初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-8年級(jí)專(zhuān)題20 正方形

專(zhuān)題20正方形

閱讀與思考

矩形、菱形、正方形都是平行四邊形，但它們都是有特殊條件的平行四邊形，正方形不僅是特殊的

平行四邊形，而且是鄰邊相等的特殊矩形，也是有一個(gè)角是直角的菱形，因此，我們可以利用矩形、菱

形的性質(zhì)來(lái)研究正方形的有關(guān)問(wèn)題．

正方形問(wèn)題常常轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題解決，在正方形中，我們最容易得到特殊三角形、全等三角形，

熟悉以下基本圖形．

例題與求解

AD

【例l】如圖，在正方形紙片ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O，折疊G

正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點(diǎn)A恰好與BD上的點(diǎn)F重合，展開(kāi)后，E

O

AD

折痕DE分別交AB，AC于點(diǎn)E，G.下列結(jié)論：①AGD112.50；②2；

AEF

③；④四邊形是菱形；⑤C

SAGDSOGDAEFGBE2OG.B

其中，正確結(jié)論的序號(hào)是______________．（重慶市中考試題）

解題思路：本題需綜合運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)、菱形判定、數(shù)形結(jié)合等知識(shí)方法．

【例2】如圖1，操作：把正方形CGEF的對(duì)角線(xiàn)CE放在正方形ABCD的邊BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上

(CGBC)，取線(xiàn)段AE的中點(diǎn)M.連MD，MF．

（1）探究線(xiàn)段MD，MF的關(guān)系，并加以證明．

（2）將正方形CGEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)任意角后（如圖2），其他條件不變．

探究線(xiàn)段MD，MF的關(guān)系，并加以證明．

（大連市中考題改編）

解題思路：由M為AE中點(diǎn)，想到“中線(xiàn)倍長(zhǎng)法”再證三角形全等．

【例3】如圖，正方形ABCD中，E，F(xiàn)是AB，BC邊上兩點(diǎn)，且EFAEFC，DGEF

于G，求證：DGDA.

（重慶市競(jìng)賽試題）

解題思路：構(gòu)造AEFC的線(xiàn)段是解本例的關(guān)鍵．

【例4】如圖，正方形ABCD被兩條與邊平行的線(xiàn)段EF、GH分割成四個(gè)小矩形，P是EF與

GH的交點(diǎn)，若矩形PFCH的面積恰是矩形AGPE面積的2倍，試確定HAF的大小，并證明你的

結(jié)論．

（北京市競(jìng)賽試題）

解題思路：先猜測(cè)HAF的大小，再作出證明，解題的關(guān)鍵是由條件及圖形推出隱含的線(xiàn)段間的

關(guān)系．

AED

GH

P

BC

F

【例5】如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，滿(mǎn)足EFBEDF，

AE,AF分別與對(duì)角線(xiàn)BD交于點(diǎn)M,N．

求證：（1）EAF450；

（2）MN2BM2DN2．（四川省競(jìng)賽試題）

解題思路：對(duì)于（1），可作輔助線(xiàn)，創(chuàng)造條件，再通過(guò)三角形全等，即可解答；對(duì)于（2），很容易

聯(lián)想到直角三角形三邊關(guān)系．

【例6】已知：正方形ABCD中，MAN450，MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交

CB，DC（或它們的延長(zhǎng)線(xiàn)）于點(diǎn)M,N．

當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BMDN時(shí)（如圖1），易證BMDNMN．

（1）當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BMDN時(shí)（如圖2），線(xiàn)段BM,DN和MN之間有怎樣的數(shù)量

關(guān)系？寫(xiě)出猜想，并加以證明；

（2）當(dāng)MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線(xiàn)段BM,DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想．

（黑龍江省中考試題）

解題思路：對(duì)于（2），構(gòu)造DNBM是解題的關(guān)鍵．

AD

C

MB

ADAD

N

N

BCBC

MMN

圖1圖2圖3

能力訓(xùn)練

A級(jí)

1.如圖，若四邊形ABCD是正方形，CDE是等邊三角形，則EAB的度數(shù)為_(kāi)_________.

（北京市競(jìng)賽試題）

2.四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，給出以下題設(shè)條件：

①ABBCCDDA；

②A(yíng)OBOCODO,ACBD；

③AOCO,BODO,ACBD；

④ABBC,CDDA．

其中，能判定它是正方形的題設(shè)條件是______________.（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填在橫線(xiàn)上）

（浙江省中考試題）

3．如圖，邊長(zhǎng)為1的兩個(gè)正方形互相重合，按住一個(gè)不動(dòng)，將另一個(gè)繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)300，

則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積是__________.

（青島市中考試題）

AD

D

P

AAD

CBC

BCP

第1題圖第3題圖第4題圖

4.如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，將ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至能與CBP'重合，若

PB3，則PP'=__________.（河南省中考試題）

將個(gè)邊長(zhǎng)都為的正方形按如圖所示擺放，點(diǎn)分別是正方形的中心，則個(gè)正

5.n1cmA1,A2,Ann

方形重疊形成的重疊部分的面積和為()

1nn11

A.cm2B．cm2C.cm2D.()ncm2

4444

（晉江市中考試題）

第5題圖第6題圖

6.如圖，以RtBCA的斜邊BC為一邊在BCA的同側(cè)作正方形BCEF，設(shè)正方形的中心為O，

連接AO，如果AB4,AO62，則AC的長(zhǎng)為()

A.12B．8C.43D.82

（浙江省競(jìng)賽試題）

7．如圖，正方形ABCD中，CEMN,MCE350，那么ANM是()

A.450B．550C.650D.750

8．如圖，正方形ABCD的面積為256，點(diǎn)F在A(yíng)D上，點(diǎn)E在A(yíng)B的延長(zhǎng)線(xiàn)上，RtCEF的面

積為200，則BE的值是()

A．15B．12C．11D．10

9．如圖，在正方形ABCD中，E是AD邊的中點(diǎn)，BD與CE交于F點(diǎn)，求證：AFBE．

1

10.如圖，在正方形ABCD中，E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD上的一點(diǎn)，且AFAD．

4

求證：CE平分BCF．

11.如圖，已知P是正方形ABCD對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn)，PEDC,PFBC,E,F分別是垂足．

求證：APEF．

（揚(yáng)州市中考試題）

12.（1）如圖1，已知正方形ABCD和正方形CGEF(CGBC)，B,C,G在同一條直線(xiàn)上，M為

線(xiàn)段AE的中點(diǎn)．探究：線(xiàn)段MD,MF的關(guān)系．

（2）如圖2，若將正方形CGEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)450，使得正方形CGEF的對(duì)角線(xiàn)CE在正方

形ABCD的邊BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，M為AE的中點(diǎn)．試問(wèn)：（1）中探究的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證

明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（大連市中考試題）

F

D

A

FE

M

MBE

ADC

G

BCG

圖1圖2

B級(jí)

1.如圖，在四邊形ABCD中，ADDC,ADCABC900，DEAB于E，若四邊形

ABCD的面積為8，則DE的長(zhǎng)為_(kāi)_________.

1

2.如圖，M是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，若MA2MB2,CMD900，則MCD

2

__________.

（北京市競(jìng)賽試題）

3.如圖，在RtABC中，C900,AC3，以AB為一邊向三角形外作正方形ABEF，正方形

的中心為O，且OC42，則BC的長(zhǎng)為_(kāi)_________.

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

4.如圖：邊長(zhǎng)一定的正方形ABCD，Q是CD上一動(dòng)點(diǎn)，AQ交BD于M，過(guò)M作MNAQ交

1

BC于N點(diǎn)，作NPBD于點(diǎn)P，連接NQ，下列結(jié)論：①AMMN；②MPBD；

2

ABBN

③BNDQNQ；④為定值，其中一定成立的是()

BM

A.①②③B．①②④C.②③④D.①②③④

5.如圖，ABCD是正方形，BF//AC，AEFC是菱形，則ACF與F度數(shù)的比值是()

A.3B．4C.5D.不是整數(shù)

6.一個(gè)周長(zhǎng)為20的正方形內(nèi)接于一個(gè)周長(zhǎng)為28的正方形，那么從里面正方形的頂點(diǎn)到外面正方形

的頂點(diǎn)的最大距離是()

7

A.58B．5C.8D.65E.53

2

（美國(guó)高中考試題）

7.如圖，正方形ABCD中，AB8，Q是CD的中點(diǎn)，設(shè)DAQ，在CD上取一點(diǎn)P，使

BAP2，則CP的長(zhǎng)度等于()

A.1B．2C.3D.3

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

8.已知正方形ABCD中，M是AB中點(diǎn)，E是AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，MNDM且交CBE平分

線(xiàn)于N（如圖1）

（1）求證：MDMN；

（2）若將上述條