綜合測試 第6章空間向量與立體幾何

測試卷參考答案

綜合測試第6章空間向量與立體幾何

1.C2.A3.C4.A5.C

6.C提示因為M為8C的中點，所以刀(油+病)，所以而?助=/市

+/)?不力=凝元)+頡?Wb=O.所以AM_LA。所以△AM。為直角三角形

7.A提示取的中點G,連接PGCGOP，則PG^p,c,

//CD,所以點Q到平面PEV的距離即點Q到平面PGC。的八崔、＜

Vj\\

距離，與瓦'的長度無關，故B錯.又因為A向〃平面PGCD,勺\'、、、\

^E-Fy^y

所以點4到平面PGCD的距離即點Q到平面PGCD的距離，_V

所以點Q到平面PE尸的距離與點。的位置無關，故D錯.如圖，以點。為原點

建立空間直角坐標系，則知點C(OMO),D(0,0,0),4m,0/),電，()，力，所以成

=(0M()),而=(〃,(),辦加=整()，.設〃=(x,y,z)是平面PGCD的一個法向量,

n-DP=0,佟i+oz=0,.

則由j_得『令Z=1,則X=-2j=0,所以n=(—

.〃皮=0,[ay=0,

2,0,1).設點Q到平面P石尸的距離為“，則d=空'=-2守=害〃，即A

\n\9)

對C錯

8.D提示連接ACBD,交點為O,連接OP,以。/

為坐標原點，OCODOP所在的直線分別為xj,2軸建立如圖

所示的空間直角坐標系.由正四棱錐P-ABC。的棱長均為2,E44^源冷不

n

為PC的中點,知點A(_?0,0),B(0,一1,0),。柩0,0),D(0,＜2,0),P(0,0巾),

《乎，0,乎)，則礪=停，5陰，成=(一也，0,一也),而=(0,色，-

也).設m=(x,yz)是平面FAD的一個法向量，則m_1_歐，且mLPD＞即

\—y[2x—y[2z=0,

[gy—也z=0,令x=l,則z=—l,y=—1,所以m=(1,—1,-1).設BE與

平面辦。所成的角為。，則由。〃=也西=率＜1,故8E與平面勿。不平行，且

BE與平面PAD所成的角小于30°

9.ACD提示①由同一|例＜|。+)|得向量a,b可能共線，比如共線向量a,b

的模分別是2,3,故A錯誤.②在空間四邊形A3C。中，ABCD+BCAb^-CABb

=(At+兩歷一行歷一元面=丘(田一麗)+3?(歷一初=沅?肥+

CB-Ac=o,故B正確.③在棱長為I的正四面體A-BCD中，福?反1=1X1Xcos120°

=一盤故C錯誤.④若向量4,4。共面，則它們所在的直線在某個平面內(nèi)或者

平行于某個平面，故D錯誤

10.ACD提示以。為坐標原點建立如圖所示的空間4,、

直角坐標系.因為AB=q54Z)=A/5AAi所以A￡)=AAI

"I，米、、

=1,則知點41Q0)Mi(l,0J)，C(0，V3,0),。i(0,0J)，。(0,0,0),涉二二

B(l,50),則就=(一1，3，一1)，取=(1,。,一1).對于A

選項，當疵=2擊＞時，P為4c的中點，根據(jù)長方體結(jié)構特征，P為體對角線的

中點，因此產(chǎn)也為囪。的中點，所以⑤引。三點共線，故A正確.對于B選項，

當1時，APLA\C＞由題意可得AIA=N1+1+3二小,AC=N1+3=2,

所以由SA41AC=JL4I?4C=；AICAP,解得AP=!\「，所以4IP=坐，即尸為

靠近點4的五等分點，所以尸點坐標為修，卓，。則而皇—llAP

\JJJ/\JJJ/

=f—7,卓，7,所以萬R?能=一條+余一條=一9￡。，所以能與萬R不垂直，

故B錯誤.對于C選項，當友=3病時，則與＞=：杭=(一￡坐一點.設平

〃?比i=V5y+z=0,

面33G的一個法向量為〃=(x,yz),由J一令y=l,可得〃

〃。3=1+小》=0,

=(一小，1,一小)，乂因為萬力=份一大辦=修，坐一彳，所以說"=0,因

\JJJJ

此而所以。iP〃平面8OG,故C正確.對于D選項，當慶=5俞時，份

=7/GC=—-1,卓，所以而"浦"4Tbi=暫坐，一1],所以與t?況p=

D\J33/\D33/

0,加?周1=0,因此AC_LO|R4C_LO|A,根據(jù)線面垂直定理，可得AiC_L平面

DAP,故D正確.故選ACD

II.ABD提示如圖，建立空間直角坐標系，則知點

4(0,0,0),5(1,0,0),C(l,l,0),。(0/,0),4(0,0,1),81(1,0,1),

Di(0,lJ),E(0,LB7c=(0,l,-l),BDI=(~

1,1,1),位)=(一1JO),麗i=(一1,0,1),所以前??麗i=-1X0

+lXl+(-l)Xl=0,即既二L防1,所以BC_LBD|,故B正確；B!CBD=-\X0

+1XH-(-l)X0=i,|/JTC1|=V2,即=也設異面直線小C與所成的角為仇

BtCBD17T7F

而夕￡((),芥所以。節(jié)故D正確；設平面Ag的一

則cosO=二~~=2

〃?麗1=0,—x+z=0,

個法向量為〃=(xj,z),則，即，Jx+y=。，令日，則〃=(卬)，

nBb=0,

所以〃?抗=()義1+1X1+1X(—1)=(),即〃，畝t,乂因為直線囪OC平面480,

所以直線BC〃平面A\BD,故A正確；VC1-BlCE=VBi-CiCE=^B\CiSACiCE

=；x1X；X1X1=；,故C錯誤.故選ABD

J2O

12.BD提示如圖，取AD的中點O,BC的中點E,連接?！闛P.因為△雨。

為等邊三角形，所以OPLAD因為平面平面ABCD,

所以。。，平面48。。.因為4。，。石,所以OO,O￡OP兩兩垂

直.以。為坐標原點，以ODOEOP所在的直線分別為走軸、

y軸、z軸建立空間直角坐標系，則知點0((),(),()),D(加,0,0),

A(一加，0,0),P(0,0,3^2),C(V6,2vL0),B(一旗,2小,0).因為。是尸。的

中點，所以。點坐標為(坐，0,可設平面布。的一個法向量為帆=(0』,0),因

=償,25,一挈，顯然機與因不共線，所以。。與平面出。不垂直，所以

正=(加,2小,-3的,屈=(攣0,￥)AC=(2y[6,24,

A不正確;

63^6,3^2.

0),設平面AQC的一個法向量為〃=(x,yz),則令x

ivAC=2加x+2A/3.V=0,

=1,則>=一也，z=f,所以〃=(1,一$，一回設PC與平面4QC所成

角為仇則sin6>=1,所以cos0=卒,所以B正確；三棱錐B-ACQ的體積為VB.ACQ

=VQ-ABC=^SMBC^OP=^XIX2^3X2y[6X|X3y/2=6,所以C不正確；設四棱

錐Q-A8CO外接球的球心為點M(0,小,。)，則MQ=MO,所以(乎>+(#尸+

Q—乎)=(%)2+(小產(chǎn)+序，解得。=o,即MQ木

,())為矩形ABCQ對角線的

交點，所以四棱錐Q-ABC。外接球的半徑為3.故選BD

13.4俱提示由囪C〃平面A山知直線BC到平面48。

的距離就等于點囪到平面AiBD的距離.以點D為坐標原點建立

如圖所示的空間直角坐標系，則知點囪((),2啦，3),5((),2&,()),

Ai(—1。3),麗=(0,2、53),加=((),2吸，())，Z)Ai=(-1,0,3).設

n±DB,.訪=0,

平面48。的一個法向量為〃=(x,yz),所以_即_即

n-LDAi,nDAi=0,

12g=0,|〃?麗|

t—x+3z=0,令Z=l,則〃=(3,0,1).所求距離為d=

l〃l

3Vib

一io

14,1提示如圖，取BC的中點。，連接。上OA,因為

O

△4BC和△尸均為等邊三角形，所以A0_LBCP0_L3C,所

以8。，平面PAO,即平面a0，平面ABC.故/尸OA的大小就是二面角P-BC-A

的大小，即NPOA=120。,建立空間直角坐標系如圖所示.設AB=2,則知點A（小,

0,0）,C（0,-l,0）,僅0』,0）,。（一乎，0,所以危=（一小，-1,0）,PB=

停，1,一卷cos（AC,PB）=-1,所以異面直線P8與AC所成角的余弦值

15.^5提示如圖，以O為坐標原點，建立空間直角

坐標系，則知點0(0,0,0),C(3,0,0),5(0,3,0),A(3,3,0),

0(333),所以葩=(3,0,0),CA=(0,3,0),Ab=(0,0,3).設平

\BA-n\_|3x|

面a的一個法向量為〃=（x,y,z）,則點B到平面?距離為di=

1川-V?+y2+z2

也①,點C到平面a距離為“尸端嘰衣甥也②,由①?可得M巾陽

寸|國.所以點D到平面a的距離為\AD-n\_|3z|

Ml.f+.+z2

16.平行手提示（1）如圖，以。為原點，OA為x

軸，DC為），軸，DDi為z軸建立空間直角坐標系，則知點

4（1,0/）,H。，1，3,8（1,1。）.因為點已（？均在平面4田。6

內(nèi)，所以設點尸3力,1），。（明〃』），則疵=（一1，1，一；），麗=（々一1/一1,1）,兩

=(m——1,1).因為80_LA\E,BQ_LA\E,所以

BPA?E=-(t/-l)4-(p-l)-1=0,

解得jj可得PQ//BD⑵

-(/?-l)+m-1)-1=(),

n—m=2-

當4P取最小值時，點P在平面內(nèi)，設點。的坐標為（。力,1）,由（1）得〃

所以4P=寸伍-1）—=

2(。一(>+/所以當〃4即點P的坐標為『點1)時，4P的最小值為第

—?-?

17.(1)因為福=(—2,—1,3),病=(1,-3,2),設〈后,?！?0,則cos0=—：----

|AB|.|AC|

=蒲<常$得,=60。，所以以AB,AC為邊的平行四邊形的面積S=

ABAC.sin9=7事(2)設a=(xj,z),則a-AB=(x^,z)-(-2,-1,3)=0,aAC=(x,yz)-(1,

-3,2)=()y+/+z2=3,解得。=或。=(一1,一1,-1)

18.(1)設彳&=〃,At=b,A!)=c,則M|=|b|=|c|=I,<afb)=〈8c〉=〈c,〃〉=

60°,反;斗病+屐）一砌=切+c—a),所以由.矗=g(a仍+a?c—*=3

(1乂1乂：+1乂1乂3—1)=0.故詼_1_而即EGJ_A3(2)由的=-1+*+*

得面|2=12+/2+*_；4仍+/?！?以=斗則I的=筆即EG的長為堂(3)

歷自2

由題意知后=)+%及=41+崩=—6+%cosAG,CE■-

IAGMCEI'

由于異面直線所成角的范圍是（（），I],所以異面直線AG與CE所成角的余弦值為

2

3

19.（1）由二面角Ai-AB-C是直二面角，四邊形AIABBI為正方形，可得44

_L平面ABC.又因為AB=ACBC=qi4伐所以482+4。2=3。2.所以/013=90。，

n-AiA=()>-2z=0,x=0,—

即彳即1取)=1,則〃=(0』,0).所以4出=2〃,

6.八2x=0,z=().

l〃AC—0,

即4Thi〃〃，所以A山I_L平面AA\C(2)易知Ml=(0,2,2),MC\=(1,1,0),MC=(2,0,

ni'A\C\=0,

—2),設平面A\C\C的一個法向量為m=(xi,yi,zi),貝卜_即

"?AiC=0,

xi+yi=0,__

,令xi=l,則yi=—l,zi=l,即m=(l,—1,1).所以A8i?〃z=0Xl

2jri_2zi=0,

+2X(—1)+2X1=(),所以篇i_L,〃.又因為ABQ平面ACC所以A囪〃平面A\C\C

20.(1)如圖，以4為原點，4民4cAp所在的直線分別

為為yz軸，建立空間直角坐標系由AB=AC=\.PA=2f

知點40,0,0),B(l,0,0),C(0,l,0),P(0,0,2),DQ,0,0),

信2f0)H0,；，1).設平面DEF的一個法向量為〃=

〃.虎=0,W)',分(0,?。)=()，fx=2z,

(X.)⑵，則J即1、\解得J八取z=

1〃?麗=。，鼠)，，z)(T1)=0,〔尸

1,則〃=(2,0,1).設必與平面陽'所成的角為仇則如。=儂且=理故直

\PA\-\n\

線以與平面。E廠所成角的正弦值為坐(2)因為即=(0,一1)，〃=(2,0,1),

所以點P到平面。所的距離為(3)因為沖=((),—1),EF=

向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則知點40,0,2),Bi(—1巾,0),

坐，O,，Ai(-1,小，2).設平面ABiE的一個法向量為〃=(XIJI,ZI),&i=(一

l—?(I\ti'AB\=0?

1,S,-2),AE=z,乎，-2,因為彳所以

/rAE=(),

(-xi+邛yi-2zi=0,

\1仍令yi="則xi=1,zi=1,所以〃=(1,小，1).設平

［產(chǎn)+2-2zi=0,

面的一個法向量為m=6yz),A■自=((),(),—2),人為=停，一坐一2),

f-2z=0,

“47左=0,叫務率rz=o,

因為，令y=小,則x=l,所以m=

m-A\E=0,

(145,0).因為w=4,所以cos〈，〃,〃〉=|詞.聞’,設

2R

二面角A-EBi-Ai為。，則cos?=cosGn,n)=_T_,所以二面角A-EB\-A\的余弦

值為羋(3)假設存在點M(x,y,z),因為說=比尢Ae[(),l],所以(x—lj,z)=/(一

1,0,2),所以M點坐標為(1一九0,22),所以百力=七一九一半，2/1).由(2)知平面

1_;_3

48E的一個法向量為股=(1,#,0),所以斗?=—/：2,得6以2

—382+5=0,即(32—1)(232—5)=0,所以2=；或1=/,所以詈或詈=砥

Anv

去).設AQ=O『，在Rt△相。中，38=而===2,解得戶2,所以即

=1.以點。為原點，QBQCD4所在直線分別為％y,z軸建立如圖所示的空間直角

坐標系D-xyz,則知點。(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0)，A(0,0,2),M(0,1,1),成，匕。)，

則詼=(一1』,1).設N點坐標為(0M,0),則麗=(一；，〃一1,0).因為E7V_LBM

所以城?發(fā)力=(),即(一*a-\,0)

.(—1,1,1)=0,得所以N點坐標為

(o,0).所以當ONq即點N是。。的靠近點D的一個四等分點)時,EML8M.

,(\\〃?麗=0,

設平面8NM的一個法向量為〃=(x,yz),且BN=-1,5,。，由彳得

〃?曲=0,

<2令尤=1,則〃=(1,2,—1).取平面8NC的一個法向量加=(0。1),

jv+y+z=(),

則cos〈巴加=點卷=￡*=—*，所以銳二面角M-8N-C的余弦值為*方案

二：選②.在△ABC中，設前>=i肚，則病=施+前=前+2就=筋+2(病一初)

=(1—2)通+2危.又因為屐)=彳宿+y屐?，由平面向量基本定理知2=1，即BD

=1.以下過程同方案一方案三：選③.在△ABC中，設BD=x(0<x<3),則CQ=

3-x,因為AOJ_8CNACB=45。，所以△A。。為等腰直角三角形，所以AO=CZ)

=3一尢折起后，ADlDC,ADlBDf且800。。=。，所以AO_L平面BCD又因

為N8DC=90。,所以品58=5(3—x),VA-BCD=^ADS^BCD=^(3—x)p(3—x)=1(^

—6f+9犬),x￡(0,3).令(J)=1U-1)(X-3).當0<r<l時，

/(x)>0；當14<3時,/(x)〈0.所以時，三棱錐人8。>的體積最大.以

下過程同方案一

階段測試立體幾何初步、空間向量與立體幾何

1.D2.C3.D4.D5.A

6.C提示如圖，取AC的中點。，連接。EOF.易知異)

面直線A8與PC所成的角即為直線。E與。尸所成角.因為/

二辛-

IJ

DE=Sc=5,DF=gAB=3,EF=7,所以cos/EOF=。爐+。尸—￡尸25+9—49

2DEDF=2X5X3

=-1,即NED/=120。.所以直線QE與。尸所成的角為60。，即異面直線”與

PC所成的角為60。

〃?牯=0,

7.A提示設平面A5CD的一個法向量為〃=（x,yz）,所以J_所

〃崩=（）,

2x—y+3z=0,一

以if+尸。，令I則尸2『，所以〃=（12。）.設〃與-的夾角為

"設四棱錐的高為人所以8,震=含所以仁嚅=3=坐

8.D提示由題意知水的體積為4X4X2=32.如

圖，設水槽繞CD傾斜后，水面與棱Ay4i.BBi.CCi.DDi

分別交于點MNjQ,由題意知PC=3,水的體積為

rri、BN+PCR“BN+3

SBCPN,CD=32,所以一5—BCCD=32,即1X4X4

=32,所以BN=1.在平面BCCB內(nèi)，過點Ci作GH//NP,交BBi于點H,則四

邊形NPG"是平行四邊形，且N"=PG=11而側(cè)面COOCi與桌面所成的角即側(cè)

面CDDiCi與水面MNPQ所成的角，即側(cè)面CQDiG與平面HCiDi所成的角（為

ZHC1C）,N”GC=NBiHG,在RtZXBiHG中，tanNBiHG=^"=3=2

t5\nZ

9.AD

10.BD提示取A。的中點從連接MBi.MDi.BN,可得BN

則BN〃平面“MBIOI,故平面a即為平面〃MB1D1.故截面為等

腰梯形，可得B\D\=y[lfMH=*,MBi=HDi=坐,高為（乎｝一（乎）=今§,

其面積S=；X停+詞X平岑故A錯誤，B正確.另外，幾何體A/7M-A山Q

為棱臺，上底面的面積為S“MH=/,下底面的面積為SZ\4181O1=；,高為A4

1/I1A7717

=1,故體積為0=]X卜+Z+Rx1=五，另一部分體積為吻=1-五=五，所

以Vi：V2=7：17.故C錯誤，D正確

11.ABC提示①對于A：因為ABC-ABG為“塹堵”，所以側(cè)棱A4i_L

平面ABC,所以A4_LBC.又因為ACLBC,所以8C_L平面4ACG,滿足“陽馬”

的定義，所以四棱錐8-4ACG為“陽馬”，故A正確.②對于B：因為CG,

底面ABC,所以CGJ_8C,即△GBC為直角三角形.同理可知△ACC也為直

角三角形.由選項A可得BCL平面A/CG,所以BC_L4C,即△4BC為直角

三角形.因為CGJL底面AiBiCi,所以CCUAC.又因為4G_LBiCi,所以4cl

_L平面BCGBi,所以4GJLC4,即△4C】B為直角三角形.所以四面體4?CC3

的四個面全為直角三角形，即四面體4-GCB為“鱉膈”，故B正確.③對于C：

由①可得8C_L平面AACGA尸U平面AMCG,所以BC_LAE又因為AF1A1C,所

以4凡L平面48C,所以4兒1_4及又因為AE_LA8,所以48_L平面AER所以

AiBLEF,故C正確.④對于D：設AC=f,則矩形AiACC的面積為2r.在RtA

ABC中，BC=q4T，所以四棱錐B-A\ACC\的體積為V=rX

JJ

尸一—

X—+45—=小4故D錯誤

JJ

12.ABD提示①對于A：當E為A8的中點時，可得

4。1〃川口40何平面”/花，NEU平面MNE,即有ADi〃平面

MNE,故A正確.對于B：由于4力i_LDC,當人力氏

且Q由<AB,可得直線,4?！蛊矫鍮CDi,故B正確.對于C：

假設存在某個位置，使得直線HDi與。歷所成角為60。，由AQi〃NE,過點E作

EH//DM,可得NNEH=60。.設CD=AD=IAC=也,8。=小，BC=2,可得

13+#11,12+6^/513+/1/1,y[3

NE='，DM=l,EH=-^~,^=^4+^6-2X2X6-X2=VS4-]1

<NM=3,與N”AVM矛盾，故C不正確.對于D：過點作OiO_L平面A8C,

垂足為O,連接OA,過點。作。凡LBC,垂足為F,連接。|F,可得NQMO為

直線AQ與平面A8C所成角，ZDiFO的大小為二面角Di-BC-A的大小，lanN

。兇0=鬻，tanNGFO=器，而042OF,可得蜉W誓，則對于任意位置,

二面角D^BC-A始終不小于直線ADi與平面A8C所成角，故D正確

13.2ng2^2提示由題意得病=施+比+w），則屐）』（贏+反:+前）2

=油2+反72+加+2壽氏+2交Cb+2初?前=1+I+4+2?瓦金=6+

2ABCD,而異面直線AAC。所成的角為率則6+2B詼=6+2X1X2Xcos壯

JJ

8或6+2筋?詼=6+2XlX2Xcosw=4,則病?=8或屐^=4,所以A。的長為

2或2也

143手提示由題意知正六面體ABCD-A\B\C\D]是棱

長為4的正方體，因為ABi〃DCiBiDi〃BD,ABiCBIDT=

BCDCBD=D,所以平面〃平面BGD連接AC可

得4CJ_平面ABOiAUL平面8G￡>,設垂足分別為E,F,則

平面AB\D\與平面BGD之間的距離為EE止方體的體對角線長為142+4?+4?=

」X」X4X4X4/—

4小.在三棱錐Ai-ABiDi中，由等體積法求得AiE=~~1----------后=半

|x|x4V2X4V2X^

所以平面ABiDt與平面BCiD之間的距離為4小一羋X2=^

JJ

15.*提示設點。到平面以。的距離為"，設直線OC和平面以C所成

角為a,則由等體積法得VO-PAC=Vp-OACy即1s/%cd=；?PO&o仁所以d—

戲中坐X】也所以.”啦干旱亞

；-Q?所以sina=7^=,,于是cosa=-V

我小X,3CO33

16.2^33y[i提示截得的.三角形中，面積最大的是

以正方體的表面正方形的對角線所構成的等邊三角形，如圖

中的SA^1C18=JX2啦X坐義2啦=2小.當平面

a截正方體所得截面為正六邊形時，此時截面面積最大，其

中，MN=25GH=、「,OE=堂,截面面積S=2X/苧也X乎=33

17.若選②：因為尸。_L平面ABCD,PCLAB,所以A8_L平面PAC,所以AB

J_AC,所以N3AC=90。，BOBA,這與底面ABC。為菱形

矛盾，所以②必不能選，故選①③.下面證明：因為POJ_

平面ABCQ,四邊形ABCQ為菱形，所以.因為PC

_L8D,PCAAC=C,所以BO_L平面APC.又因為POU平面

APC,所以。.因為%=PC,。為AC的中點，所以PO_LAC.又因為ACPI8。

=0,所以P0J_平面4BCD.以0為坐標原點，痂,0C,由的方向分別為二軸、

y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系0-xyz,因為A8〃C。，所以

ZPBA為異面直線PB與CD所成的角，所以NP8A=60。.在菱形ABCD中，設

43=2,因為NA8C=60。，所以04=1,0B=?設P0=a,貝U必=而不T,

尸8=、。2+3.在△P8A中,由余弦定理得以2=842+8p2—28A/Pcos/P84,所

以/+1=4+蘇+3—2乂2，〃2+3*5，解得〃=、6.所以知點A(0,-1,0),3(小，

0,0),C(0J,0),P(0,0,祀).設/n=(xi”zi)為平面A8P的一個法向量,油=(小,

；/nAb=0,1/5月+yi=0,

1,0),成=(0/碗，由<可得J.r令zi=l,得〃i=(，L

I/IIAP=O,y\+\6zi=0,

一乖，1).設〃2=CE2J2Z2)為平面CBP的一個法向量，CB=(V3,-1,0),W=(0,

l/nC&=0.可得產(chǎn)了=0,

—1,\6),由“令Z2=1,得〃2=(6,V6,1).設

1^2―^/6Z2=0,

/nCP=0f

二面角A-PB-C的大小為仇所以cos方部H，所以二面角A-PB-C的余弦值

為〃

18.(1)記前=〃,Q)="/為=c,則⑷=1例=1。1=1,(a,b)=(b,c)=(c,a)=

60°,所以ab=bc=ca=^.\AC\\1=(a-\-b-^c)2=a2-\-b2-\-c2-\-2(ab-\-b'C-\-ca)=1

+1+1+2X修+[+￡)=6,所以宿=#,即AG的長為#⑵因為屆=0+》

+c,BD=5一a,所以AC\BD=(a+8+c)-(b~a)=ab+|》F+be—|a|2—ab—ac—

Zrc—〃?c=|b||c|cos6()。一|〃||c|cos6()o=().所以4G_L3。，所以AC\LBD(3)BDi=b

+。-4危=。+6,所以|麗||=啦，|危|=小，BD\AC=(b+c-ay{a^b)=tr-a1

麗i.恁乎.所以異面直線AC與BDi夾

+a?c+"c=l.所以cos〈防，AC)=

\BD\\-\AC\

角的余弦值為平

19.(1)在△AOE中，AO=2,AE=1,ND4E=60。，所以DE1=AD2-\~AE--

2ADAEcosZDAE=21-\-P-2X2X1Xcos60°=3,所以DE--\-AE?=4=AD2Z

AEO=90。，即。E_LAEOE_LEC翻折后，DEIA1￡。￡；_1后。.又因為"'C\EC

=E,EA‘，ECU平面A'EC,所以DELL平面A；EC,旦NA'EC=60。.又因為

AfCU平面A'EC,所以。E_LA'C?.在△4'EC中，A'E=\,EC=2,ZA'EC

f

-60°,與證明NAED—90。同理可得NEVC~90°t所以A'C±AE②.由①@

及A'EQDE=E,AfE,OEU平面A'ED,所以A'CJ_平面A'DE(2)由(1)

可知OE_L平面A'EC而OEU平面BDEC,所以平面8OEC_L平面A'EC.在平

面A'EC內(nèi)過點作A'HLEC于點H,由于平面A'ECA^FffiBDEC=EC,

J3

A'HU平面A'EC,所以A'”_L平面8OEC.而A'H=A'Esin60°=V?S四邊形

BDEC—SJABC~SADE—X32-*xsin60°=^*75?所以Kv-so￡c=；S四邊形

HDECA'HX坐=￡

20.(1)連接CQ,交A產(chǎn)于點”，連接HG,根據(jù)三棱柱

的性質(zhì)可知AO〃。64O=CR所以四邊形AQFC是平行四

邊形.所以〃是A尸的中點.因為G是。E的中點，所以

〃G〃C￡由于"GU平面AGFCm平面AG尸，所以CE〃平

面AGb(2)因為四邊形8E/C是正方形，所以3C_L8E因

為平面3￡尸。_1平面ADEB,平面BEFCQ平面所以3C_L平面ADEB,

則BCJ_B￡3C_LBG.因為NOE8=60。，GE=2,BE=1,在△BGE中，由余弦定理

BG=y]BE?+GE?-2BEG￡cos60°=V3?所以BE2+BG2=GE2,所以BGLBE.

以B為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則知點G(黃，0,0),AQ小,-

2,0),F((),l,l),D(25-1,0),￡(0,1,0),歷=(一3，2,0),而=(一小,1,1),

而=(一5,1,0).設平面AGF的一個法向量為m=(.”)，ia),則

n\AG=—yl3x\+2ji=0,l廠l

,_令xi=2,則yi=zi=小，故〃=(2,小，小).設

ni-GF=-y[3x\+yi+zi=0,

點。到平面AGf的距離為d,則d=|窄產(chǎn)卜需=嚅(3)假設線段3c上存

在一點P，使得二面角P-GE-8為45。.設P點坐標為(0,0,/?),則改=(一小，0&),

成=(0,—17?).設平面PGE的一個法向量為〃2=(X2J2Z2),則

H2'GP=—V3X2+//Z2=0,h(h\

"令Z2=l,則X2=F，y2=/l,所以〃2=一幣h,1.

〃2E。=—/+〃Z2=0,7

由于8C_L平面ADEB,所以比=(0,0,1)是平面BGE的一個法向量，所以cos：BC,

8c上存在一點R使得二面角2GE-3為45。，且BP=嘩

21.(1)因為在三棱柱ABC-A'夕C中，四邊形ACC'A'是平行四邊形，

AC1GA'C=E,所以E是AC'的中點.因為尸是夕C

的中點，所以￡尸〃48’.因為平面48'C,AB'U平面

AB'C,所以所〃平面A8'C(2)如圖，過點8'作8'H

_L平面48C,交AC的延長線于點〃，過點”作CC'的平

行線”M,交A'C于點、M,連接”8,則NMH8'的大

小是二面角A'-AC-B1的大小.因為AC=2,8C=4,NAC7?=120。，ZACCr=

90°,且平面A"C_L平面48C,二面角A'-AC"為3()。，所以=Z

BB'H=30°,NBCH=60。,所以NHBC=30。，Z^/7C=90°,所以CH=￡BC=

22

2,所以BH=yj4-2=2y/3f所以點B'到平面ABC的距離為B'H=-^lo=6

IdUDU

(3)以〃為原點，為x軸、為)，軸、HB'為z軸建立空間直角坐標系，則

知點A(4,(),()),3(0,2S，())，B'(0,0,6),C1(2,-2^3,6),而=(4,一2鎘，0),

BB'=(0,—2小，6),BCf=(2,—4小，6).設平面ABB'的一個法向量為n=

nBA=4x—lyl3y=0,取x=事,得〃=(小，2,鳴.設平面

Qy,z),貝1}

n-BB'=—2小y+6z=0,

nvBW=-2，5)，+6Z=O,

BB'C的一個法向量為根=Q,)，，z),則J_取工=

[m-BC1=2x—4Sy+6z=0,

?得〃，=(小，1,用.設二面角A-BB'-C的大小為仇則cos0=jg=

17

117VB,所以二面角48二-。'的余弦值為嶺國

65

22.(1)由已知得AD//BE,CG//BE,所以AD//CG,故

AD,CG確定一個平面，從而ACG。四點共面.由已知得AB

_L6￡A8J_3C,故A6_L平面8CGE.又因為ABU平面A8C,所

以平面A8C_L平面3CGE(2)作￡7/_L8C,垂足為”.因為￡“u平面8CGE,平

面8CGEJ_平面ABC,所以E”_L平面ABC由已知得菱形BCGE的邊長為2,NEBC

=60。，可求得BH=1,EH=小以H為坐標原點,碇的方向為x軸的止方向，建

立如圖所示的空間直角坐標系"Uyz,則知點A(—1/。)，C(l,0,0),G(2,O,，5),CG

=(1,0,小)，AC=(2,-l,0).設平面ACG。的一個法向量為〃=(%)⑵，則

CGn=0,x+v3z=0,上

'一即所以可取〃=(3,6,一小).而平面BCGE的一個法

啟〃=(),ZLJ=0,

向量可取為/"=(0/,0),所以cos〈〃,/加=潦*=乎.因此，二面角8-CG-A的大

\nv\m\z

小為30°

綜合測試第7章計數(shù)原理

1.D2.D3.A4.C

5.B提示分兩類：①有一個人與甲被安排在同一個比賽場地，有6種不

同的安排方案；②沒有人與甲被安排在同一個比賽場地，有C*A3種不同的安排方

案.故若甲不去4比賽場地，則有C%A3+aA3)=24種不同的安排方案

6.D提示由題意知Ci!=C；!,故〃=7+3=10,所以奇數(shù)項的二項式系數(shù)之

和為:X210=29

7.D

8.B提示取x=0,得ao=l.再取x=一得次)一年+愛一愛+…+篝一

。20421

9.AD提示因為77+1=(2叱卜(丁)「=。；/廠〃，所以當〃=4Z(Z￡N*)時，展

開式中存在常數(shù)項，故A正確，B錯誤；當〃=4L—1/￡N*)時，展開式中存在工

的一次項，故D正確，C錯誤

10.BC

11.ABC

12.ACD提示對任意實數(shù)x,有(2%—3)9=QO+〃I(X—1)+ai(x—l)2+?3(x—

1)34b〃9(X—1)9=9,所以42=-C&X22=-144,故A正確;令X=l,可得40

=-1,故B不正確；令x=2,可得40+41+02+…+〃9=1,故C正確；令x=(),

可得的-01+02+…一〃9=—3\故D正確

13.1560

14.150

15.24提示分情況討論：①若末位數(shù)字為0,則1,2為一組，且可以交換

位置，共可以組成2A§=12個五位數(shù)；②若末位數(shù)字為2,則1與它相鄰，且0

不是首位數(shù)字，共可以組成2A3=4個五位數(shù)；③若末位數(shù)字為4,則1,2為一組,

且可以交換位置，0不是首位數(shù)字，共可以組成2X2XA3=8個五位數(shù).所以符

合要求的五位數(shù)共有24個

16.—10提示由題意，得(一1)3-C5(5—5x)3%6=〃仃6,則46=—1.(—5

+5x—x2)3=+6/1(2—X)+a2(2~x)2HF?6(2—A)6,令>=1,可得40+0HF

46=—1；令X=3,可得〃0—。|+…+。6=1,所以2(40+42+44+46)=(),即〃O+

17.選①:若個位是0,有Ab=5()4個.若個位是2,4,6,8,有(2度楂看=1792

個.共504+1792=2296個.選②：若個位是0,有Ag=5()4個.若個位是5,

有CUS=448個.共5044-