中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)【舉一反三】系列-專題37 軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)【十二大題型】（舉一反三）（原卷版）

專題37軸對稱.平移、旋轉(zhuǎn)【十二大題型】

?題型梳理

【題型1軸對稱圖形、中心對稱圖形的識別】.......................................................1

【題型2與坐標(biāo)系有關(guān)的對稱、平移、旋轉(zhuǎn)問題】...................................................3

【題型3與兒何圖形有關(guān)的折疊問題】.............................................................4

【題型4與拋物線有關(guān)的折疊問題】...............................................................6

【題型5利用軸對稱求最值】......................................................................7

【題型6根據(jù)中心對?稱的性質(zhì)求面積、長度、角度】.................................................9

【題型7與軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)有關(guān)的規(guī)律探究問題】..............................................10

【題型8用平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)、中心對稱作圖】..................................................11

【題型9旋轉(zhuǎn)或軸對稱綜合題之線段問題】.........................................................13

【題型10旋轉(zhuǎn)或軸對稱綜合題之面積問題】........................................................15

【題型11旋轉(zhuǎn)或軸對稱綜合題之角度問題】........................................................18

【題型12利用平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)、中心對稱設(shè)計圖案】...........................................19

【知識點軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)】

1.平移

(1)定義：把一個圖形沿著某一直線方向移動,這種圖形的平行移動，簡稱為平移.

(2)平移的性質(zhì)：平移后的圖形與原圖形全等;對應(yīng)角相等;對應(yīng)點所連的線段平行(或在同一條直線上)

且相等.

(3)坐標(biāo)的平移：點(x,y)向右平移a個單位長度后的坐標(biāo)變?yōu)?好a,y);

點Uy)向左平移a個單位長度后的坐標(biāo)變?yōu)?七a,y);

點(x,y)向上平移a個單位長度后的坐標(biāo)變?yōu)?x,;

點(x,力向下平移a個單位長度后的坐標(biāo)變?yōu)?*,W.

2.軸對稱

(1)軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合,那么就說這兩個圖形關(guān)

于這條直線成軸對稱.這條直線叫做對稱軸,折疊后重合的點是對應(yīng)點，叫做對稱點.

(2)軸對稱圖形：如果一個平面圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,這個圖形叫做軸

對稱圖形.這條直線叫做它的對稱軸.

(3)軸對稱的性質(zhì)：關(guān)于某條直線對稱的圖形是全等形.

經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線,叫做這條線段的垂直平分線.

如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱,那么對稱軸是任何?對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線.軸對稱圖形的

對稱軸,是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線.

(4)線段垂直平分線的性質(zhì)

線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等；

與一條線段兩個端點距離相等的點，在線段的垂直平分線上.

(5)坐標(biāo)與軸對稱：點(乂y)關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)是(x,-y);

點(乂力關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)是(-乂力；

3.旋轉(zhuǎn)

(1)旋轉(zhuǎn)

定義：把一個平面圖形繞著平面內(nèi)某一點。轉(zhuǎn)動一個角度，叫做圖形的旋轉(zhuǎn).點。叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動

的用叫做旋枝角.如果圖形上的點P經(jīng)過旋技變?yōu)辄cP',那么這兩個點叫做這個旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點.

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;②對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；③旋

轉(zhuǎn)前后的圖形全等.

(2)中心對稱

定義：把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180。，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩人圖形關(guān)于這

個點對稱或中心對稱.這個點叫做對稱中心.這兩個圖形在旋轉(zhuǎn)后能重合的對應(yīng)點叫做關(guān)于對稱中心的時稱

點.

中心對稱的性質(zhì)：①中心對稱的兩個圖形,對稱點所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心所平分;

②中心對稱的兩個圖形是全等圖形.

(3)中心對稱圖形

定義：如果一個圖形繞一個點旋轉(zhuǎn)180°后能與自身重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形.這個點叫

做它的對稱中心.

(4)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)

兩個點關(guān)于原點對稱時,它們的坐標(biāo)符號相反，即點P(x,y)關(guān)于原點。的對稱點為Pf(-x-y).

【題型1軸對稱圖形、中心對稱圖形的識別】

【例1】(2023?廣東東莞?一模)如所示圖形中，既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形的是()

【變式1-1]（2023?安徽合肥-?？家荒＃┤绻粋€圖形繞著一人點至少旋轉(zhuǎn)72度才能與它本身重合，則下

列說法正確的是（）

.A.這個圖形一定是中心對稱圖形.

B.這個圖形既是中心對稱圖形,又是軸對稱圖形.

C.這個圖形旋轉(zhuǎn)216度后能與它本身重合.

D.這個圖形既不是中心對稱圖形,也不是軸對稱圖形.

【變式1-2]2023?福建泉州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如所示的四個交通標(biāo)志圖中，為旋轉(zhuǎn)對稱圖形的是（）

.A.AAA

【變式1-3]（2023?山東青島?統(tǒng)考三模）下列圖形c中，既是中心對稱圖形乂是軸對稱圖形的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【題型2與坐標(biāo)系有關(guān)的對稱、平移、旋轉(zhuǎn)問題】

[例2]（2023?江蘇無錫?統(tǒng)考二模）如圖，在4BDE中，匕BDE=90°,BD=4&,點〃的坐標(biāo)是

（4NZ5,0）,tanzBDO=將A8DE旋轉(zhuǎn)到△48c的位置，點。在8。上,則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為（）

A.（2x/5,yV5）B.（3V5,1V5）C.常a2伺D.（蔡若卷伺

A

B,F

A.325/3cm2B.8V3cm2C.8ncm2D.+3n）cm2

【變式3-3］（2023?河南周口?校聯(lián)考模擬預(yù)測）綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題

操作一：如圖（1）,正方形紙片ABC。，點E是邊上（點E不與點S,C重合）任意一點，沿AE折疊△力8￡到4

4FE,如圖⑵所示;

操作二：將圖（2）沿過點F的直線折疊，使點E的對稱點G落在力E上,得到折痕MN,點C的對稱點記為H,如圖

⑶所示；

操作三：將紙片展平，連接BM,如圖（4）所示.

根據(jù)以上操作，回答下列問題：

①B,M,N三點一（填“在"或〃不在"）一條直線上；

②RE和8N的位置關(guān)系是數(shù)顯關(guān)系是」

③如圖（5）,連接4V,改變點E在BC上的位置,_（填“存在"或“不存在”）點瓦使4V平分乙。力￡

⑵遷移探究

蘇鈕同學(xué)將正方形紙片換成矩形紙片48CD,AB=4,BC=6,按照（1）中的方式操作,得到圖⑹或圖（7）.請

完成下列探究:

①當(dāng)點N在上時，如圖(6),8E和CN有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由;

②當(dāng)DN的長為1時，請直接寫出BE的長.

【題型4與拋物線有關(guān)的折疊問題】

【例4】(2023?廣西貴港?統(tǒng)考三模)拋物線、=-3/+六+，與/軸交于/1、4兩點，且點力在點8的左

側(cè)，與y軸交于點G點。(3,2)為拋物線上一點，且直線CDIIx軸，點”是拋物線上的一動點.

(1)求拋物線的解析式與/、8兩點的坐標(biāo).

(2)若點￡的縱坐標(biāo)為0,且以A,E,D,M為頂點的四邊形是平行四邊形，求此時點M的坐標(biāo).

(3)過點也作直線CD的垂線,垂足為N,若將CMN沿CM翻折，點,V的對應(yīng)點為N，,則是否存在點M使點N'

則恰好落在*軸上?若存在,求出此時點V的坐標(biāo);若不存在,說明段理由.

【變式4-1](2023?山東棗莊-?？寄M預(yù)測)已知：如圖，拋物線y=-x2+bx+。經(jīng)過原點0,它的對稱

軸為直線》=2,動點P從拋物線的頂點4出發(fā),在對稱軸上以每秒1個單位的速度向下運動,設(shè)動點P運動的時

間為￡秒,連接OP并延長交拋物線于點&連接0力,AB.

(1)求拋物線解析式及頂點坐標(biāo)；

(2)當(dāng)三點40,8構(gòu)成以為。8為斜邊的直角三角形時,求t的值；

(3)將4沿直線尸8折疊后,那么點4的對稱點為能否恰好落在坐標(biāo)軸上?若能，請直接寫出所有滿足條件

的t的值;若不能，請說明理由.

【變式4-2](2023?山西臨汾?統(tǒng)考一模)綜合與探究

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ix2-；%-4與x軸交于4B兩點、(點8在點A的右側(cè)),與v軸交于點

4L

C.將4力8。沿BC所在的直線折疊,得到△D8C,點A的對應(yīng)點為D.

（備用圖）

⑴求點48,。的坐標(biāo).

（2）求直線8D的函數(shù)表達(dá)式.

（3）在拋物線上是否存在點P,使NPC8=4A8C?若存在，請求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【變式4-3]（2023?湖南岳陽?統(tǒng)考一模）如圖①,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線F1:y=x2+bx4-c經(jīng)過

點第1,0）和點8（3,0）,與y軸交于點C,經(jīng)過點A的直線/與y軸的負(fù)半軸交于點〃,與拋物線人交于點￡且

OD=OA.

⑵如圖②,點尸是拋物線K上位于x軸下方的一動點，連接CP、EP,CP與直線/交于點。，設(shè)

ECQ的面積為Si和S2,求名的最大值;

$2

（3）如圖③,將拋物線&沿直線x=m翻折得到拋物線尸2,且直線:與拋物線尸2有且只有一個交點,求/〃的

值.

【題型5利用軸對稱求最值】

[例5]（2023?遼寧盤錦-統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形48CZ）是矩形,AB=同,AD=4或，點尸是邊AD上

一點（不與點4〃重合），連接P8,PC.點分別是PB,PC的中點，連接MM力M,DN,點￡在邊力。

匕MEWDN,則為M+ME的最小值是（)

A.2\/3B.3C.3A/2D.4A/2

[變式5-1]（2023?江蘇鹽城?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知，等邊△ABC中，AB=6,將4/18C沿AC翻折，得到

△ADC,連接X",交AC于。點，￡點在?！ㄉ?，且〃X=20%/是山的中點，一是4C上的一個動點,則一PE\

的最大值為.

【變式5-2]（2023?江蘇宿遷?統(tǒng)考二模）如圖，菱形48C。的邊長為10,tan>4=/點必為邊AD上的一個動

點且不與點力和點〃重合，點力關(guān)于直線8M的對稱點為點點A'為線段C4的中點,連接DN,則線段DN長

度的最小值是.

【變式5-3]（2023?浙江?統(tǒng)考二模）如圖,在正方形A8CD中，點石為邊8c上一個動點，作點8關(guān)于AE的對

稱點8',連接并延長交4E延長線于點F,連接8夕,BF.

(1)求證：BF=B'F.

（2）求乙B夕。的度數(shù).

（3）若力B=2,在點￡的運動過程中，求點尸到BC距離的最大值.

【題型6根據(jù)中心對稱的性質(zhì)求面積、長度、角度】

【例6】（2023?江蘇泰州?統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,△N8C的頂點小C分別是直線y=-聲+

4與坐標(biāo)軸的交點，點8（-2,0）,點D是邊AC上的一點,DE1BC,垂足為E,點尸在力B邊上,且D、F兩點關(guān)于y

軸上某點成中心對稱，連接〃產(chǎn)、七戶.線段以.長度的最小值為.

八

【變式6-11（2023?山西朔州?統(tǒng)考一模）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，有7個半徑為1的小圓拼在一起,下

面一行的4個小圓都與4軸相切，上面一行的3個小圓都在下一行右邊3個小圓的正上方，且福鄰兩個小圓

只有一個公共點，從左往右數(shù),，軸過第2列兩個小圓的圓心，點P是第3列兩個小圓的公共點.若過點P有

一條直線平分這7個小圓的面積，則該直線的函數(shù)表達(dá)式是.

【變式6-2］（2023?江蘇南通?統(tǒng)考一模）如圖，矩形48CD中，48=6,AD=3.￡為邊48上一動點，連接

DE.作”交矩形48CD的邊于點片垂足為G.

（備用圖）

(1)求證：LAFB=￡DEA;

(2)若CF=1,求AE的長；

(3)點。為矩形力BCD的對稱中心，探究0G的取值范圍.

【變式6-3](2023?吉林長春?統(tǒng)考一模)如圖，在中，乙8AC=90。，AB=15,AC=20,動點、P從點、

月出發(fā),在線段BC上以每秒5個單位長度的速度向終點。運動,連接4P.將44PB沿直線4P翻折得到4

APB'.

⑴求BC的長；

⑵當(dāng)四邊形4BPB'為中心對稱圖形時，求￡的值;

(3)當(dāng)點力在BC下方時,連接BB'、C8',求此時△CB夕面積的最大值;

(4)當(dāng)直線/夕與△4BC一邊垂直時，直接寫出E的值.

【題型7與軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)有關(guān)的規(guī)律探究問題】

【例7】(2023?河南商丘?統(tǒng)考三模)如圖，平面直角坐標(biāo)系中,4(1,1),F(O,3),以為邊在AB右側(cè)作正方

形ABC。.第一次操作：將正方形a3co繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90。得到正方形41B1G5；第二次操作：將正方形

繞點0順時針旋轉(zhuǎn)90。得到正方形……則第2c23次操作得到正方形力202382023Q023D2023

C.(4,-2)D.(2,-4)

【變式7-1](2023?重慶南岸?二模)如圖，Rta48iG的斜邊在直線y=6%-V5上，點B]在x軸

上,G點坐標(biāo)為(2,0).先將△AiBiG沿較長直角邊4G翻折得到△4B2G，再將△A/2G沿斜邊4%翻折得

到44。2c2,再將△沿較短直角邊02c2翻折得到4^2。2c2；…；按此規(guī)律，點的坐標(biāo)為()

A.（15,5百）B.（15,6⑹C.（17,5⑹D.（17,6百）

【變式7-2］（2023?河北保定?三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=%的圖象為直線1,作點4（1,0）關(guān)

于直線，的對稱點“，將4向右平移2個單位得到點公；再作｛3關(guān)于直線，的對稱點4,將4向右平移2個單

位得到點小廠，則按此規(guī)律，所作出的點4015的坐標(biāo)為（)

A.(1007,1008)B.(1008,1006)C.(1006,1008)【).(1008,1007)

【變式7-3］（2023?河南周口?淮陽第一高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，菱形048。的位置如

圖所示,其中點8的坐標(biāo)為第1次將菱形0/8C繞著點。順時針旋轉(zhuǎn)90。，同時擴大為原來的2倍得到

菱形。力道傳］（即。4=2。8）,第2次將菱形。4&G繞著點。順時針旋轉(zhuǎn)90。,同時擴大為原來的2倍得到

菱形。力2々。2（即。4=2。/），第3次將菱形。必當(dāng)。2繞著點。順時針旋轉(zhuǎn)9?！悖瑫r擴大為原來的2倍得

金|］麥形。/I383C3（即0%=20%）…依次類推，則點B2025的坐標(biāo)為（）

仇

5075072005202520252025

A.(22025,22025)B,(2,2)C.(-2,2)D.(-2,-2)

【題型8用平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)、中心對稱作圖】

【例8】（2023?安徽?模擬預(yù)測）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點均

在格點(網(wǎng)格線的交點)上.

(1)將4/BC向右平移4個單位長度,再向下平移5個單位長度得到^^當(dāng)。1，畫出△//1的；

⑵將⑴中的△4當(dāng)6以為軸進(jìn)行翻折得到△&4G，畫出AAI為。].

【變式8-1](2023?陜西西安??？寄M預(yù)測)如圖，在直角坐標(biāo)系中，△48C的各頂點坐標(biāo)分別為

A(a,1),B(3,3),C(4,-1);△ABC經(jīng)過平移得到△AEU,其各頂點坐標(biāo)分別為

4(-5,-3),夕(一3向，。'(-2,-5).

(1)觀察各對應(yīng)點坐標(biāo)的變化并填空：a的值為一,力的值為______；

⑵畫出△力BC及將△48C繞點月順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△DBE,點、。的對應(yīng)點為點E,寫出點夕的坐標(biāo).

【變式8-2](2023?安徽-校聯(lián)考模擬預(yù)測)如圖是6x6的正方形網(wǎng)格，線段的端點4B都在格點(網(wǎng)格

線的交點)上.

⑴將線段力8繞點力逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到對應(yīng)線段為81，畫出線段A8i;

⑵請僅用無刻度的直尺過點B作一條直線使得點A,&到/的距離相等.

【變式8-3](2023?黑龍江哈爾濱?統(tǒng)考三模)在如圖的方格紙口每個小方格都是邊長為1個單位的正方

形,△/出。的三個頂點都在格點上(每個小方格的頂點叫格點).

(1)畫出△43C向下平移3個單位后的△4B1G；

(2)畫出△A8C關(guān)于點。的中心對稱圖形△482Q；

(3)連接GC2,請直接寫出加。2的長為___________.

【題型9旋轉(zhuǎn)或軸對稱綜合題之線段問題】

【例9】(2023?河南?統(tǒng)考中考真題)李老師善于通過合適的主攘整合教學(xué)內(nèi)容，幫助同學(xué)們用整體的、聯(lián)

系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣.下面是李老師在“圖形的變化”主題下設(shè)計的問題，請你

解答.

⑴觀察發(fā)現(xiàn)：如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,過點M(4,0)的直線！IIy軸，作△4BC關(guān)于y軸對稱的圖形△

&/C1，再分別作44181cl關(guān)于X軸和直線/對稱的圖形44282c2和44383c3,則44282c2可以看作是△48c

繞點。順時針旋轉(zhuǎn)得到的，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為______g力3/。3可以看作是△力8C向右平移得到的，平移距離為

個單位長度.

(2)探究遷移：如圖2,團(tuán)ABC。中工=a(0°<a<90°),P為直線48下方一點，作點P關(guān)于直線43的對稱

點%,再分別作點入關(guān)于直線4。和直線CD的對稱點P2和「3,連接”，期2,請僅就圖2的情形解決以下問題：

①若乙PAP?=/7,請判斷0與a的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②若=m,求P,尸3兩點間的距離.

(3)拓展應(yīng)用:在(2)的條件下，若a=60°,AD=2?乙PAB=15。,連接P2P3?當(dāng)P2P3與團(tuán)48CD的邊平行時,

請直接寫出4P的長.

【變式9-1](2023?河南周口?校聯(lián)考二模)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1所示，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得4

4DE,連接CE、BD.根據(jù)條件填空：

①，4CE的度數(shù)為二

②若CE=2,則C2的值為

【類比探究】如圖2所示,在正方形48co中，點E在邊8c上，點尸在邊CD上,且滿足NEW=45°,BE=

1,DF=2,求正方形力BCO的邊長：

圖2

【拓展延伸】如圖3所示,在四邊形A8CD中,CD=CB/BAD+乙BCD=90。"。、BD為對角線,且滿足

AC=|CD,若AD=3,AB=4,請直接寫出8D的值.

圖3

【變式9-2](2023?北京房山?統(tǒng)考二模)如圖，484C=90°,AB=AC,點〃是BA延長線上一點，連接DC,

點0和點8關(guān)于直線DC對稱,連接8E交力C于點F,連接EC,ED,OF.

c

（1）依題意補全圖形,并求NOEC1的度數(shù)；

（2）用等式表示線段EC,E。和CF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.

【變式9-3］（2023?山西忻州?校聯(lián)考模擬預(yù)測）綜合與實踐一一探究圖形旋轉(zhuǎn)中的問題，問題背景：在一

次綜合實踐活動課上，同學(xué)們以兩個菱形為對象,研究相似菱形旋轉(zhuǎn)中的數(shù)學(xué)問題.已知菱形4BCD?菱形

A'B'C'D',它們各自對角線的交點重合于點0,且AB=8,A'B'=2,ZB=LB'=60°,

圖1圖2圖3

觀察發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1,若4夕||/&連接44z,DD\則4r與0。的數(shù)量關(guān)系是;

操作探究：（2）保持圖1中的菱形A8CD不動,將菱形A夕從圖1的位置開始繞點。順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)

角為a.

①當(dāng)0。VaV90。時,得到圖2.此時（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立,請說明理由；

②小穎發(fā)現(xiàn),在菱形AB'C'D'繞點。順時針旋轉(zhuǎn)到圖3位置時,連接CC',ACr,4c判斷四邊形AACC'的形狀,

并說明理由；

③當(dāng)菱形NB'C'D'繞點。旋轉(zhuǎn)至44,D'三點共線時，直接寫出此時線段4T的長.

【題型10旋轉(zhuǎn)或軸對稱綜合題之面積問題】

【例10】（2023?江蘇無錫?統(tǒng)考二模）如圖，將不是矩形的和1BCD繞點力旋轉(zhuǎn)得到團(tuán)481少.

D'

(1)當(dāng)點8'落在邊8c上，且8'L與邊。。相交于點后時，

①點D—上(填〃在"或“不在”)；

②如果點力、￡分別為邊BC、CD的中點，求裝的值；

oC

(2)當(dāng)點夕落在對角線AC上,且夕C'經(jīng)過邊AD的中點也時，設(shè)黑=x,沁^=y，求y關(guān)于>的函數(shù)關(guān)系式，

BCS^ABCD

并寫出X的取值范圍.

【變式101](2023?吉林松原?統(tǒng)考二模)如圖，在RtA43C中，力。=8,乙4co=90。，右4=60。，點P從點4

出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿向終點B運動，當(dāng)點P不與點力、B重合時，作ZBPD=120°,邊PD交折

線AC-CB于點D,作點力關(guān)于直線PD的對稱點為E,連接EO、EP得到△PDE,設(shè)點P的運動時間為￡(秒).

(1)直接寫出線段尸。的長(用含t的代數(shù)式表示);

(2)當(dāng)點E落在邊8C上時,求t的值；

(3)設(shè)4PDE與△ABC重合部分圖形的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

(4)設(shè)M為4B的中點,N為ED的中點,連接MN,當(dāng)MN14c時，直接寫出t的值.

【變式10-2](2023?四川成都?模擬預(yù)測)如圖1,在ZMBC中，=90。,4B=BC=2,將線段4B繞點

8逆時針旋轉(zhuǎn)得線段BD,旋轉(zhuǎn)角為a,連接CD.

圖1圖2圖3

（1）①若a=60°,則土CZM=°;

②若0<a<90°,求乙GM的度數(shù).

（2）如圖2,當(dāng)0<a<90。時,過點B作BE1AD于點上CD與BE相交于點F,請?zhí)骄烤€段C尸與線段BE之間的

數(shù)量關(guān)系；

（3）當(dāng)0<aV360。時，作點A關(guān)于CD所在直線的對稱點4,當(dāng)點,4'在線段BC所在的直線上時，求444。的

面積.

【變式10-3】（2023?江西?統(tǒng)考中考真題）問題提出：某興趣小組在一次綜合與實踐活動中提出這樣一個

問題：將足夠大的直角三角板P"（匕尸=90。上"=60。）的一個頂點放在正方形中心。處，并繞點0逆時針

旋轉(zhuǎn)，探究直角三角板PE尸與正方形48CZ）重疊部分的面積變化情況（已知正方形邊長為2）.

圖一圖二圖三備用圖

（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖1,若將三角板的頂點〃放在點。處,在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)。F與。8重合時,重疊部分的面積

為__________；當(dāng)。/與8c垂直時，重疊部分的面積為；一般地,若正方形面積為S,在旋轉(zhuǎn)過程中,

重疊部分的面積品與S的關(guān)系為;

（2）類比探究：若將三角板的頂點?'放在點。處,在旋轉(zhuǎn)過程中，OE,OP分別與正方形的邊相交于點MA：

①如圖2,當(dāng)8M=CN時,試判斷重疊部分仆OMN的形狀,并說明理由；

②如圖3,當(dāng)CM=CN時,求重疊部分四邊形OMOV的面積（結(jié)果保留根號）；

⑶拓展應(yīng)用：若將任意一個銳角的頂點放在正方形中心。處,該銳角記為NGOH（設(shè)NG。"=a）,將NGOH

繞點0逆時針旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過程中,NGOH的兩邊與正方形ABC。的邊所圍成的圖形的面積為S2,請直接寫出

S2的最小值與最大值（分別用含a的式子表示），

（參考數(shù)據(jù)：sinl5°=*一%cosl5。=亞史,tanl5。=2-V3）

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【題型11旋轉(zhuǎn)或軸對稱綜合題之角度問題】

【例11】(2023?貴州六盤水?一模)如圖,在Rt△IBC中,"=90。，點P為邊AB上異于力，8的一個動點，作

點力關(guān)于CP的對稱點A,連接AP,4C,交直線48于點Q.

(1)若4c=8,BC=6,CE是邊A8上的高線.

①求線段CE的長；

②當(dāng)"QH=90。時，求線段4Q的長；

(2)在乙力=35。的情況下，當(dāng)△APQ是等腰三角形時，直接寫出ZAC4的度數(shù).

【變式11-1】(2023?廣東廣州?二模)如圖，等腰Rt△ABC^,z.ABC=90°,BA=IC,將BC繞點8順時針旋

轉(zhuǎn)6(0<0<90°),得到BP,連結(jié)CP,過點A作力”1CP交CP的延長線于點//,連結(jié)力P,則NP4H的度數(shù)

()

A.30°B.45°C.60°D.隨若。的變化而變化

【變式11-2](2023?福建泉州?一模)如圖1,已知△力BC的內(nèi)角乙4以的平分線CO與它的一個外角乙E4C的

平分線力尸所在的直線交于點。.

(1)求證：乙B=2乙D;

(2)若作點。關(guān)于4c所在直線的對稱點ZT,并連接AD'、CD'.

①如圖2,當(dāng)48力。=90°時，求證：ADLAD1;

②如圖3,當(dāng)4。=8C時,試探究4口4。與〃之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

【變式11-3](2023?湖南岳陽?統(tǒng)考中考真題)如圖1,在中,48=4。，點M,N分別為邊48,BC的中

點，連接MN.

初步嘗試：(DMN與AC的數(shù)量關(guān)系是,MN與4c的位置關(guān)系是_________.

特例研討：⑵如圖2,若484c=90。,BC=472,先將△BMN繞點B順時針旋轉(zhuǎn)。(0為銳角)，得到△BEF,當(dāng)

點4E,F在同一直線上時,AE與BC相交于點D,連接

A

A