江蘇無(wú)錫市湖濱中學(xué)2024-2025學(xué)年高二（下）數(shù)學(xué)第6周階段性訓(xùn)練模擬練習(xí)【含答案】

江蘇無(wú)錫市湖濱中學(xué)2024-2025學(xué)年高二（下）數(shù)學(xué)第6周階段性訓(xùn)練模擬練習(xí)一．選擇題（共4小題）1．函數(shù)y＝f（x）在P（1，f（1））處的切線如圖所示，則f（1）+f′（1）＝（）A．0 B． C． D．﹣2．直線l過(guò)點(diǎn)（﹣1，0）且與曲線y＝ex相切，則直線l的傾斜角為（）A． B． C． D．3．設(shè)定義域?yàn)椋?，+∞）的單調(diào)函數(shù)f（x），對(duì)任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]＝3，若x0是方程f（x）﹣f′（x）＝2的一個(gè)解，則x0可能存在的區(qū)間是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）4．已知函數(shù)f（x）＝x（x﹣a）2的極大值為，則a＝（）A． B． C． D．二．多選題（共1小題）（多選）5．已知函數(shù)f（x）＝sinx（1﹣cosx），則（）A．f（x）的零點(diǎn)為2kπ（k∈Z） B．f（x）在[﹣π，π]上的最大值與最小值之和為0 C．直線x＝π是f（x）的圖象的一條對(duì)稱軸 D．0是函數(shù)y＝xf（x）的極小值點(diǎn)三．填空題（共6小題）6．已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣ax2+x，a∈R．當(dāng)a＝0時(shí)，則曲線y＝f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線方程是；若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是．7．已知存在實(shí)數(shù)x，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是．8．若函數(shù)f（x）＝ex+sinx+（a﹣2）x存在最小值，則a的取值范圍是．9．已知函數(shù)f（x）＝，g（x）＝ex﹣lnx﹣e+4（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若對(duì)?x1∈（0，1），?x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，則正整數(shù)k的最小值為．10．函數(shù)f（x）＝x2+lnx的圖象在點(diǎn)（1，1）處的切線的斜率為．11．已知f（x）是{x|x≠0}上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝lnx．過(guò)原點(diǎn)O作兩條互相垂直的直線，其中一條與f（x）的圖象相切于點(diǎn)A，C，另一條與f（x）的圖象相交于點(diǎn)B，D，則四邊形ABCD的面積為．四．解答題（共4小題）12．已知函數(shù)f（x）＝x2lnx﹣ax+1．（1）若f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．（2）若函數(shù)y＝f（x）﹣ax3+ax﹣1的兩個(gè)零點(diǎn)為x1，x2，證明：．13．已知函數(shù)f（x）＝ax﹣lnx﹣a，a∈R．（1）若a＝1，求方程f（x）＝0的實(shí)數(shù)解；（2）若關(guān)于x的方程f（x）＝ax+﹣2a在區(qū)間（1，+∞）上有且只有一個(gè)解，求實(shí)數(shù)a的范圍；（3）若a＝0，是否存在實(shí)數(shù)m，使不等式f（x）+＞﹣m（x2﹣1）在區(qū)間（1，+∞）上恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，說(shuō)明理由．

14．設(shè)函數(shù)f（x）＝ax+ka﹣x（k∈R，a＞0，a≠1）．（1）當(dāng)k＝4時(shí)，求f（x）的最小值；（2）討論函數(shù)f（x）的圖象是否有對(duì)稱中心．若有，請(qǐng)求出；若無(wú)，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)k＝0時(shí)，都有，求實(shí)數(shù)a的取值集合．15．已知函數(shù)f（x）＝ex﹣1，g（x）＝alnx﹣x（a∈R）．（1）討論g（x）的單調(diào)性；（2）若f（x）﹣g（x）≥x+1恒成立，求a的值；（3）若0≤x1＜x2，求證：ex2﹣x1﹣1＞ln（x2+1）﹣ln（x1+1）．

參考答案與試題解析題號(hào)1234答案ABBD一．選擇題（共4小題）1．【解答】解：∵切線過(guò)點(diǎn)（2，0）與（0，﹣1），∴f′（1）＝，則切線方程為y＝，取x＝1，得f（1）＝，∴f（1）+f′（1）＝．故選：A．2．【解答】解：因?yàn)閥＝ex，所以y′＝ex，設(shè)直線l與曲線的切點(diǎn)為（x0，e），切線的斜率為k，所以k＝e，所以切線的方程為：y﹣e＝e（x﹣x0），因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)（﹣1，0），所以﹣e＝e（﹣1﹣x0），解得x0＝0，所以k＝1，所以直線l的傾斜角為，故選：B．3．【解答】解：設(shè)f（x）﹣log2x＝t，則f（x）＝log2x+t，且f（t）＝3，當(dāng)x＝t時(shí)，f（t）＝log2t+t＝3，解得t＝2，∴f（x）＝log2x+2，f′（x）＝，則由f（x）﹣f′（x）＝2得log2x+2﹣＝2，即log2x﹣＝0，設(shè)g（x）＝log2x﹣，則g（1）＝﹣，g（2）＝1﹣，∴根據(jù)根的存在性定理可知在（1，2）內(nèi)g（x）存在零點(diǎn)，即x0∈（1，2），故選：B．4．【解答】解：由題意，f（x）＝x（x﹣a）2＝x3﹣2ax2+a2x，則f'（x）＝3x2﹣4ax+a2＝（3x﹣a）（x﹣a），令f′（x）＝0，解得或x＝a，當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在，（a，+∞）上滿足f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，在上滿足f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，所以f（x）在處取得極大值，，解得，當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（﹣∞，a），上滿足f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，在上滿足f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，所以f（x）在x＝a處取得極大值，，不符合題意，當(dāng)a＝0時(shí)，f'（x）＝3x2≥0，f（x）在R上單調(diào)遞增，無(wú)極值，不符合題意，綜上所述，．故選：D．二．多選題（共1小題）5．【解答】解：選項(xiàng)A：函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，即f（x）＝sinx（1﹣cosx）＝0時(shí)x的值，因?yàn)閟inx（1﹣cosx）＝0，則sinx＝0或1﹣cosx＝0，當(dāng)sinx＝0時(shí)，x＝kπ，k∈Z；當(dāng)1﹣cosx＝0，即cosx＝1時(shí)，x＝2kπ，k∈Z，所以f（x）的零點(diǎn)為kπ，k∈Z，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：因?yàn)閒（﹣x）＝﹣sinx（1﹣cosx）＝﹣f（x），所以f（x）為奇函數(shù)，所以f（x）在[﹣π，π]上的最大值與最小值之和為0，B選項(xiàng)正確；選項(xiàng)C：f（π+x）＝sin（π+x）[1﹣cos（π+x）]＝﹣sinx（1+cosx），f（π﹣x）＝sin（π﹣x）[1﹣cos（π﹣x）]＝sinx（1+cosx），f（π+x）≠f（π﹣x），所以直線x＝π不是f（x）的圖象的一條對(duì)稱軸，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：令g（x）＝xf（x）＝xsinx（1﹣cosx），則g'（x）＝（sinx+xcosx）（1﹣cosx）+xsin2x，當(dāng)時(shí)，sinx+xcosx＜0，xsin2x＜0，所以g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，又g（x）＝xf（x）為偶函數(shù)，所以時(shí)，g（x）單調(diào)遞增，所以0是函數(shù)y＝xf（x）的極小值點(diǎn)，D選項(xiàng)正確．故選：BD．三．填空題（共6小題）6．【解答】解：空一：當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）＝lnx+x，f（e）＝lne+e＝e+1，所以，曲線y＝f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線斜率，所以切線方程為，化簡(jiǎn)得．空二：函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于方程有兩解，即與y＝a有兩個(gè)交點(diǎn)，令，則，令g'（x）＝0，得1﹣2lnx﹣x＝0，解得x＝1，因?yàn)棣眨▁）＝1﹣2lnx﹣x為減函數(shù)，故g'（x）＝0有唯一解，所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)x∈（1，+∞），g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減，又，當(dāng)x→+∞時(shí)，g（x）→0，當(dāng)x→0時(shí)，g（x）→﹣∞，作出函數(shù)y＝g（x）如圖所示：所以當(dāng)a∈（0，1）時(shí)，f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．故答案為：；（0，1）．7．【解答】解：顯然t＞0，兩邊同除以t，整理后得+x2+2﹣lnt≤e2x+lnt+2x+lnt，令h（x）＝ex+x，h′（x）＝ex+1＞0，所以h（x）是增函數(shù)，則原不等式即為h（x2+2﹣lnt）≤h（2x+lnt），即為x2+2﹣lnt≤2x+lnt有解，整理得2lnt≥x2﹣2x+2①有解，再令g（x）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1≥1，要使不等式①有解，只需2lnt≥g（x）min＝1，所以2lnt≥1，解得．故答案為：[，+∞）．8．【解答】解：當(dāng)a＝2時(shí)，f（x）＝ex+sinx，由于ex＞0，﹣1≤sinx≤1，顯然f（x）→﹣1，沒(méi)有最小值，不符合題意；當(dāng)a＞2時(shí)，ex+sinx＞﹣1且無(wú)限接近﹣1，y＝（a﹣2）x為增函數(shù)，則x→﹣∞，ex+sinx+（a﹣1）x→﹣∞，x→+∞，ex+sinx+（a﹣1）x→+∞，此時(shí)函數(shù)f（x）沒(méi)有最小值，不符合題意；當(dāng)a＜2時(shí)，y＝（a﹣1）x為單調(diào)遞減函數(shù)，則x→﹣∞，ex+sinx+（a﹣1）x→+∞，x→+∞，由于y＝ex增長(zhǎng)變化速度遠(yuǎn)大于y＝（a﹣1）x減少速度，此時(shí)ex+sinx+（a﹣1）x→+∞，由于函數(shù)定義域?yàn)镽，函數(shù)連續(xù)不斷，所以f（x）＝ex+sinx+（a﹣1）x存在最小值，符合題意，綜上，a的取值范圍是（﹣∞，2）．故答案為：（﹣∞，2）．9．【解答】解：若對(duì)?x1∈（0，1），?x2∈[1，2]使得f（x1）≥g（x）成立，只需對(duì)?x∈（0，1），f（x）≥g（x）min，因?yàn)間（x）＝ex﹣lnx﹣e+4，x∈[1，2]，則在[1，2]單調(diào)遞增，所以g'（x）≥g'（1）＝e﹣1＞0，所以g（x）＝e2﹣lnx﹣e+4在[1，2]單調(diào)遞增，g（x）＝ex﹣lnx﹣e+4≥g（1）＝4，即g（x）min＝4，所以f（x）＝≥4在（0，1）上恒成立，即，記，x∈（0，1），根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可得：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，故正整數(shù)k的最小值為1．故答案為：1．10．【解答】解：根據(jù)題意，f（x）＝x2+lnx，其導(dǎo)數(shù)，則f′（1）＝3．故函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（1，1）處的切線的斜率k＝3．故答案為：3．11．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)A（a，lna），B（b，lnb），當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝lnx，其導(dǎo)數(shù)f′（x）＝，則kOA＝，又由kOA＝＝，則＝，即lna＝1，則a＝e，A的坐標(biāo)為（e，1），又由OA與OB互相垂直，則kOB＝﹣e，直線OB的方程為y+ex＝0，而B(niǎo)（b，lnb），則有l(wèi)nb+eb＝0，解可得b＝，B的坐標(biāo)為（，﹣1），f（x）是{x|x≠0}上的奇函數(shù)，直線OA經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則AC兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故C的坐標(biāo)為（﹣e，﹣1），同理：D的坐標(biāo)為（﹣，1），故AD∥BC，且|AD|＝|BC|＝e﹣（﹣）＝e+，故四邊形ABCD的面積S＝2（e+）．故答案為：2（e+）．四．解答題（共4小題）12．【解答】解：（1）因?yàn)閒（x）≥0恒成立，所以x2lnx﹣ax+1≥0，即恒成立．令，則，易知g'（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且g'（1）＝0．所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g'（x）＜0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g'（x）＞0．所以g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（x）min＝g（1）＝1，故a≤1．所以a的取值范圍為（﹣∞，1]．（2）證明：由題意可知方程lnx﹣ax＝0的兩根為x1，x2．令h（x）＝lnx﹣ax，則h（x）的兩個(gè)零點(diǎn)為x1，x2．．當(dāng)a≤0時(shí)，h'（x）＞0，h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，不存在兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a＞0時(shí)，h（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，得．設(shè)x1＜x2，則，．因?yàn)閔（x1）＝h（x2）＝0，所以lnx1＝ax1，lnx2＝ax2．要證，即要證lnx1+lnx2＝a（x1+x2）＞2，即證．令＝，．則，所以F（x）在上單調(diào)遞減，所以．因?yàn)?，所以．因?yàn)閤2，，且h（x）在上單調(diào)遞減，所以，即，故成立．13．【解答】解：（1）當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）＝0即為，x﹣lnx﹣1＝0，令t（x）＝x﹣lnx﹣1，所以t′（x）＝1﹣＝，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，t’（x）＜0，t（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，t’（x）＞0，t（x）單調(diào)遞增；所以，t（x）min＝t（1）＝0，故方程f（x）＝0的根為x＝1．（2）由f（x）＝ax+﹣2a得，xlnx+a（1﹣x）＝0，令g（x）＝xlnx+a（1﹣x），所以g′（x）＝lnx+1﹣a，當(dāng)a≤1時(shí)，由x＞1，知g′（x）＞0，所以g（x）在（1，+∞）是增函數(shù)，且圖像不間斷，又g（1）＝0，所以x＞1時(shí)，g（x）＞g（1）＝0，即函數(shù)g（x）在（1，+∞）上沒(méi)有零點(diǎn)，不合題意．當(dāng)a＞1時(shí)，由g′（x）＝0，解得x＝ea﹣1＞1，當(dāng)1＜x＜ea﹣1時(shí)，g′（x）＜0，故g（x）在（1，ea﹣1）上是減函數(shù)，當(dāng)x＞ea﹣1時(shí)，g′（x）＞0，故g（x）在（ea﹣1，+∞）上是增函數(shù)，所以1＜x＜ea﹣1時(shí)，g（x）＜g（1）＝0，又因?yàn)間（ea）＝aea﹣a（ea﹣1）＝a＞0，且函數(shù)g（x）的圖象在（1，+∞）上不間斷，所以函數(shù)g（x）在（1，+∞）上有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意．綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（1，+∞）．（3）設(shè)h（x）＝﹣＝，令t（x）＝ex﹣1﹣x，則t′（x）＝ex﹣1﹣1，當(dāng)x＞1時(shí)，t′（x）＞0，t（x）在（1，+∞）單調(diào)增，又t（1）＝0，故t（x）＞0恒成立，所以當(dāng)x＞1時(shí)，h（x）＞0．當(dāng)a＝0時(shí)，令φ（x）＝f（x）+m（x2﹣1）＝﹣lnx+m（x2﹣1），1°當(dāng)m≤0，x＞1時(shí)，φ（x）＝f（x）+m（x2﹣1）＝﹣lnx+m（x2﹣1）＜0恒成立，所以不等式f（x）+m（x2﹣1）＞在（1，+∞）上不成立；2°當(dāng)m＞0時(shí)，由φ’（x）＝﹣+2mx＝＝0，得x＝，當(dāng)x∈（0，）時(shí)，φ’（x）＜0，φ（x）在（0，）單調(diào)減，當(dāng)x∈（，+∞）時(shí)，φ’（x）＞0，φ（x）在（，+∞）單調(diào)增，故φ（x）在x＝處取得極小值．（ⅰ）當(dāng)0＜m＜時(shí)，＞1，φ（）＜φ（1）＝0，而h（）＞0，故不等式f（x）+m（x2﹣1）＞在（1，+∞）上不恒成立；（ⅱ）m≥時(shí)，令F（x）＝﹣lnx+m（x2﹣1）﹣，F(xiàn)′（x）＝﹣+2mx﹣＝﹣+2mx﹣+，當(dāng)m≥，x＞1時(shí)，2mx≥x，ex﹣1＞1，F(xiàn)′（x）＝﹣+2mx﹣+＞﹣+x+﹣1＝＝＞0，所以F（x）在（1，+∞）單調(diào)增，又F（1）＝0，所以當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，F(xiàn)（x）＞0恒成立，故存在m≥，使得f（x）+m（x2﹣1）＞在（1，+∞）上恒成立，綜上所述，m的最小值為．14．【解答】解：函數(shù)f（x）＝ax+ka﹣x（k∈R，a＞0，a≠1），（1）當(dāng)k＝4時(shí)，f（x）＝ax+4a﹣x＝4，當(dāng)且僅當(dāng)ax＝4a﹣x，即x＝loga2時(shí)取等號(hào)，f（x）取最小值4．（2）設(shè)點(diǎn)P（m，n）為函數(shù)f（x）的對(duì)稱中心，則f（x）+f（2m﹣x）＝2n，所以ax+ka﹣x+a2m﹣x+ka﹣2m+x＝2n，所以a2x（1+ka﹣2m）﹣2nax+（k+a2m）＝0，于是1+ka﹣2m＝0，且k+a2m＝0，且2n＝0，即a2m＝﹣k，n＝0，所以當(dāng)k≥0時(shí)，m無(wú)解，此時(shí)函數(shù)f（x）的圖象沒(méi)有對(duì)稱中心；當(dāng)k＜0時(shí)，，此時(shí)函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱中心為．（3）當(dāng)k＝0時(shí)，都有，所以在上恒成立，即xlna+ln（1﹣2x）≤0．令φ（x）＝xlna+ln（1﹣2x），則φ（0）＝0，所以，令，則，所以φ′（x）在上單調(diào)遞減，①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，φ′（x）＜0，則φ（x）在上單調(diào)遞減，此時(shí)當(dāng)x＜0時(shí)，φ（x）＞φ（0）＝0，舍去；②當(dāng)a＞1時(shí)，由，解得，1°當(dāng)a＝e2時(shí)，x∈（﹣∞，0）時(shí)，φ′（x）＞0，則φ（x）單調(diào)遞增；時(shí)，φ′（x）＜0，則φ（x）單調(diào)遞減；所以x＝0時(shí)，φ（x）取極大值，則φ（x）≤φ（0）＝0，所以a＝e2滿足；2°當(dāng)1＜a＜e2時(shí)，，因?yàn)闀r(shí)，φ′（x）＜0，則φ（x）單調(diào)遞減，所以時(shí)，φ（x）＞φ（0）＝0，舍去；3°當(dāng)a＞e2時(shí)，，因?yàn)闀r(shí)，φ′（x）＞0，則φ（x）單調(diào)遞增，所以時(shí)，φ（x）＞φ（0）＝0，舍去；綜上，實(shí)數(shù)a的取值集合為{e2}．15．【解答】解：（1）因?yàn)間（x）＝alnx﹣x，x∈（0，+∞），所以，所以當(dāng)a≤0時(shí)，g'（x）＜0，g