幾類不同增長的函數(shù)模型教學(xué)設(shè)計(jì)

幾類不同增長的函數(shù)模型教學(xué)設(shè)計(jì)?一、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能目標(biāo)了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等幾類不同增長函數(shù)模型的特點(diǎn)。能夠根據(jù)實(shí)際問題的條件，選擇合適的函數(shù)模型來刻畫其變化規(guī)律。會(huì)比較指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)增長速度的差異，并能應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決簡單的實(shí)際問題。2.過程與方法目標(biāo)通過收集、分析數(shù)據(jù)，繪制函數(shù)圖象等活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納和概括的能力。經(jīng)歷從實(shí)際問題中抽象出函數(shù)模型，再通過函數(shù)模型解決實(shí)際問題的過程，體會(huì)數(shù)學(xué)建模的一般方法，提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐能力。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)通過數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)在實(shí)際問題中的應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。在小組合作探究過程中，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神和勇于探索的科學(xué)態(tài)度。二、教學(xué)重難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)理解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)增長的差異。掌握根據(jù)實(shí)際問題選擇合適函數(shù)模型的方法。2.教學(xué)難點(diǎn)如何引導(dǎo)學(xué)生通過分析實(shí)際問題，準(zhǔn)確選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，并能對(duì)模型進(jìn)行合理的解釋和應(yīng)用。三、教學(xué)方法1.講授法：講解幾類不同增長函數(shù)模型的概念、性質(zhì)及特點(diǎn)，使學(xué)生系統(tǒng)地掌握基礎(chǔ)知識(shí)。2.討論法：組織學(xué)生對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行討論，引導(dǎo)學(xué)生自主思考、合作交流，共同探索解決問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和團(tuán)隊(duì)合作精神。3.案例教學(xué)法：通過實(shí)際案例分析，讓學(xué)生親身感受函數(shù)模型在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。4.多媒體輔助教學(xué)法：利用多媒體展示函數(shù)圖象、數(shù)據(jù)表格等，直觀形象地呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容，幫助學(xué)生更好地理解和掌握知識(shí)。四、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課1.展示以下三個(gè)實(shí)際問題：問題1：假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：方案一：每天回報(bào)40元；方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番。請問，你會(huì)選擇哪種投資方案？問題2：某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)......以此類推，寫出細(xì)胞個(gè)數(shù)\(y\)與分裂次數(shù)\(x\)之間的函數(shù)關(guān)系式，并探討細(xì)胞個(gè)數(shù)隨分裂次數(shù)的變化規(guī)律。問題3：有一個(gè)邊長為1的正方形，若將其邊長擴(kuò)大為原來的\(x\)倍，得到新的正方形，其面積\(y\)與\(x\)之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？當(dāng)\(x\)不斷增大時(shí)，面積\(y\)的增長情況如何？2.引導(dǎo)學(xué)生思考：這些問題中涉及到的數(shù)量關(guān)系可以用怎樣的函數(shù)來描述？不同函數(shù)的增長情況有何不同？從而引出本節(jié)課的主題幾類不同增長的函數(shù)模型。（二）探究新知1.分析三種投資方案的回報(bào)情況對(duì)于方案一，設(shè)投資天數(shù)為\(x\)，每天回報(bào)固定為40元，則回報(bào)金額\(y=40x\)，這是一個(gè)正比例函數(shù)。對(duì)于方案二，第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元，那么回報(bào)金額\(y=10+20+30+\cdots+10x=10(1+2+3+\cdots+x)=5x(x+1)\)，這是一個(gè)二次函數(shù)。對(duì)于方案三，第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番，則回報(bào)金額\(y=0.4×2^{x1}\)，這是一個(gè)指數(shù)函數(shù)。2.列表比較三種函數(shù)的增長情況|\(x\)|\(y=40x\)|\(y=5x(x+1)\)|\(y=0.4×2^{x1}\)|||||||1|40|10|0.4||2|80|30|0.8||3|120|60|1.6||4|160|100|3.2||5|200|150|6.4||6|240|210|12.8||7|280|280|25.6||8|320|360|51.2||9|360|450|102.4||10|400|550|204.8|3.繪制函數(shù)圖象利用多媒體軟件，分別繪制\(y=40x\)，\(y=5x(x+1)\)，\(y=0.4×2^{x1}\)的函數(shù)圖象（圖略）。引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象，分析三種函數(shù)的增長趨勢：正比例函數(shù)\(y=40x\)的圖象是一條直線，其增長速度是勻速的。二次函數(shù)\(y=5x(x+1)\)的圖象是一條拋物線，隨著\(x\)的增大，增長速度逐漸加快，但比指數(shù)函數(shù)增長得慢。指數(shù)函數(shù)\(y=0.4×2^{x1}\)的圖象呈上升趨勢，且上升速度越來越快，后期增長速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過正比例函數(shù)和二次函數(shù)。4.總結(jié)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)增長的特點(diǎn)指數(shù)函數(shù)\(y=a^x\)（\(a>1\)）：隨著自變量\(x\)的增大，函數(shù)值增長的速度越來越快，呈現(xiàn)"爆炸式"增長。對(duì)數(shù)函數(shù)\(y=\log_ax\)（\(a>1\)）：函數(shù)值增長速度越來越慢，當(dāng)\(x\)足夠大時(shí)，增長速度幾乎趨于平緩。冪函數(shù)\(y=x^n\)（\(n>0\)）：其增長速度介于指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)之間，隨著\(n\)的不同，增長情況也有所不同。當(dāng)\(n>1\)時(shí)，在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增，增長速度比一次函數(shù)快；當(dāng)\(0<n<1\)時(shí)，在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增，但增長速度比一次函數(shù)慢。（三）典型例題講解例1：某種計(jì)算機(jī)病毒通過電子郵件進(jìn)行傳播，如果第一輪感染了3臺(tái)計(jì)算機(jī)，并且從第二輪起，每一臺(tái)被感染的計(jì)算機(jī)都感染下一輪未被感染的20臺(tái)計(jì)算機(jī)。則這種病毒每一輪感染的計(jì)算機(jī)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列是什么類型的數(shù)列？第5輪感染后，被感染的計(jì)算機(jī)共有多少臺(tái)？解：設(shè)第\(n\)輪感染的計(jì)算機(jī)數(shù)為\(a_n\)。第一輪感染了3臺(tái)計(jì)算機(jī)，即\(a_1=3\)。從第二輪起，每一臺(tái)被感染的計(jì)算機(jī)都感染下一輪未被感染的20臺(tái)計(jì)算機(jī)，所以\(a_{n+1}=20a_n\)，\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=20\)（\(n\geq1\)）。由此可知，數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是以\(3\)為首項(xiàng)，\(20\)為公比的等比數(shù)列。根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式\(a_n=a_1q^{n1}\)，可得\(a_n=3×20^{n1}\)。那么前\(n\)輪感染的計(jì)算機(jī)總數(shù)\(S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n\)。由等比數(shù)列求和公式\(S_n=\frac{a_1(1q^n)}{1q}\)（\(q\neq1\)），可得\(S_n=\frac{3(120^n)}{120}=\frac{3(20^n1)}{19}\)。當(dāng)\(n=5\)時(shí)，\(S_5=\frac{3(20^51)}{19}=\frac{3(32000001)}{19}=\frac{3×3199999}{19}=495384\)（臺(tái)）。所以，這種病毒每一輪感染的計(jì)算機(jī)數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，第5輪感染后，被感染的計(jì)算機(jī)共有495384臺(tái)。例2：某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤達(dá)到10萬元時(shí)，按銷售利潤進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金\(y\)（單位：萬元）隨銷售利潤\(x\)（單位：萬元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金不超過5萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤的25%?，F(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：\(y=0.25x\)，\(y=\log_7x+1\)，\(y=1.002^x\)，其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？解：對(duì)于模型\(y=0.25x\)：當(dāng)\(x=20\)時(shí)，\(y=0.25×20=5\)（萬元），當(dāng)\(x>20\)時(shí)，\(y>5\)（萬元），不符合獎(jiǎng)金不超過5萬元的要求。對(duì)于模型\(y=\log_7x+1\)：因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)\(y=\log_7x\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增，所以\(y=\log_7x+1\)在\((0,+\infty)\)上也單調(diào)遞增。當(dāng)\(x=10\)時(shí)，\(y=\log_710+1\)，因?yàn)閈(\log_77=1\)，\(\log_710>\log_77\)，所以\(y>2\)。當(dāng)\(x=1000\)時(shí)，\(y=\log_71000+1=\frac{\lg1000}{\lg7}+1=\frac{3}{\lg7}+1\)。因?yàn)閈(\lg7\approx0.845\)，所以\(y=\frac{3}{0.845}+1\approx4.5+1=5.5\)（萬元），不符合獎(jiǎng)金不超過5萬元的要求。對(duì)于模型\(y=1.002^x\)：指數(shù)函數(shù)\(y=1.002^x\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增。當(dāng)\(x=10\)時(shí)，\(y=1.002^{10}\approx1.02\)（萬元），\(1.02<5\)且\(1.02<10×0.25=2.5\)。當(dāng)\(x=1000\)時(shí)，\(y=1.002^{1000}\)。因?yàn)閈(1.002^{1000}=(1+0.002)^{1000}\)，由二項(xiàng)式定理展開式\((a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n1}b+\cdots+C_n^nb^n\)，可得\((1+0.002)^{1000}\approx1+C_{1000}^1×0.002+C_{1000}^2×0.002^2+\cdots+C_{1000}^{1000}×0.002^{1000}\)。其中\(zhòng)(C_{1000}^1×0.002=1000×0.002=2\)，\(C_{1000}^2×0.002^2=\frac{1000×999}{2×1}×0.002^2=999×0.002=1.998\)，隨著項(xiàng)數(shù)的增加，后面的項(xiàng)對(duì)結(jié)果影響較小，所以\(1.002^{1000}<5\)且\(1.002^{1000}<1000×0.25=250\)。所以，模型\(y=1.002^x\)能符合公司的要求。（四）課堂練習(xí)1.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，第一年產(chǎn)量為\(A\)，第二年的增長率為\(a\)，第三年的增長率為\(b\)，這兩年的平均增長率為\(x\)，則（）A.\(x=\frac{a+b}{2}\)B.\(x\leq\frac{a+b}{2}\)C.\(x>\frac{a+b}{2}\)D.\(x\geq\frac{a+b}{2}\)2.某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤（單位：萬元）分別為\(L_1=5.06x0.15x^2\)和\(L_2=2x\)，其中\(zhòng)(x\)為銷售量（單位：輛）。若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為（）A.45.606萬元B.45.6萬元C.45.56萬元D.45.51萬元3.某種動(dòng)物繁殖數(shù)量\(y\)（只）與時(shí)間\(x\)（年）的關(guān)系為\(y=a\log_2(x+1)\)，設(shè)這種動(dòng)物第一年有100只，則到第7年它們發(fā)展到（）A.300只B.400只C.500只D.600只（五）課堂小結(jié)1.引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容：幾類不同增長函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)）的特點(diǎn)。通過實(shí)際案例分析，掌握根據(jù)實(shí)際問題選擇合適函數(shù)模型的方法和步驟。2.強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模的重要性：數(shù)學(xué)建模是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并通過數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的過程。在本節(jié)課中，我們通過分析投資方案、細(xì)胞分裂、正方形面積變化等實(shí)際問題，建立了相應(yīng)的函數(shù)模型，體會(huì)了數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的廣泛應(yīng)用。希望同學(xué)們在今后的學(xué)習(xí)和生活中，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的思想方法，解決更多的實(shí)際問題。（六）布置作業(yè)1.書面作業(yè)：教材P98練習(xí)第1、2、3題；習(xí)題3.2A組第1、2、3題。2.拓展作業(yè)：請同學(xué)們收集生活中的一個(gè)實(shí)際問題，運(yùn)用本節(jié)課所學(xué)的函數(shù)模型知識(shí)進(jìn)行分析和解決，并寫成一篇小報(bào)告。五、教學(xué)反思通過本節(jié)課的教學(xué)，學(xué)生對(duì)幾類不同增長的函數(shù)模型有了較為清晰的認(rèn)識(shí)，能夠理解指數(shù)