備考2025年中考數(shù)學(xué)技巧專題突破（全國(guó)）專題2-1 將軍飲馬等8類常見最值問題（解析版）

專題2-1將軍飲馬等8類常見最值問題

題型一兩定一動(dòng)型（線段和差最值問題）

題型二雙動(dòng)點(diǎn)最值問題（兩次對(duì)稱）

題型三動(dòng)線段問題：造橋選址（構(gòu)造平行四邊形）

題型四垂線段最短

題型五相對(duì)運(yùn)動(dòng)平移型將軍飲馬

題型六通過瓜豆得出軌跡后將軍飲馬

題型七化斜為直，斜大于直

題型八構(gòu)造二次函數(shù)模型求最值

一、單動(dòng)點(diǎn)問題

【問題1】在直線l上求一點(diǎn)P，使PA＋PB最小

問題解決：連接AB，與l交點(diǎn)即為P，兩點(diǎn)之間線段最短PA＋PB最小值為AB

【問題2】在直線l上求一點(diǎn)P，使PA＋PB最小

問題解決：作B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B'PB＝PB'，則PA＋PB＝PA＋PB'，當(dāng)A，P，B'共線時(shí)取最小，原

理：兩點(diǎn)之間線段最短，即PA＋P?B最小值為AB'

【問題3】在直線l上求一點(diǎn)P，使|PA－PB|最大

問題解決：連接AB，當(dāng)A，B，P共線時(shí)取最大

原理：三角形兩邊之和大于第三邊，在△AB'P中，|PA－PB'|≤AB'

【問題4】在直線l上求一點(diǎn)P，使|PA－PB|最大

問題解決：作B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B'PB＝PB'，|PA－PB|＝|PA－PB'|

?

原理：三角形兩邊之和大于第三邊，連接AB'，在△AB'P中|PA－PB'|≤AB'

二、雙動(dòng)點(diǎn)問題（作兩次對(duì)稱）

【問題5】在直線l1，l2上分別求點(diǎn)M，N，使△PMN周長(zhǎng)最小

問題解決：分別作點(diǎn)P關(guān)于兩直線的對(duì)稱點(diǎn)P’和P''，PM＝P'M，PN＝P''N，

原理：兩點(diǎn)之間線段最短，P'，P''，與兩直線交點(diǎn)即為M，N，則AM＋MN＋PN的最小值為線段P'P''

的長(zhǎng)

【問題6】P，Q為定點(diǎn)，在直線l1，l2上分別求點(diǎn)M，N，使四邊形PQMN周長(zhǎng)最小

問題解決：分別作點(diǎn)P，Q關(guān)于直線l1，l2的對(duì)稱點(diǎn)P’和Q'，PM＝P'M，QN＝Q'N

原理：兩點(diǎn)之間線段最短，連接P'Q'，與兩直線交點(diǎn)即為M，N，則PM＋MN＋QN的最小值為線段

P'Q'的長(zhǎng)，周長(zhǎng)最小值為P'Q'＋PQ

【問題7】A，B分別為l1，l2上的定點(diǎn)，M，N分別為l1，l2上的動(dòng)點(diǎn)，求AN＋MN＋BM最小值

問題解決：分別作A，B關(guān)于l1，l2的對(duì)稱點(diǎn)A'，B'，則AN＝A'N，BM＝B'M，A'B'即所求

原理：兩點(diǎn)之間距離最短，A'，N，M，B'共線時(shí)取最小，則AN＋MN＋BM＝A'N＋MN＋B'M≤A'B'

三、動(dòng)線段問題（造橋選址）

【問題8】直線m∥n，在m，n上分別求點(diǎn)M，N，使MN⊥m，且AM＋MN＋BN的最小值

問題解決：將點(diǎn)B向上平移MN的長(zhǎng)度單位得B'，連接B'M，當(dāng)AB'M共線時(shí)有最小值

原理：通過構(gòu)造平行四邊形轉(zhuǎn)換成普通將軍飲馬，AM＋MN＋BN＝AM＋MN＋B'M≤AB'＋MN

【問題9】在直線l上求兩點(diǎn)M，N(M在左）且MN＝a，求AM＋MN＋BN的最小值

問題解決：將B點(diǎn)向左移動(dòng)a個(gè)單位長(zhǎng)度，再作B'關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B''，當(dāng)AB''M共線有最小值

原理：通過平移構(gòu)造平行四邊BB'MNBN＝B'M＝B''M，

AM＋MN＋BN＝AM＋MN＋B''MAB''

四、垂線段最短

【問題10】在直線l1，l2上分別求點(diǎn)A，B，使PB＋AB最小

問題解決：作P關(guān)于l2的對(duì)稱點(diǎn)P'，作P'Al1于A，交l2于B，P'A即所求

原理：點(diǎn)到直線，垂線段最短，PB＋AB＝P'B＋ABP'A

五、相對(duì)運(yùn)動(dòng)，平移型將軍飲馬

【問題11】在直線l上求兩點(diǎn)M，N(M在左）且MN＝a，求AM＋AN的最小值

問題解決：相對(duì)運(yùn)動(dòng)或構(gòu)造平行四邊形

策略一：相對(duì)運(yùn)動(dòng)思想

過點(diǎn)A作MN的平行線，相對(duì)MN，點(diǎn)A在該平行線上運(yùn)動(dòng)，則可轉(zhuǎn)化為普通飲馬問題

策略二：構(gòu)造平行四邊形等量代換，同問題9.

六、瓜豆軌跡，手拉手藏軌跡

【問題12】如圖，點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng)，將點(diǎn)P繞定點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)Q，求Q點(diǎn)

軌跡？

問題解決：當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形．當(dāng)確定軌跡是線

段的時(shí)候，可以任取兩個(gè)時(shí)刻的Q點(diǎn)的位置，連線即可，比如Q點(diǎn)的起始位置和終點(diǎn)位置，連接即

得Q點(diǎn)軌跡線段．

△≌△

原理：由手拉手可知ABCAQ1Q2，故AQ2Q1ACB,故Q點(diǎn)軌跡為直線

七、化斜為直，斜大于直

【問題13】已知：AD是Rt△ABC斜邊上的高

AD

（1）求的最大值；（2）若AD2，求BC的最大值

BC

ADAM1

問題解決：取BC中點(diǎn)M，（1）則；（2）BC2AM2AD4

BCBC2

八、構(gòu)造二次函數(shù)求最值

這類問題一般無法通過純幾何方法來解決或幾何方法比較復(fù)雜，需要通過面積法或者構(gòu)造全等、相

似建立等量關(guān)系，將待求的線段或圖形的面積用含有自變量的式子來表示，一般是一個(gè)二次函數(shù)或

者換元后是一個(gè)二次函數(shù)，然后通過配方得到最值．當(dāng)然，配方的目的是為了避開基本不等式這個(gè)

超綱的知識(shí)點(diǎn)，如果是選擇題或填空題，你可以直接用基本不等式來秒殺，不需要配方．

【問題14】正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)Q在邊CD上，且CD3CQ，P是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PQ，

過點(diǎn)P作EP⊥PQ交AB邊于點(diǎn)E，設(shè)BP的長(zhǎng)為x，則線段BE長(zhǎng)度的最大值為.

問題解決：根據(jù)題意，作出圖形，根據(jù)兩個(gè)三角形相似的判定得到△PCQ∽△EBP，進(jìn)而根據(jù)相似

129

比得到BEx3，利用二次函數(shù)求最值方法求解即可得到答案

22

QCPC

【詳解】易知△PCQ∽△EBP，，

BPBE

26x

CD3CQ，CD6，∴QC2，，

xBE

11129

∴BEx6xx26xx30x6，

2222

11299

0，BEx3在x3時(shí)有最大值，最大值為

2222

題型一兩定一動(dòng)型（線段和差最值問題）

1．（2023·西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)M在邊BC上，MC1，P為正方

1

形內(nèi)（含邊上）一點(diǎn)，且SS正方體，G為邊CD上一動(dòng)點(diǎn)，連接MG,GP，則MGGP的

PAB4ABCD

最小值為．

【答案】3

【分析】先確定組成點(diǎn)P的所有點(diǎn)為過AD,BC的中點(diǎn)E，F(xiàn)的線段EF，作點(diǎn)M關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)M，

連接MG，證明MF的長(zhǎng)為MGGP的最小值，因此求出MF的長(zhǎng)即可．

【詳解】解：過點(diǎn)P作EF∥AB，分別交AD,BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴四邊形ABFE和四邊形EFCD都是矩形，

1

∵SS正方體，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，

PAB4ABCD

11

∴4EA42，

24

解得EA2，

∴CFDEADAE422，

作點(diǎn)M關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)M，連接MG，

則MGMG，MCMC1，

∴MGGPMGGPMF，

∴MGGP的最小值為MF的長(zhǎng)，

∵M(jìn)FMCCF123，

∴MGGP的最小值為3

2．透明圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為12cm，底面周長(zhǎng)為10cm，在容器內(nèi)壁離底部3cm

的點(diǎn)B處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁且離容器上沿3cm的點(diǎn)A處．求螞蟻吃到飯

粒需要爬行的最短路程是多少？

【答案】13

【詳解】∵高為12，底面周長(zhǎng)為10，在容器內(nèi)壁離容器底部3的點(diǎn)B處有一飯粒，

此時(shí)壁虎正好在容器外壁，離容器上沿3與飯粒相對(duì)的點(diǎn)A處，

cmcmcm

∴A′D＝5，BD＝12﹣3＋AE＝12，

cm

∴將容器側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，

cmcm

連接A′B，則A′B即為最短距離，

A′B＝AD2BD2＝13（）．

cm

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtOAB的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上．頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，3），

點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），且∠AO△B=30°點(diǎn)P為斜邊OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PC的最小值為

（）

A．2B．3C．7D．11

【答案】C

【分析】過點(diǎn)C作C關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接AC′與OB相交，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線得AC′

與OB的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，PA+PC的最小值=AC′，過點(diǎn)C′作C′D⊥OA于D，求出CC′，∠OCC′=60°，

再求出CD、C′D，然后求出AD，再根據(jù)勾股定理列式計(jì)算即可得解．

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作C關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接AC′與OB相交，

則AC′與OB的交點(diǎn)即所求的點(diǎn)P，PA+PC的最小值=AC′，

過點(diǎn)C′作C′D⊥OA于D，

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），且∠AOB=30°，

∴∠OCC′=90°-30°=60°，

1

OC=1，CC′=2×1×=1，

2

13

∴CD=，C′D=，

22

∵頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，3），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），∠OAB=90°，

∴AC=3-1=2，

15

∴AD=2+=，

22

22

在中，由勾股定理得，2235

RtAC′DAC′=CDAD=+=7

22

△

4．如圖，點(diǎn)A，B在直線MN的同側(cè)，A到MN的距離AC8，B到MN的距離BD5，已知CD4，

P是直線MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記PAPB的最小值為a，PAPB的最大值為b，則a2b2的值

為（）

A．160B．150C．140D．130

【答案】A

【分析】作點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)A，連接AB交直線MN于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求點(diǎn)，過點(diǎn)

A作直線AEBD，在根據(jù)勾股定理求出線段AB的長(zhǎng)，即為PA+PB的最小值，延長(zhǎng)AB交MN于

點(diǎn)P，此時(shí)PAPBAB，由三角形三邊關(guān)系可知ABPAPB，故當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P時(shí)PAPB最

大，過點(diǎn)B作BEAC由勾股定理求出AB的長(zhǎng)就是PAPB的最大值，代入計(jì)算即可得．

【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)A，連接AB交直線MN于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即

為所求點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線AEBD，

∵AC8，BD5，CD4，

∴AC8，BE8+5=13，AE=CD=4，

在RtAEB中，根據(jù)勾股定理得，

∴AB=BE+AE132+42=185，

即PA+PB的最小值是a185；

如圖所示，延長(zhǎng)AB交MN于點(diǎn)P，

∵PAPBAB，ABPAPB，

∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)，PAPB最大，

過點(diǎn)B作BEAC，則BECD4，

∴AEACBD853，

在RtAEB中，根據(jù)勾股定理得，

ABAE2BE232425，

∴PAPB5，

即b5，∴a2b2(185)252160

5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5．動(dòng)點(diǎn)P滿足S△PBC＝S矩形ABCD．則點(diǎn)P到B，C兩點(diǎn)距離

之和PB+PC的最小值為。

【答案】41

【解答】解：設(shè)△PBC中BC邊上的高是h．

1

∵S△PBC＝S矩形ABCD．

3

11

∴BC?h＝AB?BC，

23

2

∴h＝AB＝2，

3

∴動(dòng)點(diǎn)P在與BC平行且與BC的距離是2的直線l上，如圖，作B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)E，連接CE，

則CE的長(zhǎng)就是所求的最短距離．

在Rt△BCE中，∵BC＝5，BE＝2+2＝4，

∴CE＝Bc2BE2＝5242＝41，

即PB+PC的最小值為41

6．（2023·泰州·三模）如圖，在矩形ABCD中，AB5cm，BC=6cm，點(diǎn)E在直線AD上，從點(diǎn)A

出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，速度為每秒0.5cm，點(diǎn)F在直線BC上，從點(diǎn)B出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2cm，

BE、AF相交于點(diǎn)G，則BGCG的最小值為cm．

【答案】10

【分析】過點(diǎn)G作直線MNBC，分別交AD、BC于點(diǎn)M、N，過點(diǎn)G作直線PQ∥CD，分別交AB、

DC于點(diǎn)P、Q，易知四邊形ABNM、PBNG、GNCQ為矩形，證明GAE∽GFB，由相似三角形

AEGM

的性質(zhì)可得；設(shè)E、F兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則AE0.5t，BF2t，易得GM1cm，GN4cm；

BFGN

作點(diǎn)C關(guān)于直線PQ的對(duì)稱點(diǎn)K，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得CGKG，故當(dāng)B、G、K三點(diǎn)共線時(shí)，

BGKG的值最小，即BGCG取最小值，此時(shí)，在Rt△BCK中，由勾股定理求得BK的值，即可

獲得答案．

【詳解】解：如下圖，過點(diǎn)G作直線MNBC，分別交AD、BC于點(diǎn)M、N，過點(diǎn)G作直線PQ∥CD，

分別交AB、DC于點(diǎn)P、Q，

易知四邊形ABNM、PBNG、GNCQ為矩形，MNAB5cm，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴AD∥BC，AB∥DC

∴GAEGFB，GEAGBF，

∴GAE∽GFB，

AEGM

∴，

BFGN

設(shè)E、F兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則AE0.5t，BF2t，

GM0.5t1

則有，即GN4GM，

GN2t4

∵M(jìn)N5cm，

∴GM1cm，GN4cm，

∵四邊形GNCQ為矩形，

∴QCGN4cm，

作點(diǎn)C關(guān)于直線PQ的對(duì)稱點(diǎn)K，如圖，

則QKQC4cm，KCQKQC8cm，

由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得CGKG，

當(dāng)B、G、K三點(diǎn)共線時(shí)，BGKG的值最小，即BGCG取最小值，

此時(shí)，在Rt△BCK中，BKBC2KC2628210cm，

∴BGCG的最小值為10cm

7．已知x,y,S滿足S(x2)2(y3)2(x2)2(y6)2，則S的最小值為．

【答案】5

【分析】根據(jù)(x2)2(y3)2表示平面內(nèi)點(diǎn)x,y與2,3之間的距離，(x2)2(y6)2表示

平面內(nèi)點(diǎn)x,y與2,6之間的距離，得出當(dāng)點(diǎn)x,y在2,3與2,6之間的線段上時(shí)，這兩個(gè)距離

之和最小，求出這個(gè)最小距離即可．

【詳解】解：∵(x2)2(y3)2表示平面內(nèi)點(diǎn)x,y與2,3之間的距離，(x2)2(y6)2表

示平面內(nèi)點(diǎn)x,y與2,6之間的距離，

∴S(x2)2(y3)2(x2)2(y6)2表示這兩個(gè)距離之和，

∵兩點(diǎn)之間線段最短，

∴當(dāng)點(diǎn)x,y在2,3與2,6之間的線段上時(shí)，這兩個(gè)距離之和最小，

22

∴S的最小值為22365．

2

8．探究式子x21x41x≥0的最小值.小胖同學(xué)運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的思想：如圖，取AB4，

作ACAB于A．BDAB于B，且AC1，BD1，點(diǎn)E在AB上，設(shè)AEx，則BE4x，

2

于是，x21CE，x41DE，因此，可求得CEDE的最小值為，已知

2

yx552x232x≥0，則y的最大值是．

【答案】2529

【分析】作C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)F，連接FD交AB于E，連接CD，利用勾股定理求CEDE的最

小值即可；構(gòu)造圖形如圖，過點(diǎn)D作DMAC交AC于M，求y的最大值結(jié)合三角形的三邊關(guān)系，

根據(jù)矩形的性質(zhì)，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．

【詳解】解：如圖，作C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)F，連接FD交AB于E，連接CD，

，

則AFAC1，CEFE，

此時(shí)CEDE的值最小為：CEDEFEDEDF，

ACAB，BDAB，

AC∥BD，

ACBD1，

四邊形ABDC是平行四邊形，

CAB90，

四邊形ABDC是矩形，

FCD90，CDAB4，

CFCAAF2，

DFCF2CD2224225

如圖，A90,AC5，AB5，BD3，BEx，

，

2

則CE525x，DEx232，

CEDECD，

CEDE的最大值為CD的長(zhǎng)度，

過點(diǎn)D作DMAC交AC于M，

則四邊形ABDM為矩形，

DMAB5，AMBD3，

CM2，

CDCM2DM2225229，

y的最大值為29

9．如圖，A、B兩點(diǎn)在直線MN外的同側(cè)，A到MN的距離AC16，B到MN的距離BD10，CD8，

點(diǎn)P在直線MN上運(yùn)動(dòng)，則PAPB的最大值等于．

【答案】10

【分析】延長(zhǎng)AB交MN于點(diǎn)P，過點(diǎn)B作BEAC，由題意可知PAPBABPAPB，即說

明當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)，PAPB最大，即為AB的長(zhǎng)．最后根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)即可．

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)AB交MN于點(diǎn)P，過點(diǎn)B作BEAC，

∵PAPBAB，ABPAPB，

∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)，PAPB最大，即為AB的長(zhǎng)．

∵BD10，CD8，AC16，

∴BECD8，AEACCEACBD16106，

∴ABAE2BE2628210，

∴PAPB的最大值等于10

10．已知：如圖，在矩形ABCD中，AB3,AD4．動(dòng)點(diǎn)P為矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足

1

SS矩形，則△ADP周長(zhǎng)的最小值為．

PBC3ABCD

【答案】425

12

【分析】過點(diǎn)P作MNAD，交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，由SS矩形，可得PNMN2，

PBC3ABCD3

過P點(diǎn)作GH//AD，交AB于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H，作A點(diǎn)關(guān)于GH的對(duì)稱點(diǎn)A，連接AD與GH交

點(diǎn)即為所求點(diǎn)P，在RtAAD中，AD4，AA2，即可求AD25．

【詳解】解：過點(diǎn)P作MNAD，交于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，

△AD

1

SS矩形，

PBC3ABCD

11

BCPNBCMN，

23

2

PNMN，

3

AB3，

MP1，

過P點(diǎn)作GH//AD，交AB于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H，作A點(diǎn)關(guān)于GH的對(duì)稱點(diǎn)A，連接AD與GH交

點(diǎn)即為所求點(diǎn)P，

APAP，

APPDAD，

AG1，

AA2，

在RtAAD中，AD4，AA2，

，

AD△25

ADP周長(zhǎng)的最小值254，

故答案為425．

2022·綏化·中考真題

5

11．在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)y1k1xb與坐標(biāo)軸分別交于A5,0，B0,兩點(diǎn)，且與

2

k25

反比例函數(shù)y2的圖象在第一象限內(nèi)交于P，K兩點(diǎn)，連接OP，△OAP的面積為．

x4

(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；

(2)若C為線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PCKC最小時(shí)，求PKC的面積．

1526

【答案】(1)yx,y.；

1222x5

5

【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)y1k1xb與坐標(biāo)軸分別交于A5,0，B0,兩點(diǎn)，

2

5

∴把A5,0，B0,代入y1k1xb得，

2

1

5kb0k

112

5，解得，，

b,5

2b

2

15

∴一次函數(shù)解析式為yx,

122

過點(diǎn)P作PHx軸于點(diǎn)H，

∵A(5,0),

∴OA=5,

5

又S,

PAO4

15

∴5PH

24

1

∴PH,

2

151

∴x，

222

∴x4,

1

∴P(4,)

2

1

∵P(4,)在雙曲線上，

2

1

∴k42,

22

2

∴y.

2x

（2）解：作點(diǎn)K關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)K，連接KK交x軸于點(diǎn)M，則K（1，-2），OM=1，

連接PK交x軸于點(diǎn)C，連接KC，則PC+KC的值最小，

設(shè)直線PK的解析式為ymxn,

mn2

1

把P(4,),K(1,2)代入得，1

24mn

2

5

m

6

解得，

17

n

6

517

∴直線PK的解析式為yx,

66

517171717

當(dāng)y0時(shí)，x0，解得，x，∴C(,0)∴OC

66555

1712178

∴MCOCOM1,ACOAOC5，AMOAOM514，

5555

11121816

∴SSSS422

PKCAKMKMCPAC2252525

題型二雙動(dòng)點(diǎn)最值問題（兩次對(duì)稱）

12．如圖所示，E為邊長(zhǎng)是2的正方形ABCD的中點(diǎn)，M為BC上一點(diǎn)，N為CD上一點(diǎn)，連EM、

MN、NA，則四邊形AEMN周長(zhǎng)的最小值為。

【答案】6

【解答】解：延長(zhǎng)AD至A′，使AD＝DA′，延長(zhǎng)AB至E′，使BE＝BE′，連接A′E′，

交BC于M，交DC于N，此時(shí)AN＝A′N，EM＝E′M，四邊形AEMN周長(zhǎng)＝AN+MN+ME+AE＝A′

E′+AE，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，A′E′+AE就是四邊形AEMN周長(zhǎng)的最小值；

∵AD＝2，AE＝BE＝1，

∴A′D＝AD＝2，BE＝BE′＝1，

∴AE′＝3，AA′＝4，

∴A′E′＝AEAA＝5，

∴四邊形AEMN周長(zhǎng)的最小值為5+1＝6．

13．（2023·淄博·一模）如圖，在四邊形ABCD中，BD90，DAB140，M，N分別是

邊DC，BC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，MAN°．

【答案】100

【分析】作點(diǎn)A關(guān)于CD、CB的對(duì)稱點(diǎn)E、F，連接EF分別交CD、CB于點(diǎn)H、G，連接AH、AG、

EM、FN，則當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)H重合，點(diǎn)N與點(diǎn)G重合時(shí)，AMN的周長(zhǎng)最小，則易得MAN的大

?。?/p>

【詳解】解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于CD、CB的對(duì)稱點(diǎn)E、F，連接EF分別交CD、CB于點(diǎn)H、G，連

接AH、AG、EM、FN，

由對(duì)稱性知：EMAM，EHAH，NFNA，GFGA，

AMMNNAEMMNNFEF，

∴當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)H重合，點(diǎn)N與點(diǎn)G重合時(shí)，AMN的周長(zhǎng)最小；

∵GAGF，EHAH，

∴GAFGFA，HEAHAE，

∴AGH2GFA，AHG2HEA

∵DAB140，

∴GFAHEA180DAB40，

∵AGHAHG2GAF2HEA24080，

∴GAH180(AGHAHG)18080100，

即MAN100，

故答案為：100．

14．四邊形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，當(dāng)三角形AMN

周長(zhǎng)最小時(shí)，∠MAN的度數(shù)為。

【答案】70

【解答】解：延長(zhǎng)AB到A′使得BA′＝AB，延長(zhǎng)AD到A″使得DA″＝AD，

連接A′A″與BC、CD分別交于點(diǎn)M、N．

∵∠ABC＝∠ADC＝90°，

∴A、A′關(guān)于BC對(duì)稱，A、A″關(guān)于CD對(duì)稱，

此時(shí)△AMN的周長(zhǎng)最小，

∵BA＝BA′，MB⊥AB，

∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，

∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，

∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，

∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），

∵∠BAD＝125°，

∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝55°，

∴∠AMN+∠ANM＝2×55°＝110°．

∴∠MAN＝180°﹣110°＝70°，故答案為：70°

15．（2023·西安·二模）如圖，在四邊形ABCD中，BD90，BAD120，AB2，AD4，

P、Q分別是邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP，AQ，PQ，則△APQ周長(zhǎng)的最小值為．

【答案】47

【分析】如圖，由BD90，作A關(guān)于BC對(duì)稱的點(diǎn)A，作A關(guān)于CD對(duì)稱的點(diǎn)A，連接AA，

與BC交點(diǎn)為P，與CD交點(diǎn)為Q，連接AP，AQ，由對(duì)稱的性質(zhì)可得APAP，AQAQ，

11

ADADAA4，ABABAA2，則APPQAQAPPQAQ，可知當(dāng)

22

A、P、Q、A四點(diǎn)共線時(shí)，△APQ的周長(zhǎng)最小為AA，如圖，過A作AEAD的延長(zhǎng)線于E，

由BAD120，可得AAE60，則AEAAsinAAE23，AEAAcosAAE2，

AE10，根據(jù)AAAE2AE2，計(jì)算求解即可．

【詳解】解：如圖，由BD90，作A關(guān)于BC對(duì)稱的點(diǎn)A，作A關(guān)于CD對(duì)稱的點(diǎn)A，連接AA，

與BC交點(diǎn)為P，與CD交點(diǎn)為Q，連接AP，AQ，

11

由對(duì)稱的性質(zhì)可得APAP，AQAQ，ADADAA4，ABABAA2，

22

∴APPQAQAPPQAQ，

∴當(dāng)A、P、Q、A四點(diǎn)共線時(shí)，△APQ的周長(zhǎng)最小為AA，

如圖，過A作AEAD的延長(zhǎng)線于E，

∵BAD120，

∴AAE60，

∴AEAAsinAAE23，AEAAcosAAE2，

∴AE10，由勾股定理得AAAE2AE247

16．如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是邊AD、AB上的點(diǎn)，

連接OE、OF、EF，若AB3，BC2，DAB30，則OEF周長(zhǎng)的最小值是．

【答案】13

2

【分析】作點(diǎn)O關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M，點(diǎn)O關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)N，連接MN，MF，NE，AN，AM，

則OEF的周長(zhǎng)OEOFEFMEEFMF，故當(dāng)M、E、F、N四點(diǎn)共線時(shí)MEEFMF，

即此時(shí)OEF的周長(zhǎng)最小，最小值為MN的長(zhǎng)，證明△MAN是等邊三角形，得到MNAMAO；

1

過D作DPAB交直線AB于P，由平行四邊形的性質(zhì)得到ADBC2，ODOBBD，由含

2

11

30度角的直角三角形的性質(zhì)得到DPAD1，則AP3，ODOB，即可得到點(diǎn)P與點(diǎn)

22

13

B重合，則OAAB2OB2，由此即可得到答案．

2

【詳解】解：作點(diǎn)O關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M，點(diǎn)O關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)N，連接MN，MF，NE，AN，AM，

由作圖得：ANAOAM，NADDAO，MABBAO，NEOE，MFOF，

∴OEF的周長(zhǎng)OEOFEFMEEFMF，

∴當(dāng)M、E、F、N四點(diǎn)共線時(shí)MEEFMF，即此時(shí)OEF的周長(zhǎng)最小，最小值為MN的長(zhǎng)，

∵DAB30，

∴MAN60，

∴△MAN是等邊三角形，

∴MNAMAO；

過D作DPAB交直線AB于P，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

1

∴ADBC2，ODOBBD，

2

在RtADP中，∠DAP30，∠DPA90，

1

∴DPAD1，

2

11

∴APAD2BD23，ODOBBD，

22

∴ABAP3，

∴點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，

13

∴OAAB2OB2，

2

13

∴MN

2

13

∴OEF的周長(zhǎng)最小值為，

2

題型三動(dòng)線段問題：造橋選址（構(gòu)造平行四邊形）

鞍山·中考真題

17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(3,6),B(2,2)，在x軸上取兩點(diǎn)C，D（點(diǎn)C在點(diǎn)D左側(cè)），

且始終保持CD1，線段CD在x軸上平移，當(dāng)ADBC的值最小時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．

【答案】（-1，0）

【分析】作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，將B′向右平移1個(gè)單位得到B″，連接AB″，與x軸交于點(diǎn)D，

過點(diǎn)B′作AB″的平行線，與x軸交于點(diǎn)C，得到此時(shí)AD+BC的值最小，求出直線AB″，得到點(diǎn)D

坐標(biāo)，從而可得點(diǎn)C坐標(biāo)．

【詳解】解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，將B′向右平移1個(gè)單位得到B″，連接AB″，與x

軸交于點(diǎn)D，過點(diǎn)B′作AB″的平行線，與x軸交于點(diǎn)C，

可知四邊形B′B″DC為平行四邊形，

則B′C=B″D，

由對(duì)稱性質(zhì)可得：BC=B′C，

∴AD+BC=AD+B′C=AD+B″D=AB″，

則此時(shí)AB″最小，即AD+BC最小，

∵A（3，6），B（-2，2），

∴B′（-2，-2），

∴B″（-1，-2），

設(shè)直線AB″的表達(dá)式為：y=kx+b，

63kbk2

則，解得：，

2kbb0

∴直線AB″的表達(dá)式為：y=2x，

令y=0，解得：x=0，即點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，0），

∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（-1，0），

故答案為：（-1，0）．

聊城·中考真題

18．如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸上，B，

D兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為B（﹣4，6），D（0，4），線段EF在邊OA上移動(dòng)，保持EF＝3，當(dāng)四邊形

BDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為．

【答案】0.4,0

【詳解】解：如圖所示，∵D（0，4），

∴D點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為H（0，-4），

∴ED=EH，

將點(diǎn)H向左平移3個(gè)單位，得到點(diǎn)G（-3，-4），

∴EF=HG，EF∥HG，

∴四邊形EFGH是平行四邊形，

∴EH=FG，

∴FG=ED，

∵B（-4，6），

22

∴BD=4064=25，

又∵EF＝3，

∴四邊形BDEF的周長(zhǎng)=BD+DE+EF+BF=25+FG+3+BF,

要使四邊形BDEF的周長(zhǎng)最小，則應(yīng)使FG+BF的值最小，

而當(dāng)F、G、B三點(diǎn)共線時(shí)FG+BF的值最小，

設(shè)直線BG的解析式為：ykxbk0

∵B（-4，6），G（-3，-4），

4kb6

∴，

3kb4

k10

∴，

b34

∴y10x34，

當(dāng)y=0時(shí)，x3.4，

∴F3.4,0，

∴E0.4,0

故答案為：0.4,0．

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有A0,3，D5,0兩點(diǎn)．將直線l1：yx向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得

到直線l2，點(diǎn)B在直線l2上，過點(diǎn)B作直線l1的垂線，垂足為點(diǎn)C，連接AB，BC，CD，則折

線ABCD的長(zhǎng)ABBCCD的最小值為．

【答案】252

【分析】先證四邊形ABCF是平行四邊形，可得ABCF，則ABBCCDCF2CD，即當(dāng)

點(diǎn)C，點(diǎn)D，點(diǎn)F三點(diǎn)共線時(shí)，CFCD有最小值為DF的長(zhǎng)，即ABBCCD有最小值，即可求

解．

【詳解】解：如圖，將點(diǎn)A沿y軸向下平移2個(gè)單位得到E0，1，以AE為斜邊，作等腰直角三角形

AEF，則點(diǎn)F1，2，連接CF，

AEF是等腰直角三角形，

AFEF2，AEF45，

將直線l1：yx向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線l2，

AOC45，BC2，

BCAF2，AEFAOC45，

EF//OC，

AFEF，BCOC，

AF//BC，

四邊形ABCF是平行四邊形，

ABCF，

ABBCCDCF2CD，

當(dāng)點(diǎn)C，點(diǎn)D，點(diǎn)F三點(diǎn)共線時(shí)，CFCD有最小值為DF的長(zhǎng)，即ABBCCD有最小值，

點(diǎn)D5，0，點(diǎn)F1，2，

DF(51)2(20)225，

折線ABCD的長(zhǎng)ABBCCD的最小值為252

廣西來賓中考真題

20．如圖，已知點(diǎn)A(3,0)，B(1,0)，兩點(diǎn)C(3,9)，D(2,4)在拋物線y=x2上，向左或向右平移拋物

線后，C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C，D￠，當(dāng)四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小時(shí)，拋物線的解析式

為．

2

25

【答案】yx．

13

【詳解】解：∵A(3,0)，B(1,0)，C(3,9)，D(2,4)，

22

∴AB312，CD329452，

由平移的性質(zhì)可知：C'D'CD52,

∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)為ABBC'C'D'D'A2BC'52D'A；

要使其周長(zhǎng)最小，則應(yīng)使BC'D'A的值最??；

設(shè)拋物線平移了a個(gè)單位，當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向右平移，當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向左平移；

∴C'3a,9，D'2a,4，

將D'向左平移2個(gè)單位得到D''a,4，則由平移的性質(zhì)可知：BD''AD'，

將D''a,4關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)記為點(diǎn)E，則Ea,4，由軸對(duì)稱性質(zhì)可知，BD''BE,

∴BC'D'ABC'BE，

當(dāng)B、E、C'三點(diǎn)共線時(shí)，BC'BE的值最小，

設(shè)直線BC'的解析式為：ykxbk0，

9

k

3akb9a4

∴，當(dāng)a4時(shí)，∴

kb09

b

4a

99

∴yx，

a44a

99

將E點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可得：4a，

a44a

2522

解得：a，此時(shí)BC'BEC'E3aa94178，

13

此時(shí)四邊形ABCD的周長(zhǎng)為ABBC'C'D'D'A252178；

當(dāng)a4時(shí)，C'1,9，D'6,4，A(3,0)，B(1,0)，

此時(shí)四邊形ABCD的周長(zhǎng)為：

22

ABBC'C'D'D'A2905263401652；

∵2521781652，

2

252525

∴當(dāng)a時(shí)，其周長(zhǎng)最小，所以拋物線向右平移了個(gè)單位，所以其解析式為：yx

131313

題型四垂線段最短

21．（2023下·湛江·二模）如圖，在Rt△ABC中，ACB90，AC6，BC8，AB10，AD

平分CAB交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E、F分別是AD、AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則CEEF的最小值

為．

24

【答案】

5

【詳解】解：如圖，在AB上取一點(diǎn)F，使AFAF，連接EF，作CHAB，

AD平分BAC，

\DDAC=DDAB，

AEAE，

∴AEF≌AEFSAS，

EFEF，

CEEFCEEF，

∴當(dāng)點(diǎn)C，E，F(xiàn)在同一條線上，且CEAB時(shí)，CEEF最小，即CEEF最小，其值為CH，

11

SACBCABCH，

ABC22

ACBC6824

CH，

AB105

24

即CEEF的最小值為

5

22．如圖，∠MON＝45°，OP平分∠MON，點(diǎn)A為射線OM上一點(diǎn)，OA＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為射線

OP，OM上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE，EF，則AE＋EF的最小值為_________．

N

P

E

M

OFA

【答案】22

【解析】在ON上截取OG＝OF，連接EG，過點(diǎn)A作AH⊥ON于點(diǎn)H．

N

H

P

G

E

M

OFA

∵OG＝OF，∠EOG＝∠EOF，OE＝OE，

∴△OEG≌△OEF，∴EG＝EF，

∴AE＋EF＝AE＋EG≥AH．

2

∵∠MON＝45°，OA＝4，∴AH＝OA＝22．

2

2022·貴州畢節(jié)·中考真題

23．如圖，在RtABC中，BAC90,AB3,BC5，點(diǎn)P為BC邊上任意一點(diǎn)，連接PA，以PA，

PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，連接PQ，則PQ長(zhǎng)度的最小值為．

12

【答案】

5

【分析】利用勾股定理得到BC邊的長(zhǎng)度，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得知OP最短即為PQ最短，利

用垂線段最短得到點(diǎn)P的位置，再證明△CAB∽△CPO利用對(duì)應(yīng)線段的比得到OP的長(zhǎng)度，繼而得

到PQ的長(zhǎng)度．

【詳解】解：∵BAC90,AB3,BC5，

∴ACBC2AB24，

∵四邊形APCQ是平行四邊形，

∴PO＝QO，CO＝AO，

∵PQ最短也就是PO最短，

∴過O作BC的垂線OP，

∵ACBPCOCPOCAB90,

∴△CAB∽△CPO,

COOP

∴，

BCAB

2OP612

∴，∴OP=，∴則PQ的最小值為2OP=

5355

2022銅仁

24．如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，將△CDE沿CE翻折得△CME，點(diǎn)

M落在四邊形ABCE內(nèi)，點(diǎn)N為線段CE上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作NP∥EM交MC于點(diǎn)P，則MN＋

NP的最小值為_________．

DC

N

EP

M

AB

8

【答案】

5

【解析】分別過點(diǎn)M，N作CD的垂線，垂足為M，N．

DGHC

N

EP

M

AB

由題意，∠EMC＝∠D＝90°，MC＝DC＝2．

∵NP∥EM，∴∠NPC＝∠EMC＝90°．

∵∠ECM＝∠ECD，∴NP＝NH，

∴MN＋NP＝MN＋NH≥MG．

1

∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，∴tan∠ECD＝，

2

4

∴由12345模型可知tan∠DCM＝，

3

448

∴sin∠DCM＝，∴MG＝MC＝，

555

8

∴MN＋NP的最小值為．

5

25．（2023·雞西·三模）如圖，在