角平分線第1課時(shí)角平分線的性質(zhì)與判定

第一章三角形的證明4角平分線第1課時(shí)角平分線的性質(zhì)與判定目錄CONTENTSA知識(shí)分點(diǎn)練B能力綜合練C拓展探究練

知識(shí)點(diǎn)1

角平分線的性質(zhì)1.（2024·青海）如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OB于

點(diǎn)D，PD＝2，那么點(diǎn)P到OA的距離是（

C

）A.4B.3C.2D.1C12345678910111213[變式]在第1題中，若E是OA上一動(dòng)點(diǎn)，則PE的最小值為

?.2

2.（2024·西安校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分

∠BAC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E.

若BE＝3，△BDE的周長(zhǎng)為11，則

BC＝

?.8

123456789101112133.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB.

若AC＝2，DE＝

1，則S△ACD＝

?.第3題圖1

[變式]如圖，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)

F，S△ABC＝96

cm2，AB＝20

cm，AC＝12

cm，則DE的長(zhǎng)為

?.變式題圖6

cm

123456789101112134.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于點(diǎn)

E，BD＝DF.

求證：CF＝EB.

12345678910111213變式題知識(shí)點(diǎn)2

角平分線的判定5.如圖，P是射線OC上一點(diǎn)，PE⊥OB于點(diǎn)E，PD⊥OA于點(diǎn)D，

EO＝4，OP＝5，當(dāng)PD＝

時(shí)，射線OC是∠AOB的平分線.第5題圖3

123456789101112136.在△ABC中，AB＝BC，兩個(gè)完全一樣的三角尺按如圖所示的方

式擺放，較短的直角邊分別在AB，BC上，較長(zhǎng)的直角邊的頂點(diǎn)重合于

點(diǎn)P，BP交AC于點(diǎn)D，則下列結(jié)論不正確的是（

D

）A.

BP平分∠ABCB.

AD＝CDC.

BD垂直平分ACD.

AB＝AC第6題圖D12345678910111213

A.

B.2C.3D.

2

C123456789101112138.（教材P30習(xí)題T2變式）如圖，在△ABC中，D是邊BC的中點(diǎn)，

DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，BE＝CF.

求證：AD是

△ABC的角平分線.

證明：∵D是邊BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD.

∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°.又∵BE＝CF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF，∴AD是△ABC的角平分線.12345678910111213

9.如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝5，BD是∠ABC

的平分線，設(shè)△ABD和△BDC的面積分別是S1，S2，則S1∶S2的值為

（

B

）A.5∶2B.2∶5C.1∶2D.1∶5第9題圖B12345678910111213[變式]

（2024·榆林期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在

BC上，連接AD，S△ACD∶S△ABD＝AC∶AB.

若∠B＝54°，則

∠BAD的度數(shù)為（

C

）A.20°B.16°C.18°D.36°C變式題圖1234567891011121310.如圖，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC

交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB，垂足為E.

若DE＝1，則BC的長(zhǎng)為（

A

）A.2＋

B.

＋

C.2＋

D.3第10題圖A1234567891011121311.如圖，已知AB∥CD，O為∠CAB，∠ACD的平分線的交點(diǎn)，

OE⊥AC于點(diǎn)E，OF⊥AB于點(diǎn)F，OF的反向延長(zhǎng)線交CD于點(diǎn)H.

若

OE＝3，則FH的長(zhǎng)為

?.第11題圖6

1234567891011121312.如圖，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中點(diǎn)，且DM平分∠ADC.

（1）求證：AM平分∠DAB；解：（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AD于點(diǎn)E.

∵DM平分∠ADC，∠C＝90°，ME⊥AD，∴MC＝ME.

∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，∴BM＝MC＝ME.

又∵∠B＝90°，∴AM平分∠DAB.

12345678910111213（2）試說(shuō)明線段DM與AM有怎樣的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.（2）AM⊥DM.

12345678910111213

13.觀察、猜想、探究：在△ABC中，∠ACB＝2∠B.

（1）如圖1，當(dāng)∠ACB＝90°，AD為∠BAC的平分線時(shí)，求證：AB

＝AC＋CD.

12345678910111213解：（1）證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E.

∵AD為∠BAC的平分線，∠C＝90°，∴DE＝DC.

在Rt△ACD和Rt△AED中，AD＝AD，DC＝DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE.

∵∠ACB＝2∠B，∠ACB＝∠BED＝90°，∴∠B＝∠EDB＝45°，∴BE＝DE＝DC，∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD.

12345678910111213（2）如圖2，當(dāng)∠ACB≠90°，AD為∠BAC的平分線時(shí)，線段AB，

AC，CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？不需證明，直接寫(xiě)出你的猜想.（2）AB＝AC＋CD.

12345678910111213（3）如圖3，當(dāng)AD為△ABC的外角平分線時(shí)，線段AB，AC，CD又

有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并給予證明.（3）AB＝CD－AC.

證明：如圖3，在AF上截取AG＝AC，連接GD.

∵AD為∠FAC的平分線，∴∠GAD＝∠CAD.

又AD＝AD，∴△AGD≌△ACD（SAS），∴GD＝CD，∠AGD＝∠ACD，即∠ACB＝∠FGD.

∵∠ACB＝2∠B，∴∠FGD＝2∠B.

又∵∠FGD＝∠B＋∠GDB，∴∠B＝∠GDB，∴BG＝DG＝DC，∴AB＝BG－AG＝CD－AC.

12345678910111213謝謝觀看第4題變式變式1如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD為∠BAC的平分線.（1）尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線DE，交AC于點(diǎn)E.

（不寫(xiě)作法，

保留作圖痕跡，標(biāo)明字母）答案圖解：（1）如圖，DE即為所求.

（2）在（1）的條件下，求證：AB＋EC＝AC.

變式2如圖，∠A＝90°，AB＝AC，CE平分∠ACB，BE的垂直平

分線分別交BE，BC于點(diǎn)F，G.

求證：BG＝AE.

證明：∵∠A＝90°，A