初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-8年級專題18 直角三角形

專題18直角三角形(吳梅錄入)

閱讀與思考

直角三角形是一類特殊三角形，有以下豐富的性質(zhì)：

角的關(guān)系：兩銳角互余；

邊的關(guān)系：斜邊的平方等于兩直角邊的平方和；

邊角關(guān)系：30所對的直角邊等于斜邊的一半.

這些性質(zhì)廣泛應(yīng)用于線段計(jì)算、證明線段倍分關(guān)系、證明線段平方關(guān)系等方面.

在現(xiàn)階段，勾股定理是求線段的長度的主要方法，若圖形缺少條件直角條件，則可通過

作輔助垂線的方法，構(gòu)造直角三角形為勾股定理的應(yīng)用創(chuàng)造必要條件；運(yùn)用勾股定理的逆定

理，通過代數(shù)方法計(jì)算，也是證明兩直線垂直的一種方法.

熟悉以下基本圖形基本結(jié)論：

例題與求解

【例l】（1）直角ABC三邊的長分別是x，x1和5，則ABC的周長＝

_____________.ABC的面積＝_____________.

△△

（2）如圖，已知RtABC的兩直角邊AC＝5，BC＝12，D是BC上一點(diǎn)，當(dāng)AD是∠

△

A的平分線時(shí)，則CD＝_____________.

△

（太原市競賽試題）

解題思路：對于（1），應(yīng)分類討論；對于（2），能在RtACD中求出CD嗎？從角平

分線性質(zhì)入手.

△

【例2】如圖所示的方格紙中，點(diǎn)A，B，C，都在方格線的交點(diǎn)，則∠ACB＝（）

A.120°B.135°C.150°D.165°

（“希望杯”邀請賽試題）

解題思路：方格紙有許多隱含條件，這是解本例的基礎(chǔ).

【例3】如圖，P為ABC邊BC上的一點(diǎn)，且PC＝2PB，已知∠ABC＝45°，∠APC

＝60°，求∠ACB的度數(shù).

△

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

解題思路：不能簡單地由角的關(guān)系推出∠ACB的度數(shù)，綜合運(yùn)用條件PC＝2PB及∠APC

＝60°，構(gòu)造出含30°的直角三角形是解本例的關(guān)鍵.

【例4】如圖，在ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，分別以AB，AC為邊在ABC的

外側(cè)作等邊ABE和等邊ACD，DE與AB交于F，求證：EF＝FD.

△△

△△

（上海市競賽試題）

解題思路：已知FD為RtFAD的斜邊，因此需作輔助線，構(gòu)造以EF為斜邊的直角三

角形，通過全等三角形證明.

△

【例5】如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝CD，求證：

BD2AB2BC2

（北京市競賽試題）

解題思路：由待證結(jié)論易聯(lián)想到勾股定理，因此，三條線段可構(gòu)成直角三角形，應(yīng)設(shè)法

將這三條線段集中在同一三角形中.

【例6】斯特瓦爾特定理：

如圖，設(shè)D為ABC的邊BC上任意一點(diǎn)，a，b，c為ABC三邊長，則

b2BDc2DC

AD2△BDDC.請證明結(jié)論成立.△

a

解題思路：本題充分體現(xiàn)了勾股定理運(yùn)用中的數(shù)形結(jié)合思想.

能力訓(xùn)練

A級

1.如圖，D為ABC的邊BC上一點(diǎn)，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，則

BC＝_____________.

△

2.如圖，在RtABC中∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，DE是斜邊AB的垂直

平分線，且DE＝1cm，則AC＝_____________cm.

△

3.如圖，四邊形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝90°，則∠

DAB＝_____________.

（上海市競賽試題）

4.如圖，在ABC中，AB＝5，AC＝13，邊BC上的中線AD＝6，則BC的長為

△

_____________.

（湖北省預(yù)賽試題）

5.如果一個(gè)三角形的一條邊是另一條邊的2倍，并且有一個(gè)角是30o，那么這個(gè)三角形

的形狀是（）

A.直角三角形B.鈍角三角形C.銳角三角形D.不能確定

（山東省競賽試題）

6.如圖，小正方形邊長為1，連結(jié)小正方形的三個(gè)頂點(diǎn)可得ABC，則AC邊上的高為

（）

△

3334

A.2B.5C.5D.5

21055

（福州市中考試題）

7.如圖，一個(gè)長為25分米的梯子，斜立在一豎直的墻上，這時(shí)梯足距墻底

端7分米，如果梯子的頂端沿墻下滑4分米，那么梯足將滑（）

A.15分米B.9分米C.8分米D.5分米

8.如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，AD＝5，那么

BC等于（）

CD

5

A.1B.2C.3D.

4

9.如圖，ABC中，AB＝BC＝CA，AE＝CD，AD，BE相交于P，BQ⊥AD于Q，

求證：BP＝2PQ.

△

（北京市競賽試題）

10.如圖，ABC中，AB＝AC.

（1）若P是BC邊上中點(diǎn)，連結(jié)AP，求證：BPCPAB2AP2

△

（2）P是BC邊上任意一點(diǎn)，上面的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請

說明理由；

（3）若P是BC邊延長線上一點(diǎn)，線段AB，AP，BP，CP之間有什么樣的關(guān)系？請證

明你的結(jié)論.

11.如圖，直線OB是一次函數(shù)y2x圖象，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），在直線

OB上找點(diǎn)C，使得ACO為等腰三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

△

12.已知：如圖，將矩形ABCD沿對角線BD折疊，使點(diǎn)C落在C處，BC交

AD于E，AD＝8，AB＝4，求BED的面積.

△

（山西省中考試題）

B級

1.若ABC的三邊a,b,c滿足條件：a2b2c233810a24b26c，則這個(gè)

三角形最長邊上的高為_____________.

△

2.如圖，在等腰RtABC中，∠A＝90°，P是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA＝1，PB＝3，

PC＝7，則∠CPA＝__△___________.△

3.在ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，則ABC的周長為_____________.

△△

4.如圖，在RtABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD

于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，則CF與GB的大小關(guān)系是（）

△

A.CF＞GBB.CF＝GBC.CF＜GBD.無法確定

5.在ABC中，∠B是鈍角，AB＝6，CB＝8，則AD的范圍是（）

A.8＜AC＜10B.8＜AC＜14C.2＜AC＜14D.10＜AC＜14

△

（江蘇省競賽試題）

6.滿足兩條直角邊長均為整數(shù)，且周長恰好等于面積的整數(shù)倍的直角三角形

的個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

（浙江省競賽試題）

7.如圖，ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是

AB，AC邊上的點(diǎn)，且DE⊥DF，若BE＝12，CF＝5，求DEF的面積.

△

△

（四川省聯(lián)賽試題）

8.如圖，在RtABC中，∠A＝90°，D為斜邊BC中點(diǎn)，DE⊥DF，求證：

EF2BE2CF2

△

（江蘇省競賽試題）

9.周長為6，面積為整數(shù)的直角三角形是否存在？若不存在，請給出證明；

若存在，請證明有幾個(gè).