2025屆山東省濟南市濟鋼高級中學(xué)高三二模沖刺（六）數(shù)學(xué)試題

2025屆山東省濟南市濟鋼高級中學(xué)高三二模沖刺（六）數(shù)學(xué)試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．中國古代用算籌來進行記數(shù)，算籌的擺放形式有縱橫兩種形式（如圖所示），表示一個多位數(shù)時，像阿拉伯記數(shù)一樣，把各個數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，其中個位、百位、方位……用縱式表示，十位、千位、十萬位……用橫式表示，則56846可用算籌表示為（）A． B． C． D．2．已知方程表示的曲線為的圖象，對于函數(shù)有如下結(jié)論：①在上單調(diào)遞減；②函數(shù)至少存在一個零點；③的最大值為；④若函數(shù)和圖象關(guān)于原點對稱，則由方程所確定；則正確命題序號為()A．①③ B．②③ C．①④ D．②④3．曲線在點處的切線方程為（）A． B． C． D．4．關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：（）①是偶函數(shù)；②在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)；③在上的最大值為2；④在區(qū)間上有4個零點.其中所有正確結(jié)論的編號是（）A．①②④ B．①③ C．①④ D．②④5．已知函數(shù)f（x）＝eb﹣x﹣ex﹣b+c（b，c均為常數(shù)）的圖象關(guān)于點（2，1）對稱，則f（5）+f（﹣1）＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．46．將函數(shù)的圖像向左平移個單位得到函數(shù)的圖像，則的最小值為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)若函數(shù)在上零點最多，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．9．設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間上有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．10．若，則下列關(guān)系式正確的個數(shù)是（）①②③④A．1 B．2 C．3 D．411．已知的展開式中的常數(shù)項為8，則實數(shù)（）A．2 B．-2 C．-3 D．312．的展開式中的一次項系數(shù)為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，且，則___________.14．已知、為正實數(shù)，直線截圓所得的弦長為，則的最小值為__________.15．如圖，直三棱柱中，，，，P是的中點，則三棱錐的體積為________.16．設(shè)為數(shù)列的前項和，若，則____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某公司欲投資一新型產(chǎn)品的批量生產(chǎn)，預(yù)計該產(chǎn)品的每日生產(chǎn)總成本價格)(單位:萬元)是每日產(chǎn)量(單位:噸)的函數(shù):.（1）求當日產(chǎn)量為噸時的邊際成本(即生產(chǎn)過程中一段時間的總成本對該段時間產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù))；（2）記每日生產(chǎn)平均成本求證：；（3）若財團每日注入資金可按數(shù)列(單位:億元)遞減，連續(xù)注入天，求證:這天的總投入資金大于億元.18．（12分）在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知：，：，：.（1）求與的極坐標方程（2）若與交于點A，與交于點B，，求的最大值.19．（12分）中的內(nèi)角，，的對邊分別是，，，若，.（1）求；（2）若，點為邊上一點，且，求的面積.20．（12分）已知函數(shù).（1）若，且，求證：；（2）若時，恒有，求的最大值.21．（12分）已知函數(shù).（1）若曲線存在與軸垂直的切線，求的取值范圍.（2）當時，證明：.22．（10分）已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱.（為自然對數(shù)的底數(shù)）（1）若的圖象在點處的切線經(jīng)過點，求的值；（2）若不等式恒成立，求正整數(shù)的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)題意表示出各位上的數(shù)字所對應(yīng)的算籌即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意可得，各個數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個位，百位，萬位用縱式表示；十位，千位，十萬位用橫式表示，用算籌表示應(yīng)為：縱5橫6縱8橫4縱6，從題目中所給出的信息找出對應(yīng)算籌表示為中的．故選：．【點睛】本題主要考查學(xué)生的合情推理與演繹推理，屬于基礎(chǔ)題．2、C【解析】

分四類情況進行討論，然后畫出相對應(yīng)的圖象，由圖象可以判斷所給命題的真假性.【詳解】（1）當時，，此時不存在圖象；（2）當時，，此時為實軸為軸的雙曲線一部分；（3）當時，，此時為實軸為軸的雙曲線一部分；（4）當時，，此時為圓心在原點，半徑為1的圓的一部分；畫出的圖象，由圖象可得：對于①，在上單調(diào)遞減，所以①正確；對于②，函數(shù)與的圖象沒有交點，即沒有零點，所以②錯誤；對于③，由函數(shù)圖象的對稱性可知③錯誤；對于④，函數(shù)和圖象關(guān)于原點對稱，則中用代替，用代替，可得，所以④正確.故選：C【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的零點概念，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.3、A【解析】

將點代入解析式確定參數(shù)值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線斜率，即可由點斜式求的切線方程.【詳解】曲線，即，當時，代入可得，所以切點坐標為，求得導(dǎo)函數(shù)可得，由導(dǎo)數(shù)幾何意義可知，由點斜式可得切線方程為，即，故選：A.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在曲線上一點的切線方程求法，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點對四個結(jié)論逐一分析，由此得出正確結(jié)論的編號.【詳解】的定義域為.由于，所以為偶函數(shù)，故①正確.由于，，所以在區(qū)間上不是單調(diào)遞增函數(shù)，所以②錯誤.當時，，且存在，使.所以當時，；由于為偶函數(shù)，所以時，所以的最大值為，所以③錯誤.依題意，，當時，，所以令，解得，令，解得.所以在區(qū)間，有兩個零點.由于為偶函數(shù)，所以在區(qū)間有兩個零點.故在區(qū)間上有4個零點.所以④正確.綜上所述，正確的結(jié)論序號為①④.故選：C【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.5、C【解析】

根據(jù)對稱性即可求出答案．【詳解】解：∵點（5，f（5））與點（﹣1，f（﹣1））滿足（5﹣1）÷2＝2，故它們關(guān)于點（2，1）對稱，所以f（5）+f（﹣1）＝2，故選：C．【點睛】本題主要考查函數(shù)的對稱性的應(yīng)用，屬于中檔題．6、B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的平移求出函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可．【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到，此時與函數(shù)的圖象重合，則，即，，當時，取得最小值為，故選：．【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)的平移關(guān)系求出解析式是解決本題的關(guān)鍵．7、D【解析】

將函數(shù)的零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線的交點的個數(shù)問題，畫出函數(shù)的圖象，易知直線過定點，故與在時的圖象必有兩個交點，故只需與在時的圖象有兩個交點，再與切線問題相結(jié)合，即可求解.【詳解】由圖知與有個公共點即可，即，當設(shè)切點，則，.故選：D.【點睛】本題考查了函數(shù)的零點個數(shù)的問題，曲線的切線問題，注意運用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于較難的壓軸題.8、A【解析】分析：題設(shè)中復(fù)數(shù)滿足的等式可以化為，利用復(fù)數(shù)的四則運算可以求出.詳解：由題設(shè)有，故，故選A.點睛：本題考查復(fù)數(shù)的四則運算和復(fù)數(shù)概念中的共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】令，可得.在坐標系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象（如圖所示）.當時，.由得.設(shè)過原點的直線與函數(shù)的圖象切于點，則有，解得.所以當直線與函數(shù)的圖象切時.又當直線經(jīng)過點時，有，解得.結(jié)合圖象可得當直線與函數(shù)的圖象有3個交點時，實數(shù)的取值范圍是.即函數(shù)在區(qū)間上有三個零點時，實數(shù)的取值范圍是.選D.點睛：已知函數(shù)零點的個數(shù)（方程根的個數(shù)）求參數(shù)值（取值范圍）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解，對于一些比較復(fù)雜的函數(shù)的零點問題常用此方法求解.10、D【解析】

a，b可看成是與和交點的橫坐標，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合處理.【詳解】令，，作出圖象如圖，由，的圖象可知，，，②正確；，，有，①正確；，，有，③正確；，，有，④正確.故選：D.【點睛】本題考查利用函數(shù)圖象比較大小，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.11、A【解析】

先求的展開式，再分類分析中用哪一項與相乘，將所有結(jié)果為常數(shù)的相加，即為展開式的常數(shù)項，從而求出的值.【詳解】展開式的通項為，當取2時，常數(shù)項為，當取時，常數(shù)項為由題知，則.故選：A.【點睛】本題考查了兩個二項式乘積的展開式中的系數(shù)問題，其中對所取的項要進行分類討論，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

根據(jù)多項式乘法法則得出的一次項系數(shù)，然后由等差數(shù)列的前項和公式和組合數(shù)公式得出結(jié)論．【詳解】由題意展開式中的一次項系數(shù)為．故選：B．【點睛】本題考查二項式定理的應(yīng)用，應(yīng)用多項式乘法法則可得展開式中某項系數(shù)．同時本題考查了組合數(shù)公式．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由向量平行的坐標表示得出，求解即可得出答案.【詳解】因為，所以，解得.故答案為：【點睛】本題主要考查了由向量共線或平行求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

先根據(jù)弦長，半徑，弦心距之間的關(guān)系列式求得，代入整理得，利用基本不等式求得最值.【詳解】解：圓的圓心為，則到直線的距離為，由直線截圓所得的弦長為可得，整理得，解得或(舍去)，令，又，當且僅當時,等號成立,則.故答案為：.【點睛】本題考查直線和圓的位置關(guān)系，考核基本不等式求最值，關(guān)鍵是對目標式進行變形，變成能用基本不等式求最值的形式，也可用換元法進行變形，是中檔題.15、【解析】

證明平面，于是，利用三棱錐的體積公式即可求解.【詳解】平面，平面，，又.平面，是的中點，.

故答案為：【點睛】本題考查了線面垂直的判定定理、三棱錐的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

當時，由，解得，當時，，兩式相減可得，即，可得數(shù)列是等比數(shù)列再求通項公式.【詳解】當時，，即，當時，，兩式相減可得，即，即，故數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.故答案為：【點睛】本題考查數(shù)列的前項和與通項公式的關(guān)系，還考查運算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】

（1）求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由此求得求當日產(chǎn)量為噸時的邊際成本.（2）將所要證明不等式轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得，由此證得不等式成立.（3）利用（2）的結(jié)論，判斷出，由此結(jié)合對數(shù)運算，證得.【詳解】（1）因為所以當時，（2）要證，只需證，即證，設(shè)則所以在上單調(diào)遞減，所以所以，即；（3）因為又由（2）知，當時，所以所以所以【點睛】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的計算，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查放縮法證明數(shù)列不等式，屬于難題.18、（1）的極坐標方程為；的極坐標方程為：（2）【解析】

（1）根據(jù)，代入即可轉(zhuǎn)化.（2）由：，可得，代入與的極坐標方程求出，從而可得，再利用二倍角公式、輔助角公式，借助三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）：，，的極坐標方程為：，，的極坐標方程為：，（2）：，則（為銳角），，，，當時取等號.【點睛】本題考查了極坐標與直角坐標的互化、二倍角公式、輔助角公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）（2）10【解析】

（1）由二倍角的正弦公式以及正弦定理，可得，再根據(jù)二倍角的余弦公式計算即可；（2）由已知可得，利用余弦定理解出，由已知計算出與，再根據(jù)三角形的面積公式求出結(jié)果即可.【詳解】（1），，在中，由正弦定理得，，又，，，（2），，，由余弦定理得，，則，化簡得，，解得或（負值舍去），，，，，，的面積.【點睛】本題考查了三角形面積公式以及正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，考查了二倍角公式的應(yīng)用，考查了運算能力，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，并設(shè)，則，，將不等式等價轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，通過推導(dǎo)出來證得結(jié)論；（2）構(gòu)造函數(shù)，對實數(shù)分、、，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，再通過構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，可得出的最大值.【詳解】（1），，所以，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，當時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞增.要證，即證.不妨設(shè)，則，，下證，即證，構(gòu)造函數(shù)，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，即，即，，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，故結(jié)論成立；（2）由恒成立，得恒成立，令，則.①當時，對任意的，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，不符合題意；②當時，；③當時，令，得，此時，函數(shù)單調(diào)遞增；令，得，此時，函數(shù)單調(diào)遞減...令，設(shè)，則.當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減.所以，函數(shù)在處取得最大值，即.因此，的最大值為.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，同時也考查了利用導(dǎo)數(shù)求代數(shù)式的最值，構(gòu)造新函數(shù)是解答的關(guān)鍵，考查推理能力，