福建省廈門市大同中學(xué)2025屆高三5月模擬（三模）數(shù)學(xué)試題理試題

福建省廈門市大同中學(xué)2025屆高三5月模擬（三模）數(shù)學(xué)試題理試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若函數(shù)在處取得極值2，則（）A．-3 B．3 C．-2 D．22．已知α，β是兩平面，l，m，n是三條不同的直線，則不正確命題是（）A．若m⊥α，n//α，則m⊥n B．若m//α，n//α，則m//nC．若l⊥α，l//β，則α⊥β D．若α//β，lβ，且l//α，則l//β3．已知命題：是“直線和直線互相垂直”的充要條件；命題：函數(shù)的最小值為4.給出下列命題：①；②；③；④，其中真命題的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．44．復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)等于（）A． B． C．2 D．-25．命題“”的否定為（）A． B．C． D．6．已知函數(shù)，若函數(shù)的所有零點(diǎn)依次記為，且，則（）A． B． C． D．7．已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）A．2 B． C．4 D．8．已知函數(shù)，集合，，則（）A． B．C． D．9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果為（）A． B． C． D．10．若函數(shù)函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．11．如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．812．正項(xiàng)等比數(shù)列中，，且與的等差中項(xiàng)為4，則的公比是()A．1 B．2 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．古代“五行”學(xué)認(rèn)為：“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”將五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列，但排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰，則這樣的排列方法有_________種.(用數(shù)字作答)14．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若，則____.15．已知，復(fù)數(shù)且（為虛數(shù)單位），則__________，_________．16．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線（，）的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過(guò)F作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)P，Q.若為直角三角形，則該雙曲線的離心率是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的值；（2）求證：（，且）.18．（12分）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)在橢圓上，滿足（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線過(guò)點(diǎn)，且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線與的傾斜角互補(bǔ)，且與橢圓交于異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)（介于兩點(diǎn)之間），是否存在直線，使得直線，，的斜率按某種排序能構(gòu)成等比數(shù)列？若能，求出的方程，若不能，請(qǐng)說(shuō)理由.19．（12分）記函數(shù)的最小值為.（1）求的值；（2）若正數(shù)，，滿足，證明：.20．（12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出圓C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，，求的值.21．（12分）如圖，四棱錐中，平面平面，若，四邊形是平行四邊形，且.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若點(diǎn)在線段上，且平面，，，求二面角的余弦值.22．（10分）已知函數(shù)．（1）時(shí)，求不等式解集；（2）若的解集包含于，求a的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo),可得,即可求出,進(jìn)而可求出答案.【詳解】因?yàn)?所以,則,解得,則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

根據(jù)線面平行、線面垂直和空間角的知識(shí)，判斷A選項(xiàng)的正確性.由線面平行有關(guān)知識(shí)判斷B選項(xiàng)的正確性.根據(jù)面面垂直的判定定理，判斷C選項(xiàng)的正確性.根據(jù)面面平行的性質(zhì)判斷D選項(xiàng)的正確性.【詳解】A．若，則在中存在一條直線，使得，則，又，那么，故正確；B．若，則或相交或異面，故不正確；C．若，則存在，使，又，則，故正確．D．若，且，則或，又由，故正確．故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間線線、線面和面面有關(guān)命題真假性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

先由兩直線垂直的條件判斷出命題p的真假，由基本不等式判斷命題q的真假，從而得出p,q的非命題的真假，繼而判斷復(fù)合命題的真假，可得出選項(xiàng).【詳解】已知對(duì)于命題，由得，所以命題為假命題；關(guān)于命題，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)即時(shí)，取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有最小值，所以命題為假命題.所以和是真命題，所以為假命題，為假命題，為假命題，為真命題，所以真命題的個(gè)數(shù)為1個(gè).故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查直線的垂直的判定和基本不等式的應(yīng)用，以及復(fù)合命題的真假的判斷，注意運(yùn)用基本不等式時(shí)，滿足所需的條件，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

通過(guò)復(fù)數(shù)的模以及復(fù)數(shù)的代數(shù)形式混合運(yùn)算，化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】復(fù)數(shù)滿足，∴，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的概念，屬于基礎(chǔ)題．5、C【解析】

套用命題的否定形式即可.【詳解】命題“”的否定為“”，所以命題“”的否定為“”.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

令，求出在的對(duì)稱軸，由三角函數(shù)的對(duì)稱性可得，將式子相加并整理即可求得的值.【詳解】令，得，即對(duì)稱軸為.函數(shù)周期，令，可得.則函數(shù)在上有8條對(duì)稱軸.根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，將以上各式相加得：故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的對(duì)稱性，考查了三角函數(shù)的周期性，考查了等差數(shù)列求和.本題的難點(diǎn)是將所求的式子拆分為的形式.7、A【解析】

對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行乘法運(yùn)算，并計(jì)算得到，從而得到虛部為2.【詳解】因?yàn)?，所以z的虛部為2.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及虛部的概念，計(jì)算過(guò)程要注意.8、C【解析】

分別求解不等式得到集合,再利用集合的交集定義求解即可.【詳解】,，∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的基本運(yùn)算,難度容易.9、D【解析】循環(huán)依次為直至結(jié)束循環(huán)，輸出，選D.點(diǎn)睛：算法與流程圖的考查，側(cè)重于對(duì)流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點(diǎn)條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過(guò)循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題，是求和還是求項(xiàng).10、C【解析】

轉(zhuǎn)化有1個(gè)零點(diǎn)為與的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，求導(dǎo)研究臨界狀態(tài)相切時(shí)的斜率，數(shù)形結(jié)合即得解.【詳解】有1個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于與的圖象有1個(gè)交點(diǎn)．記，則過(guò)原點(diǎn)作的切線，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，又切線過(guò)原點(diǎn)，即，將，代入解得．所以切線斜率為，所以或．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.11、A【解析】

由三視圖還原出原幾何體，得出幾何體的結(jié)構(gòu)特征，然后計(jì)算體積．【詳解】由三視圖知原幾何體是一個(gè)四棱錐，四棱錐底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為2，直觀圖如圖所示，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三視圖，考查棱錐的體積公式，掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵．12、D【解析】

設(shè)等比數(shù)列的公比為q，，運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式，以及等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，解方程可得公比q．【詳解】由題意，正項(xiàng)等比數(shù)列中，，可得，即，與的等差中項(xiàng)為4，即，設(shè)公比為q，則，則負(fù)的舍去，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列通項(xiàng)公式，合理利用等比數(shù)列的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1．【解析】試題分析：由題意，可看作五個(gè)位置排列五種事物，第一位置有五種排列方法，不妨假設(shè)排上的是金，則第二步只能從土與水兩者中選一種排放，故有兩種選擇不妨假設(shè)排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故總的排列方法種數(shù)有5×2×1×1×1=1．考點(diǎn)：排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題．點(diǎn)評(píng)：本題考查排列排列組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，解答本題關(guān)鍵是理解題設(shè)中的限制條件及“五行”學(xué)說(shuō)的背景，利用分步原理正確計(jì)數(shù)，本題較抽象，計(jì)數(shù)時(shí)要考慮周詳．14、【解析】

由，，成等差數(shù)列，代入可得的值.【詳解】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，，成等差數(shù)列，可得：，代入，可得：，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，相對(duì)不難.15、【解析】∵復(fù)數(shù)且∴∴∴∴，故答案為，16、2【解析】

根據(jù)是等腰直角三角形，且為中點(diǎn)可得，再由雙曲線的性質(zhì)可得，解出即得.【詳解】由題，設(shè)點(diǎn)，由，解得，即線段，為直角三角形，，且，又為雙曲線右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，且軸，，可得，，整理得：，即，又，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，是?？碱}型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）1；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）分別求得與的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可求得的值；（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因而，構(gòu)造，由對(duì)數(shù)運(yùn)算及不等式放縮可證明，從而不等式可證明.【詳解】（1）∵函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，即在上恒成立，∴，又∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，即在上恒成立，，∴綜上可知，.（2）證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，而，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.∴∴即，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系，放縮法在證明不等式中的應(yīng)用，屬于難題.18、（1）；（2）不能，理由見(jiàn)解析【解析】

（1）設(shè)，則，由此即可求出橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程可求得，則直線斜率為，設(shè)其方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得關(guān)于對(duì)稱，可求得，假設(shè)存在直線滿足題意，設(shè)，可得，由此可得答案．【詳解】解：（1）設(shè)，則，，所以橢圓方程為；（2）設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得，∴，因?yàn)閮芍本€的傾斜角互補(bǔ)，所以直線斜率為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立整理得，，所以關(guān)于對(duì)稱，由正弦定理得，因?yàn)?所以，由上得，假設(shè)存在直線滿足題意，設(shè)，按某種排列成等比數(shù)列，設(shè)公比為，則，所以，則此時(shí)直線與平行或重合，與題意不符，所以不存在滿足題意的直線．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力與推理能力，屬于難題．19、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)或利用絕對(duì)值三角不等式進(jìn)行求解；（2）利用基本不等式或柯西不等式證明即可.【詳解】解法一：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，所以解法二：（1）如圖當(dāng)時(shí)，解法三：（1）當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立.當(dāng)時(shí)解法一：（2）由題意可知，，因?yàn)?，，，所以要證明不等式，只需證明，因?yàn)槌闪?，所以原不等式成?解法二：（2）因?yàn)椋?，，所以，，又因?yàn)?，所以，所以，原不等式得證.補(bǔ)充：解法三：（2）由題意可知，，因?yàn)?，，，所以要證明不等式，只需證明，由柯西不等式得：成立，所以原不等式成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值函數(shù)的最值求解，不等式的證明，絕對(duì)值三角不等式，基本不等式及柯西不等式的應(yīng)用，考查了學(xué)生的邏輯推理和運(yùn)算求解能力.20、（1）；（2）20【解析】

（1）利用即可得到答案；（2）利用直線參數(shù)方程的幾何意義，.【詳解】解：（1）由，得圓C的直角坐標(biāo)方程為，即.（2）將直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得，即，設(shè)兩交點(diǎn)A，B所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，從而，則.【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)方程與普通方程的互化、直線參數(shù)方程的幾何意義等知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道容易題.21、（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）推導(dǎo)出BC⊥CE,從而EC⊥平面ABCD,進(jìn)而EC⊥BD，再由BD⊥AE，得BD⊥平面AEC,從而B(niǎo)D⊥AC,進(jìn)而四邊形ABCD是菱形，由此能證明AB=AD.（Ⅱ）設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為G,推導(dǎo)出EC//FG,取BC的中點(diǎn)為O,連結(jié)OD,則OD⊥BC,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過(guò)點(diǎn)O且與CE平行的直線為x軸，以BC為y軸，OD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-BF-D的余弦值.【詳解】（Ⅰ）證明：，即，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，所以，因?yàn)?，所以平面，所以，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危运倪呅问橇庑?，故；解法一：（Ⅱ）設(shè)與的交點(diǎn)為，因?yàn)槠矫妫矫嫫矫嬗?，所以，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以是的中點(diǎn)，因?yàn)?，取的中點(diǎn)為，連接，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以面，以為坐?biāo)原點(diǎn)，以過(guò)點(diǎn)且與平行的直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，同理可得平面的法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，因?yàn)?，所以二面角的余弦值?解法二：（Ⅱ）設(shè)與的交點(diǎn)為，因?yàn)槠矫?，平面平面于，所以，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以是的中點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以平面，所以，取中點(diǎn)，連接、，因?yàn)椋?，故平面，所以，即是二面角的平面角，不妨設(shè)，因?yàn)?，，在中，，所以，所以二面角的余弦值?/p>