初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-8年級(jí)專題02乘法公式

專題02乘法公式

閱讀與思考

乘法公式是多項(xiàng)式相乘得出的既有特殊性、又有實(shí)用性的具體結(jié)論，在整式的乘除、數(shù)值計(jì)算、代數(shù)

式的化簡(jiǎn)求值、代數(shù)式的證明等方面有廣泛的應(yīng)用，學(xué)習(xí)乘法公式應(yīng)注意：

1．熟悉每個(gè)公式的結(jié)構(gòu)特征；

2．正用即根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)特征，模仿公式進(jìn)行直接的簡(jiǎn)單的套用；

3．逆用即將公式反過(guò)來(lái)逆向使用；

4．變用即能將公式變換形式使用；

5．活用即根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)特征，探索規(guī)律，創(chuàng)造條件連續(xù)綜合運(yùn)用公式．

例題與求解

【例1】1，2，3，…，98共98個(gè)自然數(shù)中，能夠表示成兩個(gè)整數(shù)的平方差的個(gè)數(shù)是．

（全國(guó)初中數(shù)字聯(lián)賽試題）

解題思路：因a2b2(ab)(ab)，而abab的奇偶性相同，故能表示成兩個(gè)整數(shù)的平方差

的數(shù)，要么為奇數(shù)，要么能被4整除．

【例2】（1）已知a,b滿足等式xa2b220,y4(2ba)，則x,y的大小關(guān)系是()

A．x≤yB．x≥yC．xyD．xy

（山西省太原市競(jìng)賽試題）

（2）已知a,b,c滿足a22b7,b22c1,c26a17，則abc的值等于（）

A．2B．3C．4D．5

（河北省競(jìng)賽試題）

解題思路：對(duì)于（1），作差比較x,y的大小，解題的關(guān)鍵是逆用完全平方公式，揭示式子的非負(fù)性；

對(duì)于（2），由條件等式聯(lián)想到完全平方式，解題的切入點(diǎn)是整體考慮．

【例3】計(jì)算下列各題：

（1）6(71)(721)(741)(781)1；（天津市競(jìng)賽試題）

（2）1.234520.765522.4690.7655；（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

（3）(123252992)(2242621002)．

解題思路：若按部就班運(yùn)算，顯然較繁，能否用乘法公式簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，關(guān)鍵是對(duì)待求式恰當(dāng)變形，

使之符合乘法公式的結(jié)構(gòu)特征．

【例4】設(shè)ab1,a2b22，求a7b7的值．（西安市競(jìng)賽試題）

解題思路：由常用公式不能直接求出a7b7的結(jié)構(gòu)，必須把a(bǔ)7b7表示相關(guān)多項(xiàng)式的運(yùn)算形式，而

這些多項(xiàng)式的值由常用公式易求出其結(jié)果．

1234152;

2

【例5】觀察：2345111;

34561192;

（1）請(qǐng)寫出一個(gè)具有普遍性的結(jié)論，并給出證明；

（2）根據(jù)（1），計(jì)算20002001200220031的結(jié)果（用一個(gè)最簡(jiǎn)式子表示）．

（黃岡市競(jìng)賽試題）

解題思路：從特殊情況入手，觀察找規(guī)律．

【例6】設(shè)a,b,c滿足abc1,a2b2c22,a3b3c33,求：

（1）abc的值；

（2）a4b4c4的值．

（江蘇省競(jìng)賽試題）

解題思路：本題可運(yùn)用公式解答，要牢記乘法公式，并靈活運(yùn)用．

能力訓(xùn)練

A級(jí)

1．已知x22(m3)x9是一個(gè)多項(xiàng)式的平方，則m．（廣東省中考試題）

2．?dāng)?shù)3481能被30以內(nèi)的兩位偶數(shù)整除的是．

3．已知x2y2z22x4y6z140,那么xyz．

（天津市競(jìng)賽試題）

4．若xy10,x3y3100,則x2y2．

5．已知a,b,x,y滿足axby3,axby5,則(a2b2)(x2y2)的值為．

（河北省競(jìng)賽試題）

6．若n滿足(n2004)2(2005n)21,則(2005n)(n2004)等于．

1111

7．(1)(1)(1)(1)等于（）

22321999220002

1999200119992001

A．B．C．D．

2000200040004000

8．若M10a22b27a6,Na22b25a1，則MN的值是（）

A．正數(shù)B．負(fù)數(shù)C．非負(fù)數(shù)D．可正可負(fù)

9．若xy2,x2y24,則x1992y1992的值是（）

A．4B．19922C．21992D．41992

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

10．某校舉行春季運(yùn)動(dòng)會(huì)時(shí)，由若干名同學(xué)組成一個(gè)8列的長(zhǎng)方形隊(duì)列．如果原隊(duì)列中增加120人，就能

組成一個(gè)正方形隊(duì)列；如果原隊(duì)列中減少120人，也能組成一個(gè)正方形隊(duì)列．問(wèn)原長(zhǎng)方形隊(duì)列有多少

名同學(xué)？（“CASIO”杯全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）

11．設(shè)a1093832，證明：a是37的倍數(shù)．（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

12．觀察下面各式的規(guī)律：

(121)212(12)222;

(231)222(23)232;

(341)232(34)242;

寫出第2003行和第n行的式子，并證明你的結(jié)論．

B級(jí)

1．(ab)n展開(kāi)式中的系數(shù)，當(dāng)n1，2，3…時(shí)可以寫成“楊輝三角”的形式（如下圖），借助“楊輝三角”

求出1.019的值為．（《學(xué)習(xí)報(bào)》公開(kāi)賽試題）

1

1213

13319

13

14641

15101051

…第2題圖

2．如圖，立方體的每一個(gè)面上都有一個(gè)自然數(shù)，已知相對(duì)的兩個(gè)面上的兩數(shù)之和都相等，如果13，9，3

的對(duì)面的數(shù)分別為a,b,c，則a2b2c2abbcac的值為．

（天津市競(jìng)賽試題）

3．已知x,y,z滿足等式xy5,z2xyy9,則2x3y4z．

4．一個(gè)正整數(shù)，若分別加上100與168，則可得兩到完全平方數(shù)，這個(gè)正整數(shù)為．

（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

5．已知a1999x2000,b1999x2001,c1999x2002，則多項(xiàng)式a2b2c2abbcac的

值為（）

A．0B．1C．2D．3

6．把2009表示成兩個(gè)整數(shù)的平方差的形式，則不同的表示法有（）

A．16種B．14種C．12種D．10種

（北京市競(jìng)賽試題）

7．若正整數(shù)x,y滿足x2y264，則這樣的正整數(shù)對(duì)(x,y)的個(gè)數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4

（山東省競(jìng)賽試題）

8．已知ab3，則a3b39ab的值是（）

A．3B．9C．27D．81

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

9．滿足等式m21954n2的整數(shù)對(duì)(m,n)是否存在？若存在，求出(m,n)的值；若不存在，說(shuō)明理由．

10．?dāng)?shù)碼不同的兩位數(shù)，將其數(shù)碼順序交換后，得到一個(gè)新的兩位數(shù)，這兩個(gè)兩位數(shù)的平方差是完全平方

數(shù)，求所有這樣的兩位數(shù)．

（天津市競(jìng)賽試題）

11．若xyab，且x2y2a2b2，求證：x2003y2003a2003b2003．

12．如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”，如

42202,124222,206242,因此4，12，20這三個(gè)數(shù)都是神秘?cái)?shù)．

（1）28和2012這兩個(gè)數(shù)是神秘?cái)?shù)嗎？為什么？

（2）設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2k2和2k（其中k取非負(fù)整數(shù)），由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是4的倍數(shù)

嗎？為什么？

（3）兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差（取正值）是神秘?cái)?shù)嗎？為什么？（浙江省中考試題）

專題02乘法公式

例173提示：滿足條件的整數(shù)是奇數(shù)或是4的倍數(shù)．

22

例2（1）Bx－y＝（a2＋4a＋a）＋（b2－8b＋16）＝a2＋b4≥0，x≥y．

222

（2）B3個(gè)等式相加得：a3＋b1＋c1＝0，a＝3，b＝－1，c＝1．a(chǎn)＋b＋c＝3－1＋1

＝3．

例3（1）716（2）4（3）－5050

711

例4提示：由a＋b＝1，a2＋b2＝2得ab＝－，利用an1＋bn1＝（an＋bn）（a＋b)－ab(an1

82

57192671

＋bn1)可分別求得a3＋b3＝，a4＋b4＝，a5＋b5＝，a6＋b6＝，a7＋b7＝．

22448

2

例5（1）設(shè)n為自然數(shù)，則n（n＋1)(n＋2)(n＋3）＋1＝n23n1

（2）由①得，2000×2001×2002×2003＋1＝40060012．

abc1,①

例6（1）設(shè)a2b2c22,②

333

abc3.③

1

①2－②，得ab＋bc＋ac＝，

2

∵a3b3c3－3abc＝（a＋b＋c）（a2b2c2－ab－bc－ac），

11111

∴abc＝（a3b3c3）－（a＋b＋c）（a2b2c2－ab－bc－ac）＝×3－×1×（2＋）＝

33332

1

．

6

（2）將②式兩邊平方，得a4b4c42a2b22b2c22c2a24,

∴a4b4c442a2b22b2c22c2a2

2

＝4－2abbcac2abc(abc)

2

1125

＝4－221＝．

266

A級(jí)

1．0或62．26，283．24．405．346．07．D8．A9．C

8x120m2,①

10.原有136或904名學(xué)生．設(shè)

2

8x120m.②

m，n均為正整數(shù)，且m＞n，

①－②得（m＋n）（m－n）＝240＝2435．

mn60mn20

m2，n2都是8的倍數(shù)，則m，n能被4整除，m＋n，m－n均能被4整除．得或，

mn4mn12

m12m16

∴或

n28n4

8x＝m2－120＝904或8x＝m2－120＝136．

11.因?yàn)閍＝109＋383－2＝（109－1）＋（383－1）＝999999999＋37×（382＋38＋1），而999999999

＝9×111111111＝9×3×37037037＝27×37×1001001＝37×（27×1001001）．

所以37|999999999，且37|37×（382＋38＋1），因此a是37的倍數(shù)．

22

12.第2003行式子為：200322003200420042＝200320041．

2

第n行式子為：n2n2n12n12＝n2n1．證明略

B級(jí)

1．1．094

2．76提示：由13＋a＝9＋b＝3＋c得a－b＝－4，b－c＝－6，c－a＝10

3．134．1565．D

6.C提示：（x＋y）（x－y）＝2009＝7×7×41有6個(gè)正因數(shù)，分別是1，7，41，49，287和2009，因此

對(duì)應(yīng)的方程組為：

xy1,7,41,49,287,2009,1,7,41,49,287,2009;