：(1)H0：學生的性別和是否喜歡運動無關，

χ2=100×(35×20?35×10)245×55×70×30≈2.357<2.706，

所以根據α=0.1的獨立性檢驗，不能認為學生的性別與是否喜歡跳繩有關．

(2)訓練前該校學生每人每分鐘的跳繩個數X～N(170,100)，

則μ=170，σ2=100，σ=10，

即訓練前學生每分鐘的跳繩個數在[160.190]，160=μ?σ，190=μ+2σ，P(μ?σ≤X≤μ+2σ)=P(μ?σ≤X≤μ+σ)2+P(μ?2σ≤X≤μ+2σ)2≈0.68272+16.解：(1)證明：如圖，取棱CD靠近D的三等分點R，連結AR，BR，則Q是CR的中點，

因為P為棱AC的中點，所以PQ是△ACR的中位線，所以PQ//AR，

因為PQ⊥BC，所以BC⊥AR，

設BC=3a，因為∠BCD=∠BDC=π6，所以BD=3a，作BH⊥CD，連接BR，

則CD=2BCcos∠BCD=3a，因為DQ=2QC，所以CR=2a．

在△BCR中，由余弦定理得：BR=(3a)2+(2a)2?2×(3a)×(2a)×cos∠BCD=a，

因為BR2+BC2=CR2，所以BC⊥BR．

又因為AR∩BR=R，AR，BR?面ABR，所以BC⊥平面ABR，

因為AB?面ABR，所以BC⊥AB．

又因為平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AB?平面ABC，

所以AB⊥平面BCD；

(2)由(1)知，AB⊥BC，AB⊥BR.以B為原點，BC的方向為x軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系B?xyz．

令AB=BD=3，所以C(3,0,0),A(0,0,3),R(0,1,0),Q(32,12,0)，

設平面CPQ的法向量為n1=(x,y,z)，

則n1?AC=0,n1?AR=0,即3x?3z=0,y?3z=0,令z=1，可得x=1,y=317.解：(1)f′(x)=2e2x?(a+b)，由題知f′(0)=2?(a+b)=2?2a，

整理得a=b．

(2)由(1)知，f′(x)=2e2x?2a，

當a≤0時，f′(x)>0恒成立，此時f(x)在R上單調遞增；

當a>0時，令f′(x)=2e2x?2a=0，解得x=12lna，

當x<12lna時，f′(x)<0，當x>12lna時，f′(x)>0，

所以f(x)在(?∞,12lna)上單調遞減，在(12lna,+∞)上單調遞增．

綜上，當a≤0時，f(x)在R上單調遞增；

當a>0時，在(?∞,12lna)上單調遞減，在(12lna,+∞)上單調遞增．

(3)由(2)知，當a≤0時，f(x)無最小值，

當a>0時，f(x)在x=12lna處取得最小值，所以g(a)=elna?alna+2=a?alna+2，

記g(x)=x?xlnx+2，x>018.解：(1)由題意知直線l斜率為1，所以直線l的傾斜角α=π4，

設直線l1、l2的傾斜角分別為θ1、θ2(θ1、θ2∈(0,π))，

直線l1、l2關于直線l對稱，則θ1+θ2=2α=π2，

所以k1?k2=tanθ1?tanθ2=tanθ1?tan(π2?θ1)=sinθ1cosθ1?sin(π2?θ1)cos(π2?θ1)=1；

(2)聯立方程x2?y24=1y=x+1，解得x=53y=83，

所以B(519.解：(1)由“穩(wěn)定數列”的定義可知，m2+2m≤m+2，

解得?2≤m≤1，又因為an>0，所以0<m≤1，即m∈(0,1]．

解：(2)數列{bn}不是“穩(wěn)定數列”，理由如下：

令n=1，得b1=S1=14，

當n≥2時，bn=Sn?Sn?1=18(n2+n)?18[(n?1)2+(n?1)]=n4，

檢驗，當n=1時，b1=14，

故bn=n4，所以bn+1=n+14，bn+2=n+24，

要使{bn}為“穩(wěn)定數