專題04-圓章末重難點(diǎn)題型(舉一反三)(人教版)(解析版)-九年級(jí)全冊(cè)數(shù)學(xué)舉一反三系列(人教版)

專題04圓章末重難點(diǎn)題型【舉一反三】

【人教版】

考點(diǎn)1圓的相關(guān)概念

考點(diǎn)2垂徑定理求線段

考點(diǎn)3圓周角定理

考點(diǎn)4圓的內(nèi)接四邊形

考點(diǎn)5弧長(zhǎng)計(jì)算

K癡歷刑

【考點(diǎn)1圓的相關(guān)概念】

【方法點(diǎn)撥】解決此類問題的關(guān)鍵是圓中的半徑所構(gòu)成等腰三角形的靈活應(yīng)用.

【例1】（2019?祁江區(qū)校級(jí)一模）如圖，。。的直徑84的延長(zhǎng)線與弦。。的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,且CE=O8,

已知NOOB=72。，則/￡等于（）

A.36°B.30°C.18°D.24°

【分析】根據(jù)圓的半?徑相等，可得等腰三角形；根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，可得關(guān)于NE的方程，根據(jù)

解方程，可得答案.

【答案】解：如圖：

第1頁共40頁

CE=OB=CO,得

ZE=Zi.

由N2是△EOC的外角，得N2=NE+N1=2N￡

由OC=OO,得ND=N2=2NE.

由N3是三角形40?！甑耐饨牵肗3=E+NO=/E+2NE=3/E.

由N3=72。，得3NE=72。.

解得NE=24。.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)，利用圓的半徑相等得出等腰三角形是解題關(guān)鍵，又利用了三角形外角的

性質(zhì).

【變式1-1](2019?陜西模擬)如圖，在△ABC中，NAC8=90。，乙4=40。，以C為圓心，CB為半徑的

圓交AB于點(diǎn)。，連接CQ,則4CO=()

A.10°B.15°C.20°D.25°

【分析】先求得N8,再由等腰三角形的性質(zhì)求出N8CQ,則NACQ與NBCO互余.

【答案】解：???NACB=90。,NA=40。，

???N8=50。，

，：CD=CB,

:.N8CO=180°-2x50°=80°,

:.乙48=90°-80°=10°；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識(shí)比較簡(jiǎn)單.

第2頁共40頁

【變式1?2】（2019秋?蕭山區(qū)期中）如圖，半圓。是一個(gè)量角器，△4。臺(tái)為一紙片，交半圓于點(diǎn)。,

05交半圓于點(diǎn)C,若點(diǎn)C、D、A在量角器上對(duì)應(yīng)讀數(shù)分別為45。，70。，160。，則的度數(shù)為（）

B

A.20uB.30uC.45。D.6UU

【分析】連結(jié)O。，如圖，根據(jù)題意得N/）OC=25。，NAO/）=90。，由于0。=。4,則N/WO=45。，然

后利用三角形外角性質(zhì)得NAOO=N8+NOO8,所以N8=45。-25°=20°.

【答案】解：連結(jié)如圖，則NQOC=70°-450=25。，40。=160。-70。=90°,

,：OD=OA.

???乙4。。=45。，

?；ZADO=ZB+ZDOB,

???N8=450?25°=20°.

故選：A.

B

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)：掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、

等弧等）.

【變式1?3】（2018秋?瑞安市期末）如圖，A,B,C是。。上的三點(diǎn)，AB,AC的圓心。的兩惻，若/ABO

=20°,NACO=30。，則N80c的度數(shù)為（）

【分析】過A、O作。O的直徑AD,分別在等腰△048、等腰△OAC中，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出N30c

=2ZABO+2ZACO.

第3頁共40頁

所以0M=4,

*：AB±CD,垂足為M,

在RlZkAO/W中，AM=^2_^2=3,

，A8=24M=2x3=6.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，解決與弦有關(guān)的問題時(shí)，往往需構(gòu)造以半徑、弦心距

和弦長(zhǎng)的一半為三邊的直角三角形，若設(shè)圓的半徑為「，弦長(zhǎng)為小這條弦的弦心距為d，則有等式戶=

#+（且）2成立，知道這三個(gè)量中的任意兩個(gè)，就可以求出另外一個(gè).

2

【變式2-1］（2019?渝中區(qū)校級(jí)三模）如圖，。。的半徑0。_1_弦48于點(diǎn)G連結(jié)A。并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)E,

連結(jié)E8.若AB=4,CD=1,則的長(zhǎng)為（）

A.3B.4C.5D.2.5

【分析】設(shè)。。的半徑為r.在RSA0C中，利用勾股定理求出〃再利用三角形的中位線定理即可解

決問題.

【答案】解：設(shè)OO的半徑為二

???ODLAB,

：.AC=BC=2,

在RsAOC中，VZACO=90%

^OA^OCr+AC2,

???產(chǎn)=（r-1）2+22,

第5頁共40頁

Ar=—,

2

??.oc=W,

2

?：OA=OE,AC=CB,

???BE=2OC=3,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中

考常考題型.

【變式2-2］（2019?廬陽區(qū)二模）如圖，AC是。。的直徑，弦8D_L4C于點(diǎn)E,連接4C過點(diǎn)。作。入L8C

則0尸的長(zhǎng)度是（）

C.VlOcnD.3cm

【分析】連接。氏根據(jù)垂徑定理求出BE,根據(jù)勾股定理求出08,再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.

【答案】解：連接08,

VAC是OO的直徑，弦

：?BE=LBD=6,

2

在RSOEB中,OB2=OR+BR,即R82=(OB-4)2+62,

.解得，08=更，

2

則EC=AC-AE=9,

RC=7EC2+BE2=

OFIBC,

.?.b=4c=&ZH,

22

?，?0C2vF(cm)?

故選：A.

第6頁共40頁

【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理、勾股定理，垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

【變式2-3]（2019?梧州）如圖，在半徑為丘的。。中，弦4B與CQ交于點(diǎn)E,NDEB=75。,AB=6,

C.2VilD.4^3

【分析】過點(diǎn)。作?？贚CQ于點(diǎn)F,OG_LAB于G,連接06、OD、OE,由垂徑定理得出OF=CRAG

=BG=^AB=3,得出EG=AG-AE=2,由勾股定理得出GG=JOB2_BG2=2,

證出△EOG是等腰直角三角形，得出NOEG=45。，OE=y[^）G=2近求出NOE/=30。，由直角三角

形的性質(zhì)得出0尸=工0七=亞，由勾股定理得出。即可得出答案.

2

【答案】解：過點(diǎn)O作O以LCO于點(diǎn)凡OGJ■人“于G,連接OH、OD.OE,如圖所示：

則。尸=C尸，AG=BG=LB=3,

2

：,EG=AG-AE=2t

在RlZkBOG中，OG=JOB2_BG2=413-9=2,

：.EG=OG,

/.△EOG是等腰直角三角形，

，NOEG=45。，OE=?7G=2近

VZDEfi=75°,

???NOE/=30。，

：,OF=LOE=&,

2

在RIA。/)/中，。尸=痂萬石點(diǎn)=痛工=JIL

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：.CD=2DF=2yflii

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理、勾股定理以及直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角

三角形是解答此題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)3圓周角定理】

【方法點(diǎn)撥】圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。

推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。

推論2：半圓（或百?徑）所對(duì)的阿底角是音角,90°的圓周角所對(duì)的弦是百彳工

【例3】（2019?營(yíng)口）如圖，8c是。。的直徑，4,。是。O上的兩點(diǎn)，連接AB,AD,BD,若乙4。8=

70°,則N4BC的度數(shù)是（）

A.20°B.70°C.30°D.90°

【分析】連接AC，如圖，根據(jù)圓周角定理得到/BAC=90。，N4CB=/AO8=70。，然后利用互余計(jì)算

N48。的度數(shù).

【答案】解：連接AC,如圖，

〈BC是。。的直徑，

/.NBAC=90°,

/4C8=NA/）/?=70。，

NABC=90。-70°=20°.

故答案為20°.

故選：A.

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【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)

的圓心角的一半.推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑.

【變式3-1］（2019?相城區(qū)校級(jí)二模）如圖，AB是半圓的直徑，。為圓心，C是半圓上的點(diǎn)，。是菽上的

點(diǎn).若N80C=5O。，則NO的度數(shù)（）

A.105°B.115°C.125°D.85°

【分析】連接BD,如圖，利用圓周角定理得到NAQB=90。，NBDC=L/BOC=25。,然后計(jì)算

2

NADB+NCDB即可.

【答案】解：連接如圖，

VAB是半圓的直徑，

???NAQ4=90°,

???N8QC=工/80。=工＜50。=25。，

22

JNAQC=900+25°=U5°.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等「?這條弧所對(duì)

的圓心角的一半.推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑.

【變式3-2］（2019?碑林區(qū)校級(jí)一模）如圖，是半圓的直徑，點(diǎn)C是弧8。的中點(diǎn)，NADC=55。,則

/胡。等于（）

第9頁共40頁

B.

AOD

A.50°B.55°C.65°D.70°

【分析】連接08、OC.求出/B。。即可解決問題.

【答案】解：連接08,OC,

???N4OC=55。，

JZAOC=2ZADC=110°,

???弧AC=U0。，

-AD是半圓的直徑，

???弧。。=70。，

???。是孤8。的中點(diǎn)，

:.弧8。=140。，

???/8。力=140。，

2

故選：。.

【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條

弧所對(duì)的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵.

【變式3-3］（2019?太原二模）如圖，48是。O的直徑，點(diǎn)C在。。上，CO平分NAC8交。。于點(diǎn)。，

若N48C=30。，則NC4。的度數(shù)為（）

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D

A./00°B.105°C.110°D.120

【分析】利用圓周角定理得到/ACB=90。，則利用互余計(jì)算出NB4C=60。，接著根據(jù)角平分線定義得到

Z?CD=45°,從而利用圓周角定理得到NBAQ=N8CQ=45。，然后計(jì)算NB/1C+N8AO即可.

【答案】解：???A8是。。的直徑，

???NAC4=9（）°,

???ZBAC=90°-ZA8C=90°-30°=60°,

???CO平分/AC8,

：.ZBCD=45°,

???NB4O=N8CO=45。，

/.NC4O=/B4C+/8AO=600+45°=105°.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所*j

的圓心角的一半.推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑.

【考點(diǎn)4圓的內(nèi)接四邊形】

【方法點(diǎn)撥】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，旦任意一個(gè)角的外角都等于其內(nèi)對(duì)角.

【例4】（2019?藍(lán)田縣一模）如圖，點(diǎn)A、B、C、。在。。上，CB=CE?NCV）=30。，ZACD=50°,則

C.70°D.80°

【分析】直接利用圓周角定理以及結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得出乙4。6=/4。8=180。-/。鉆-乙鉆。,

進(jìn)而得出答案.

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【答案】解：:CB=CD，/。。=30。，

：.ZCAD=ZCAB=30°,

???NO8C=ND4C=30。，

???ZACD=50°,

：.ZABD=50°,

：.NACA=NA/%=-/CAN-ZA?C-18OU-5。"-31T-3OV=7UV.

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓周帝定理以及三角形內(nèi)角和定理，正確得出NA/，。度數(shù)是解題關(guān)鍵.

【變式4-1]（2019?澄海區(qū)一模）如圖，四邊形A4CO內(nèi)接于00,它的一個(gè)外角N￡8C=55。，分別連接

AC、BD,若AC=A。，則N。8c的度數(shù)為（）

A.50°B.60°C.65°D.70°

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出NAOC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理計(jì)算即可.

【答案】解：???四邊形人8c。內(nèi)接于。O,

二ZADC=ZEBC=55°,

'：AC=AD,

:.ZACD=ZADC=550,

???ZDAC=10°,

由圓周角定理得，NQBC=ND4C=70。，

故選：。.

【點(diǎn)睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形、圓周角定理，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角

是解題的關(guān)鍵.

【變式4-2]（2019?嘉祥縣三模）如圖，四邊形A8C。內(nèi)接于。O,尸是而上一點(diǎn)，且而=黃，連接

并延長(zhǎng)交4。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡,連接AC，若NABC=105。，N/MC=25。，則/上的度數(shù)為（）

第12頁共40頁

A

A.45°B.50°C.55。D.60°

【分析】先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出NAOC的度數(shù)，再由圓周角定理得出NOCE的度數(shù)，根據(jù)三角

形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【答案】解：???四邊形45CD內(nèi)接于。。,ZABC=105%

NAQC=1800-ZABC=180°-105°=75°.

VDF=BC，NBAC=25。,

???ZDCE=ZBAC=25°,

???ZF=ZADC-ZDCE=15°-25°=50°.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟知圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解答此題的關(guān)鍵.

【變式4-3］（2018?南崗區(qū)一模）如圖，四邊形ABCD是。O的內(nèi)接四邊形，若。。的半徑為4,且/月=2/。,

連接4C,則線段AC的長(zhǎng)為（）

A.4^2B.4立C.6D.8

【分析】連接OC,利用內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出/。=60。，進(jìn)而得出NAOC=120。，利用含30。的

直角三角形的性質(zhì)解答即可.

【答案】解：連接04,OC,過。作OEJLAC,

???四邊形ABCO是。。的內(nèi)接四邊形，ZB=2ZD,

第13頁共40頁

，ZB+ZD=3ZD=180°,

解得：ZD=60°,

???ZAOC=120°,

在RtZkAEO中，。4=4,

：.AE=2y/3,

：.AC=4yJ~3^

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考杳內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出/。=60。.

【考點(diǎn)5弧長(zhǎng)計(jì)算】

【方法點(diǎn)撥】〃°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)/為：/=逑。

18（）

【例5】（2019?鞍山）如圖，AC是。。的直徑，B,。是。。上的點(diǎn)，若。。的半徑為3,ZADB=30°,

則標(biāo)的長(zhǎng)為.

【分析】根據(jù)圓周角定理求出NAO從得到NNOC的度數(shù)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可.

【答案】解：由圓周角定理得，NAO8=2NAQ8=60。，

:.ZBOC=1SO0-60°=120°,

???祕(mì)的長(zhǎng)=120兀*與=2兀,

180

故答案為：2兀.

【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理、弧長(zhǎng)的計(jì)算，掌握?qǐng)A周角定理、弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵.

【變式5-1]（2019?廬江縣模擬）如圖，AB是。0的直徑，BC是。0的弦，ZABC的平分線交。0于點(diǎn)D.若

A8=6,ZBAC=30°,則劣弧標(biāo)的長(zhǎng)等于.

第14頁共40頁

【分析】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角求出NAC8=90。，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出/45C,然

后根據(jù)角平分線的定義求出NA8。，根據(jù)在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的二倍求出

ZAOD,然后根據(jù)瓠長(zhǎng)公式列式計(jì)算即可得解.

【答案】解：???A8是。。的直徑，

:.ZACB=90°,

???/BAC=30。，

:.N4BC=90。-30。=60。，

VZABC的平分線交。。于點(diǎn)

???ZABD=1-ZABC=-L<60o=30°,

22

/.乙40。=2480=2x30。=60。，

???劣弧罰的長(zhǎng)=§0?兀*3=3

180

故答案為：H.

【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，圓周角定理，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單，熟記定理與

公式并求出NAO。的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

【變式5-2］（2019?泰順縣模擬）如圖，A/IBC的頂點(diǎn)。在半徑為9的。。上，ZC=40°,邊AC,BC分

別與。。交于。，E兩點(diǎn)、,則劣弧。七的長(zhǎng)度為.

【分析】連接。。、OE,得出/OOE=2NC=80。，由弧長(zhǎng)公式即可得出答案.

【答案】解：連接O。、OE，如圖所示：

?.*ZC=40",

/.NQOE=2/C=80。，

,:00=9,

???劣弧DE的長(zhǎng)=.80X兀*2=4九

180

故答案為：47r.

第15頁共40頁

c

o

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、弧長(zhǎng)公式；熟練掌握弧長(zhǎng)公式，能夠運(yùn)用圓周角定理求角是解決問題

的關(guān)鍵.

【變式5-3](2019?瑤海區(qū)二模)如圖，矩形4BCO中，48=3,BC=2,七為8C的中點(diǎn)，AF=\,以EF

為直徑的半圓與OE交于點(diǎn)G,則劣弧標(biāo)的長(zhǎng)為.

【分析】連接OG,DF,根據(jù)勾股定理分別求出OF、EF,證明RtaD4/名為△F8E,求出/DFE=90。,

得到NGOE=90。，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可.

【答案】解：連接OG,OF,

???BC=2,石為BC的中點(diǎn)，

：.BE=EC=\,

*：AB=3fAF=\f

:.BF=2,

由勾股定理得，DF=d7)2+工/=泥，石尸=花F2+BE

：.DF=EF,

在RSD4尸和Rl△產(chǎn)BE中，

[DF=FE,

lDA=FB，

ARtA0A戶FBE(HL)

：.ZADF=NBFE,

???NAQF+NAFQ=90°,

???NBFE+NAFD=90。,即ZDF￡=90°,

?:FD=FE,

第16頁共40頁

/.ZFED=45°,

?：OG=OE,

r./GOE=90°,

V5

-90兀x*r-

???劣弧GE的長(zhǎng)=--------乙=2,

1804

【點(diǎn)睛】本題考查的是弧長(zhǎng)的計(jì)算、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì),

掌握弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)6正多邊形與圓】

【方法點(diǎn)撥】定義：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半

徑，正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角，中心正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊

心距。

【例6】（2019?朝陽區(qū)校級(jí)四模）如圖，。。與正六邊形。4ACDE的邊04、OE分別交丁點(diǎn)F、G,點(diǎn)、M

在產(chǎn)G上，則圓周角NFMG的大小為度.

DE

【分析】在優(yōu)弧尸G上取一點(diǎn)/，連接7F,TG,利用圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)解決問題即可.

【答案】解：在優(yōu)弧廠G上取一點(diǎn)。連接"，TG.

YABCDEF是正六邊形,

???ZAOE=\200

第17頁共40頁

?:/T=L/FOG,

2

???ZT=60°,

???NBWG+NT=180。，

AZFMG=120°,

故答案為120°.

【點(diǎn)睛】本題考行正多邊形與圓，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形解決問題.

【變式6-1]（2019?海南）如圖，。。與正五邊形A8CDE的邊AB、QE分別相切于點(diǎn)8、D,則劣弧正所

對(duì)的圓心角NBOD的大小為度.

【分析】根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式可求出NE、/D,根據(jù)切線的性質(zhì)可求出NQ4E、NOCD,從而可求

出N4OC,然后根據(jù)圓弧長(zhǎng)公式即可解決問題.

【答案】解：???五邊形ABCOE是正五邊形,

=108°.

*：AB.DE與。。相切,

：,ZOBA=ZODE=90°f

：.ZBOD=（5-2）x!80°-90°-108°-108°-90°=144°,

故答案為：144.

【點(diǎn)睛】本題主要考查r切線的性質(zhì)、正五邊形的性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角和公式、熟練掌握切線的性質(zhì)是

解決本題的關(guān)鍵.

【變式6-2]（2019?青島）如圖，五邊形A8CDE是。。的內(nèi)接正五邊形，A/是。O的直徑，則N8Q/的

度數(shù)是。.

第18頁共40頁

【分析】連接A。，根據(jù)圓周隹定理得到乙4。"=90。，根據(jù)五邊形的內(nèi)角和得到NA5C=NC=108。，求

得乙48。=72。，由圓周角定理得到Nr=NA3O=72。，求得/外。=18。，于是得到結(jié)論.

【答案】解：連接A。，

???A/是。0的直徑，

，N4O尸=90。，

???五邊形ABCDE是。。的內(nèi)接正五邊形，

；?NABC=NC=108。，

NABO=72。，

：.ZF=ZABD=12°,

AZMD=18°,

：,ZCDF=ZDAF=\^°,

???ZZ?DF=36O+18O=54°,

故答案為：54.

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中

考常考題型.

【變式6-3]（2019?江岸區(qū)校級(jí)模擬）如圖，。。的半徑為2,正八邊形A8COMGH內(nèi)接于30,對(duì)角線

CE.。尸相交于點(diǎn)M,則△〃￡尸的面積是.

【分析】設(shè)OE交。產(chǎn)于M由正八邊形的性質(zhì)得出。NEO尸=.360°=45。,DE=FE?由垂徑

8

定理得出NOE尸=NOFE=NOEO,OELDF,得出△ON/7是等腰直角三角形，因此ON=FN=?OF

第19頁共40頁

=&，N(?'M=45。，得出EN=OE-()M=2-a,證出△EMN是等腰直角三角形，得出MN=￡N,

得出M/=0E=2,由三角形面積公式即可得出結(jié)果.

【答案】解：設(shè)0E交DF于N,如圖所示：

,/正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于0O,

:?DE=FE,Z￡OF=^—=45°,而二菽，

8

/.N。上"=Z。卜七="ED,OE±D卜,

???AON/是等腰直角三角形，

：.ON=FN=?OF=?NOFM=450,

2

：,EN=OE-OM=2-V2?ZOEF=NOFE=NOED=B5。,

:.ZCED=ZDFE=61.5°-450=22.5°,

???/MEN=45。,

???△EMN是等腰直角三角形，

:.MN=EN,

：.MF=MN+FN=ON+EN=OE=2,

的面積=XW\EN=LX2X(2-V2)=2-V2：

22

故答案為：2-J].

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓、垂徑定理、正八邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等腰

三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握正八邊形的性質(zhì)，證明△ON尸和△是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)7與圓有關(guān)的求最值】

【例7】（2019?清江浦區(qū)一模）正△ABC的邊長(zhǎng)為4,。人的半徑為2,。是。4上動(dòng)點(diǎn)，E為CD中點(diǎn),

則BE的最大值為.

第20頁共40頁

'D

BC

【分析】連接AD,通過圓的半徑和等邊三角形的邊長(zhǎng)，E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以產(chǎn)為圓心FE為半徑的圓,

可以判斷點(diǎn)B,E,尸三點(diǎn)共線，此時(shí)BE與圓A相切時(shí)8E的值最大，利用三角形的性質(zhì)即可求解；

【答案】解：連接A。，

VOA的半徑是2,

:.0A與AC邊交于AC的中點(diǎn)入

??,E為C。中點(diǎn)，

E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以F為圓心FE為半徑的圓，

???當(dāng)點(diǎn)8,E,F二點(diǎn)共線，此時(shí)3K與圓A相切時(shí)，3K的值最大，

VAF=2,48=4,

???8尸=2的，

???七為C。中點(diǎn)，歹是AC的中點(diǎn)，

：.EF=^\D=\i

2

:?BE=2近+1；

故答案為2心1.

【點(diǎn)睛】本題考查圓與直線的位置關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)；利用中位線的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)

系是求解的關(guān)鍵.

【變式7-1](2019?亭湖區(qū)校級(jí)三模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(3,4),。。半徑為2,A(2.6,

0),3(5.2,0),點(diǎn)M是。P上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。是M8的中點(diǎn)，則AC的最小值為.

第21頁共40頁

【分析】如圖，連接0P交。P于連接0M.因?yàn)椤?=44CM=CB,所以AC=^OM,所以當(dāng)

2

。用最小時(shí)，AC最小，M運(yùn)動(dòng)到“時(shí)，OM最小，由此即可解決問題.

【答案】解：如圖，連接。。交。。于AT,連接0M,

VP(3,4),

???由勾股定理得：OP=g32+q2=5,

???O4=A8=2.6,CM=CB,

???AC=&M,

2

???當(dāng)OM最小時(shí)，AC最小，

???當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到AT時(shí)，OM最小，

此時(shí)AC的最小值=L。卬=工(OP-PMD=工義(5-2)=2

2222

故答案為

2

【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、三角形中位線定理、最小值問題等知識(shí)，解

題的關(guān)鍵是理解圓外一點(diǎn)到圓的最小距離以及最大距離，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，所以中考?？碱}

型.

【變式7-2](2018?周村區(qū)二模)在RsABC中,4cB=90。,IC=8,BC=6,點(diǎn)。是以點(diǎn)A為圓心4

為半徑的圓上一點(diǎn)，連接80,點(diǎn)M為8。中點(diǎn)，線段CM長(zhǎng)度的最大值為.

第22頁共40頁

【分析】作的中點(diǎn)乂連接上用、CE,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及二角形的中

位線定理求得CE和EM的長(zhǎng)，然后在△CEM中根據(jù)三邊關(guān)系即可求解.

【答案】解：作/W的中點(diǎn)E,連接EM、CE.

6--1,1.△ABC中，AB=dA'2+BC2=462+82=1。,

：E是直角△ABC斜邊AB上的中點(diǎn)，

；?CE=1AB=5.

2

???M是BZ）的中點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)，

：.ME=^AD=2.

2

Z.ffiACEM中，5-2<CM<5+2,即3<GW<7.

???最大值為7,

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、三角形的中位線定理的知識(shí)，要結(jié)合勾股定理、直角三角形斜

邊上的中線等于斜邊的一半解答.

【變式7-3]（2018秋?]江區(qū)期末）如圖，在RSABC中,ZC=90°,BC=3,AC=4f。、E分別是AC、

BC上的一點(diǎn)，且?！?3,若以?！隇橹睆降膱A與斜邊AB相交于M、N,則MN的最大值為.

第23頁共40頁

【分析】如圖，連接0M,作于”，CK_L4/3于K.由題意〃2=2M〃=紂斤二斤，。加=卓，

2

推出欲求MN的最大值，只要求出0H的最小值即可.

【答案】解：如圖，連接。M,作于H,CK_LA8于K.

*：OHA.MN,

:?MH=HN,

???MN=2MH=2n0M2~0H方

VZDCE=90°,OD=OE,

???OC=OD=OE=0M=W,

2

???欲求MN的最大值，只要求出O”的最小值即可,

?.?oc=W,

2

???點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)軌跡是以c為圓心w為半徑的圓，

2

在RSAC3中,?:BC=3,AC=4,

：.AB=5,

???_LA8?CK=LAC?8C,

22

第24頁共40頁

?r”12

5

當(dāng)C,O,〃共線，且與CK重合時(shí)，0”的值最小，

:.OH的最小值為衛(wèi)-

5210

MN的最大值=2J3）2_（_5_）2=卷,

故答案為衛(wèi).

5

【點(diǎn)睛】本題考杳最小與圓的;立置關(guān)系，勾股定理，軌跡等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考

問題，屬于中考常考題型.

【考點(diǎn)8垂徑定理的應(yīng)用】

【例8】（2018秋?朝陽區(qū)期末）?些不便于直接測(cè)量的圓形孔道的直徑可以用如下方法測(cè)量.如圖，把-

個(gè)直徑為10加〃?的小鋼球緊貼在孔道邊緣，測(cè)得鋼球頂端離孔道外端的距離為8〃皿，求這個(gè)孔道的直徑A8.

【分析】先求出鋼珠的半徑及OD的長(zhǎng)，連接OA,過點(diǎn)O作0O_L居于點(diǎn)D,則A/X2AQ,在RsAOD

中利用勾股定理即可求出4。的長(zhǎng)，進(jìn)而得出A3的長(zhǎng).

【答案】解：連接04,過點(diǎn)。作于點(diǎn)。，

則AB=2AD,

鋼珠的直徑是1?

.??鋼珠的半徑是5〃加，

???鋼珠頂端離零件表面的距離為8〃見,

/.OD=3nnn,

在RSAOO中,

第25頁共40頁

7^=VOA2-OD2=V52-32=4//W/,

.??A8=240=2x4=Smm.

【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此

題的關(guān)鍵.

【變式8-1](2018秋?丹江口市期末)在我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一個(gè)問題：“今有圓

材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問徑幾何？”用現(xiàn)代語言表述為：如圖，AB

為。。的直徑，弦SJL/1B于點(diǎn)E,A石=1寸，€7)=10寸，求直徑八8的長(zhǎng).請(qǐng)你解答這個(gè)問題.

【分析]連接OC，由直徑AB與弦CO垂直，根據(jù)垂徑定理得到E為。。的中點(diǎn)，由CD的長(zhǎng)求出。E

的長(zhǎng)，設(shè)OC=OA=x寸，則48=2K寸，0E=(x-1)寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半徑，即

可得出直徑AB的長(zhǎng).

【答案】解：如圖所示，連接。C.

???弦CDL48,48為圓。的直徑,

???￡為CO的中點(diǎn)，

又???CD=10寸,

ACF=DF=XcD=S寸，

2

設(shè)OC=Q4=x寸，則寸，0E=(x-1)寸,

由勾股定理得：ON+C^nOC?,

即(x-I)2+52=/,

解得：x=13,

：.AB=26寸、

第26頁共40頁

即直徑A8的長(zhǎng)為26寸.

【點(diǎn)睛】此題考杳了垂徑定理，勾股定理；解答此類題常常利用垂徑定理由垂直得中點(diǎn)，進(jìn)而由弦長(zhǎng)的一

半，弦心距及圓的半徑構(gòu)造直用三角形，利用勾股定理來解決問題.

【變式8-2]（2018秋?興化市期口）在直徑為1000亳米的圓柱形油罐內(nèi)裝進(jìn)一些油.其橫截面如圖.油面

寬A8=600亳米.

（1）求油的最大深度；

（2）如果再注入一些油后，油面寬變?yōu)?00亳米，此時(shí)油面上升了多少亳米？

【分析】（1〉首先過點(diǎn)O作0ALA3于點(diǎn)G,交OO于點(diǎn)G,連接OA,由垂徑定理即可求得A尸的長(zhǎng),

然后由勾股定理，求得。尸的長(zhǎng)，繼而求得油的最大深度.

（2）分兩種情況：根據(jù)（1）求得OE=300即,可得油面上升EF=OF-OE,可得結(jié)論，同理可得當(dāng)

油面在圓心O的上方時(shí)，油面上升的高度.

【答案】解：（1）過。作交A8于凡交圓。于G,連接OA,

?*?AF-B=300/〃〃?，

2

???直徑MN=1000〃"〃

.\OA=500inm

由勾股定理得，OF=d0/TF2=個(gè)50O2-3002=400〃]〃?，

則GF=OG-OF=\^mnu

（2）油面寬變?yōu)?00亳米時(shí)，存在兩種情況：

當(dāng)油面CD在圓心。的下方時(shí)，連接OC,

???OELCD,

??CE=400/7/7//?OE=Q0c2-CE2=300〃?/〃，

則EF=OG-OE-FG=100/ww,

同理，當(dāng)CO在圓心。上方時(shí)，可得E尸=700.

答：此時(shí)油面上升了100亳米或700亳米.

第27頁共40頁

【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理與勾股定理的應(yīng)用.此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)

合思想的應(yīng)用.

【變式8-3］（2018秋?云安區(qū)期末）如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度回=60米，拱高PO=I8米.

（I）求圓弧所在的圓的半徑「的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)洪水泛濫到跨度只有30米時(shí)，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4米，即。石=4米時(shí)，是否

【分析】（1）連結(jié)。4,利用「表示出。D的長(zhǎng)，在RSAO。中根據(jù)勾股定理求出，?的值即可；

（2）連結(jié)04,在RSAEO中，由勾股定理得出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出的長(zhǎng)，據(jù)此可得出結(jié)論.

【答案】解：（1）連結(jié)。4,

由題意得：4。=工8=30,OD=（r-18）

2

在RS4。。中,由勾股定理得:戶=302+（「-18）2,

解得，r=34；

（2）連結(jié)OA1,

,：OE=OP-PE=30,

???在RSA'O中,由勾股定理得：AfE2=A'O2-OE2,即：4,E2=342-302,

解得：AfE=16.

；?AE=32.

???AE=32>30,

???不需要采取緊急措施.

第28頁共40頁

【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解

是解答此題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)9切線的性質(zhì)與判定】

【方法點(diǎn)撥】切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。

經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。

【例9】（2019?白銀）如圖，在AABC中，AB=AC,NZMC=I2O。，點(diǎn)。在3C邊上，。。經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)

3且與3c邊相交于點(diǎn)￡

（1）求證：AC是。。的切線；

（2）若CE=2加，求。。的半徑.

【分析】（1）連接AO,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到N4=/C=30。，Z/MD=Z/y=30°,求得N4OC

=60。，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到ND4C=180。?60。-30。=90。，于是得到AC是。。的切線；

（2）連接A￡,推出△ADE是等邊三角形，得至ijAE=OE,NAE￡>=60。，求得NE4C=NAEO-/C=

30°,得至UAE=CE=2加，于是得到結(jié)論.

【答案】（1）證明：連接AD

\'AB=ACfN5AC=120°,

AZfi=ZC=30°,

?；AD=BD,

???NR4O=NB=30。，

???ZADC=60°,

:.NOAC=180°-60°-30°=90°,

第29頁共40頁

JAC是。。的切線;

（2）解：連接AE,

*：AD=DE,ZADE=60°,

???ZVIOE是等邊三角形，

：,AE=DE,ZAED=60°,

/.ZEAC=ZAED-ZC=30°,

；?NEAC=NC,

：,AE=CE=2yJ~3,

???0D的半徑4。=2%.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔

助線是解題的關(guān)鍵.

【變式9-1］（2019?涼山州）如圖，點(diǎn)。是以為直徑的。。上一點(diǎn)，過點(diǎn)8作。。的切線，交的延

長(zhǎng)線「點(diǎn)C,E是AC的中點(diǎn)，連接1并延長(zhǎng)與人A的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)汽

（1）求證：。尸是。。的切線：

（2）若OB=BF,E-=4,求A。的長(zhǎng).

【分析】（1）連接0。，由4E為。。的直徑得N8OC=90。，根據(jù)知/1=/3、由00=08知

N2=N4,根據(jù)是。。的切線得N3+/4=90。，即/1+/2=90。，得證；

（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到/尸=30。，BE=LEF=2,求得DE=BE=2,得到DF=6,根據(jù)三角

2

形的內(nèi)角和得到OD=OA,求得乙4=2。0=5/80。=30。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【答案】解；（1）如圖，連接OO,BD,

第30頁共40頁

???A4為0()的直徑,

/.ZADB=ZBDC=90°,

在RS8。。中，°：BE=EC,

:.DE=EC=BE,

AZ1=Z3,

?；BC是。。的切線，

:.Z3+Z4=90°,

/.ZI+Z4=90°,

又??,Z2=Z4,

.\Z1+Z2=9O°,

???。小為。。的切線；

(2)YOB=BF,

：.0F=20D,

：.ZF=30°,

,?NFBE=9U0,

:.BE=LEF=2,

2

:?DE=BE=2,

:?DF=6,

VZF=30°,NO。尸=90°,

???//00=60。，

?：OD=OA,

NA=/A/X)=￡N4">=30。,

/.ZA=ZF,

：,AD=DF=6.

第31頁共40頁

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔

助線是解題的關(guān)鍵.

【變式9-2]（2019?臨沂）如圖，A8是。。的直徑，。是。。上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作交8C的延長(zhǎng)

線于。，交AC于點(diǎn)E,尸是。E的中點(diǎn)，連接CE

（1）求證：C尸是。。的切線.

（2）若NA=22.5。，求證：AC=DC.

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到N4CB=NACO=90。，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CF=EF=DF,

求得NAEO=N/^C=NFCE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/OCA=/OAC,于是得到結(jié)論；

（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到/OAE=NCQ石=22.5。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到N