初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-8年級專題15全等三角形

專題15全等三角形

閱讀與思考

兩個幾何圖形的全等是指兩個圖形之間的一種關(guān)系，其中最基本的關(guān)系是兩個圖形的點的對應(yīng)關(guān)

系，以及對應(yīng)邊之間、對應(yīng)角之間的相等關(guān)系．全等三角形是研究三角形、四邊形等圖形性質(zhì)的主要工

具，是解決有關(guān)線段、角等問題的一個出發(fā)點，證明線段相等、線段和差相等、角相等、兩直線位置關(guān)

系等問題總要直接或間接用到全等三角形，我們把這種應(yīng)用全等三角形來解決問題的方法稱為全等三角

形法．

我們實際遇到的圖形，兩個全等三角形并不重合在一起，而是處于各種不同的位置，但其中一個是

由另一個經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等變換而成的．了解全等變換的這幾種形式，有助于發(fā)現(xiàn)全等三角形、

確定對應(yīng)元素．善于在復(fù)雜的圖形中發(fā)現(xiàn)、分解、構(gòu)造基本的全等三角形是解題的關(guān)鍵，應(yīng)熟悉涉及有

關(guān)會共邊、公共角的以下兩類基本圖形：

例題與求解

【例1】考查下列命題：

①全等三角形的對應(yīng)邊上的中線、高、角平分線對應(yīng)相等；

②兩邊和其中一邊上的中線（或第三邊上的中線）對應(yīng)相等的兩個三角形全等；

③兩角和其中一角的角平分線（或第三角的角平分線）對應(yīng)相等的兩個三角形全等；

④兩邊和其中一邊上的高（或第三邊上高）對應(yīng)相等的兩個三角形全等．

其中正確命題的個數(shù)有（）

A．4個B．3個C．2個D．1個

（山東省競賽試題）

解題思路：真命題給出證明，假命題舉出一個反例．

【例2】如圖，已知BD、CE是△ABC的高，點P在BD的延長線上，BP＝AC，點Q在CE上，CQ

＝AB．

求證：（1）AP＝AQ；（2）AP⊥AQ．

（第十六屆江蘇省競賽試題）

解題思路：（1）證明對應(yīng)的兩個三角形全等；（2）證明∠PAQ＝90°．

AP

D

Q

E

O

B

C

1

【例3】如圖，已知為AD為△ABC的中線，求證：AD＜(ABAC)．

2

（陜西省中考試題）

解題思路：三角形三邊關(guān)系定理是證明線段不等關(guān)系的基本工具，關(guān)鍵是設(shè)法將AB，AC，AD集

中到同一個三角形中，從構(gòu)造2AD入手．

A

BC

D

【例4】如圖，已知AC∥BD，EA、EB分別平分∠CAB、∠DBA，CD過點E．

求證：AB＝AC＋BD．

（“希望杯”邀請賽試題）

解題思路：本例是線段和差問題的證明，截長法（或補短法）是證明這類問題的基本方法，即在

AB上截取AF，使AF＝AC，以下只要證明FB＝BD即可，于是將問題轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等．

ED

C

AB

【例5】如圖1，CD是經(jīng)過∠BCA頂點C的一條直線，CA＝CB，E，F(xiàn)分別是直線CD上兩點，且

∠BEC＝∠CFA＝∠．

（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA內(nèi)部，且E，F(xiàn)在射線CD上，請解決下面兩個問題：

①如圖2，若∠BCA＝90°，∠＝90°，則BE＿＿＿＿CF，EF＿＿＿＿BEAF（填“＞”、“＜”

或“＝”）；

②如圖3，若0°＜∠BCA＜180°，請?zhí)砑右粋€關(guān)于∠與∠BCA關(guān)系的條件＿＿＿＿，使①中的兩

個結(jié)論仍然成立，并證明這兩個結(jié)論；

（2）如圖4，若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，∠＝∠BCA，請?zhí)岢鯡F，BE、AF三條線段數(shù)量關(guān)

系的合理猜想（不要求證明）．

B

B

BB

DD

EDE

FFA

FEC

AEF

CCACAD

圖1圖2圖3圖4

（臺州市中考試題）

解題思路：對于②，可用①進行逆推，尋找△BCE≌△CAF應(yīng)滿足的條件．對于（2）可用歸納類

比方法提出猜想．

【例6】如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB＝∠BAD＝105°，∠ABC＝∠ADC＝45°．

求證：CD＝AB．

（天津市競賽試題）

解題思路：由已知易得∠CAB＝30°，∠GAC＝75°，∠DCA＝60°，∠ACB＋∠DAC＝180°，由特殊

度數(shù)可聯(lián)想到特殊三角形、共線點等．

D

C

AB

能力訓(xùn)練

A級

1．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝40，AD是∠BAC的平分線交BC于D，且DC︰DB＝3︰

5，則點D到AB的距離是＿＿＿＿．

E

B

E

AF

AD

C

DD

COE

BCAB

CAB

第1題第2題第3題第4題

2．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分別過B，C作經(jīng)過點A的直線的垂線BD，CE，

若BD＝3cm，CE＝4cm，則DE＝＿＿＿＿．

3．如圖，△ABE和△ACF分別是以△ABC的邊AB、AC為邊的形外的等腰直角三角形，CE和BF

相交于O，則∠EOB＝＿＿＿＿．

4．如圖，四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點E，若AC平分∠DAB，且AB＝AE，AC＝

1

AD．有如下四個結(jié)論：①AC⊥BD；②BC＝DE；③∠DBC＝∠DAB；④△ABE是等邊三角形．請寫

2

出正確結(jié)論的序號＿＿＿＿．（把你認為正確結(jié)論的序號都填上）

（天津市中考試題）

5．如圖，點E在△ABC外部，點D在BC邊上，DE交AC于F，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，則

（）

A．△ABD≌△AFDB．△AFE≌△ADC

C．△AFE≌△DFCD．△ABC≌△ADE

ECB

ABA

D

2F

1

3

BCBA

DAEC

第5題第6題第7題

6．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E．若AB＝6cm，

則△DEB的周長為（）

A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm

7．如圖，從下列四個條件：①BC＝B'C；②AC＝A′C；③∠A′CA＝∠B′CB；④AB＝A′B′中，任取三

個為題設(shè)，余下的一個為結(jié)論，則最多可以構(gòu)成的正確命題的個數(shù)是（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

（北京市東城區(qū)中考試題）

8．如圖1，在銳角△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE交于F，且BF＝AC．

（1）求證：ED平分∠FEC；

（2）如圖2，若△ABC中，∠C為鈍角，其他條件不變，（1）中結(jié)論是否仍然成立？若不成立，請

說明理由；若成立，請給予證明．

A

A

EC

FBD

BCE

DF

圖1圖2

9．在等腰Rt△AOB和等腰Rt△DOC中，∠AOB＝∠DOC＝90°，連AD，M為AD中點，連OM．

（1）如圖1，請寫出OM與BC的關(guān)系，并說明理由；

（2）將圖1中的△COD旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，其他條件不變，（1）中結(jié)論是否成立？請說明理由．

C

DO

C

O

M

MD

ABAB

圖1圖2

10．如圖，已知∠1＝∠2，EF⊥AD于P，交BC延長線于M．

1

求證：∠M＝(ACBB)．（天津市競賽試題）

2

A

1

2

E

PF

BM

DC

11．如圖，已知△ABC中，∠A＝60°，BE，CD分別平分∠ABC，∠ACB，P為BE，CD的交點．

求證：BD＋CE＝BC．

A

DE

P

BC

12．如圖，已知點D為等腰直角△ABC內(nèi)一點，∠CAD＝∠CBD＝15°，E為AD延長線上的一點，

且CE＝CA．

（1）求證：DE平分∠BDC；

（2）若點M在DE上，且DC＝DM，求證：ME＝BD．

（日照市中考試題）

B

ME

D

A

C

B級

1．在△ABC中，高AD和BE交于H點，且BH＝AC，則∠ABC＝＿＿＿＿．

（武漢市競賽試題）

2．在△ABC中，AD為BC邊上的中線，若AB＝5，AC＝3，則AD的取值范圍是＿＿＿＿．

（“希望杯”競賽試題）

AAABA

OF

PEEF

BCBCCDBC

DDD

第2題第3題第4題第5題

3．如圖，在△ABC中，AB＞AC，AD是角平分線，P是AD上任意一點，在ABAC與BPPC

兩式中，較大的一個是＿＿＿＿．

4．如圖，已知AB∥CD，AC∥DB，AD與BC交于O，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，那么圖中全

等的三角形有（）

A．5對B．6對C．7對D．8對

5．如圖，AD是△ABC的中線，E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且DE⊥DF，則（）

A．BE＋CF＞EFB．BE＋CF＝EF

C．BE＋CF＜EFD．BE＋CF與的大小關(guān)系不確定

（第十五屆江蘇省競賽試題）

6．如果兩個三角形的兩條邊和其中一邊上的高分別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形的第三邊所對的

角（）

A．相等B．不相等C．互余D.互補或相等

（北京市競賽試題）

7．如圖，在△ABE和△ACD中，給出以下四個論斷：①AB＝AC；②AD＝AE；③AM＝AN；④AD

⊥DC，AE⊥BE．以其中三個論斷為題設(shè)，填入下面的“已知”欄中，一個論斷為結(jié)論，填入下面的“求

證”欄中，使之組成一個真命題，并寫出證明過程．

已知：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

求證：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

（荊州市中考試題）

A

DE

MN

BC

1

8．如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，過C作CE⊥AB于E，并且AE＝(ABAD)，求

2

∠ABC＋∠ADC的度數(shù)．（上海市競賽試題）

D

C

AB

E

9．在四邊形ABCD中，已知AB＝a，AD＝6，且BC＝DC，對角線AC平分∠BAD，問a與b的大

小符合什么條件時，有∠B＋∠D＝180°，請畫出圖形并證明你的結(jié)論．

（河北省競賽試題）

10．如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE：分別平分∠BAC，∠ACB．

求證：AC＝AE＋CD．

（武漢市選拔賽試題）

A

E

O

BC

D

11．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AP，CQ分別平分∠BAC，∠BCA．AP交CQ于I，連PQ．

S

求證：IAC為定值．

S四邊形ACPQ

C

PI

BA

Q

12．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD丄MN于O，BE⊥MN于E．

（1）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：DE＝AD＋BE；

（2）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：DE＝ADBE；

（3）當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問：DE，AD，BE有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等

量關(guān)系，并加以證明．（?？谑兄锌荚囶}）

MM

CC

D

MC

E

NDE

ABAB

ED

AB

NN

圖1圖2圖3

13．CD是經(jīng)過∠BCA頂點C的一條直線，CA＝CB，E，F(xiàn)分別是直線CD上兩點，且∠BEC＝∠

CFA＝∠．

（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA內(nèi)部，且E，F(xiàn)在射線CD上，請解決下面兩個問題：

①如圖1，若∠BCA＝90°，∠＝90°，則BE＿＿＿＿CF，EF＿＿＿＿BEAF（填“＞”、“＜”

或“＝”）；

②如圖2，若0°＜∠BCA＜180°，請?zhí)砑右粋€關(guān)于∠與∠BCA關(guān)系的條件＿＿＿＿，使①中的兩

個結(jié)論仍然成立，并證明這兩個結(jié)論；

（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，∠＝∠BCA，請?zhí)岢鯡F，BE、AF三條線段數(shù)量關(guān)

系的合理猜想（不要求證明）．

B

BB

DDE

FFA

EC

EF

CACAD

圖1圖2圖3

（臺州市中考試題）

專題15全等三角形

例1C命題③、④是假命題例2證明△ABP≌△AQC

例3提示：延長AD至E，使DE=AD,連結(jié)BE,則△ACD≌△EBD

例4如圖，在AB上截取AF,使AF=AC,連結(jié)EF由△ACE≌△AFE,得∠C=∠AFE.

∵AC//BD,∴∠C+∠D=180°而∠5+∠AFE=180°,則∠5=∠D.在△BFE≌△BDE中，

∵∠5=∠D,∠3=∠4,BE=BE∴△BFE≌△BDE,得BF=BD.∴AB=AF+BF=AC+BD.

例5(1)①=,=②∠+∠BCA=180°,先證明∠BCE=∠CAF,再證△BCE≌△CAF(2)EF=BE+AF

例6如圖,過點A作AE丄AB交BC的延長線于點E,則AB=AE,∠E=∠D

DE

在△ADC與△CEA中∵DACECA750

ACCA

∴△ADC≌△CEA得CD=AE=AB.

A級

1.152.7cm3.90°4.②③5.D6.B7.B

8.(1)如圖，先證∠DBF=∠DAC,再證△BDF≌△ADC.最后由D點作DS丄BF于S，DT丄AC于T，

由S△BDF=S△ADC,可知DS=DT∴ED平分∠FEC(2)類比(1)可證.

9.(1)2OM=BC