山西省大同市陽高縣第四中學(xué)校2024-2025學(xué)年高一3月月考數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

陽高四中2024—2025學(xué)年第二學(xué)期高一三月月考數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁滿分：150分考試用時：120分鐘一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若O,A,B是平面上不共線的任意三點,則以下各式中成立的是A. B. C. D.2.已知，則等于（）A.10 B. C.3 D.3已知向量，若，則實數(shù)（）A1 B. C. D.4.在中，為邊上的中線，，則（）A. B.C. D.5.在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則（）A.ABC是銳角三角形 B.ABC是直角三角形C.ABC是鈍角三角形 D.ABC的形狀不確定6.向量在向量上的投影向量為（）A B. C. D.7.在中，，則角（）A. B.或 C. D.或8.一海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東，那么B，C兩點間的距離是（）A海里 B.海里 C.海里 D.海里二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.下列關(guān)于平面向量的說法錯誤的是（）A.若是共線的單位向量，則B.若，則C.若，則不是共線向量D.若，則一定存在實數(shù)，使得10.已知向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A.當(dāng)時，，可以作為基底， B.若與的夾角為，則或9C.若，則 D.若，則11.的內(nèi)角的對邊分別為，若，則（）A. B.C.角A的最大值為 D.面積的最小值為三、填空題:本題包括3小題，每小題5分，共15分.12.河水的流速為2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度駛向?qū)Π?，則小船的靜水速度大小為_______m/s．13.若單位向量，滿足，則向量與的夾角為______．14.如圖，在△ABC中，N為線段AC上靠近A點的三等分點，若，則________．四、解答題:本題包括5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟.15.在中角、、所對邊、、滿足，，，求的值.16.已知向量，．（1）求的坐標(biāo)及；（2）若與共線，求實數(shù)的值．17.已知向量，滿足，，且，的夾角為.（1）求；（2）若，求實數(shù)的值；18.已知是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量，，，，且三點共線．（1）求實數(shù)的值；（2）若，，求坐標(biāo)；（3）已知點，在（2）的條件下，若四點按逆時針順序構(gòu)成平行四邊形，求點的坐標(biāo)．19.△ABC中，角A、B、C的對邊為a，b，c，已知，且.（1）求角A的大??；（2）若，求△ABC的周長的值.

陽高四中2024—2025學(xué)年第二學(xué)期高一三月月考數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁滿分：150分考試用時：120分鐘一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若O,A,B是平面上不共線的任意三點,則以下各式中成立的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面向量的線性運算求解判斷即可.【詳解】由平面向量的線性運算可知,.故選：B【點睛】本題主要考查了平面向量的減法運算,屬于基礎(chǔ)題型.2.已知，則等于（）A.10 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式，準(zhǔn)確計算即可求解.【詳解】由向量，可得，所以.故選：B.3.已知向量，若，則實數(shù)（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由向量平行的坐標(biāo)表示即可求解；【詳解】解：向量，，，解得，故選：D4.在中，為邊上的中線，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)，以及向量加減法、數(shù)乘運算的幾何意義，即可得出答案.【詳解】因為，所以由已知可得，，所以，，所以，.故選：A.5.在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則（）A.ABC是銳角三角形 B.ABC是直角三角形C.ABC是鈍角三角形 D.ABC的形狀不確定【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理判斷.【詳解】解：因為，所以，所以角是鈍角，所以ABC是鈍角三角形，故選：C6.向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由投影向量的定義求在方向上的投影向量.【詳解】因為，，則，所以在方向上投影向量為．故選：C7.在中，，則角（）A. B.或 C. D.或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正弦定理變形求解即得.【詳解】由正弦定理，，則，因，則或，因，故,即兩解均符合題意.故選：D.8.一海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東，那么B，C兩點間的距離是（）A.海里 B.海里 C.海里 D.海里【答案】C【解析】【分析】由題意易得的三個角的大小及邊，再利用正弦定理即可得解.【詳解】解：如圖，作出，由題意可知，海里，，則，因為，所以海里，即B，C兩點間的距離是海里.故選：C.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.下列關(guān)于平面向量的說法錯誤的是（）A.若是共線的單位向量，則B.若，則C.若，則不是共線向量D.若，則一定存在實數(shù)，使得【答案】ACD【解析】【分析】由方向可判斷A，由相等向量概念可判斷B，由共線向量的概念可判斷C，由且時，可判斷D；【詳解】是共線的單位向量，則或，A錯誤；向量相等，即大小相等，方向相同，B正確；若也有可能長度不等，但方向相同或相反，即共線，C錯誤；若，不一定存在實數(shù)，使得，如且時，命題不成立，D錯誤．故選：ACD．10.已知向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A.當(dāng)時，，可以作為基底， B.若與的夾角為，則或9C.若，則 D.若，則【答案】BC【解析】【分析】由條件可得，證明向量，共線，結(jié)合基底的定義判斷A，結(jié)合向量夾角公式列方程求，判斷B，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求，判斷C，結(jié)合向量線性運算坐標(biāo)公式求，根據(jù)向量模的坐標(biāo)公式列方程求，判斷D.【詳解】對于A，由，可得，所以，所以，故，不能作為基底，A錯誤；對于B，，，或，經(jīng)檢驗，都滿足方程，故B正確對于C，若，則，，故C正確；對于D，，，.，解得或，經(jīng)檢驗可得或都是方程的解，故D錯誤；故選：BC11.的內(nèi)角的對邊分別為，若，則（）A. B.C.角A最大值為 D.面積的最小值為【答案】ABC【解析】【分析】由平面向量的數(shù)量積計算可得A，由余弦定理可得B，由基本不等式及余弦定理可判斷C，結(jié)合條件可得，由項判定的范圍即可.【詳解】由，故A正確；由余弦定理結(jié)合A項可得，故B正確；由上結(jié)合基本不等式及余弦定理有故，而，單調(diào)遞減，所以由，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最大值，故C正確；由上可得，又，所以，故D錯誤.故選：ABC三、填空題:本題包括3小題，每小題5分，共15分.12.河水的流速為2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度駛向?qū)Π?，則小船的靜水速度大小為_______m/s．【答案】【解析】【分析】“垂直于河岸方向10m/s的速度”是實際的速度，在數(shù)學(xué)中相當(dāng)是和向量．“河水的流速為2m/s”是其中一個分向量，靜水速度是另一個分向量．即10是和向量，是對角線，另外兩個分向量是平行四邊形的邊長為2的邊與對角線垂直，求另一邊就是本題的靜水速度．【詳解】為了使航向垂直河岸，船頭必須斜向上游方向，即：靜水速度v1斜向上游方向，河水速度v2=2m/s平行于河岸；靜水速度與河水速度的合速度v=10m/s指向?qū)Π叮囔o水速度v1=m/s．故答案為．【點睛】本題考查小船靜水速度的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量的加法法則的合理運用．13.若單位向量，滿足，則向量與的夾角為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量垂直，即可得，即可求解.【詳解】由可得，故，故，由于，故，故答案為：.14.如圖，在△ABC中，N為線段AC上靠近A點的三等分點，若，則________．【答案】##【解析】【分析】由題可用表示，后由B，P，N三點共線可得答案.【詳解】．因為N為線段AC上靠近A點的三等分點，所以．又B，P，N三點共線，所以，．故答案為：四、解答題:本題包括5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟.15.在中角、、所對邊、、滿足，，，求的值.【答案】【解析】【分析】由條件結(jié)合余弦定理化角為邊，解方程可求結(jié)論.【詳解】由得，所以，所以，又，，所以，所以或（舍）16.已知向量，．（1）求的坐標(biāo)及；（2）若與共線，求實數(shù)的值．【答案】（1）（2）1或【解析】【分析】（1）由向量坐標(biāo)的線性運算以及模的坐標(biāo)公式即可得解.（2）由向量平行的充要條件列出方程即可得解.【小問1詳解】由題意，，所以，所以.【小問2詳解】由題意與平行，所以當(dāng)且僅當(dāng)，化簡得，解得，即實數(shù)的值為1或-1.17.已知向量，滿足，，且，的夾角為.（1）求；（2）若，求實數(shù)的值；【答案】（1）5（2）【解析】【分析】（1）由數(shù)量積的定義以及運算律即可求解.（2）由數(shù)量積的定義以及運算律即可列方程求解.【小問1詳解】.【小問2詳解】因，所以，即，也即，所以，解得.18.已知是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量，，，，且三點共線．（1）求實數(shù)的值；（2）若，，求的坐標(biāo)；（3）已知點，在（2）的條件下，若四點按逆時針順序構(gòu)成平行四邊形，求點的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知可得，結(jié)合三點共線可得，列方程組求參數(shù)即可；（2）根據(jù)平面向量線性運算的坐標(biāo)表示求解即可；（3）根據(jù)平行四邊形中的坐標(biāo)表示列方程組求解即可.小問1詳解】因為，，所以，因為三點共線，所以存在實數(shù)使得，即，又因為是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量，所以，解得.【小問2詳解】由（1）可知，，所以，若，，則.【小問3詳解】由四點按逆時針順序構(gòu)成平行四邊形可得，設(shè)