初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-8年級(jí)專題19 平行四邊形、矩形、菱形

專題19平行四邊形、矩形、菱形(吳梅錄入)

閱讀與思考

平行四邊形、矩形、菱形的性質(zhì)定理與判定定理是從對(duì)邊、對(duì)角、對(duì)角線三個(gè)方面探討

的，矩形、菱形都是特殊的平行四邊形，矩形的特殊性由一個(gè)直角所體現(xiàn)，菱形的特殊性是

由鄰邊相等來(lái)體現(xiàn)，因此它們除兼有平行四邊形的一般性質(zhì)外，還有特有的性質(zhì)；反過(guò)來(lái)，

判定一個(gè)四邊形為矩形或菱形，也就需要更多的條件.

連對(duì)角線后平行四邊形、矩形、菱形就與特殊三角形聯(lián)系在一起，所以討論平行四邊形、

矩形、菱形相關(guān)問(wèn)題時(shí)，常用到特殊三角形性質(zhì)、全等三角形法；另一方面，又要善于在四

邊形的背景下思考問(wèn)題，運(yùn)用平行四邊形、矩形、菱形的豐富性質(zhì)為解題服務(wù)，常常是判定

定理與性質(zhì)定理的綜合運(yùn)用.

熟悉以下基本圖形：

例題與求解

【例l】如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于O，AE平分∠BAD，交BC于E，∠CAE＝

15°，那么∠BOE＝________.

(“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題)

解題思路：從發(fā)現(xiàn)矩形內(nèi)含的特殊三角形入手.

【例2】下面有四個(gè)命題：

①一組對(duì)邊相等且一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形；

②一組對(duì)邊相等且一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是平行四邊形；

③一組對(duì)角相等且這一組對(duì)角的頂點(diǎn)所連結(jié)的對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是平

行四邊形；

④一組對(duì)角相等且這一組對(duì)角的頂點(diǎn)所連結(jié)的對(duì)角線被另一條對(duì)角線平分的四邊形是

平行四邊形；

其中，正確的命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

解題思路：從四邊形邊、角、對(duì)角線三類元素任意選取兩類，任意組合就產(chǎn)生許多判定

平行四邊形的命題，關(guān)鍵在于對(duì)假命題能突破正規(guī)的、標(biāo)準(zhǔn)位置的圖形構(gòu)造反例否定.

【例3】如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，BD＝2，E，F(xiàn)分別是邊AD，CD上的兩個(gè)動(dòng)

點(diǎn)且滿足AE+CF＝2.

（1）判斷BEF的形狀，并說(shuō)明理由；

（2）設(shè)BEF的面積為S，求S的取值范圍.

△

△

(煙臺(tái)中考試題)

解題思路：對(duì)于（1）由數(shù)量關(guān)系發(fā)現(xiàn)圖形特征；對(duì)于（2），只需求出BE的取值范圍.

【例4】如圖，設(shè)P為等腰直角三角形ACB斜邊AB上任意一點(diǎn)，PE⊥AC于點(diǎn)E，PF

⊥BC于點(diǎn)F，PG⊥EF于點(diǎn)G，延長(zhǎng)GP并在春延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D，使得PD＝PC.

求證：BC⊥BD，BC＝BD.

(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

解題思路：只需證明CPB≌△DPB，關(guān)鍵是利用特殊三角形、特殊四邊形的性質(zhì).

△

【例5】在□ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，交直線DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

F.

（1）在圖1中證明CE＝CF；

（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中點(diǎn)（如圖2），直接寫(xiě)出∠BDG的度數(shù)；

（3）若∠ABC＝120°，F(xiàn)G∥CE，F(xiàn)G＝CE，分別連結(jié)DB，DG（如圖3），求∠BDG

的度數(shù).

(北京市中考試題)

解題思路：對(duì)于（1），由角平分線加平行線的條件可推出圖中有3個(gè)等腰三角形；

對(duì)于（2），用測(cè)量的方法可得∠BDG=45°，進(jìn)而想到等腰直角三角形，連CG，BD，只需證

明BGC≌△DGF，這對(duì)解決（3），有不同的解題思路.

對(duì)于（3）

△

【例6】如圖，ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)M在BC上，且BM＝AC，點(diǎn)N在AC上，且

AN＝MC，AM與BN相交于點(diǎn)P.

△

求證：∠BPM＝45°.

(浙江省競(jìng)賽試題)

解題思路：條件給出的是線段的等量關(guān)系，求證的卻是角度等式，由于條件中有直角和

相等的線段，因此，可想到等腰直角三角形，解題的關(guān)鍵是平移AN或AC，即作ME⊥AN，

ME＝AN，構(gòu)造平行四邊形.

能力訓(xùn)練

A級(jí)

1.如圖，□ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分別為E、F，若CE＝2，DF＝1，∠

EBF＝60°，則□ABCD的面積為_(kāi)_______.

2.如圖，□ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，且AD≠CD，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AC，交AD于點(diǎn)

M，若CDM周長(zhǎng)為a，那么□ABCD的周長(zhǎng)為_(kāi)_______.

△

(浙江省中考試題)

3.如圖，在RtABC中，∠B＝90°，∠BAC＝78°，過(guò)C作CF∥AB，連結(jié)AF與BC

相交于G，若GF＝2AC，則∠BAG的大小是________.

△

(“希望杯”競(jìng)賽試題)

4.如圖，在菱形ABCD中，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，則∠CEF的大小是________.

(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)

5.四邊形的四條邊長(zhǎng)分別是a，b，c，d，其中a，c為對(duì)邊，且滿足

a2b2c2d22ab2cd，則這個(gè)四邊形一定是（）

A.兩組角分別相等的四邊形B.平行四邊形

C.對(duì)角線互相垂直的四邊形D.對(duì)角線相等的四邊形

6.現(xiàn)有以下四個(gè)命題：

①對(duì)角線相等的四邊形是矩形；②對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形；③有一個(gè)角為直角

且對(duì)角線互相平分的四邊形為矩形；④菱形的對(duì)角線的平方和等于邊長(zhǎng)的平方的4倍.

其中，正確的命題有（）

A.①②B.③④C.③D.①②③④

7.如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝3，AF平分∠DAB，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD

于E，延長(zhǎng)AF，EC交于點(diǎn)H，下列結(jié)論中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝

3ED.正確的是（）

A.②③B.③④C.①②④D.②③④

(齊齊哈爾中考試題)

1

8.如圖，矩形ABCD的長(zhǎng)為a，寬為b，如果SS(SS)，則S＝（）

122344

3321

A.abB.abC.abD.ab

8432

(“縉云杯”競(jìng)賽試題)

9.已知四邊形ABCD，現(xiàn)有條件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AD∥BC；④AD＝BC；

⑤∠A＝∠C；⑥∠B＝∠D.從中取兩個(gè)條件加以組合，能推出四邊形ABCD是平行四邊形的

有哪幾種情形？請(qǐng)具體寫(xiě)出這些組合.

(江蘇省競(jìng)賽試題)

10.如圖，ABC為等邊三角形，D、F分別是BC、AB上的點(diǎn)，且CD＝BF，以AD

為邊作等邊ADE.

△

△

（1）求證：ACD≌△CBF；

（2）當(dāng)D在線段BC上何處時(shí)，四邊形CDEF為平行四邊形，且∠DEF＝30°，證明你

△

的結(jié)論.

(江蘇省南通市中考試題)

11.如圖，在RtABC中，AB＝AC，∠A＝90°，點(diǎn)D為BC上任一點(diǎn)，DF⊥AC于F，

DE⊥AC于E，M為BC中點(diǎn)，試判斷MEF是什么形狀的三角形，并證明你的結(jié)論.

△

△

(河南省中考試題)

12.如圖，ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，ABD，ACE，BCF都是等邊三角

形，求四邊形AEFD的面積.

△△△△

(山東省競(jìng)賽試題)

B級(jí)

1.如圖，已知ABCD是平行四邊形，E在AC上，AE＝2EC，F(xiàn)在AB上，BF＝2AF，

如果BEF的面積為2cm2，則□ABCD的面積是________.

△

(“希望杯”競(jìng)賽試題)

2.如圖，已知P為矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA＝3，PD＝4，PC＝5，則PB＝________.

(山東省競(jìng)賽試題)

3.如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將矩形折疊，使B點(diǎn)與D點(diǎn)重合，

則折痕EF長(zhǎng)為_(kāi)_______.

(武漢市競(jìng)賽試題)

4.如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿AC折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)D處，

CD交AB于點(diǎn)F，則重疊部分AFC的面積為_(kāi)_______.

△

(山東省競(jìng)賽試題)

5.如圖，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD邊上任意一點(diǎn)，PE⊥BD

于E，PF⊥AC于F，那么PE+PF的值為_(kāi)_______.

(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

6.如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm，且∠ABC＝60°，E是BC的中點(diǎn)，P點(diǎn)在BD上，

則PE+PC的最小值為_(kāi)_______.

(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)

7.如圖，ABC的周長(zhǎng)為24，M是AB的中點(diǎn)，MC＝MA＝5，則ABC的面積是（）

A.30B.24C.16D.12

△△

(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

8.如圖，□ABCD中，∠ABC＝75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE＝2AB，則

∠AED的大小是（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

如圖，已知∠＝∠，，，均垂直于，＝，＝，

9.ABAA1PP1BB1A1B1AA117PP116BB1

＝20，A1B1＝12，則AP+PB的值為（）

A.15B.14C.13D.12

(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

10.如圖1，ABC是直角三角形，∠C＝90°，現(xiàn)將ABC補(bǔ)成矩形，使ABC的兩個(gè)

頂點(diǎn)為矩形一邊的兩個(gè)端點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這一邊的對(duì)邊上，那么符合要求的矩形可

△△△

畫(huà)出兩個(gè)：矩形ACBD和矩形AEFB（如圖2）.

解答