初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-7年級專題04 初識非負(fù)數(shù)

專題4初識非負(fù)數(shù)

閱讀與思考

絕對值是初中代數(shù)中的一個重要概念，引入絕對值概念之后，對有理數(shù)、相反數(shù)以及后續(xù)要學(xué)習(xí)的

算術(shù)根可以有進(jìn)一步的理解；絕對值又是初中代數(shù)中的一個基本概念，在求代數(shù)式的值、代數(shù)式的化簡、

解方程與解不等式時，常常遇到含有絕對值符號的問題，理解、掌握絕對值概念應(yīng)注意以下幾個方面：

1.去絕對值符號法則

aa0

a0a0

aa0

2.絕對值的幾何意義

從數(shù)軸上看，a即表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，即a代表的是一個長度，故a表示一個非負(fù)數(shù)，

ab表示數(shù)軸上數(shù)a、數(shù)b的兩點(diǎn)間的距離.

3.絕對值常用的性質(zhì)

2aa

①a0②a2aa2③abab④b0

bb

⑤abab⑥abab

例題與求解

【例1】已知a5,b3，且abba，那么ab.

（祖沖之杯邀請賽試題）

解題思路：由已知求出a、b的值，但要注意條件abba的制約，這是解本題的關(guān)鍵.

1010

【例2】已知a、b、c均為整數(shù)，且滿足abac1，則abbcca（）

A.1B.2C.3D.4

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

1010

解題思路：ab≥0，ac≥0，又根據(jù)題中條件可推出ab，ac中一個為0，一個為

1.

【例】已知＋＋＋…＋＋＝，求代數(shù)式

3x11x22x33x20022002x200320030

2x12x22x3…－2x20022x2003的值.

解題思路：運(yùn)用絕對值、非負(fù)數(shù)的概念與性質(zhì)，先求出…，的值，注意n1n

x1,x2,x3,x2002,x200322

的化簡規(guī)律.

abcabacbcabc

【例4】設(shè)a、b、c是非零有理數(shù)，求的值.

abcabacbcabc

解題思路：根據(jù)a、b、c的符號的所有可能情況討論，化去絕對值符號，這是解本例的關(guān)鍵.

（希望杯邀請賽試題）

【例】設(shè)是六個不同的正整數(shù)，取值于，，，，，.

5x1,x2,x3,x4,x5,x6123456

記，求的最小值.

S|x1x2||x2x3||x3x4||x4x5||x5x6||x6x1|S

（四川省競賽試題）

解題思路：利用絕對值的幾何意義建立數(shù)軸模型.

【例6】已知(ab)2b5b5，且2ab10，求ab的值.

（北京市迎春杯競賽試題）

解題思路：由2ab10知2ab10，即b2a1，代入原式中，得

(3a1)22a42a4，再對3a1的取值，分情況進(jìn)行討論.

A級

1.若m,n為有理數(shù)，那么，下列判斷中：

（1）若mn，則一定有mn；

（2）若mn，則一定有mn；

（3）若mn，則一定有mn；

（4）若mn，則一定有m2(n)2；正確的是.（填序號）

mnp2mnp

2.若有理數(shù)m,n,p滿足1，則.

mnp2mnp

3.若有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的對應(yīng)的位置如下圖所示，則c1acab化簡后的結(jié)果

是.

4.已知正整數(shù)a,b滿足b2b20，abab0，且ab，則ab的值是.

（四川省競賽試題）

2

5.已知a1,b2,c3,且abc，那么abc.

6.如圖，有理數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如圖所示：

則在ab,b2a,ba,ab,a2,b4中，負(fù)數(shù)共有（）

A．3個B．1個C．4個D．2個

（湖北省荊州市競賽試題）

7.若a8,b5，且ab0，那么ab的值是（）

A．3或13B．13或－13C．3或－3D．－3或－13

8.若m是有理數(shù)，則mm一定是（）

A．零B．非負(fù)數(shù)C．正數(shù)D．負(fù)數(shù)

9.如果x2x20，那么x的取值范圍是（）

A．x2B．x2C．x2D．x2

10.a,b是有理數(shù)，如果abab，那么對于結(jié)論（1）a一定不是負(fù)數(shù)；（2）b可能是負(fù)數(shù)，其中

（）

A．只有（1）正確B．只有（2）正確

C．（1）（2）都正確D．（1）（2）都不正確

（江蘇省競賽試題）

abbcca

11.已知a,b,c是非零有理數(shù)，且abc0，求的值.

abbcca

12.已知a,b,c,d是有理數(shù)，ab9,cd16，且abcd25，求badc的值.

（希望杯邀請賽試題）

B級

x5x2x

1.若2x5，則代數(shù)式的值為.

x52xx

21111

2.已知a1ab20，那么的值

ab(a1)(b1)(a2)(b2)(a2002)(b2002)

為.

3.數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，且a12，則3a7.

（重慶市競賽試題）

abab

4.若ab0，則的值等于

abab

（五城市聯(lián)賽試題）

1

5.已知(x5)2y2y60，則y2xyx2x3.

5

（希望杯邀請賽試題）

6.如果0p15，那么代數(shù)式xpx15xp15在p≤x≤15的最小值（）

A.30B.0C.15D.一個與p有關(guān)的代數(shù)式

aa

7.設(shè)k是自然數(shù)，且kab0，則12等于（）

bb

32

A.3B.2C.3D.2

kk

（創(chuàng)新杯邀請賽試題）

8.已知0a4，那么a23a的最大值等于（）

A．1B．5C．8D．9

（希望杯邀請賽試題）

abcabc

9.已知a,b,c都不等