專(zhuān)題225 相似三角形的應(yīng)用【七大題型】（舉一反三）（滬科版）（解析版）

專(zhuān)題22.5相似三角形的應(yīng)用【七大題型】

【滬科版】

【題型?相似三角形的應(yīng)用（九章算術(shù)）】.......................................................1

【題型2相似三角形的應(yīng)用（影長(zhǎng)問(wèn)題）】.......................................................5

【題型3相似三角形的應(yīng)用（杠桿問(wèn)題）】.....................................................10

【題型4相似三角形的應(yīng)用（建筑物問(wèn)題）】....................................................13

【題型5相似三角形的應(yīng)用（樹(shù)高問(wèn)題）】.....................................................18

【題型6相似三角形的應(yīng)用（河寬問(wèn)題）】......................................................20

【題型7相似三角形的應(yīng)用（內(nèi)接矩形問(wèn)題）】..................................................24

”。手三

【知識(shí)點(diǎn)相似三角形的應(yīng)用】

在實(shí)際生活中，我們面對(duì)不能直接測(cè)量物體的高度和寬度時(shí)，可以把它們轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立相似

三角形模型，再利用對(duì)應(yīng)邊的比相等來(lái)達(dá)到求解的目的。同時(shí)，需要掌握并應(yīng)用一些簡(jiǎn)單的相似三角形模

型。

【題型1相似三角形的應(yīng)用（九章算術(shù)）】

【例I】（2021?北京大興?九年級(jí)期中）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，在“勾股”章中有這樣

一個(gè)問(wèn)題："今有邑方二百步，各中開(kāi)門(mén)，出東門(mén)十五步有木，問(wèn)：出南門(mén)兒步而見(jiàn)木？〃用今天的話說(shuō)，大

意是：如圖，QEFG是一座邊長(zhǎng)為200步（“步〃是古代的長(zhǎng)度單位）的正方形小城，東門(mén)，位于G。的中點(diǎn)，

南門(mén)K位于的中點(diǎn)，出東門(mén)15步的A處有一樹(shù)木，求出南門(mén)多少步恰好看到位于A處的樹(shù)木（即點(diǎn)。

在直線AC上）.

【答案】學(xué)步

【分析】本題只需要證HlACDKsafMH,利用相似三角形的性質(zhì)可以得到：亮=詈，然后可以求出CK

的信，得出答案.

【詳解】解：由題意可知：OE=DG=200,AH=15

團(tuán)〃為G。的中點(diǎn)，K為。石的中點(diǎn)

Q〃=100,QK=100

^AI^DK

配1CQK=IM

而

(?!△CD"△DAH

脛=絲

DHAH

答：出南門(mén)誓步恰好看到位于人處的樹(shù)木.

【點(diǎn)睛】本題考杳了相似三角形的應(yīng)用：本題需要把實(shí)際問(wèn)題抽象到相似三角形中，利用視點(diǎn)和盲區(qū)的知

識(shí)構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出物體的高度.

【變式1-1J（2022?湖南株洲?九年級(jí)期末）《九章算術(shù)》中記載了一種測(cè)量古井水面以上部分深度的方法.如

圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿A8,從木桿的頂端8觀察井水水岸。，視線8。與井口的直

徑AC交于點(diǎn)如果測(cè)得48=1米，4c=1.6米，4E=0.4米，那么。。為（）米.

【答案】C

【分析】由題意知：△A8E04COE,得出對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出CD

【詳解】解：由題意知：AB^CD,則團(tuán)8A后I3C,0fi=0CDE,

團(tuán)ZkA痛）△COE,

咕=

□CD=3,

經(jīng)檢驗(yàn)，CQ=3是所列方程的解，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意得出國(guó)ABE酶CDE是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【變式1-2］（2022?河北?二模）《九章算術(shù)》的“勾股”章中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有邑方不知大小，各中開(kāi)

I'J.山北門(mén)二十步有木，山南門(mén)十四步，折而西行一千七百七十五步見(jiàn)木.問(wèn)邑方幾何？”大意是：如圖，

四邊形EFG"是一座正方形小城，北門(mén)A位于R的中點(diǎn)，南門(mén)B位于E”的中點(diǎn).從北門(mén)出去正北方向

20步遠(yuǎn)的C處有一樹(shù)木，從南門(mén)出去向南行走14步，再向西行走"75步，恰好能看見(jiàn)C處的樹(shù)木，則正

【答案】C

【分析】此題文字?jǐn)⑹霰容^多，解題時(shí)首先要理解題意，找到楣似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解題,

相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例.

【洋解】設(shè)小城的邊長(zhǎng)為x步，根據(jù)題意，

RSCAF^R小CDM,

脛=絲，

CDMD

即2°二%，

20+14+X1775

去分母并整理，

得?+34A-71000=0,

解得々=250,4=-284（不合題意，舍去），

ACE?匕ANM.

ACEC

???一=——?

AVMN

啜=焉

3MN屋AN.

vZ-FA,C=/-MA'N.^A'CF=匕力NM,

.*.△FA'C-△MA'N.

._FC^_

"AfN-MN，

即A'C'

A'A+AN-MN'

6085

300+AN——AN

60

解得：AN=4250

經(jīng)檢驗(yàn)：AN=4250符合題意,

CN=AN-AC=4190寸=41.9丈.

答：山谷深CN為41.9丈.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定定理及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握相似三角形的判定定理及性

質(zhì)，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例建立等式，再通過(guò)等量代換進(jìn)行求解.

【題型2相似三角形的應(yīng)用（影長(zhǎng)問(wèn)題）】

【例2】（2022?浙江金華?九年級(jí)期末）如圖，小明在8：30測(cè)得某樹(shù)的影長(zhǎng)為16m,13：00時(shí)又測(cè)得該樹(shù)

的影長(zhǎng)為4m,若兩次日照的光線互相垂直，則這棵樹(shù)的高度為（）

-O:13：00

8：30

A.10mB.8mC.6mD.4m

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，畫(huà)出示意圖，證明△EQQWOC,進(jìn)而可得號(hào)=償，即。孫代入數(shù)據(jù)可得答

DCFD

案.

【詳解】解：根據(jù)題意，作MFC樹(shù)高為CD,且回￡CF=90。，ED=4m,FD=16m；

00￡+0F=9O°,0E+0ECD=9O°,

00ECZX3F,

又上CDE=（FDC

^EDC^CDF,

喔二牌，即DC2=ED*FD=4X16=64,

解得CQ=8m（負(fù)值舍去）.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，熟知相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵.

【變式2-1］（2022?江蘇徐州?中考真題）如圖，公園內(nèi)有一個(gè)垂直于地面的立柱48,其旁邊有一個(gè)坡面CQ,

坡角NQCN=30。.在陽(yáng)光下，小明觀察到在地面上的影長(zhǎng)為120cm,在坡面上的影長(zhǎng)為180cm.同一時(shí)刻,

小明測(cè)得直立于地面長(zhǎng)60cm的木桿的影長(zhǎng)為90cm（其影子完全落在地面上）.求立柱A8的高度.

【答案】（170+60V5）cm

【分析】延長(zhǎng)4力交用V于點(diǎn)6過(guò)點(diǎn)。作。成1BN于點(diǎn)凡根捱直角三角形的性質(zhì)求出。F,根據(jù)余弦的定

義求出CR根據(jù)題意求出石凡再根據(jù)題意列出比例式，計(jì)算即可.

【詳解】解：延長(zhǎng)AD交BN于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)/）作小啕BN于點(diǎn)F,

A

Q

在雙△CO尸中，0CFD=9O0,0DCF=3O°,

貝/三。。=90(cm),CF=CD?COS(3DCF=180X^=90\/3(cm),

由題意得:畔嗡

EF90EF90

解得；環(huán)135,

0BE=^C+CF+EF=12O+9Ox^+135=(255+9OV3)cm,

則.產(chǎn)絲,

255+90-/390

解得：A4=170+60百，

答：立柱A3的高度為(170+60次)cm.

【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題、平行投影的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，正確

作出輔助線，利用銳角三角函數(shù)和成比例線段計(jì)算.

【變式2-2](2022?江蘇宿遷?九年級(jí)期末)如圖，河對(duì)岸有一路燈桿AB,在燈光下，小明在點(diǎn)。處，自己

的影長(zhǎng)DF=4m,沿方向到達(dá)點(diǎn)尸處再測(cè)自己的影長(zhǎng)FG=5m,如果小明的身高為1.6m,求路燈桿為8的

高度.

【答案】8m

【分析】在同一時(shí)刻物高和影長(zhǎng)成正比，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解答.

【詳解】解：BCD||EF||AB,

團(tuán)可以得到△48F-△CDF,AABG?AEFG,

乂GC〃=EF,

團(tuán)OF=4,FG=5,BF=BD+DF=BD+4,BG=BD+DFFG=BD9,

團(tuán)BD=16,BF=16+4=20,

解得力8=8.

答：路燈桿/B的高度為8米.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，本題只要是把實(shí)際問(wèn)題抽象到相似三角形中，利用相似三角

形的性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊成比例就可以求出結(jié)果.

【變式2-3］（2022?黑龍江?大慶市慶新中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，小華在晚上由路燈A走向路燈B,當(dāng)她走到

。點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)她身后影子的頂端剛好接觸到路燈A的底部，當(dāng)她向前再步行12m到Q點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)她身前影子的

頂端剛好接觸到路燈8的底部.已知小萌的身高是1.6m,兩路燈的高度都是9.6m,且AP=Q8=xm.

⑴求兩路燈之間的距離.

⑵當(dāng)小萌在A,B之間走動(dòng)時(shí)?，在兩燈光下的影子長(zhǎng)是變化的，那么兩個(gè)影子的長(zhǎng)的和變嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（l）18m

⑵兩個(gè)影子的長(zhǎng)的和不會(huì)變，一直都是3.6m

【分析】（1）連接AC,易證△力戶(hù)。團(tuán)根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出x的值，兩路燈間的距

離等于PQ+Zr；

（2）根據(jù)題意作出圖形，找出其中的相似三角形，根據(jù)三角形的相思筆即可求出影子的長(zhǎng)度和.

(1)

如圖，連接AC,

回。用A3,CB^AB,

WPWCB,

^APD^ABC,

曜=笫即：粉=事

解得：x=3,

(M^=2x3+12=18(m)

(2)

如圖，當(dāng)小萌在A,B之間走動(dòng)時(shí)，在A路燈下的影子長(zhǎng)度為0M在B路燈下的影子長(zhǎng)度為。歷,

(L4DE1AZ?,0￡0。從

^AD\\OE\\BC,

團(tuán)AANDOAONE,A8MC團(tuán)AOME,

則裝=需登=器，整理得：ON"AN,OM={BM,

9.6AN9.6BM66

ON+OM=Z(AN+BM)

6

MN="AB+MN)

6

由(1)得：A4=18m,

團(tuán)MN』(18+MN),解得：MN=3.6m,

6

故：兩個(gè)影子的長(zhǎng)的和不會(huì)變，i直都是3.6m

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，要求學(xué)生能根據(jù)題意畫(huà)出對(duì)應(yīng)圖形，能判定出相似三角形,

以及能利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等的原理解決求線段長(zhǎng)的問(wèn)題等，蘊(yùn)含了數(shù)形

結(jié)合的思想方法.

【題型3相似三角形的應(yīng)用（杠桿問(wèn)題）】

【例3】（2022?山東臨沂?二模）如圖，稗是一個(gè)杠桿，可繞支點(diǎn)。自由轉(zhuǎn)動(dòng)，若動(dòng)力F動(dòng)和阻力尸阻的施力

方向都始終保持豎直向下，當(dāng)阻力尸阻不變時(shí)，則杠桿向下運(yùn)動(dòng)時(shí)F動(dòng)的大小變化情況是（）

A.越來(lái)越小B.不變C.越來(lái)越大D.無(wú)法確定

【答案】B

【分析】由圖證明AM0E?△N0F,從而得到喘=黑，即ME-NO=NF-M。，再根據(jù)題意得出答案.

NFNO

【詳解】解：^Z.MOE=Z.NOF,=Z.ONF,

0AMOEs&NOF,

曜二震，即ME-NO=NF-M。,

回阻力尸阻不變，即ME不變，

又BOM,ON不變，

回由“￡?/7。=%??“。得，Nb不變，即尸,力的大小不變.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題以實(shí)際問(wèn)題為背景，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，從實(shí)際問(wèn)題中抽離出數(shù)學(xué)圖形，是解

題的關(guān)鍵.

【變式3-1］（2019?全國(guó)?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）加圖，是用杠桿撬石頭的示意圖，。是支點(diǎn)，當(dāng)用力壓杠桿的4端

時(shí)，杠桿繞。點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端B向上翹起，石頭就被撬動(dòng)，現(xiàn)有一塊石頭，要使其滾動(dòng)，杠桿8端必須向上

翹10cm,已知杠桿上的AC與8c長(zhǎng)度之比為5:1,則要使這塊石頭滾動(dòng)，至少要將杠桿的A端向下壓多少厘

米？

【答案】50厘米

【分析】首先根據(jù)題意構(gòu)造出相似三角形，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得端點(diǎn)A向下壓的長(zhǎng)度.

【詳解】解：解：如圖；AM、BN都與水平線垂直，即AM13BN；

B

易知：△ACMtmiBCN：

AC_AM

"~BC=~BN

團(tuán)杠桿的動(dòng)力臂AC與阻力臂BC之比為5：1,

?噎*即AM=5BN；

（3當(dāng)BNNlOcm時(shí)，AM>50cm；

故要使這塊石頭滾動(dòng)，至少要將杠桿的端點(diǎn)A向下壓50cm.

故答案為50

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用，正確的構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2】一根均勻的木棒04所受重力G=10N,小亮以木棒的一端。為支點(diǎn)，豎直向上將木棒的另一端

A緩慢拉到如圖所示的位置，保持不動(dòng)，此時(shí)拉力為立若點(diǎn)3為04的中點(diǎn)，AC,3。分別垂直地面于點(diǎn)

C,。，則根據(jù)杠桿平衡原理得拉力廠的大小為（）

A.5NB.IONC.15ND.20N

【答案】A

【分析】依據(jù)8DIIAC,8是4。的中點(diǎn)，即可得到。是0C的中點(diǎn)，再根據(jù)杠桿平衡原理，可得GxOD=FxOC,

進(jìn)而得出拉力F的大小.

【詳解】解：團(tuán)4虎。。，AC^OC,

津=絲，

BADC

又是A。的中點(diǎn)，即08=BA,

（30D=QC,

團(tuán)。。=：0C,

2

根據(jù)杠桿平衡原理，可得Gx0D=Fx0C,

01Cx-OC=FxOC,

2

解得F=5（N）,

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題主要考杳了平行線分線段成比例定理，以及杠桿平衡原理，熟練掌握平行線分線段成比例定

理并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.

【變式3-3]（2021?甘肅白銀?九年級(jí)期末）如圖，以點(diǎn)。為支點(diǎn)的杠桿，在A端用豎直向上的拉力將重為

G的物體勻速拉起，當(dāng)杠桿0A水平時(shí)，拉力為F；當(dāng)杠桿被拉至OAi時(shí)，拉力為％,過(guò)點(diǎn)Bj乍BiCQOA,

過(guò)點(diǎn)Ai作A]D團(tuán)0A,垂足分別為點(diǎn)C、D.在下列結(jié)論中：

①A0aC?△。4]“；@0A*0C=0B?0D；③0C?G=0D?Fi；@F=Fi，正確的是（）

A,①②④B.②③④C.①②③D.①②③④

【答案】D

【分析】根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線互相平行判斷出B1C0A1D,然后求出[30B1C宛OAiD,

判斷出①正確；

根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可得到②正確；

根據(jù)杠桿平衡原理：動(dòng)力x動(dòng)力臂=阻力x阻力臂列式判斷出③正確；

求出F的大小不變，判斷出④正確.

【詳解】0B1C0OA,AiDBOA,

回BE國(guó)AiD,

00OB1C00OA1D,故①正確；

_OB]

-OAi

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，OB=OBi，OA=OAi，

0OA?OC=OB*OD,故②正確：

由杠桿平衡原理，OC?G=OD?Fi，故③正確；

］嚙=舞吟是定值,

I2F1的大小不變,

故④）正確.

l?IF=F1,

綜上所述，說(shuō)法正確的是①②③④.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，杠桿平衡原理，熟練掌握相似三角形的判定方法和性質(zhì)并

準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.

【題型4相似三角形的應(yīng)用（建筑物問(wèn)題）】

【例4】（2019?四川?成都市雙流區(qū)立格實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）劉徽，公元3世紀(jì)人，是中國(guó)歷史上最

杰出的數(shù)學(xué)家之一.《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》是他留給后世最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn).《海島算經(jīng)》第一

個(gè)問(wèn)題的大意是：如圖，要測(cè)量海島上一座山峰A的高度AH,立兩根高3丈的標(biāo)桿BC和DE,兩桿之間的

距離BD=1000步，點(diǎn)D、B、H成一線，從B處退行123步到點(diǎn)F處，人的眼睛貼著地面觀察點(diǎn)A,點(diǎn)A、

C、F也成一線，從DE退行127步到點(diǎn)G處，從G觀察A點(diǎn)，A,E,G三點(diǎn)也成一線，試計(jì)算山峰的高度

AH及BH的長(zhǎng)（這里古制1步=6尺，1里=180丈=1800尺=300步，結(jié)果用步來(lái)表示）.

【分析】根據(jù)題意得出△FCBGEFAH,AEDGOSAHG,進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)求出即可.

【詳解】解：由題意,得，AH0HG,CB0HG,

團(tuán)團(tuán)AHF=90°,團(tuán)CBF=90°,

團(tuán)團(tuán)AHF=?CBF,

00AFB=0CFB,

00CBFE0AHF,

段=竺

AHHF

同理可得意=瑞

團(tuán)BF=123,BD=1000,DG=127,

0HF=HB+123,HG=HB+1000+127=HB+1127,BC=DE=3丈=3x^=5步，

0A=1235=127

HAHB+123'HAWB+1127

解得HB=30750,HA=1255步，

答：AH為1255步，HB為30750步.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定和性質(zhì).

【變式4-1］（2022?陜西?武功縣教育局教育教學(xué)研究室一模）千佛鐵塔位于陜西省咸陽(yáng)市之北杜鎮(zhèn)，用純

鐵鑄成，中空有梯可攀登，四角柱鑄成金剛力士像，頂立層樓，各層環(huán)周鑄鐵佛多尊，故名“千佛塔”，此塔

為中國(guó)現(xiàn)存鐵塔中最高的一座.某數(shù)學(xué)興趣小組本著用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的想法，欲測(cè)量該塔的高

度.如圖，在點(diǎn)C處有一建筑物，小麗同學(xué)站在建筑物上，眼睛位于點(diǎn)。處，她手拿一支長(zhǎng)0.5米的竹竿

EF.邊觀察邊移動(dòng)竹竿（竹竿石尸始終與地面垂直），當(dāng)移動(dòng)到如圖所示的位置時(shí)，眼睛。與竹竿、塔的

頂端從A共線，同時(shí)眼睛。與它們的底端F、4也恰好共線，此時(shí)測(cè)得NBOC=63。，小麗的眼睛距竹竿

的距離為0.5米，小麗的眼睛距地面的高度CO=17米，已知力DC_LBC.請(qǐng)你根據(jù)以上測(cè)量結(jié)果

計(jì)算該塔的高度A4.【參考數(shù)據(jù)：tan63o《2】

【答案】該塔的高度為34米

【分析】過(guò)點(diǎn)。作DG_L48于點(diǎn)G,交￡“于點(diǎn)〃，再根據(jù)￡人取8可得出△0A8?△OEF,由相似三角形的

對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出AB的長(zhǎng).

【詳解】過(guò)點(diǎn)。作DG1AB于點(diǎn)G,交EF于點(diǎn)、H,如圖.

易得〃G=BC,DH1EF,DH=U.5米.

(3CD=17米,Z.BDC=63°,zC=90°,tan63°?2,

嚷=2,(3BC=34米，即DG=34米.

團(tuán)￡71148,

0ZDEF=LA,Z.DFE=LDBA,

（?!△DAB^△DEF,

齦=咯即竺=空

EFDH0.50.5

解得AB=34米，

即該塔的高度AB為34米.

【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.

【變式4-2］（2022?陜西?模擬預(yù)測(cè)）延安寶塔，是歷史名城延安的標(biāo)志，是革命圣地的象征，坐落在陜西

省延安市主城東南的寶塔山景區(qū)內(nèi).周末，數(shù)學(xué)實(shí)踐小組的同學(xué)帶著測(cè)量工具測(cè)量延安寶塔的高度.測(cè)量

方案如下：首先，在A處豎立一根高4m的標(biāo)桿A8,發(fā)現(xiàn)地面.匕的點(diǎn)。、標(biāo)桿頂端8與寶塔頂端M在一條

直線上，測(cè)得力。=4.3m；然后，移開(kāi)標(biāo)桿，在A處放置測(cè)角儀，調(diào)整測(cè)角儀的高度，當(dāng)測(cè)角儀高AC為1m

時(shí)，恰好測(cè)得點(diǎn)M的仰角為45。已知MN1ND,ABJ.ND,點(diǎn)D、A、N在一條直線上，點(diǎn)A,C、8在一

條直線上，求延安寶塔的高M(jìn)M

DA

【答案】延安寶塔的高M(jìn)N為44m.

【分析】根據(jù)已知條件推出AMND?A8/10,得到黑二瞿，即可求得.

ABDA

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CE1MN于點(diǎn)E,則CE=AN,EN=AC=1,

0ZWCE=45°,

121ME=Cfe.

團(tuán)ME=CE=AN=MN—1,

Z.MND=Z-BADf乙MDN=iBDA,

皿IND?MAD,

MN_DN_川］竺_MN-1+4.3

AB-DA，'4-4.3，

（3MN=44

團(tuán)延安寶塔的高M(jìn)N為44m.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的應(yīng)用，證明AMND?ABAD是解決本題的關(guān)鍵.

【變式4-3］（2022?陜西西安?一模）“攬?jiān)麻w”位于西安市雁塔南路最南端，是西安唐文化的標(biāo)志性建筑，

陽(yáng)光明媚的一天，某校九年級(jí)一班的興趣小組去測(cè)量攬?jiān)麻w的高度.攬?jiān)麻w前面有個(gè)高1米的平臺(tái)，身高

1.8米的小強(qiáng)在臺(tái)上走動(dòng)，當(dāng)小強(qiáng)走到點(diǎn)C處，小紅蹲在臺(tái)下點(diǎn)N處，其視線通過(guò)邊緣點(diǎn)M和小強(qiáng)頭頂點(diǎn)。

正好看到塔頂人點(diǎn)，測(cè)得CM=0.9米，然后小強(qiáng)從正前方跳下后，往前走到點(diǎn)￡?處，此時(shí)發(fā)現(xiàn)小強(qiáng)頭頂"

在太陽(yáng)下的影子恰好和塔頂A在地面上的影子重合于點(diǎn)P處，測(cè)得NE=5米，EP=1米.請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)

據(jù)幫助興趣小組求出攬?jiān)麻w的高度.

【答案】99米

【分析】過(guò)點(diǎn)M作MQ148于點(diǎn)Q,則四邊形Q8NM為矩形，設(shè)AB的長(zhǎng)為％,則4Q=%—1,根據(jù)OC1

MQ,AQ1MQ,可得△AQMDCM,進(jìn)而求得MQ的長(zhǎng)度，即的長(zhǎng)度，根據(jù)八可得△PEF-△PBA,

進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，解方程求解即可求出攬?jiān)麻w的高度.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)M作MQJL/1B于點(diǎn)Q,

A

?:AB1BN,MN1BN

???四邊形QBNM為矩形，

設(shè)的長(zhǎng)為X,則力Q=x-1,

vDC1MQ,AQ1MQ

???AQWDC

???△AQMDCM

.AQ_QM_

"DC-CM

vAQ=x-l,DC=1.8,CM=0.9

AQ-CM(x-1)x0.9_%-1

QM=

-DC-1.8—2

x-1

BN=QM=

2

???ABWEF

???△PEFPBA

力8PB

:.--=

EFPE

x—1X+11

???EF=1.9,=PEINEIBN=1I5I=

x+11

1.81

解得％=99

??.攬?jiān)麻w的高度為99米

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

【題型5相似三角形的應(yīng)用（樹(shù)高問(wèn)題）】

【例5】（2011?遼寧大連?中考真題）為了測(cè)量校園內(nèi)一棵不可攀的樹(shù)的高度，學(xué)校數(shù)學(xué)應(yīng)用實(shí)踐小組做了

如下的探索：根據(jù)光的反射定律，利用?面鏡子和皮尺，設(shè)計(jì)如圖所示的測(cè)量方案：把鏡子放在離樹(shù)（AB）8.7m

的點(diǎn)E處,然后觀測(cè)考沿著直線BE后退到點(diǎn)D,這時(shí)恰好在鏡子縣看到樹(shù)梢頂點(diǎn)A,再用皮尺量得DE=2.7m,

觀測(cè)者目高CD=1.6m,則樹(shù)高AB約是.（精確到0.1m）

DEB

【答案】5.2

【詳解】如圖容易知道CD團(tuán)BD,AB團(tuán)BE,即回CDE=?ABE=90。.由光的反射原理可知國(guó)CEDWAEB,這樣可以得

到RCED胴AEB,然后利用對(duì)應(yīng)邊成比例就可以求出AB.

解：由題意知（3CED=（3AEB,0CDE=0ABE=9O°,

00CED（33AEB.

_AB.1.6_AB

糠-BE,,,石一礪’

0AB=5.2米.

故答案為5.2m.

【變式5-1］（2021.全國(guó)?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）據(jù)《九章算術(shù)》記載：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里,

木高九丈西尺，人立木東三里，望木末適與山峰斜平.人目高七尺.問(wèn)山高幾何？”

大意如下：如圖，今有山力8位于樹(shù)的西面.山高為未知數(shù)，山與樹(shù)相距53里，樹(shù)高9丈5尺，人站在離

樹(shù)3里的尸處，觀察到樹(shù)梢C恰好與山峰A處在同一斜線上，人眼離地7尺，問(wèn)山AB的高約為多少丈？（1丈=10

尺，結(jié)果精確到個(gè)位）

【答案】由的高約為165丈.

【分析】由題意得80=53里，CD=95尺，EF=7尺,OF=3里，過(guò)點(diǎn)E作EGJ.48于點(diǎn)G,交CO于點(diǎn)H,

得BG=OH=EF=7尺，GH=80=53里，HE=DF=3里,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出.

【詳解】解：由題意得8。=53里，CD=95尺，EF=7尺,=3里.

如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG1A8于點(diǎn)G,交。。于點(diǎn)H.

則BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里,

vCD//AB,

(30ECH00EAG,

，列=里,

AGEG

95-7_3

"AG=3+53

???4G?164.3丈，AB=AG+0.7x165丈.

答：由48的高約為165丈.

【點(diǎn)睛】此題主要考杳了相似三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用，能夠?qū)?shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成相似三角形是解題的關(guān)

鍵.

【變式5?2】（2022?全國(guó)?九年級(jí)單元測(cè)試）小明想用鏡子測(cè)量一棵松樹(shù)的高度，但因樹(shù)旁有一條河，不能

測(cè)量鏡子與樹(shù)之間的距離，于是他兩次利用鏡子，如圖所示，第一次他把鏡子放在C點(diǎn)，人在F點(diǎn)時(shí)正好

在鏡子中看到樹(shù)尖A；第二次把鏡子放在D點(diǎn)，人在G點(diǎn)正好看到樹(shù)尖A.已知小明的眼睛距離地面1.70m,

量得CD=12m,CF=1.8m,DH=3.8m.請(qǐng)你求出松樹(shù)的高.

【答案】這棵古松的高約為10.2米.

【分析】根據(jù)反射定律可以推出aXCBWECF,0ADB=0DGH,所以可得用BA5團(tuán)FEC、國(guó)ADB團(tuán)團(tuán)GDH,再根據(jù)相似

三角形的性質(zhì)解答.

【詳解】解：根據(jù)反射定律可以推出I3ACB=[3ECF,0ADB=0GDH,

0AB0BC,EF0BC,GHmBC,

0OBACE0FEC.0ADBE0GDF,

設(shè)AB=x,BC=y

得仔=10.2

即付卜=10.8.

答；這棵古松的高約為10.2米

【變式5-3]（2021?陜西寶雞?一模）傍晚，小張和媽媽在某公園散步，發(fā)現(xiàn)公園的一路燈旁有一棵古老的

大樹(shù)，小華激動(dòng)地說(shuō)：媽媽?zhuān)铱梢酝ㄟ^(guò)測(cè)量您的影長(zhǎng)，測(cè)得媽媽的影長(zhǎng)QP=1.6m.媽媽沿8。的方向到

達(dá)點(diǎn)尸處，此時(shí)小華測(cè)得媽媽的影長(zhǎng)打7=2^1.已知媽媽的身高為1.6m（即CQ=EF=16〃），AI^BG,

CQ犯G,求這棵大樹(shù)的高度.

【答案】8米

【分析】在同一時(shí)刻物高和影長(zhǎng)成正比，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解答.

【詳解】解：0COTF/1MB,

^CDI^BABF,^ABG^EFG,

爬=竺，變="，

ABBFABBG

又BCQ=ERCD=DF

齦二q

ABAB+GF

0DF=1.6/H,FG=2m,

碎=

ABABI2

解得，AB=3.

答：這棵大樹(shù)的高度是

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的有關(guān)知識(shí)，能夠借助兩組三角形相似求解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【題型6相似三角形的應(yīng)用（河寬問(wèn)題）】

【例6】（2021?河北?石家莊市第川十一中學(xué)九年級(jí)期中）為了估計(jì)河的寬度，我們可以在河對(duì)岸的岸邊選

定一個(gè)目標(biāo)記為點(diǎn)力，再在河的這一邊選點(diǎn)8和點(diǎn)C,使得CE1BC,設(shè)8c與AE交于點(diǎn)O,如圖所

示測(cè)得8。=120m,DC=40m,EC=30m,那么這條河的大致寬度是（）

A

C.100mD.120m

【答案】B

【分析】證明△OEBZkQ/W即可.

【詳解】西81BC,CE1BC,

回團(tuán)。/M=(3QCE,

WDA-^CDE,

團(tuán)△DECI3AD4B,

0DC：DB=EC：4B,

^BD=120m,DC=40m,EC=30m,

04C：120=30：AB,

048=90（〃?），

故選艮

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形相似的判定定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式6-1］（2019?全國(guó)?九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，為了估計(jì)河的寬度，在河的對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A,在

近岸取點(diǎn)B,C,D,E,使點(diǎn)A,B,D在一條直線上，且AD13DE,點(diǎn)A,C,E也在一條直線上且DE陰C.如

果BC=24m,BD=12m,DE=40m,則河的寬度AB約為（）

A.20mB.18mC.28mD.30m

【答案】B

【分析】證明國(guó)ABC胴ADE,利用相似比得到能）緇，然后根據(jù)比例的性質(zhì)求AB的長(zhǎng)度.

DeADBD

【詳解】0BC0DE,

配1ABC勵(lì)A(yù)DE,

DEAB^BD

0AB=18m.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：利用影長(zhǎng)測(cè)量物體的高度；利用相似測(cè)量河的寬度（測(cè)量距離）；

借助標(biāo)桿或直尺測(cè)量物體的高度.

【變式6-2］（2022?貴州畢節(jié),二模）如圖，一條河的兩岸有一段是平行的，在河的南岸岸邊每隔5m有一棵

樹(shù)，小華站在離南岸20m的點(diǎn)。處看北岸，在兩棵樹(shù)之間的空隙中，恰好看見(jiàn)一條龍舟的龍頭和龍尾（假

設(shè)龍頭、龍尾和小華的眼睛位于同一水平平面內(nèi)），已知龍舟的長(zhǎng)為18.5m,若龍舟行駛在河的中心，且龍

\/南岸

7P

【答案】108

【分析】根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，過(guò)點(diǎn)P作PF1CD于點(diǎn)F,交AB于點(diǎn)證明aP/lB?△PCD,再借助相

似三角形的性質(zhì)計(jì)算尸尸的長(zhǎng)，再由題意計(jì)算河寬即可.

【詳解】解：根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，過(guò)點(diǎn)。作P""￡CD于點(diǎn)F,交A8于點(diǎn)E,

由題意可知,兩樹(shù)之間的距離48=5m,龍舟的長(zhǎng)。。=18.5m,點(diǎn)P到南岸的距離PE=20m,

中AB〃CD,

0APABPCD,

0^=—,K|J—=—

PFCDPF18.5

0PF=74m,

BEF=PF-PE=74-20=54m,

團(tuán)龍舟行駛在河的中心,

團(tuán)河寬為54x2=108m.

故答案為：108.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用相似三角形解決實(shí)際問(wèn)題，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意作出示意圖，構(gòu)建相似三角

形.

【變式6-3］（2022?陜西?西安工業(yè)大學(xué)附中九年級(jí)期中）為了加快城市發(fā)展，保障市民出行方便，某市在

流經(jīng)該市的河流上架起一座橋，連通南北，鋪就城市繁榮之路.小明和小穎想通過(guò)自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)計(jì)

算該橋4尸的長(zhǎng).如圖，該橋兩側(cè)河岸平行，他們?cè)诤拥膶?duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A,再在河岸的這一邊選

出點(diǎn)8和點(diǎn)C,分別在AB、AC的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)。、E,使得。EII8C.經(jīng)測(cè)量，BC=120米，。石=210米,

且點(diǎn)上到河岸8c的距離為60米.已知八砥8c「點(diǎn)F,請(qǐng)你根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，幫助他們計(jì)算橋人斤的長(zhǎng)度.

A

【答案】橋A尸的長(zhǎng)度為80米.

【分析】過(guò)E作EG3BC于G,依據(jù)△4BEMOE,即可得出替二：,依據(jù)MC而3ECG,即可得到會(huì)=第

EC3EGEC

進(jìn)而得出4b的長(zhǎng).

【詳解】解：如圖所示，過(guò)E作￡G她。于G,

0DEHBC,

的鉆CmAOE,

^AC_BC1204

0------=---=一，

AEDE2107

嗜/

（MFIIEG,

^CF^ECG,

/="，即竺=士,

EGEC603

解得A尸=80,

（3橋AF的長(zhǎng)度為80米.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用相似測(cè)量河的寬度（測(cè)量距離）.測(cè)量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常常

構(gòu)造，7r型或“『型相似圖，三點(diǎn)應(yīng)在一條直線上.必須保證在一條直線上，為了使問(wèn)題簡(jiǎn)便，盡量構(gòu)造直角

三角形.方法是通過(guò)測(cè)量易于測(cè)量的線段，利用三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例可求出河的寬度.

【題型7相似三角形的應(yīng)用（內(nèi)接矩形問(wèn)題）】

【例7】（2020?江蘇無(wú)錫?九年級(jí)期中）一塊直角三角形木板，它的一條直角邊4c長(zhǎng)為1C771,面積為1。7九2,

甲、乙兩人分別按圖①、②把它加工成一個(gè)正方形桌面，則①、②中正方形的面積較大的是（）

A

G

①②

A.①B.（2）C.一樣大D.無(wú)法判斷

【答案】A

【分析】分別利用平行線分線段成比例及相似三角形的判定及性質(zhì)求出兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，然后利用正方

形的面積公式求出面積，然后進(jìn)行比較即可.

【詳解】解：由4c長(zhǎng)為1cm,△4BC的面積為lcm2,可得8c=2cm,

如圖①，設(shè)加工桌面的邊長(zhǎng)為%cm,

vDE//CB,

.DE_AD

,?麗-AC"

即弓=二

21

解得：X=|(cm)；

如圖②，設(shè)加工桌面的邊長(zhǎng)為ycm,

過(guò)點(diǎn)C作分別交。￡、4?于點(diǎn)N、M,

AC=1cm,BC=2cm,

???AB=\/AC2+BC2=V5,

???△4BC的面積為Ie/,

??.CM=誓cm,

???DE//AB,

.**△CDECAB,

DE_CN

AB~CM'

解得：y=^C7H,

:.x2>y2,

即&>S2,

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題主要考杳相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握平行線分線段成比例及相似三角形的判定及性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

【變式7?1】（2021?遼寧?沈陽(yáng)市第七中學(xué)九年級(jí)期中）如圖有一塊直角邊AB=4cm,BC=3cm的RtAABC

的鐵片，現(xiàn)要把它加工成一個(gè)正