中考復(fù)習(xí)資料-數(shù)學(xué)（一）-2024年中考考前20天終極沖刺攻略（原卷版）

目錄contents

（一）

實(shí)數(shù)命題預(yù)測(cè)知識(shí)導(dǎo)圖應(yīng)試必備真題回眸易錯(cuò)專練滿分訓(xùn)練名師押題01

代數(shù)式命題預(yù)測(cè)知識(shí)導(dǎo)圖應(yīng)試必備真題回眸易錯(cuò)專練滿分訓(xùn)練名師押題22

方程與方程組命題預(yù)測(cè)知識(shí)導(dǎo)圖應(yīng)試必備真題回眸易錯(cuò)專練滿分訓(xùn)練名師押題47

計(jì)時(shí)，

不等式與不等式組命題預(yù)測(cè)知識(shí)導(dǎo)圖應(yīng)試必備真題回眸易錯(cuò)專練滿分訓(xùn)練名師押題71

?倒計(jì)時(shí)

統(tǒng)計(jì)與概率命題預(yù)測(cè)知識(shí)導(dǎo)圖應(yīng)試必備真題回眸易錯(cuò)專練滿分訓(xùn)練名師押題83

.倒過(guò)時(shí)

實(shí)數(shù)

，中考命題預(yù)測(cè)

在中考中，實(shí)數(shù)部分的命題可能會(huì)涉及以下幾個(gè)方面：

實(shí)數(shù)的分類與性質(zhì)：命題可能會(huì)要求考生對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行正確的分類，理解有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的概念，掌握它

們的基本性質(zhì).

實(shí)數(shù)的運(yùn)算：包括加減乘除、乘方和開方等運(yùn)算.命題可能會(huì)以計(jì)算題或應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，考察考生

對(duì)實(shí)數(shù)運(yùn)算的掌握情況.

實(shí)數(shù)的應(yīng)用：實(shí)數(shù)在生活中有著廣泛的應(yīng)用，如測(cè)量、計(jì)算等.命題可能會(huì)結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，考察考生運(yùn)

用實(shí)數(shù)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.

此外，近年來(lái)中考數(shù)學(xué)命題越來(lái)越注重對(duì)學(xué)生綜合素質(zhì)的考察，可能會(huì)涉及到一些創(chuàng)新題型，如開放性

問(wèn)題、探究性問(wèn)題等.這些問(wèn)題通常需要考生結(jié)合所學(xué)知識(shí)進(jìn)行思考和探究，考察他們的創(chuàng)新思維和實(shí)踐能

力.

綜上所述，實(shí)數(shù)中考命題預(yù)測(cè)可能會(huì)圍繞實(shí)數(shù)的分類、性質(zhì)、運(yùn)算以及應(yīng)用等方面展開，同時(shí)可能會(huì)出

現(xiàn)一些創(chuàng)新題型.因此,建議考生在備考過(guò)程中加強(qiáng)對(duì)實(shí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)的現(xiàn)解和應(yīng)用能力的訓(xùn)練，同時(shí)注重提高

自己的綜合素質(zhì)和創(chuàng)新能力.

思維導(dǎo)圖

一應(yīng)試必備

I、正數(shù)與負(fù)數(shù)

一、正數(shù)與負(fù)數(shù)

4

正數(shù)：像3.5,2020,6.7,小等這樣的數(shù)都是正數(shù),它們都是大于0的；

負(fù)數(shù)：像一154,—3.4,-3.5%等這樣的數(shù)都是負(fù)數(shù),它們都是小于0的；

0既不是正數(shù),也不是負(fù)數(shù).

1.一個(gè)數(shù)前面的“+"號(hào)或“一”號(hào)叫做它的符號(hào)，其中"+”號(hào)可以省略不寫,“一”號(hào)不能省略；

2.0的意義不但可以表示“沒(méi)有”，還可以表示一些特定的意義,如0C是一個(gè)確定的溫度,不能說(shuō)0C沒(méi)有溫

度；

3.判斷一個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，不能僅由數(shù)字前面的符號(hào)判斷，不能理解為帶"+”號(hào)就是正數(shù)，帶“一”號(hào)

就是負(fù)數(shù),如后面要講的-(-1)就是一個(gè)正數(shù).

二、正、負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量

1.具有相反意義的量包括兩個(gè)因素：①有相反的意義，②有數(shù)量.

(1)單獨(dú)的一個(gè)量不能稱為具有相反意義的量，即具有相反意義的量總是成對(duì)出現(xiàn)的；

(2)具有相反意義的量必須是同類量,如盈利200元與向東走200米就不是具有相反意義的量；

(3)具有相反意義的量只要求具有相反意義和數(shù)量即口J,數(shù)量小一定要相等，例：與上升100米是相反意義

的量有很多,如下降10米、卜降看。米、下降200米等;

(4)常見的具有相反意義的量：前進(jìn)與后退,上升和下降,盈利和虧損，向南和向北等.

三、整數(shù)和分?jǐn)?shù)

整數(shù)：正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、零統(tǒng)稱為整數(shù)；

分?jǐn)?shù)：正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)；

易錯(cuò)點(diǎn)：

1.0不是分?jǐn)?shù),0是整數(shù)；

2.零和正整數(shù)又叫自然數(shù)；

3.正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)和零統(tǒng)稱為非止數(shù)，止整數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)整數(shù)(自然數(shù))，負(fù)整數(shù)和零統(tǒng)稱

為非負(fù)整數(shù)；

4.有限小數(shù)和無(wú)線循環(huán)小數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù)

四、用正、負(fù)數(shù)表示誤差范圍

一般情況卜.，我們常用)±2"這種形式來(lái)表示誤差范圍，其中a表示標(biāo)準(zhǔn)數(shù)量，±2表示在標(biāo)準(zhǔn)數(shù)量的基

礎(chǔ)上誤差范圍.

II、有理數(shù)與無(wú)理數(shù)

一、有理數(shù)

我們把能夠?qū)懗煞謹(jǐn)?shù)形式%(偏〃是整數(shù),〃#0)的數(shù)叫做有理數(shù).

n

1.有理數(shù)只包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)；

2.有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù),所以它們都是有理數(shù)；

3.無(wú)限不循環(huán)小數(shù)不能化成分?jǐn)?shù),所以無(wú)限不循環(huán)小數(shù)不是有理數(shù),如Ji,冬等.

二、有理數(shù)的分類

由有理數(shù)的特征，一般會(huì)有以卜兩種分法.

1.按定義分

'［正整數(shù)

整數(shù)《0

有理數(shù)＜I負(fù)整數(shù)

分?jǐn)?shù)(正分?jǐn)?shù)

力力負(fù)分?jǐn)?shù)

2.按正負(fù)分

正有理數(shù)｛鬻稱

有理數(shù)《0

負(fù)有理數(shù)1

三、無(wú)理數(shù)

1.無(wú)理數(shù)定義及分類：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)，無(wú)理數(shù)分為正有理數(shù)和負(fù)無(wú)理數(shù).

2.常見的無(wú)理數(shù)的幾種類型

(1)一般的無(wú)限不循環(huán)小數(shù),如0.32541…,3.5845661???;

(2)看似有規(guī)律循環(huán)實(shí)際上是無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)，如0.010010001…(每?jī)蓚€(gè)1之間0的個(gè)數(shù)逐次增加1);

(3)與圓周率兀有關(guān)的數(shù)，如兀，方■，-

山、數(shù)軸

一、認(rèn)識(shí)數(shù)軸、畫數(shù)軸

1.數(shù)軸定義：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸.

(1)數(shù)軸是一條可以向兩端無(wú)限延伸的直線；

(2)數(shù)軸有三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度，缺一不可；

⑶數(shù)軸三要素是“規(guī)定”的，通常,我們習(xí)慣性向右為正方向，原點(diǎn)的位置和單位長(zhǎng)度的大小耍依據(jù)實(shí)際情

況靈活選取，但是，一旦選定后就不能隨意改變；

⑷在同一條數(shù)軸上,單位長(zhǎng)度的大小必須統(tǒng)一,要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題靈活選取單位長(zhǎng)度的大小.

2,數(shù)軸的畫法

(1)畫一條直線(通常畫成水平位置)；

⑵在這條直線上取一點(diǎn)作為原點(diǎn),這點(diǎn)表示0；

(3)確定正方向：規(guī)定直線上向右為正方向，畫上箭頭；

(4)選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度,從原點(diǎn)向右每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一點(diǎn),依次標(biāo)上1,2,3,…從原點(diǎn)向左,每隔一個(gè)單位長(zhǎng)

度取一點(diǎn),依次標(biāo)上T,-2,-3,…

二、數(shù)軸與有理數(shù)、無(wú)理數(shù)的關(guān)系

1.有理數(shù)和無(wú)理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示.

(DE數(shù)可以用數(shù)軸上原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示；

(2)負(fù)數(shù)可以用數(shù)軸上原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示；

(3)0用原點(diǎn)表示.

2.所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)不一定表示有理數(shù).

3.數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)、無(wú)理數(shù)建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，揭示了數(shù)與形的聯(lián)系,是數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ).

三、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小

1.在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù),右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；

2.正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于0,正數(shù)大于負(fù)數(shù).

正確畫出數(shù)軸后，將各個(gè)有理數(shù)在數(shù)軸上表示出來(lái)，按照從左到右順序用號(hào)或者按照從右到左順序用“

>”號(hào)連接起來(lái)，注意不要漏數(shù).

IV、絕對(duì)值與相反數(shù)

一、絕對(duì)值

在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值.數(shù)a的絕對(duì)值記作|。|,讀作飛的絕對(duì)

值”.

1.因?yàn)榫嚯x不可能為負(fù)，所以一個(gè)數(shù)攸絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)；

2.數(shù)軸上表示一個(gè)數(shù)的點(diǎn)離原點(diǎn)越遠(yuǎn),這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就越大,反之，數(shù)軸上表示一個(gè)數(shù)的點(diǎn)離原點(diǎn)越近,這

個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就越小；

3.數(shù)軸上表示0的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為3,所以|0|=0.

絕對(duì)值圖示：

-3.52.5

-----1-----1~0-1-----1-----1---A-----1-----?—O-1-----1-----1---?

-5-4-3-2-1012345

距離為3.5距離為2.5

II

|-3.5|=3.5\2.5\=2.5

二、相反數(shù)

1.相反數(shù)的定義：符號(hào)不同,絕對(duì)值相同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù),其中一個(gè)數(shù)叫做另一個(gè)數(shù)的相反數(shù).

(1)0的相反數(shù)是0；

(2)相反數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)不能說(shuō)是相反數(shù)(類似倒數(shù)).

2.相反數(shù)的幾何意義：在數(shù)軸上位于原點(diǎn)兩側(cè)且到原點(diǎn)的距離相等的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)互為相反數(shù).

(1)數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等；

(2)數(shù)軸上與原點(diǎn)距離是是一個(gè)正數(shù))的點(diǎn)有兩個(gè),分別在原點(diǎn)的左右兩邊,它們表示的數(shù)互為相反數(shù).

3.相反數(shù)的性質(zhì)

任何數(shù)都有相反數(shù),且僅有一個(gè).正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù),負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù),0的相反數(shù)是0.

4.相反數(shù)的特征

若a與8互為相反數(shù),則a=-b,反之,若a=-b,則a與力互為相反數(shù).

(1)求一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母的相反數(shù)，只要在它的前面添上"一”號(hào)即可；

(2)求一個(gè)式子的相反數(shù)，要在這個(gè)式子整體前面添上“一"，如a-b的相反數(shù)為一(a—6),括號(hào)不要忘記了!

三、多重符號(hào)化簡(jiǎn)

1.相反數(shù)的定義是多重符號(hào)化簡(jiǎn)的依據(jù)，如一(一1)表示一1的相反數(shù)，所以一(-1)=1；

2.由相反數(shù)的性質(zhì)由內(nèi)向外化簡(jiǎn)，當(dāng)最前面的符號(hào)是“+"時(shí)，可省略，當(dāng)最前面的符號(hào)是“一"時(shí)，去掉“

一”號(hào)，寫出括號(hào)內(nèi)的相反數(shù)；

3.先省略所有的"+”號(hào)，用“一”號(hào)的個(gè)數(shù)去掉結(jié)果的符號(hào)，當(dāng)“一”號(hào)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，化簡(jiǎn)的結(jié)果為正數(shù);

當(dāng)，一”號(hào)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí),化簡(jiǎn)的結(jié)果為負(fù)數(shù).

4.多重符號(hào)化筒后,最終的結(jié)果符號(hào)是由“一”號(hào)的個(gè)數(shù)決定的，與"十”號(hào)的個(gè)數(shù)無(wú)關(guān).

四、絕對(duì)值的性質(zhì)

1.絕對(duì)值的性質(zhì)

正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù),0的絕對(duì)值還是0;即

a(a>0)

|a|=<0(a=0)

-a(a<0)

2.絕對(duì)值的非負(fù)性

對(duì)于任何一個(gè)有理數(shù)a,我們都有|Q|二0.

(1)若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,則每個(gè)加數(shù)分別為0；

(2)絕對(duì)值是某個(gè)正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，且它們互為相反數(shù).

五、比較有理數(shù)的大小

在上個(gè)專題中，講解了用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小,這個(gè)專題中我們將學(xué)習(xí)利用絕對(duì)值比較有理數(shù)的大小.先

將有理數(shù)進(jìn)行分類,然后分別比較大小.

1.正數(shù)比較大小,絕對(duì)值大的正數(shù)大；

2.負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的負(fù)數(shù)小；

3.正數(shù)要大于負(fù)數(shù)；

4.正數(shù)大于0,負(fù)數(shù)小于0.

V、有理數(shù)運(yùn)算

一、有理數(shù)加法

1.同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加.

若a>0,6>0,則。+6=+(|a|+|&|)；

若aV0<v0,則a+b=-(|a|+\b\).

2.異號(hào)兩數(shù)相加,絕對(duì)值相等時(shí),和為0;絕對(duì)值不等時(shí),取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去

較小的絕對(duì)值.

絕對(duì)值相等：若。>0/vo,且㈤=回，則。+6=0；

絕對(duì)值不相等：

①若a>0,6<0,且|。|>I",則a+b=+(|a|—|6|)；

②若a<0,匕>0,且|a|>則。+。=一(|a|—IM).

3.一個(gè)數(shù)與0相加,仍得這個(gè)數(shù).

a+0=Q

二、有理數(shù)減法

減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，。一，=。+(-0

1.較大的數(shù)一較小的數(shù)=正數(shù),即若a>6,則Q—b>0;

2.較小的數(shù)一較大的數(shù)=負(fù)數(shù),即若aVb,則a—6V0;

3,相等的兩個(gè)數(shù)相減等于0,即若a=6,則a—b=0;

4.0減去任何數(shù)都等于這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，任何數(shù)減去0仍等于這個(gè)數(shù).

三、有理數(shù)乘法法則

I.兩數(shù)相乘,同號(hào)得正,異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；

2.。與任何數(shù)相乘都得0;

3.任何數(shù)與1相乘都等于它本身，任何數(shù)與一1相乘都等于它的相反數(shù)；

4.拓展：

(1)幾個(gè)不等干。的數(shù)相乘,積的符號(hào)由魚因數(shù)的個(gè)數(shù)決定.當(dāng)魚因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí),積為偵：當(dāng)角因

數(shù)的個(gè)數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正；

(2)幾個(gè)數(shù)相乘,如果有一個(gè)因數(shù)為0,那么積就等于0.反之,如果積為0,那么至少有一個(gè)因數(shù)為0.

(3)一般地,在乘法運(yùn)算中，若有帶分?jǐn)?shù)和小數(shù),應(yīng)先把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù),小數(shù)化為分?jǐn)?shù)之后再計(jì)算,

方便約分.

四、倒數(shù)

L倒數(shù)：乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù),其中一個(gè)數(shù)叫做另一個(gè)數(shù)的倒數(shù).

/5單獨(dú)的一個(gè)數(shù)不能稱為倒數(shù);()與任何數(shù)相乘都等于0,不可能等于I,所以0沒(méi)有倒數(shù).

2.求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)的方法：

(1)一個(gè)不為0的整數(shù)的倒數(shù),是用這個(gè)數(shù)作分母，1作分子的分?jǐn)?shù)：

(2)求一個(gè)真分?jǐn)?shù)的倒數(shù),就是將這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母交換一下位置；

(3)求帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù),要先將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù),再交換分子與分母的位置；

(4)求小數(shù)的倒數(shù)，先將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，再求倒數(shù).

3.化為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)的符號(hào)是相同的,正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù),0沒(méi)有倒數(shù).

五、有理數(shù)除法法則

1.除以一個(gè)不等于。的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)；

2.兩個(gè)不為0的數(shù)相除，同號(hào)得正,F號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除；

3.0除以任何一個(gè)不為0的數(shù)都等于0,0不能作為除數(shù),無(wú)意義.

4.一個(gè)非零的數(shù)除以它的本身等于1.

兩數(shù)相除要先確定商的符號(hào)，再確定絕對(duì)值,其中商的符號(hào)的確定方法與有理數(shù)乘法中積的符號(hào)確定方

法相同.

六、有理數(shù)乘方的意義

求相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方,相同因數(shù)叫做底數(shù),相同因數(shù)的個(gè)數(shù)叫做指數(shù),乘方的運(yùn)算結(jié)果叫做哥.

a?a?a....a

一般地，------T-----記作Q"，讀作“a的n次方”，其中a叫做底數(shù),〃叫做指數(shù),當(dāng)Q”看作a的〃次方

n個(gè)

的計(jì)算結(jié)果時(shí)，也可以讀作的〃次事”.

1.乘方與基不同,乘方是幾個(gè)相同因數(shù)的乘法運(yùn)算,事是乘方運(yùn)算的結(jié)果；

2.一個(gè)數(shù)可以看作是它本身的一次方,指數(shù)1可省略不寫；

3.底數(shù)一定是相同的因數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)不是單純的一個(gè)數(shù)時(shí),耍用括號(hào)括起來(lái)；

4.當(dāng)負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)作為底數(shù)時(shí)，底數(shù)必須用括號(hào)括起來(lái)：

5.一個(gè)數(shù)的二次方又稱為這個(gè)數(shù)的平方，一個(gè)數(shù)的三次方又稱為這個(gè)數(shù)的立方.

七、有理數(shù)乘方的運(yùn)算

1.有理數(shù)乘方運(yùn)算的符號(hào)法則

（1）正數(shù)的任何次第都是正數(shù)；

（2）負(fù)數(shù)的奇數(shù)次塞是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶數(shù)次塞是正數(shù)；

（3）0的任何正整數(shù)次事都是0;

（4）任何一個(gè)數(shù)的偶數(shù)次塞都是非負(fù)數(shù).

2.有理數(shù)的乘方運(yùn)算

計(jì)算一個(gè)有理數(shù)的乘方時(shí),應(yīng)先將乘方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算,先確定塞的符號(hào),再計(jì)算金的絕對(duì)值.

3.拓展：

（1）1的任何次嘉都是1；

（2）-1的偶數(shù)次嘉是1,-1的奇數(shù)次晶是一1;

（3）平方等于它本身的數(shù)有0和1,立方等于它本身的數(shù)有0,1,-1.

八、科學(xué)記數(shù)法

1.用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值大于1的數(shù)：一般地，一個(gè)大于10的數(shù)可以寫成aXl（r的形式，其中

1S|a|V10,n是正整數(shù),這種記數(shù)方法稱為科學(xué)記數(shù)法.

(I)a是一個(gè)整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，即|Q|<10;

(2)確定n的兩種方法：①若這個(gè)數(shù)是大于10的數(shù)，則n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1;②按小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的

位數(shù)來(lái)確定〃的值，小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)了幾位,〃就等于兒.

(3)一般地，用科學(xué)記數(shù)法可以將一個(gè)絕對(duì)值小于1的數(shù)表示成QX10”的形式，其中1S⑷<10,/7

是負(fù)整數(shù).

2.用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值小于1的數(shù)的步驟：

(Dn的絕對(duì)值等于原數(shù)中左起第一個(gè)非0數(shù)字前所有0的個(gè)數(shù)(包括小數(shù)點(diǎn)前面的那個(gè)0);

(2)個(gè)數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)到第一個(gè)不為0的數(shù)字后，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了幾位的絕對(duì)值就等于幾；

VI、平方根

一、平方根

1.平方根：如果22=a(a20),那么才叫做a的平方根，也叫做二次方根.

⑴在一=。中，因?yàn)橐蝗?,所以Q、o；

⑵檢驗(yàn)x是不是a的平方根，只需驗(yàn)證立2是不是等于a就可以了.

2.平方根的表示：正數(shù)a的正的平方限記作V9,負(fù)的平方根記作一依，正數(shù)a的兩個(gè)平方根記作土遍,

讀作”正、負(fù)根號(hào)a”.

3.一個(gè)數(shù)的平方根平方后仍然等于這個(gè)數(shù).

4.求一個(gè)非負(fù)帶分?jǐn)?shù)的平方根時(shí),要先化成假分?jǐn)?shù),再求平方根.

二、平方根的性質(zhì)

1.一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根,這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)；

2.0的平方根還是0(平方根等于本身的只有0);

3.負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根；

a(a>0)

0(a=0);

{-a(a<0)

5.(A/^)2=Q(Q20).

三、開平方

求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算叫做升平方.

1.開平方時(shí),被開方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)；

2.開平方是求一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根.

3.平方根是數(shù)，是開平方的結(jié)果;而開平方和加、減、乘、除、乘方一樣,是求平方根的過(guò)程；

4.平方和開平方互為逆運(yùn)匏,我們可以用平方運(yùn)完來(lái)檢驗(yàn)開平方的結(jié)果表是否正確.

四、算術(shù)平方根

1.算術(shù)平方根：正數(shù)a的正的平方根\/?叫做a的算:術(shù)平方根；

2.算術(shù)平方根的表示：正數(shù)a的算術(shù)平方根記作“工，讀作"根號(hào)"'；

3.算術(shù)平方根的性質(zhì)：正數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)正數(shù),0的平方根也叫做0的算術(shù)平方根，負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平

方根.

4.算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性：①被開方數(shù)a是非負(fù)數(shù)，即Q20;②算術(shù)平方根心是非負(fù)數(shù)，即

y/a20.

5.平方根與算術(shù)平方根的lx.別與聯(lián)系

平方根算術(shù)平方根

區(qū)別個(gè)數(shù)一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè),它們互為相反數(shù)一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個(gè)

表示方法非負(fù)數(shù)a的平方根表示為土心非負(fù)數(shù)a的鳧術(shù)平方根表示為

\fa

取值范圍正數(shù)的平方根是一正一負(fù)正數(shù)的算術(shù)平方根一定是正數(shù)

聯(lián)系包含條件平方根包含第術(shù)平方根,算術(shù)平方根是正的平方U艮（0除外）0.

存在條件平方根和算術(shù)平方根都是只有非負(fù)數(shù)才有,0的平方根和算術(shù)平方根都是0.

PS：算術(shù)平方根等于它本身的數(shù)只有3和1.

VD、立方根

一、立方根

1.一般電如果出3=。，那么x叫做a的立方根.

2.數(shù)a的立方根記作“%"，讀作"三次根號(hào)a”.

3.這里a的取值可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或J,且根指數(shù)3不能省略.

二、立方根的性質(zhì)

正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù),0的立方根是0.

1.平方根與立方根的區(qū)別與聯(lián)系

平方根立方根

正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)：0正數(shù)內(nèi)立方根是一個(gè)正數(shù),0的立方根是

個(gè)數(shù)不同

的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根0,負(fù)數(shù)的立方根是一個(gè)負(fù)數(shù)

非負(fù)數(shù)a的平方根表示為土述，根指數(shù)a的立方根表示為普，根指數(shù)是3.不

區(qū)別表示方法

數(shù)是2,常省略不寫能省略不寫

被開方數(shù)的在土述中，a是非負(fù)數(shù)，即a20在加中，。是任意數(shù)

取值范圍

都可以轉(zhuǎn)化為非負(fù)數(shù)的非負(fù)方根來(lái)研究,平方根轉(zhuǎn)化為算術(shù)平方根來(lái)研究，負(fù)數(shù)的立

聯(lián)系轉(zhuǎn)化條件

方根可以轉(zhuǎn)化為其相反數(shù)的立方根來(lái)研究.

2.立方根等于本身的有0和士1.

3.互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù),它們的立方根也互為相反數(shù).

4.（次）3=y/'o?—a,yf-a=-ya.

三、開立方

求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算叫做開立方.

求帶分?jǐn)?shù)的立方根時(shí),要先將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù),再求它的立方根.

開立方與立方互為逆運(yùn)鳧，可以利用開立方求一個(gè)數(shù)的立方根，也可以利用立方來(lái)檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是不是某

個(gè)數(shù)的立方根.

開立方時(shí)，先把根號(hào)下的數(shù)化簡(jiǎn)，看是不是一個(gè)數(shù)的立方,再求值；另外,開立方時(shí),要先根據(jù)被開方數(shù)的

符號(hào)確定其立方根的符號(hào).

VI、實(shí)數(shù)

一、無(wú)理數(shù)

1.無(wú)理數(shù)：無(wú)線不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù).

無(wú)理數(shù)都是無(wú)限小數(shù)，但無(wú)限小數(shù)不一定是無(wú)理數(shù)，只有無(wú)限不循環(huán)小數(shù)才是無(wú)理數(shù).

2.常見的無(wú)理數(shù)三種形式

⑴開方開不盡的數(shù)的方根,如通,、月,07等；

7F

⑵霍及化簡(jiǎn)后含7T的數(shù)，如7T,奈萬(wàn)一2等;

O

⑶看似循環(huán)實(shí)質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如0.010010001…（兩個(gè)1之間一次多一個(gè)0）.

3.任何一個(gè)有理數(shù)都能寫成分?jǐn)?shù)的形式（整數(shù)可以看成分母是1的分?jǐn)?shù)i,無(wú)理數(shù)不能寫成分?jǐn)?shù)的形式.

4.任何一個(gè)有理數(shù)都可以寫成有限小數(shù)(把整數(shù)看成小數(shù)點(diǎn)后是0的小數(shù))或無(wú)限循環(huán)小數(shù)的形式,無(wú)理數(shù)

是無(wú)限不循環(huán)小數(shù).

二、實(shí)數(shù)及分類

1.有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).

2.實(shí)數(shù)的分類

(1)按定義分類：

’(正有理數(shù)］

有理數(shù)｛0｝有限小數(shù)或循環(huán)小數(shù)

實(shí)數(shù)〈I負(fù)有理數(shù)J

無(wú)理數(shù)｛低蠹｝無(wú)線不循環(huán)小數(shù)

(2)按性質(zhì)分類:

正實(shí)數(shù)!正有理數(shù)

人奴［正無(wú)理數(shù)

實(shí)數(shù)，0

負(fù)實(shí)數(shù)(負(fù)有理數(shù)

人A力負(fù)屈!數(shù)

PS：0既不是正實(shí)數(shù)，也不是負(fù)實(shí)數(shù).

三、實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系

1.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系：每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示，反之，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一

個(gè)實(shí)數(shù),實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng).

2.畫表示無(wú)理數(shù)的點(diǎn)：要想在數(shù)軸上畫出表示無(wú)理數(shù)的點(diǎn)，需先得到長(zhǎng)度為無(wú)理數(shù)的絕對(duì)值的線段，一般地,

依據(jù)勾股定理，通過(guò)構(gòu)造直角三角形來(lái)得到長(zhǎng)度為無(wú)理數(shù)的絕對(duì)值的線段，以原點(diǎn)為圓心，以上述線段長(zhǎng)為

半徑畫弧,弧與數(shù)軸的交點(diǎn),便是表示無(wú)理數(shù)的點(diǎn).

正無(wú)理數(shù)以原點(diǎn)為圓心，向數(shù)軸正方向畫弧,負(fù)無(wú)理數(shù)以原點(diǎn)為圓心，向數(shù)軸負(fù)方向畫弧.

四、比較實(shí)數(shù)的大小

有理數(shù)的大小比較方法在實(shí)數(shù)范惘內(nèi)仍然適用.

1.在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù),右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.

2.正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于0,正數(shù)大于一切負(fù)數(shù);兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，絕對(duì)值大的反而小.

3.比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的常用方法：

(1)比較被開方數(shù)：如果兩個(gè)數(shù)的根指數(shù)相同,我們可以通過(guò)比較被開方數(shù)的大小來(lái)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大??；

⑵數(shù)軸比較法：根據(jù)在數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)大于左邊的點(diǎn)表示的數(shù)，結(jié)合圖形比較，這個(gè)方法適用于

多個(gè)實(shí)數(shù)比較大??；

⑶法則比較法：根據(jù)”正數(shù)大于0,負(fù)數(shù)小于0,正數(shù)大于負(fù)數(shù);兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)反而小”

進(jìn)行比較；

(4)作差比較法：當(dāng)a—時(shí)，;當(dāng)〃-4=0時(shí)，a=b;當(dāng)。一匕<0時(shí)，a<b.

⑸作商比較法：a、。為正數(shù)，若則a>b;若?=1,則a=b;若gVI,則aVb

000

⑹倒數(shù)比較法：a、。為正數(shù)，若[>],則QVb;

ab

⑺平方比較法：a、方為正數(shù)，若。2>/，則。>也

IX、近似數(shù)

一、近似數(shù)

1.近似數(shù)：接近準(zhǔn)確數(shù)而不等于準(zhǔn)確數(shù)的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的近似數(shù)，也叫糧近似值.

2.準(zhǔn)確數(shù)：與實(shí)際完全符合的數(shù)值稱為準(zhǔn)確數(shù).

3.常見的近似數(shù)

(1)月測(cè)量工具測(cè)出的一般都是近似數(shù)，如長(zhǎng)度、質(zhì)量、時(shí)間等；

(2)“計(jì)算”產(chǎn)生的近似數(shù),如有圓周率n參與計(jì)算的結(jié)果；

(3)不容易得到或不能得到準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，只能用近似數(shù)表示,如人口普查等；

(4)表示某一時(shí)間段的數(shù)據(jù)為近似值,如小明今年14歲，在這1年中他招是14歲.

二、近似數(shù)的精確度

一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪一位,就稱這個(gè)數(shù)精確到哪一位，精確到的這一位也叫做這個(gè)近似數(shù)的精確度.

1.一個(gè)近似數(shù)末尾的0不能省略,如0.10中末尾的0不能省略,因?yàn)樗硎镜氖沁@個(gè)數(shù)的精確度；

2.帶單位的數(shù)以及用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù),求精確度時(shí)要先把數(shù)還原,再判斷數(shù)的精確度,如10萬(wàn)=100)0,

則10萬(wàn)精確到萬(wàn)位.

3.其他近似數(shù)的取法

(1)去尾法：把某一個(gè)數(shù)保留到某一指定的數(shù)位為止，后面的數(shù)全部舍去，如將一根100米長(zhǎng)的木棒截成每

段6米做零件，最多可以做幾個(gè)？100+6=16.66…，雖然十分位上的數(shù)字大于4,但不夠做一個(gè)零件，所

以只能取近似數(shù)16;

⑵進(jìn)一法：把某一個(gè)數(shù)保留到某一指定的數(shù)位時(shí)，只要后面的數(shù)不是0,都要在保留的最后一位數(shù)上加1,

如某校八年級(jí)共有200名學(xué)生,想租用45座大巴車秋游,應(yīng)租用多少輛?200+45=4.44…，這里就要用

進(jìn)一法來(lái)確定租車的輛數(shù),共需5輛.

考真題回眸

1.（2023?蘇州）有理數(shù):的相反數(shù)是（）

A.一爭(zhēng).|c.一±|

2.（2023?云南）中國(guó)是最早使用正負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量的國(guó)家.若向東走60米記作+60米,則向西

走80米可記作（）

A.-80米B.。米C.80米D.140米

3.（2023?河北）光年是天文學(xué)上的一種距離單位,一光年是指光在一年內(nèi)走過(guò)的路程,約等于9.46X10%加,

下列正確的是（）

A.9.46X1012-10=9.46X10"

B.9.46X10l2-0.46=9X1012

C.9.46X10*是一個(gè)12位數(shù)

D.9.46X1（）12是一個(gè)13位數(shù)

4.（2023?自貢）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)力表示的數(shù)是2023,如=〃氏則點(diǎn)外表示的數(shù)是（）

29d

02023

1

A.2023B.-2023C.----D.

2023

5.（2023?徐州）何石的值介于（）

A.25與30之間B.30與35之間

C.35與40之間D.40與45之間

6.（2023?內(nèi)蒙古）定義新運(yùn)算"?"，規(guī)定:湃6=才?|引，則的運(yùn)算結(jié)果為（）

A,-5B.-3C.5D.3

7.（2023?西薇）己知a"都是實(shí)數(shù)，若（K2）2+|6-1|=0,則（步。）2g的值是（）

A.-2023B.-IC.ID.2023

8.（2023?濟(jì)南）實(shí)數(shù)a,在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示,則下列結(jié)論正確的是（）

ba

I?I1I1}I>

-3-2-10123

A.rr+Z?>0C.正3V加3D.?3aV?36

9.（2023?浙江）計(jì)算：|-2023|=.

10.（2023?西寧）如果氣溫上升6℃記作+6C,那么氣溫下降2"C記作C.

11.（2023?寧夏）如圖，點(diǎn)4B,。在數(shù)軸上,點(diǎn)A表示的數(shù)是-1,點(diǎn)8是力。的中點(diǎn),線段AB=則點(diǎn)C表

示的數(shù)是.

ABC

----------------?

-10

12.（2023?廣安）定義一種新運(yùn)算：對(duì)于兩個(gè)非零實(shí)數(shù)a、〃蟀/）=；+4.若2※（-2）=1,貝卜-3）派3的

<1U

值是.

13.(2023?西寧)計(jì)算:-I4+|1-VI|-(ff-3.14)°.

(a-b(a>2b)

14.（2023?棗莊）對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,仇定義一種新運(yùn)算：々※修i0+b-6(<i<2"例如：3※1=3-1=2,5

派4=5+4-6=3.根據(jù)上面的材料，請(qǐng)完成下列問(wèn)題:

⑴4派3=,（7）※（-3）=;

（2）若（3戶2）※3-1）=5,求x的值.

15.（2023?淄博）若實(shí)數(shù)應(yīng)〃分別滿足下列條件:

⑴2（6?1尸.7=-5;

（2）/7-3>0.

試判斷點(diǎn)尸（2m-3,等）所在的象限.

的易錯(cuò)專練

I.（2023?東營(yíng)區(qū)一模）（-1尸23的相反數(shù)是（）

A.-IB.IC.-2023D.2023

2.（2023?余杭區(qū)校級(jí)模擬）若a<0,。>0,則6、吩a、b-a、中最大的一個(gè)數(shù)是（）

A,加.ZH-aC.b-aD.ab

3.（2023?平南縣二模）用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)7.21X10”,它原來(lái)是（）位整數(shù).

A.10B.12C.13D.14

4.（2023?石景山區(qū)校級(jí)模擬）實(shí)數(shù)a、6、c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，若IH=|引，則下列結(jié)論中

錯(cuò)誤的是（）

-1---1--

abe?

A.a+/）>0B.a+c>0C.ZH-（?>0D.aeVO

2

5.（2023?東營(yíng)二模）在實(shí)數(shù)：3.14159,010010001,近，工，丁也無(wú)理數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

6.（2023?長(zhǎng)春模擬）一種細(xì)胞的直徑為2XIO-?厘米,將2X京.寫成小數(shù)為.

7.（2023?項(xiàng)城市三模）與g最接近的整數(shù)是.

8.（2023?黃岡模擬）若一個(gè)正數(shù)勿的平方根為廣1和5+2苞則加的值為.

9.（2023?藁城區(qū)二模）對(duì)于三個(gè)實(shí)數(shù)a,b,c,用4a"}表示這兩個(gè)數(shù)的平方差，用3x{a〃c}表示這三個(gè)數(shù)

中最大的數(shù).例如:F{7,2}=I2-22=1-4=-3,OTax{l,2,-1）=2^x（2,1,1}=2.

請(qǐng)結(jié)合上述材料,解決下列問(wèn)題：

⑴網(wǎng)-2,3}=,儂*{2；（-2）；-22）=;

⑵若F{a-2,3}<max{atAl,-3},則負(fù)整數(shù)a的值是.

10.（2023?玉林一?模）計(jì)算：（2?6）乂（?2）+（?3尸+（-1）?（IT-3）°.

11.（2023?蓮湖區(qū)模擬）計(jì)算:|1-百卜5+（.2尸.

12.（2023?遵義模擬）（1）在整式AH-4,2X-4,3產(chǎn)8中，任選兩個(gè)用"="連接組成一個(gè)一元一次方程，升解

該方程；

⑵計(jì)鳧（務(wù)】+卜2卜2sin30?

小君的解答如下：

解：原式=2+（-2）-2x；…第一步

=2-2-I…第二步

=-1…第三步

小君的解答過(guò)程從第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，請(qǐng)寫出正確的解答過(guò)程.

軟滿分訓(xùn)練

1.（2023?婁底模擬）若，'是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)，并且1!=1,2!=2X1=2,3!=3X2X1=6,41=4X3X2

12345

X1，…且公式4二8F+）,則舞2+Cf2=（）

A.Cf3B.Cf3c.C片D.C%

2.（2023?白堿灘區(qū)二模）我們知道,一元二次方程￥=-1沒(méi)有實(shí)數(shù)根，即不存在一個(gè)實(shí)數(shù)的平方等于-1,

若我們規(guī)定一個(gè)新數(shù)"二，使其滿足1=-1（即方程x=-1有一個(gè)根為/）.并且進(jìn)一步規(guī)定：一切實(shí)

數(shù)可以與新數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，且原有運(yùn)算律和運(yùn)算法則仍然成立,于是有』=工/=-1,『=/?/=（-I）

,7--A/=（『）'=（-1）2=1,從而對(duì)于任意正整數(shù)〃，我們可以得到同理可得

嚴(yán)2=_],產(chǎn)3=t,r=].那么"/+/+/+…+產(chǎn)2+產(chǎn)3的值為（）

A.OB.IC.-ID.i

3.（2023?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)模擬）我們把,0{1,3,x）叫集合〃其中1,3,、同做集合4/的元素.集合中的元素

在確定性（如X必然存在），互異性（如正1,彳#3）,無(wú)序性（即改變?cè)氐捻樞?，集合不變?若集合A-

{*,1,3},我們說(shuō)M=N.已知集合力={0,3,九集合8:卜，xy,尸小若4=4則x^y的值是

（）

A.4B.2C.0D.-2

4.（2023?瑤海區(qū)三模）若|川+3=|公31,則x的取值范圍是.

5.（2023?海淀區(qū)二模）四個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)a",c,m在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為4B,C扎其中a=4,b=7,c

為整數(shù)，/〃=0.2（a+加c）.

⑴若c=10,則4B,。中與V距離最小的點(diǎn)為;

（2）若在4,B,。中，點(diǎn)。與點(diǎn)V的距離最小,則符合條件的點(diǎn)。有個(gè).

6.(2023?石家莊模擬)已知在紙面上有一數(shù)軸(如圖),折疊紙面.

(1)若1表示的點(diǎn)與-1表示的點(diǎn)重合,則-2表示的點(diǎn)與數(shù)表示的點(diǎn)重合；

(2)若-2表示的點(diǎn)與4表示的點(diǎn)重合，回答以下問(wèn)題：

①5表示的點(diǎn)與數(shù)表示的點(diǎn)羽合；

②若數(shù)軸上爾〃兩點(diǎn)之間的距離為9(力在夕的左側(cè))，且力、〃兩點(diǎn)經(jīng)折疊后也合，求從少兩點(diǎn)表示的

數(shù)是多少？

-4-3-2-1012345>

7.(2023?寶應(yīng)縣模擬)如果10°=〃,那么稱6為〃的勞格數(shù)，記為6=擾力，由定義可知：10“=〃與b=a(n)

所表示的是兩個(gè)量之間的同一關(guān)系.

⑴根據(jù)勞格數(shù)的定義，填空：d(10)=,d(10")=;

(2)勞格數(shù)有如下運(yùn)算性質(zhì)：

若///yn為正數(shù)，則d(mn)=4(m)+d(/?,</(-)=(/(//?)-d(〃).

n

根據(jù)運(yùn)算性質(zhì)，填空：

d(a3)

-77V=(a為正數(shù))，若"⑵=0.3010,則d(4)=,d(5)=,d(0.08)=;

d(a)

(3)下表中與數(shù)才對(duì)應(yīng)的勞格數(shù)"(x)有且只有兩個(gè)是錯(cuò)誤的,請(qǐng)找出錯(cuò)誤的勞格數(shù)，說(shuō)明理由并改正.

X1.5356891227

d(x)3a-ZH-C2a-ba+c1+a-b3-3a-4a-2b3-b-6a-3b

-c3c2c

名師押題

1.?2024的絕對(duì)值是()

11

A.2024B.-2024C.—?)-

2.如果溫度上升10℃,記作+10C,那么溫度下降7℃記作()

A.+3℃B.-3℃C.+7CD.-7℃

3.著名的數(shù)學(xué)蘇步青被譽(yù)為"數(shù)學(xué)大王”.為紀(jì)念其卓越貢獻(xiàn)，國(guó)際上將一顆距地球約218000000公里的

行星命名為“蘇步青星”，數(shù)據(jù)218000000用科學(xué)記數(shù)法表示為()

A.0.218X10!，B.2.18X10%.2.18X109D.218X106

4.實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示,下列結(jié)論中正確的是()

1gl??1I1.

-3-2-10123

A,g-2B.a<-3C.-a>2l).-ae3

5.當(dāng)a>0時(shí)，下列運(yùn)算結(jié)果正確的是()

A.a=0B.a2=-a

C.(-a)3=-a3D.aN=1

6.如果|a-2024|+(64)2=0,則J的值是.

7.某潛艇從海平面以下27米上升到海平面以下18米,此潛艇上升了米.

8.已知x是滿足vT0Vx,V\77的整數(shù)，且使、萬(wàn)二%的值為有理數(shù),則>=.

9.我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在所著的《誤解九章兌術(shù)》一書中，用如圖的三角形給出/(//))"(〃為正整數(shù))的

展開式(按a的次數(shù)由大到小的順序)的系數(shù)規(guī)律,例如：此三角形中第3行的3個(gè)數(shù)I、2、1,恰好對(duì)應(yīng)

著(a+&)2=/+2a〃4展開式中的各項(xiàng)的系數(shù)，則g+小)時(shí)的展開式中含/姨項(xiàng)的系數(shù)是.

圖1圖2

10.定義：a,"m為實(shí)數(shù)，若&+8=勿，則稱a與力是關(guān)于1的對(duì)稱數(shù).

(1)2與4是關(guān)于的對(duì)稱數(shù),7與是關(guān)于3的對(duì)稱數(shù)；

⑵若a=-2f+3(f+x)-4,且a與6是關(guān)于-1的對(duì)稱數(shù),試用含有x的代數(shù)式表示b.

11.老師設(shè)計(jì)了一個(gè)計(jì)算程序如圖所示：

/h6X2f+8f4-4fT輸出/

⑴當(dāng)彳取-6時(shí),求出輸出的結(jié)果；

(2)嘉淇發(fā)現(xiàn)：對(duì)于任意的一個(gè)數(shù),經(jīng)過(guò)上面的程序運(yùn)算后所得結(jié)果都相同.你同意她的說(shuō)法嗎？說(shuō)明理

由.

12.已知數(shù)軸上有M*兩點(diǎn)，點(diǎn)必表示的數(shù)為3*-5,點(diǎn)內(nèi)表示的數(shù)為9-尤

⑴當(dāng)k-1時(shí)，求線段腑的長(zhǎng)；

⑵若點(diǎn)”與點(diǎn)"關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,求點(diǎn)"表示的數(shù);

⑶若點(diǎn)J/在點(diǎn)N的左側(cè),求x的正整數(shù)值.

代數(shù)式

［中考命題預(yù)測(cè)

代數(shù)式中考考綱涵蓋了代數(shù)式的基本概念、運(yùn)算、整式與分式、方程與不等式的應(yīng)用、函數(shù)與圖像以

及實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題等多個(gè)方面.考生應(yīng)全面豆習(xí)這些內(nèi)容，并注里理解和應(yīng)用能力的培養(yǎng)，以應(yīng)對(duì)中考的挑戰(zhàn).

在備考過(guò)程中，建議學(xué)生：熟練掌握代數(shù)式的基本概念、性質(zhì)和運(yùn)算規(guī)則.

多做練習(xí)題,特別是歷年中考真題和模擬題，以熟悉命題風(fēng)格和難度.

注重實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的訓(xùn)練,提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

善于總結(jié)歸納,形成自己的解題方法和思路.

’應(yīng)試必備

1＞代數(shù)式

一、代數(shù)式

1.代數(shù)式的定義：像16〃,2/3〃34,2，(。+力2等，這樣的式子都是代數(shù)式,單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或字母也是代

2

數(shù)式.

帶等號(hào)(=)或不等號(hào)(/、V、＞、W、2)的都不是代數(shù)式.

2.代數(shù)式的書寫：

(D數(shù)字與字母相乘或字母與字母相乘，通常把乘號(hào)寫成"?"或省略不寫；

(2)字母與數(shù)字相乘時(shí)，通常把數(shù)字寫在字母的前面；

(3)如果字母前面的數(shù)字是1或T時(shí)，通常省略不寫；

(4)管分?jǐn)?shù)與字母相乘時(shí)，要將帶分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成假分?jǐn)?shù)；

(5)除法運(yùn)算要用分?jǐn)?shù)線；

(6)若式子后面有單位且式子是和或差的形式,式子應(yīng)看作是一個(gè)整體,要用括號(hào)括起來(lái)，再在括號(hào)后面寫上

單位.

二、單項(xiàng)式

1.單項(xiàng)式的定義：如-2肛2,；〃?〃，-1,它們都是數(shù)與字母的積，像這樣的式子叫單項(xiàng)式,單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一

個(gè)字母也是單項(xiàng)式.

(1)單項(xiàng)式中不含加減運(yùn)算，只包含數(shù)字與字母或字母與字母的乘法運(yùn)算；

(2)分母中含有字母的的式子不是單項(xiàng)式.

2.單項(xiàng)式的系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù).

(1)確定單項(xiàng)式的系數(shù)時(shí),最好先將單項(xiàng)式寫成數(shù)與字母的乘積的形式,再確定其系數(shù)；

(2)圓周率JT是常數(shù),單項(xiàng)式中出現(xiàn)兀E寸,應(yīng)看作系數(shù)；

(3)當(dāng)一個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)是1或-1時(shí),1"通常省略不寫；

(4)單項(xiàng)式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí),通常寫成假分?jǐn)?shù).

3.單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù).

(D沒(méi)有寫指數(shù)的字母，實(shí)際上其指數(shù)是1,計(jì)算時(shí)不能將其遺漏；

(2)對(duì)于單獨(dú)一個(gè)非零的數(shù),規(guī)定它的次數(shù)是0.

三、多項(xiàng)式

1.多項(xiàng)式的定義：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式；

2.多項(xiàng)式的項(xiàng)：在多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng),不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)；

(1)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)包括它前面的符號(hào)；

(2)一個(gè)多項(xiàng)式含有幾項(xiàng)，就叫幾項(xiàng)式，如6/-21-7是一個(gè)三項(xiàng)式.

3.多項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)多項(xiàng)式中，次數(shù)最高的頂?shù)拇螖?shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù).

(1)多項(xiàng)式的次數(shù)不是所有項(xiàng)的次數(shù)之和，而是多項(xiàng)式中次數(shù)最高的單項(xiàng)式的次數(shù)；

(2)一個(gè)多項(xiàng)式中的最高次項(xiàng)有時(shí)不止一個(gè),在確定最高次項(xiàng)時(shí)，都應(yīng)寫出：

(3)一個(gè)多項(xiàng)式是幾次、有幾項(xiàng)就叫幾次幾項(xiàng)式,如6Y-2x-7是二次三項(xiàng)式.

4.升第排列與降耗排列

把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來(lái)，叫做把多項(xiàng)式按這個(gè)字母降基排列；若按某一

個(gè)字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來(lái)，叫做把多項(xiàng)式按這個(gè)字母升舞排列.

四、整式

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式.

單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、整式與代數(shù)式這四者之間的關(guān)系：?jiǎn)雾?xiàng)式、多項(xiàng)式必是整式，整式必是代數(shù)式，但反過(guò)來(lái)

就不一定成立.

分母中含有字母的式子一定不是整式,但是代數(shù)式.

五、列代數(shù)式及代數(shù)式的意義

1.列代數(shù)式：在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，把問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系用代數(shù)式表示出朱.

⑴抓住關(guān)犍字詞，如"大"、"小"、"多"、"少"、"積"、"差”等；

(2)理清運(yùn)算順序,按照“先讀先寫”的順序列式；

⑶E確運(yùn)用括號(hào),先括號(hào)內(nèi)，后括號(hào)外;先小括號(hào),再中括號(hào),最后大括號(hào).

2.代數(shù)式的意義：代數(shù)式的實(shí)際意義就是將代數(shù)式中的數(shù)字、字母及運(yùn)算符號(hào)賦予具體的含義.

n、代數(shù)式的值

一、代數(shù)式的值

根據(jù)問(wèn)題的需要，用具體數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，計(jì)算所得的結(jié)果叫做代數(shù)式的值.

代數(shù)式的值并不是固定的，它會(huì)隨著代數(shù)式中字母取值的變化而變化.

代數(shù)式中的字母取值并不是任意的，主要限制條件有：①必須使代數(shù)式有意義，如」■彳中的a不能取1；②

a—1

實(shí)際問(wèn)題中的字母取值要符合實(shí)際意義，比如小明買了b支鉛筆，這里的b只能是0或正整數(shù),不能取小數(shù)

或者負(fù)數(shù).

二、求代數(shù)式的值的步驟

1.代入：將指定的數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，代入數(shù)值時(shí)，必須將相應(yīng)的字母換成數(shù)值，其他的運(yùn)完符號(hào)、

原來(lái)的數(shù)字和運(yùn)算順序都不能改變，同時(shí)對(duì)原來(lái)省略的乘號(hào)要進(jìn)行還原；

2.計(jì)算：按照代數(shù)式指定的運(yùn)算關(guān)系計(jì)和出結(jié)果，運(yùn)算時(shí)，要分清運(yùn)兌種類及運(yùn)算順序，先乘方，再乘除.后

加減,有括號(hào)要先算括號(hào)里面的.

m、合并同類項(xiàng)

一、同類項(xiàng)

同類項(xiàng)的定義：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相等的項(xiàng)叫微同類項(xiàng).幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng).

i.判斷幾個(gè)項(xiàng)是否是同類項(xiàng)有兩個(gè)條件：①所含字母相同;②相同字母的指數(shù)分別相等，同時(shí)具備這兩個(gè)條

件的項(xiàng)是同類項(xiàng)，缺一不可；

2.同類項(xiàng)與系數(shù)無(wú)關(guān),與字母的排列順序無(wú)關(guān)；

3.一個(gè)項(xiàng)的同類項(xiàng)有無(wú)數(shù)個(gè)，其本身也是它的同類項(xiàng)；

4.同類項(xiàng)不一定只有兩項(xiàng)，也可以是三項(xiàng)、四項(xiàng)或更多項(xiàng)，但至少有兩項(xiàng),且每一項(xiàng)都是單項(xiàng)式.

二、合并同類項(xiàng)

1.合并同類項(xiàng)的概念：根據(jù)乘法分配律把同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)叫做合并同類項(xiàng).

2.合并同類項(xiàng)的法則：同類項(xiàng)的系數(shù)相加1,所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母與字母的指數(shù)不變.

3.合并同類項(xiàng)的一般步驟(一找、二移、三合、四排)：

(1)找出同類項(xiàng)，當(dāng)項(xiàng)數(shù)較多時(shí)，可作合適的標(biāo)記；

(2)運(yùn)用加法交換律、結(jié)合律將多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并；

(3)利用合并同類項(xiàng)法則，合并同類項(xiàng)；

(4)合并后的結(jié)果是多項(xiàng)式,一般按照某一個(gè)字母的升得/降耗排列.

4.易錯(cuò)點(diǎn)：

(1)不是同類項(xiàng)的不能合并,無(wú)同類項(xiàng)的項(xiàng)不能遺漏，在每步運(yùn)算中照抄；

(2)所有的常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng)，合并時(shí)把它們結(jié)合在一起，運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行合并；

(3)系數(shù)相加(減)，字母部分不變,不能把字母的指數(shù)也相加(減)；

(4)若兩個(gè)同類項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù),則合并同類項(xiàng)的結(jié)果為0.

三、代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值

求代數(shù)式的值時(shí)，如果代數(shù)式中含有同類項(xiàng),通常先合并同類項(xiàng),再進(jìn)行計(jì)算.

IV、去括號(hào)

一、去括號(hào)

1.去括號(hào)法則：

括號(hào)前面是”號(hào)，把括號(hào)和前面的"+”號(hào)去掉，括號(hào)里各項(xiàng)符號(hào)都不改變，如a+(b-c)=?+6-c;

括號(hào)前面是"一”號(hào)，把括號(hào)和前面的“一"號(hào)去掉，括號(hào)里各項(xiàng)符號(hào)都要改變,如。一3一。)=。一，一c.

(1)當(dāng)括號(hào)前的因數(shù)不是"±1"時(shí)，要利用乘法分配律將括號(hào)外的因數(shù)與括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng)都相乘去掉括號(hào)，

不要漏乘括號(hào)里的任何一項(xiàng)；

(2)對(duì)于多重括號(hào)，去括號(hào)時(shí)可以先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，也可以先去中括號(hào).再去小括號(hào).但是一定要注

意括號(hào)前的符號(hào)；

(3)去括號(hào)只是改變式子形式,不改變式子的值,它屬于多項(xiàng)式的恒等變形.

二、添括號(hào)

添括號(hào)后,括號(hào)前面是“+”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào),如。+6—c=a+R—c);

添括號(hào)后，括號(hào)前面是"-”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都要改變符號(hào)，如Q-5+C=Q-3-c).

V、整式的加減

一、整式的加減

1.幾個(gè)整式相加減,如果有括號(hào)要先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng).

2.整式的化簡(jiǎn)求值步驟(一化、二代、三計(jì)算)：

(1)利用整式的加減運(yùn)算將整式化簡(jiǎn)；

(2)把己知字母或某個(gè)整式的值代入化簡(jiǎn)后的式子；

(3)依據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.

3.整式加減注意事項(xiàng)：

(1)整式的加減可以先合并同類項(xiàng)再去括號(hào)，也可以先去括號(hào)再合并同類項(xiàng)；

(2)整式加減的結(jié)果要最簡(jiǎn)，不能有同類項(xiàng),含字母的項(xiàng)的系數(shù)不要出現(xiàn)帶分?jǐn)?shù)(化成假分?jǐn)?shù))，能去括號(hào)的要

去括號(hào)，一般不含有括號(hào).

二、整式加減的應(yīng)用

1.整式的化簡(jiǎn)求值

一般這類題會(huì)利用整體代入法求值，從題中條件中不易直接得到某個(gè)字母的具體值，可以將原式化為已知條

件中字母間的關(guān)系，然后將某個(gè)式子的值作為一個(gè)整體代入計(jì)算.

2,整式中“不含"與“無(wú)關(guān)”類問(wèn)題的求解方法

若整式加減運(yùn)算結(jié)果"不含x項(xiàng)”或整體的值"與x的值無(wú)關(guān)"，實(shí)質(zhì)是指去括號(hào)并合并同類