2024-2025學(xué)年貴州省遵義市高二下冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年貴州省遵義市高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷注意事項(xiàng)：1．本試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】直接求解拋物線的準(zhǔn)線方程.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選：D.2.設(shè)在處可導(dǎo)，則（）．A B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義判斷即可.【詳解】因?yàn)樵谔幙蓪?dǎo)，所以.故選：C3.已知空間向量，，若與垂直，則等于（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系可得，即可根據(jù)模長(zhǎng)公式求解.【詳解】由于與垂直，故，解得，故，故選：C4.已知等比數(shù)列滿足，，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由條件結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式求，由此可求結(jié)論,【詳解】數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以，所以，即，?故選：C.5.已知圓與直線，若平分圓的周長(zhǎng)，則的最小值為（）A.1 B.3 C.9 D.18【正確答案】C【分析】由平分圓的周長(zhǎng)，所以直線l過(guò)圓C的圓心，得，再利用不等式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槠椒謭A的周長(zhǎng)，所以直線l過(guò)圓C的圓心，即，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選：C6.若直線是曲線的一條切線，則的值為（）A. B. C.2 D.【正確答案】D【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得切點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出的值.【詳解】由，得，設(shè)切點(diǎn)為，則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，又切線方程為，所以，即，解得，.故選：D.7.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，過(guò)且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)題意可知雙曲線的漸近線方程的斜率需小于直線的斜率，得，結(jié)合和離心率的定義即可求解.【詳解】由題意知，雙曲線的漸近線方程為，要使直線與雙曲線的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，需使雙曲線的漸近線方程的斜率小于直線的斜率，即，即，由，得，整理得，所以，因?yàn)殡p曲線中，所以雙曲線的離心率的范圍是.故選：B8.已知函數(shù)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與圖象有三個(gè)交點(diǎn)，分析分段函數(shù)的性質(zhì)并畫(huà)出圖象，即可確定k的范圍.【詳解】由題意，與圖象有三個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則，∴在上，遞增，在上，遞減，∴時(shí)，有最大值，且在上，在上.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，∴圖象如下∴由圖知：要使函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則.故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，選錯(cuò)得0分．9.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是B.函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是，C.處是函數(shù)的極值點(diǎn)D.時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)小于0【正確答案】BD【分析】綜合應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系即可解決.【詳解】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象，對(duì)于A項(xiàng)，在上，，可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，在上，，在上，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，是的變號(hào)零點(diǎn)，且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是的不變號(hào)零點(diǎn)，不是函數(shù)的極值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，，故D正確.故選：BD.10.已知圓：和圓：．現(xiàn)給出如下結(jié)論，其中正確的是（）A.圓與圓外切B.、分別為圓和圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為8，最小值為2C.過(guò)且與圓相切的直線有一條D.過(guò)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為或【正確答案】BD【分析】對(duì)于A：根據(jù)兩圓位置關(guān)系分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)圓的性質(zhì)可得結(jié)果；對(duì)于C：判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，即可得結(jié)果；對(duì)于D：設(shè)直線方程為，根據(jù)截距列式求解即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)閳A：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，則，即，所以圓與圓外離，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：由圓的性質(zhì)可知：，即的最大值為8，，即的最小值為2，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋芍c(diǎn)在圓外，所以過(guò)且與圓相切的直線有兩條，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：由題意可知所求直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，則直線在x，y軸上的截距分別為，則，解得或，所以直線方程為或，故D正確；故選：BD.11.如圖，橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，橢圓與雙曲線的離心率分別為，點(diǎn)P為兩曲線位于第一象限的公共點(diǎn)，且，I為的內(nèi)心，三點(diǎn)共線，且，x軸上的點(diǎn)A，B滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.平分 D.【正確答案】ACD【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合橢圓、雙曲線定義及余弦定理求解判斷AB；利用橢圓、雙曲線定義，結(jié)合三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理求解判斷CD.【詳解】設(shè)，而橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，由雙曲線的定義，得，由橢圓的定義，得，則，又，由余弦定理得：，即，整理得，對(duì)于A，，即，A正確；對(duì)于B，，即，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，又平分，則，由，得，則，C正確；對(duì)于D，由為的內(nèi)心，得為的角平分線，則，同理，則，于是，即，由，得，則，又三點(diǎn)共線，即為的角平分線，又平分，則有，而，則，即，由，得，即，由選項(xiàng)B知，，D正確．故選：ACD結(jié)論點(diǎn)睛：是的角平分線，則.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.直線，，當(dāng)時(shí)，直線與之間的距離為_(kāi)_________.【正確答案】##【分析】由兩直線平行列方程求，根據(jù)平行直線間距離公式求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€，，，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，直線，，兩直線重合，不滿足要求，當(dāng)時(shí)，直線，，兩直線平行，滿足要求，所以當(dāng)時(shí)，直線與之間的距離為.故答案為.13.一個(gè)箱子的容積與底面邊長(zhǎng)x的關(guān)系為，則當(dāng)箱子的容積最大時(shí)，______．【正確答案】60【分析】根據(jù)，利用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，，令，得，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，故6014.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球……第n層有個(gè)球，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為_(kāi)_____.【正確答案】【分析】根據(jù)題意列出數(shù)列的遞推關(guān)系，再利用累加法求出通項(xiàng)公式，最后用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的前20項(xiàng)和.【詳解】由題意得，，當(dāng)時(shí)，，以上各式累加得：，經(jīng)檢驗(yàn)符合上式，所以，所以設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，所以.故四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程和演算步驟．15.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得極值．（1）求的解析式；（2）求在區(qū)間上的最值．【正確答案】（1）（2）的最小值為，最大值為.【分析】（1）利用極值定義可求得，可得解析式；（2）利用導(dǎo)函數(shù)判斷出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，比較端點(diǎn)處的值可得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】依題意可得，又當(dāng)時(shí)，取得極值，所以，即；解得；所以；【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，令，可得或，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表所示：?jiǎn)握{(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增因此，在區(qū)間上，的最小值為，最大值為.16.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【正確答案】（1）（2）【分析】(1)由等差數(shù)列的概念計(jì)算基本量即可；(2)根據(jù)等差數(shù)列的求和公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)的公差為，則，解得，所以；【小問(wèn)2詳解】由（1）知；得.17.如圖，在四棱錐中，平面，，，是等邊三角形，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）先證明，，然后利用線面垂直的判定定理證明垂直于平面；（2）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法即可求出兩平面夾角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】由于是等邊三角形，為的中點(diǎn)．故是等邊的中線，所以，又因?yàn)槠矫妫谄矫鎯?nèi)，所以，由于和在平面內(nèi)，且交于點(diǎn)，，，所以平面；【小問(wèn)2詳解】取的中點(diǎn)，連接，則由是的中點(diǎn)，知是三角形的中位線，故平行于.因?yàn)槠矫?，平行于，所以垂直于平面，即三線兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則由，，，，，知，，，所以，．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，故．顯然平面的一個(gè)法向量為.而，故平面與平面夾角的余弦值為．18.已知函數(shù).（1）若，求在上的值域；（2）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）求導(dǎo)可得，利用導(dǎo)數(shù)可得的單調(diào)性，進(jìn)而分析最值和值域；（2）分析可知原題意等價(jià)于在上恒成立，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)性和最值，結(jié)合恒成立問(wèn)題分析求解.小問(wèn)1詳解】若，則，，令，解得；令，解得；可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，且，當(dāng)時(shí)，，可知在上的最大值為，所以在上的值域是；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，滿足要求，所以，原題意等價(jià)于對(duì)恒成立，即在上恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，可得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.閱讀材料：北京奧林匹克體育場(chǎng)（如圖1），俗稱“鳥(niǎo)巢”，其外形是以眾多鋼鐵線條“編織”而成的.從空中向下俯視，其外圍形狀大致為兩個(gè)橢圓，大橢圓的弦是小橢圓的切線（如圖2），那些編織“鳥(niǎo)巢”的“枝條”，甚至看上去好像是直線把橢圓“包裹”出來(lái)的，數(shù)學(xué)上稱這種情況為直線族的包絡(luò).下面我們來(lái)討論小橢圓是如何被“包裹”出來(lái)的.建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)大橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，在這個(gè)大橢圓上“均勻”地取個(gè)點(diǎn)，這些點(diǎn)的坐標(biāo)可以記為大橢圓上的這個(gè)點(diǎn)可以通過(guò)一族直線（一共有條）.確定直線的方法如下：先取第一個(gè)點(diǎn)，第二個(gè)點(diǎn)（這個(gè)點(diǎn)也可以看作為繞著橢圓中心逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度后得到的），由點(diǎn)可得到直線.以此類(lèi)推就可以得到一系列的直線：，，這條直線就形成一個(gè)直線族，這個(gè)直線族的包絡(luò)線就構(gòu)成一個(gè)小橢圓，直線族中每條直線都與小橢圓相切.結(jié)合閱讀材料，回答下面的問(wèn)題：（1）若坐標(biāo)為，大橢圓的離心率為，求大橢圓的方程（2）（i）直線族構(gòu)成的包絡(luò)線小橢圓與直線族的條數(shù)無(wú)關(guān)，但越大，小橢圓的形狀越清晰.若在滿足（1）的大橢圓上取個(gè)點(diǎn)形成的直線族，中，求出直線方程，并求出該直線族構(gòu)成的包絡(luò)線小橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.（ii）若直線族中有與小橢圓切于點(diǎn)，另一條直線與小橢圓分別交于（異于點(diǎn)），與交于點(diǎn)，求證：成等比數(shù)列.【正確答案】（1）（2）（i）方程為，；（ii）證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)可得，即可由離心率公式求解，（2）求解，的坐標(biāo)，根據(jù)，的方程求解，得（i），根據(jù)直線與橢圓相切可得，聯(lián)立直線與橢圓方程得韋達(dá)定理，