數(shù)學(xué)（北京卷）（參考答案）

2024年高考數(shù)學(xué)第一次模擬考試數(shù)學(xué)·參考答案一、單項(xiàng)選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。12345678910ADBDBBACCC二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11．0 12． 13.14.（答案不唯一）15.②③④三、解答題：本題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。16.（13分）【詳解】（1）由題意知函數(shù)的圖象與直線(xiàn)的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為，故函數(shù)最小正周期，即，故；..................................2分選①：函數(shù)為偶函數(shù)，即為偶函數(shù)，..................................3分故，..................................5分又，故，則；..................................6分選②：，則，即..................................3分則或，即或，..................................5分結(jié)合，故，則；..................................6分選③：，，則時(shí)，函數(shù)取最大值，..................................3分故，..................................5分結(jié)合，故，則；..................................6分（2）將的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，即，..................................7分當(dāng)時(shí)，，結(jié)合在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，..................................10分可知當(dāng)，即時(shí)，取最大值2；..................................12分當(dāng)，即時(shí)，取最小值1...................................13分（14分）【詳解】（1）棱柱的所有棱長(zhǎng)都為2，所以底面為菱形，故,..................................1分平面平面,且,平面,..................................3分平面,..................................4分且平面,..................................5分（2）連接,為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),,且平面，平面，..................................6分平面..................................7分（3）平面所以側(cè)棱與底面的所成角為，即,..................................8分作,由（1）知，,且,平面,平面,且平面,,..................................10分故即二面角的平面角，由（1）知，平面,且平面,,,且,,,,..................................12分.故二面角的余弦值為.................................14分18．（本題13分）【詳解】（1）樣本中立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)等級(jí)獲得優(yōu)秀的男生人數(shù)為，獲得優(yōu)秀的女生人數(shù)為，所以估計(jì)該校高三男生立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)的優(yōu)秀率為；估計(jì)高三女生立定跳遠(yuǎn)單項(xiàng)的優(yōu)秀率為．..................................2分（2）由題設(shè)，的所有可能取值為．估計(jì)為；..................................3分估計(jì)為；..................................4分估計(jì)為；..................................5分估計(jì)為．..................................6分估計(jì)的數(shù)學(xué)期望．..................................7分（3）估計(jì)為；..................................9分估計(jì)為；..................................11分估計(jì)為，..................................12分，所以與相互獨(dú)立．..................................13分19.（本題15分）【詳解】（1）由橢圓的定義知，，故，..................................1分所以橢圓的方程為，故，..................................2分所以橢圓的離心率為...................................3分（2）若直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為：，則聯(lián)立可得：，則，解得：，..................................5分設(shè)，，則，，..................................6分由可得：，即，..................................7分設(shè)，由可得：，..................................8分即，即，..................................9分則，..................................11分因?yàn)辄c(diǎn)在直線(xiàn)上，所以，所以點(diǎn)在定直線(xiàn)上，..................................12分若直線(xiàn)的斜率不存在，過(guò)的直線(xiàn)與橢圓交于、兩點(diǎn)，，，所以，..................................13分則，..................................14分所以，解得：，滿(mǎn)足點(diǎn)在定直線(xiàn)上...................................15分（本題15分）【詳解】（1），..................................2分由題意可知是在處的切線(xiàn)方程，所以且，故..................................4分（2）由（1）知，所以，..................................5分所以，..................................6分令，當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，..................................7分因此在單調(diào)遞增，故，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增..................................8分（3）由（2）知:當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，且，故存在，使得..................................10分因此當(dāng)和當(dāng)因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在時(shí)單調(diào)遞減，..................................12分由于，，因此存在使得，..................................13分故當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故在時(shí)取極小值，..................................14分故有1個(gè)極值點(diǎn)...................................15分21．（本題15分）【詳解】（1）解:由題知,..................................1分即..................................2分因?yàn)?所以不具有性質(zhì),..................................3分由于,即.................................4分因?yàn)楣示哂行再|(zhì),..................................6分因?yàn)楣?..................................7分（2）“”等價(jià)于“證明兩個(gè)元素至少有一個(gè)在中”,假設(shè)兩個(gè)元素均不在中,則有..................................8分不妨設(shè),若,則由,可得,..................................9分與矛盾,故,同理,從而,所以,與具有性質(zhì)矛盾,所以假設(shè)不成立,即;..................................11分（3）設(shè)規(guī)定時(shí),,時(shí),,則,所以,............................