小學(xué)數(shù)學(xué)容斥問(wèn)題

容斥問(wèn)題第1頁(yè)？容斥問(wèn)題容—包含斥—排除第2頁(yè)測(cè)一測(cè)6＋6－1=11（人）答：共有11人。1、排隊(duì)問(wèn)題：從前面數(shù)，從后面數(shù)，麗麗都排第6，這一排共有幾個(gè)人？2、洗好8塊手帕夾在繩子上晾干，同一個(gè)夾子夾住相鄰兩塊手帕兩邊，這么一共要多少個(gè)夾子？8×2－7=9（個(gè)）答：一共要9個(gè)夾子。第3頁(yè)容斥問(wèn)題即當(dāng)兩個(gè)計(jì)數(shù)部分有重復(fù)包含時(shí)，為了不重復(fù)計(jì)數(shù)，應(yīng)從它們和中排除重復(fù)部分。容斥原理：對(duì)幾個(gè)事物，假如采取兩種不一樣分類，那么含有性質(zhì)1或性質(zhì)2事物個(gè)數(shù)等于性質(zhì)1＋性質(zhì)2減去它們共同性質(zhì)。第4頁(yè)學(xué)校文藝組每人最少會(huì)演奏一個(gè)樂(lè)器，已知會(huì)拉手風(fēng)琴有24人，會(huì)彈電子琴有17人，其中兩種樂(lè)器都會(huì)演奏有8人。這個(gè)文藝組一共有多少人？想：

拉手風(fēng)琴人數(shù)：24人彈電子琴人數(shù)：17人兩種都會(huì)彈人數(shù)：8人？人24＋17－8=33（人）答：一共有33人。容斥原理：1、找分類：2類

找1、2類共有2、2類總個(gè)數(shù)等于2類和減去它們共有。例1、第5頁(yè)想：五年級(jí)學(xué)生參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)考試，每人最少有一門(mén)功課取得優(yōu)異成績(jī)。其中語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)異有65人，數(shù)學(xué)優(yōu)異有87人。語(yǔ)文、數(shù)學(xué)都優(yōu)異有30人，問(wèn)五年級(jí)一共有多少人？試試：

語(yǔ)文優(yōu)異人數(shù)：65人數(shù)學(xué)優(yōu)異人數(shù)：87人兩科都優(yōu)異人數(shù)：30？人65＋87－30=122（人）答：五年級(jí)一共有122人。第6頁(yè)四（一）班學(xué)生參加數(shù)學(xué)小組和科技小組，每個(gè)學(xué)生最少參加一個(gè)小組，有25人參加數(shù)學(xué)小組，23人參加科技小組，有19人兩個(gè)小組都參加了。那么四（-）班一共有多少人？練一練25＋23－19=29（人）答：一共有29人。第7頁(yè)想：一班有48人，班主任在班會(huì)上問(wèn)：“誰(shuí)做完了語(yǔ)文作業(yè)？請(qǐng)舉手”有37人舉手，又問(wèn)：“誰(shuí)做完了數(shù)學(xué)作業(yè)？請(qǐng)舉手”有42人舉人，最終問(wèn)：“誰(shuí)語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都沒(méi)做完？請(qǐng)舉手”結(jié)果沒(méi)有些人舉手。求這個(gè)班語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都做完人數(shù)是多少個(gè)？

做完語(yǔ)文人數(shù)：37人做完數(shù)學(xué)人數(shù)：42人兩科做完人數(shù)：？48人37＋42－48=31（人）答：這個(gè)班語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都做完人數(shù)是31人。例2、第8頁(yè)想：五年級(jí)有122名學(xué)生參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)考試，每人最少有一門(mén)功課取得優(yōu)異成績(jī)。其中語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)異有65人，數(shù)學(xué)優(yōu)異有87人。語(yǔ)文、數(shù)學(xué)都優(yōu)異有多少人？試試：

語(yǔ)文優(yōu)異人數(shù)：65人數(shù)學(xué)優(yōu)異人數(shù)：87人兩科做完人數(shù)：？122人65＋87－122=30（人）答：語(yǔ)文、數(shù)學(xué)都優(yōu)異有30人。第9頁(yè)在1到100全部自然數(shù)中，既不是5倍數(shù)，也不是6倍數(shù)有多少個(gè)？

5倍數(shù)個(gè)數(shù)數(shù)：6倍數(shù)個(gè)數(shù)：30倍數(shù)個(gè)數(shù)：？個(gè)100÷5=20（個(gè)）答：有67個(gè)。不是5倍數(shù)；不是6倍數(shù)；不是30倍數(shù)5倍數(shù)個(gè)數(shù)；6倍數(shù)個(gè)數(shù)；30倍數(shù)個(gè)數(shù)100÷6=16（個(gè)）

……4100÷30=3（個(gè)）

……1020＋16－3=33（個(gè)）100－33=67（個(gè)）例3、第10頁(yè)全班學(xué)生40人，興趣音樂(lè)有18人，興趣舞蹈有21，興趣美術(shù)有9人，既興趣音樂(lè)又興趣舞蹈有3人，既興趣音樂(lè)又興趣美術(shù)有1人，但沒(méi)有些人這三種都興趣，也沒(méi)有些人都不興趣。問(wèn)有多少既興趣舞蹈又興趣美術(shù)？

例4、18＋21＋9－3－1－40=44－40=4（人）答：有4人既興趣舞蹈又興趣美術(shù)。第11頁(yè)某班有學(xué)生50人，其中35人會(huì)游泳，38人會(huì)騎自行車(chē)，40人會(huì)溜冰，46人會(huì)打乒乓。問(wèn)四項(xiàng)活動(dòng)都會(huì)最少有多少人？

例5、一項(xiàng)不會(huì)就不符合一項(xiàng)不會(huì)盡可能多，即考慮重復(fù)不會(huì)游泳：50－35=15（人）不會(huì)騎自行車(chē)：50－38=12（人）不會(huì)溜冰：50－40=10（人）不會(huì)打乒乓：50－46=4（人）四項(xiàng)都會(huì)最少有：50－（15＋12＋10＋4）=9（人）第12頁(yè)練一練2分鐘你能做完嗎？第51頁(yè)舉一反三第4題第13頁(yè)作業(yè)：第52頁(yè)熟能生巧（1）、（2）做在作業(yè)本上（要求：不抄題，標(biāo)清題號(hào)，字跡工整整齊，做完后請(qǐng)家長(zhǎng)簽字。）復(fù)習(xí)容斥問(wèn)題例1、例2，預(yù)習(xí)例3、例4

第14頁(yè)課后過(guò)關(guān)：一個(gè)旅行社有36人，其中會(huì)英語(yǔ)有24人，會(huì)法語(yǔ)18人，兩樣都不會(huì)有4人。兩樣都會(huì)有多少人？

第15頁(yè)容斥原理（第二講）

某校六（1）班，每人在暑假里都參加體育訓(xùn)練隊(duì)，其中參加足球隊(duì)有25人，參加排球隊(duì)有22人，參加游泳隊(duì)有34人，足球、排球都參加有12人，足球、游泳都參加有18人，排球、游泳都參加有14人，三項(xiàng)都參加有8人，這個(gè)班有多少人？25+22+34-12-18-14+8=45人足球排球

游泳第16頁(yè)假如我們用這七個(gè)字母分別代表各字母所在區(qū)域?qū)W生人數(shù)，那么依據(jù)題意，我們有以下七條等式：(1)A+D+E+G=25；(2)B+D+F+G=34；(3)C+E+F+G=22；(4)D+G=18；(5)E+G=12；(6)F+G=14；(7)G=8?，F(xiàn)在我們要求是A+B+C+D+E+F+G=？。怎樣利用以上資料求得答案？我們利用等式性質(zhì)來(lái)試試看.

把頭三條等式加起來(lái)，我們得到A+B+C+2D+2E+2F+3G=81?？墒沁@結(jié)果包含了多出D、E、F和G，必須設(shè)法把多出部分減去。因?yàn)榈仁?4)－(6)各有一個(gè)D、E和F，若從上述結(jié)果減去這三條等式，便能夠把多出D、E和F減去，得A+B+C+D+E+F=37?？墒沁@么一來(lái)，原來(lái)重復(fù)重現(xiàn)G卻變被完全減去了，所以最終還得把等式(7)加上去，得最終止果為A+B+C+D+E+F+G=45，即該班共有45名學(xué)生。

第17頁(yè)結(jié)論（公式二）假如被計(jì)數(shù)事物有A、B、C三類，那么，A類或B類或C類事物個(gè)數(shù)=A類事物個(gè)數(shù)+B類事物個(gè)數(shù)+C類事物個(gè)數(shù)—既是A類又是B類事物個(gè)數(shù)—既是A類又是C類事物個(gè)數(shù)—既是B類又是C類事物個(gè)數(shù)+既是A類又是B類而且是C類事物個(gè)數(shù)。第18頁(yè)例1：設(shè)某班每名學(xué)生都要選修最少一個(gè)外語(yǔ)，其中選修英語(yǔ)學(xué)生人數(shù)為25，選修法語(yǔ)學(xué)生人數(shù)為18，選修德語(yǔ)學(xué)生人數(shù)為20，同時(shí)選修英語(yǔ)和法語(yǔ)學(xué)生人數(shù)為8，同時(shí)選修英語(yǔ)和德語(yǔ)學(xué)生人數(shù)為13，同時(shí)選修法語(yǔ)和德語(yǔ)學(xué)生人數(shù)為6，而同時(shí)選修上述三種外語(yǔ)學(xué)生人數(shù)則為3，問(wèn)該班共有多少名學(xué)生？

25+18+20-8-13-6+3=39人第19頁(yè)例2、在一個(gè)酷熱夏日，幾個(gè)兒童去冷飲店，每人最少要了一樣冷飲，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水有3人，只要冰棍和雪碧沒(méi)有，只要汽水和雪碧有1人；三樣都要有1人。問(wèn)：共有幾個(gè)兒童去了冷飲店？

6+6+4-（3+1）-（0+1）-（1+1）+1=10人分析與解：依據(jù)題意畫(huà)圖。第20頁(yè)例3.某校六年級(jí)二班有49人參加了數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、語(yǔ)文學(xué)習(xí)小組，其中數(shù)學(xué)有30人參加，英語(yǔ)有20人參加，語(yǔ)文小組有10人。老師告訴同學(xué)既參加數(shù)學(xué)小組又參加語(yǔ)文小組有3人，既參加數(shù)學(xué)又參加英語(yǔ)和既參加英語(yǔ)又參加語(yǔ)文人數(shù)均為質(zhì)數(shù)，而三種全參加只有1人，求既參加英語(yǔ)又參加數(shù)學(xué)小組人數(shù)。

分析與解：依據(jù)已知條件畫(huà)出圖。第21頁(yè)

三圓蓋住總體為49人，假設(shè)既參加數(shù)學(xué)又參加英語(yǔ)有x人，既參加語(yǔ)文又參加英語(yǔ)有y人，能夠列出這么方程：整理后得：因?yàn)閤、y均為質(zhì)數(shù)，因而這兩個(gè)質(zhì)數(shù)中必有一個(gè)偶質(zhì)數(shù)2，另一個(gè)質(zhì)數(shù)為7。答：既參加英語(yǔ)又參加數(shù)學(xué)小組為2人或7人。第22頁(yè)例5.某班同學(xué)參加升學(xué)考試，得滿分人數(shù)以下：數(shù)學(xué)20人，語(yǔ)文20人，英語(yǔ)20人，數(shù)學(xué)、英語(yǔ)兩科滿分者8人，數(shù)學(xué)、語(yǔ)文兩科滿分者7人，語(yǔ)文、英語(yǔ)兩科滿分者9人，三科都沒(méi)得滿分者3人。問(wèn)這個(gè)班最多多少人？最少多少人？

分析與解：依據(jù)題意畫(huà)圖。第23頁(yè)

設(shè)三科都得滿分者為x全班人數(shù)整理后：全班人數(shù)＝39＋x39+x表示全班人數(shù)，當(dāng)x取最大值時(shí)，全班人數(shù)就最多，當(dāng)x取最小值時(shí)，全班人數(shù)就最少。x是數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、英語(yǔ)三科都得滿分同學(xué)，因而x中人數(shù)一定不超出兩科得滿分人數(shù)，即且，由此我們得到，另首先x最小可能是0，即沒(méi)有三科都得滿分。當(dāng)x取最大值7時(shí)，全班有人，當(dāng)x取最小值0時(shí)，全班有39人。答：這個(gè)班最多有46人，最少有39人。第24頁(yè)試一試1.某班45名同學(xué)參加體育測(cè)試，其中百米得優(yōu)者20人，跳遠(yuǎn)得優(yōu)者18人，又知百米、跳遠(yuǎn)都得優(yōu)者7人，跳高、百米得優(yōu)者6人，跳高、跳遠(yuǎn)均得優(yōu)者8人，跳高得優(yōu)者22人，全班只有1名同學(xué)各項(xiàng)都沒(méi)達(dá)優(yōu)異，求三項(xiàng)都是優(yōu)異人數(shù)。45-1=4420+18+22-6-7-8=3944-39=5人2.某班四年級(jí)時(shí)，五年級(jí)時(shí)和六年級(jí)時(shí)分別評(píng)出10名三好學(xué)生，又