初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-7年級(jí)專(zhuān)題02 數(shù)的整除性

專(zhuān)題02數(shù)的整除性

閱讀與思考

設(shè)a，b是整數(shù)，b≠0，如果一個(gè)整數(shù)q使得等式a=bq成立，那么稱(chēng)a能被b整除，或稱(chēng)b整

除a，記作b|a，又稱(chēng)b為a的約數(shù)，而a稱(chēng)為b的倍數(shù)．解與整數(shù)的整除相關(guān)問(wèn)題常用到以下知識(shí)：

1．?dāng)?shù)的整除性常見(jiàn)特征：

①若整數(shù)a的個(gè)位數(shù)是偶數(shù)，則2|a；

②若整數(shù)a的個(gè)位數(shù)是0或5，則5|a；

③若整數(shù)a的各位數(shù)字之和是3(或9)的倍數(shù)，則3|a(或9|a)；

④若整數(shù)a的末二位數(shù)是4(或25)的倍數(shù)，則4|a(或25|a)；

⑤若整數(shù)a的末三位數(shù)是8(或125)的倍數(shù)，則8|a(或125|a)；

⑥若整數(shù)a的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差是11的倍數(shù)，則11|a．

2．整除的基本性質(zhì)

設(shè)a，b，c都是整數(shù)，有：

①若a|b，b|c，則a|c；

②若c|a，c|b，則c|(a±b)；

③若b|a，c|a，則[b，c]|a；

④若b|a，c|a，且b與c互質(zhì)，則bc|a；

⑤若a|bc，且a與c互質(zhì)，則a|b．特別地，若質(zhì)數(shù)p|bc，則必有p|b或p|c．

例題與求解

【例1】在1，2，3，…，2000這2000個(gè)自然數(shù)中，有_______個(gè)自然數(shù)能同時(shí)被2和3整除，而

且不能被5整除．

(“五羊杯”競(jìng)賽試題)

解題思想：自然數(shù)n能同時(shí)被2和3整除，則n能被6整除，從中剔除能被5整除的數(shù)，即為所求．

【例2】已知a，b是正整數(shù)(a＞b)，對(duì)于以下兩個(gè)結(jié)論：

①在a＋b，ab，a－b這三個(gè)數(shù)中必有2的倍數(shù)；

②在a＋b，ab，a－b這三個(gè)數(shù)中必有3的倍數(shù)．其中()

A．只有①正確B．只有②正確

C．①，②都正確D．①，②都不正確

(江蘇省競(jìng)賽試題)

解題思想：舉例驗(yàn)證，或按剩余類(lèi)深入討論證明．

【例3】已知整數(shù)13ab456能被198整除，求a，b的值．

(江蘇省競(jìng)賽試題)

解題思想：198=2×9×11，整數(shù)13ab456能被9，11整除，運(yùn)用整除的相關(guān)特性建立a，b的等式，

求出a，b的值．

【例4】已知a，b，c都是整數(shù)，當(dāng)代數(shù)式7a＋2b＋3c的值能被13整除時(shí)，那么代數(shù)式5a＋

7b－22c的值是否一定能被13整除，為什么？

(“華羅庚金杯”邀請(qǐng)賽試題)

解題思想：先把5a＋7b－22c構(gòu)造成均能被13整除的兩個(gè)代數(shù)式的和，再進(jìn)行判斷．

【例5】如果將正整數(shù)M放在正整數(shù)m左側(cè)，所得到的新數(shù)可被7整除，那么稱(chēng)M為m的“魔術(shù)

數(shù)”(例如：把86放在415左側(cè)，得到86415能被7整除，所以稱(chēng)86為415的魔術(shù)數(shù))，求正整數(shù)n的

最小值，使得存在互不相同的正整數(shù)，，…，，滿(mǎn)足對(duì)任意一個(gè)正整數(shù)，在，，…，

a1a2anma1a2an

中都至少有一個(gè)為m的“魔術(shù)數(shù)”．

(2013年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

解題思想：不妨設(shè)，，，…，；，，，，，，至少有一個(gè)為的

ai7kit(i=123nt=0123456)m

“魔術(shù)數(shù)”．根據(jù)題中條件，利用k是的位數(shù)被除所得余數(shù)，分析的取值．

ai10m(km)7i

【例】一只青蛙，位于數(shù)軸上的點(diǎn)，跳動(dòng)一次后到達(dá)，已知，滿(mǎn)足－，

6akak1akak1|ak1ak|=1

我們把青蛙從開(kāi)始，經(jīng)－次跳動(dòng)的位置依次記作：，，，…，．

a1n1Ana1a2a3an

⑴寫(xiě)出一個(gè)，使其，且＋＋＋＋；

A5a1a50a1a2a3a4a5>0

⑵若，，求的值；

a1=13a2000=2012a1000

⑶對(duì)于整數(shù)≥，如果存在一個(gè)能同時(shí)滿(mǎn)足如下兩個(gè)條件：①；②＋＋＋…

n(n2)Ana1=0a1a2a3

＋．求整數(shù)≥被除的余數(shù)，并說(shuō)理理由．

an=0n(n2)4

(2013年“創(chuàng)新杯”邀請(qǐng)賽試題)

解題思想：⑴．即從原點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)次跳動(dòng)后回到原點(diǎn)，這就只能兩次向右，兩次向

a1a504

左．為保證＋＋＋＋．只需將“向右”安排在前即可．

a1a2a3a4a5>0

⑵若，，從經(jīng)過(guò)步到．不妨設(shè)向右跳了步，向左跳了步，則

a1=13a2000=2012a11999a2000xy

xy1999x1999

，解得可見(jiàn)，它一直向右跳，沒(méi)有向左跳．

13xy2012y0

⑶設(shè)同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)條件：①；②＋＋＋…＋．由于，故從原點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)

Ana1=0a1a2a3an=0a1=0

過(guò)－步到達(dá)，假定這－步中，向右跳了步，向左跳了步，于是－，＋

(k1)ak(k1)xkykak=xkykxkyk=k

－，則＋＋＋…＋＋＋＋…＋＋…＋－

1a1a2a3an=0(x2y2)(x3y3)(xnyn)=2(x1x2xn)[(x2y2)

nn1

＋(xy)＋…＋(xy)]=2(x＋x＋…＋x)－．由于a＋a＋a＋…＋a=0，所以

33nn23n2123n

－＋＋…＋．即－．

n(n1)=4(x2x3xn)4|n(n1)

能力訓(xùn)練

A級(jí)

111

1．某班學(xué)生不到50人，在一次測(cè)驗(yàn)中，有的學(xué)生得優(yōu)，的學(xué)生得良，的學(xué)生得及格，則

732

有________人不及格．

2．從1到10000這1萬(wàn)個(gè)自然數(shù)中，有_______個(gè)數(shù)能被5或能被7整除．

(上海市競(jìng)賽試題)

3．一個(gè)五位數(shù)3ab98能被11與9整除，這個(gè)五位數(shù)是________．

4．在小于1997的自然數(shù)中，是3的倍數(shù)而不是5的倍數(shù)的數(shù)的個(gè)數(shù)是()

A．532B．665C．133D．798

5．能整除任意三個(gè)連續(xù)整數(shù)之和的最大整數(shù)是()

A．1B．2C．3D．6

(江蘇省競(jìng)賽試題)

6．用數(shù)字1，2，3，4，5，6組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，是9的倍數(shù)的數(shù)有()

A．12個(gè)B．18個(gè)C．20個(gè)D．30個(gè)

(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)

7．五位數(shù)abcde是9的倍數(shù)，其中abcd是4的倍數(shù)，那么abcde的最小值為多少？

(黃岡市競(jìng)賽試題)

8．1，2，3，4，5，6每個(gè)使用一次組成一個(gè)六位數(shù)字abcdef，使得三位數(shù)abc，bcd，cde，def

能依次被4，5，3，11整除，求這個(gè)六位數(shù)．

(上海市競(jìng)賽試題)

9．173□是個(gè)四位數(shù)字，數(shù)學(xué)老師說(shuō)：“我在這個(gè)□中先后填入3個(gè)數(shù)字，所得到的3個(gè)四位數(shù)，

依次可被9，11，6整除．”問(wèn)：數(shù)學(xué)老師先后填入的這3個(gè)數(shù)字的和是多少？

(“華羅庚金杯”邀請(qǐng)賽試題)

B級(jí)

1．若一個(gè)正整數(shù)a被2，3，…，9這八個(gè)自然數(shù)除，所得的余數(shù)都為1，則a的最小值為_(kāi)________，

a的一般表達(dá)式為_(kāi)___________．

(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)

2．已知m，n都是正整數(shù)，若1≤m≤n≤30，且mn能被21整除，則滿(mǎn)足條件的數(shù)對(duì)(m，n)

共有___________個(gè)．

(天津市競(jìng)賽試題)

3．一個(gè)六位數(shù)x1989y能被33整除，這樣的六位數(shù)中最大是__________．

1,3,5,7,,1991,1993,1995,1997,1999

4．有以下兩個(gè)數(shù)串1,4,7,10,,1987,1990,1993,1996,1999同時(shí)出現(xiàn)在這兩個(gè)數(shù)串中的數(shù)的個(gè)

數(shù)共有()個(gè)．

A．333B．334C．335D．336

5．一個(gè)六位數(shù)a1991b能被12整除，這樣的六位數(shù)共有()個(gè)．

A．4B．6C．8D．12

6．若1059，1417，2312分別被自然數(shù)n除時(shí)，所得的余數(shù)都是m，則n－m的值為()．

A．15B．1C．164D．174

7．有一種室內(nèi)游戲，魔術(shù)師要求某參賽者相好一個(gè)三位數(shù)abc，然后，魔術(shù)師再要求他記下五個(gè)

數(shù)：acb，bac，bca，cab，cba，并把這五個(gè)數(shù)加起來(lái)求出和N．只要講出N的大小，魔術(shù)師就

能說(shuō)出原數(shù)abc