初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-7年級(jí)專(zhuān)題05 數(shù)與形的第一次聯(lián)姻

專(zhuān)題5數(shù)與形的第一次聯(lián)姻

閱讀與思考

數(shù)學(xué)是研究數(shù)和形的學(xué)科，在數(shù)學(xué)里數(shù)和形是有密切聯(lián)系的，我們常用代數(shù)的方法來(lái)處理幾何問(wèn)題；

反過(guò)來(lái)，也借助與幾何圖形來(lái)處理代數(shù)問(wèn)題，尋找解題思路，這種數(shù)與形之間的相互作用叫數(shù)形結(jié)合，

是一種重要的數(shù)學(xué)思想．

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵是建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，現(xiàn)階段數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的有力工具，主要

體現(xiàn)在一下幾個(gè)方面：

1．利用數(shù)軸能形象地表示有理數(shù)；

2．利用數(shù)軸能直觀地解釋相反數(shù)；

3．利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小；

4．利用數(shù)軸解決與絕對(duì)值相關(guān)的問(wèn)題．

例題與求解

【例1】已知數(shù)軸上有A，B兩點(diǎn)，A，B之間的距離為1，點(diǎn)A與原點(diǎn)O的距離為3，那么所有滿足

條件的點(diǎn)B與原點(diǎn)O的距離之和等于_____________．

（北京市“迎春杯”競(jìng)賽試題）

解題思路：確定A，B在數(shù)軸上的位置，求出A，B兩點(diǎn)所表示的有理數(shù)．

【例2】在數(shù)軸上和有理數(shù)a,b,c對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示．有下面四個(gè)結(jié)論：

①abc0，②abbcac，③(ab)(bc)(ca)0，④a1bc，其中，正確的結(jié)論

有（）個(gè)．

A．4B．3C．2D．1

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

解題思路：從數(shù)軸上得到a10bc1，再對(duì)代數(shù)式進(jìn)行逐以一判斷．

【例3】如圖所示，已知數(shù)軸上點(diǎn)A,B,C所對(duì)應(yīng)的數(shù)a,b,c都不為0，且C是AB的中點(diǎn)．如

果aba2cb2cab2c0，試確定原點(diǎn)O的大致位置．

ab

解題思路：從化簡(jiǎn)等式入手，而c是解題的關(guān)鍵．

2

【例4】（1）閱讀下面材料：

點(diǎn)A,B在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)a,b,A,B兩點(diǎn)之間的距離表示為AB．當(dāng)A,B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)

時(shí)，

當(dāng)A、B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)，

①如圖2，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右邊|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；

②如圖3，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的左邊，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；③如圖4，點(diǎn)A、

B在原點(diǎn)的兩邊，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|；

綜上，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離|AB|＝|a－b|．

（2）回答下列問(wèn)題：

①數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是_________，數(shù)軸上表示－2和－5的兩點(diǎn)之間的距離是

______________，數(shù)軸上表示1和－3的兩點(diǎn)之間的距離是________________；

②數(shù)軸上表示x和－1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是______________，如果|AB|＝2，那么x為_(kāi)________；

③當(dāng)代數(shù)式|x＋1|十|x－2|取最小值時(shí)________，相應(yīng)的x的取值范圍是___________．

④求x1x2x3...x1997的最小值．

（江蘇省南京市中考試題）

解題思路：通過(guò)觀察圖形，閱讀理解代數(shù)式ab所表示的意義，來(lái)回答所提出的具體問(wèn)題．

【例5】某城市沿環(huán)形路有五所小學(xué)，依次為一小、二小、三小、四小、五小，它們分別有電腦

15，7，11，3，14臺(tái)，現(xiàn)在為使各校電腦臺(tái)數(shù)相等，各調(diào)幾臺(tái)給鄰校，現(xiàn)規(guī)定一小給二小，二小給三小，

三小給四小，四小給五小，五小給一小，要使電腦調(diào)動(dòng)臺(tái)數(shù)最小，應(yīng)該做怎樣的安排？

（湖北省荊州市競(jìng)賽試題）

解題思路：通過(guò)設(shè)未知數(shù)，把調(diào)動(dòng)的電腦臺(tái)數(shù)用相關(guān)代數(shù)式表示出來(lái)．解題的關(guān)鍵是怎樣將實(shí)際問(wèn)

題轉(zhuǎn)化為求的最小值．

yxa1xa2xan

【例6】如圖，A是數(shù)軸上表示－30的點(diǎn)，B是數(shù)軸上表示10的點(diǎn)，C是數(shù)軸上表示18的點(diǎn)，

點(diǎn)A,B,C在數(shù)軸上同時(shí)向正方向運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的速度是6個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，點(diǎn)B和點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的速度是

3個(gè)單位長(zhǎng)度/秒．設(shè)三個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，線段AC＝6（單位長(zhǎng)度）？

（2）t≠5時(shí)，設(shè)線段OA的中點(diǎn)為P，線段OB的中點(diǎn)為M，線段OC的中點(diǎn)為N，求2PM－PN＝2時(shí)

t的值．

（湖北省荊州市競(jìng)賽試題）

解題思路：（1）A,B,C三點(diǎn)在數(shù)軸上同時(shí)向正方向運(yùn)動(dòng)，分別當(dāng)A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)左側(cè)和右側(cè)兩

種情況來(lái)分析求解．

（2）先將P,M,N三個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)分別寫(xiě)出來(lái)，因點(diǎn)M始終在點(diǎn)N左側(cè)，則分為“點(diǎn)P

在M,N左邊”，“點(diǎn)P在M,N之間”，“點(diǎn)P在M,N右邊”三種情況來(lái)求解．

能力訓(xùn)練

A級(jí)

1．已知數(shù)軸上表示負(fù)數(shù)有理數(shù)m的點(diǎn)是點(diǎn)M，那么在數(shù)軸上與點(diǎn)M相距m個(gè)單位的點(diǎn)中，與原點(diǎn)距

離較遠(yuǎn)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是______________．

（江蘇省競(jìng)賽試題）

2．如果數(shù)軸上點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為3，點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離為5，那么A,B兩點(diǎn)的距離為_(kāi)_____________．

1

3．點(diǎn)A,B分別是數(shù)3，在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，使線段AB沿?cái)?shù)軸向右移動(dòng)到A'B'的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)3，

2

則點(diǎn)A'對(duì)應(yīng)的數(shù)是________________，點(diǎn)A移動(dòng)的距離是____________．

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

4．已知a0，b0且ab0，那么有理數(shù)a,b,a,b的大小關(guān)系是_________________________．（用

“＜”號(hào)連接）

（北京市“迎春杯”競(jìng)賽試題）

1

5．在數(shù)軸上任取一條長(zhǎng)度為1999的線段，則此線段在數(shù)軸上最多能蓋住的整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）．

9

A．1998B．1999C．2000D．2001

（重慶市競(jìng)賽試題）

6．如圖，a,b為數(shù)軸上的兩點(diǎn)表示的有理數(shù)，在ab,b2a,ab,ba中，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)有（）

A．1B．2C．3D．4

（“祖沖之”邀請(qǐng)賽試題）

7．有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示，式子ababbc化簡(jiǎn)結(jié)果為（）．

A．2a3bcB．3bcC．bcD．cb

8．如圖所示，在數(shù)軸上有六個(gè)，且ABBCCDDEEF，則與點(diǎn)C所表示的數(shù)最接近的整數(shù)

是（）．

A．－1B．0C．1D．2

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

9．已知a,b,c,d為有理數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示：

且6a6b3c4d6，求3a2d3b2a2bc的值．

．電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點(diǎn)，第一步從向左挑一個(gè)單位到，第二步由向右跳個(gè)單位

10KoKoK1K12

到，第三步由向左跳個(gè)單位到，第四步由向右跳個(gè)單位到，…，按以上規(guī)律跳了

K2K23K3K34K4

步時(shí)，電子跳蚤落在數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)恰是.．則電子跳蚤的初始位置點(diǎn)所表示的

100K1001994Ko

數(shù)是_________________．

11．如圖，已知A,B分別為數(shù)軸上兩點(diǎn)，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為－20，B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為100．

（1）求過(guò)A,B中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)．

（2）現(xiàn)有一只電子螞蟻P從B點(diǎn)出發(fā)，以6個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一只電子螞蟻Q恰好從

A點(diǎn)出發(fā)，以4個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的C點(diǎn)相遇，求C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)．

（3）若當(dāng)電子螞蟻P從B點(diǎn)出發(fā)時(shí)，以6個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一只電子螞蟻Q恰好從A

點(diǎn)出發(fā)，以4單位/秒的速度也向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的D點(diǎn)相遇，求D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)．

B級(jí)

1．有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示：

則化簡(jiǎn)abb1ac1c的結(jié)果為_(kāi)____________________．

3

2．電影＜＜哈利·波特＞＞中小哈利·波特穿墻進(jìn)入“9站臺(tái)”的鏡頭（如示意圖中M站臺(tái)），構(gòu)

4

思奇妙，給觀眾留下深刻的印象．若A,B站臺(tái)分別位于－2，－1處，AN2NB，則N站臺(tái)用類(lèi)似電

影里的方法稱(chēng)為“_________________站臺(tái)”

（《時(shí)代學(xué)習(xí)報(bào)》數(shù)學(xué)文化節(jié)試題）

3．在數(shù)軸上，若N點(diǎn)與原點(diǎn)O的距離是N點(diǎn)與三〇若對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離的4倍，則N點(diǎn)表示的數(shù)

是_________________．

（河南省競(jìng)賽試題）

4．若a0,b0，則使xaxbab成立的x的取值范圍是__________________．

（武漢市選拔賽試題）

5．如圖，直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A,B,C，且ABBC，那么，到A,B,C三點(diǎn)距離的和最小的點(diǎn)為

（）．

A．B點(diǎn)外B．線段AC的中點(diǎn)C．線段AC外一點(diǎn)D．無(wú)窮多個(gè)

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

．點(diǎn)都在數(shù)軸上，點(diǎn)在原點(diǎn)的左邊，且，點(diǎn)在點(diǎn)的右

6A1,A2,A3,,An(n為正整數(shù))OA1O1A2A1

邊，且，點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，且，點(diǎn)在點(diǎn)的右邊，且，，依

A2A12A3A2A3A23A4A3A4A34

照上述規(guī)律，點(diǎn)所表示的數(shù)分別為（）．

A2008,A2009

A．2008，－2009B．－2008，2009C．1004，－1005D．1004，－1004

（福建省泉州市中考試題）

7．設(shè)yx1x1，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）．

A．y沒(méi)有最小值B．只有一個(gè)x使y去最小值

C．有限個(gè)x（不止一個(gè)）使y去最小值D．有無(wú)窮多個(gè)x使y取最小值