江西省六校2025屆高三下學(xué)期3月第二次聯(lián)考試題 數(shù)學(xué) 含答案

江西省六校2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若集合（i是虛數(shù)單位），，則（

）A． B． C． D．2．若命題，，則命題的否定為（

）A．， B．，C．， D．，3．已知向量，其中，，且，則向量和的夾角是（）A． B． C． D．4．已知，則（

）A． B． C． D．5．白舍窯位于江西省南豐縣白舍鎮(zhèn)，是宋元時(shí)期“江西五大名窯”，其瓷器以白瓷最為聞名，素有“白如玉，薄如紙”的特點(diǎn)．如圖是白舍窯生產(chǎn)的一款斗笠型茶杯，茶杯外形上部為一個(gè)圓臺(tái)，下部實(shí)心且外形為圓柱．現(xiàn)測(cè)得底部直徑為6cm，上部直徑為12cm，茶杯側(cè)面與水平面的夾角為，則該茶杯容量（茶杯杯壁厚度忽略不計(jì)）約為（

）（單位：）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，則在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為（

）A． B．C． D．7．已知曲線(xiàn)，，其中．點(diǎn)，，是曲線(xiàn)與依次相鄰的三個(gè)交點(diǎn)．若是等腰直角三角形，則（

）A． B． C． D．8．已知正實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則（

）A．2 B． C． D．二、多選題9．下列說(shuō)法正確的是（

）A．?dāng)?shù)據(jù)，，，，，，，的第80百分位數(shù)為10B．若兩個(gè)具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)的值越接近于1C．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，越大，則隨機(jī)變量越集中D．若隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，則10．已知函數(shù)，是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C．過(guò)點(diǎn)能作兩條不同直線(xiàn)與相切D．函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)11．如圖，有一組圓都內(nèi)切于點(diǎn)，圓，設(shè)直線(xiàn)與圓在第二象限的交點(diǎn)為，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓的圓心都在直線(xiàn)上B．圓的方程為C．若，則圓與軸有交點(diǎn)D．設(shè)直線(xiàn)與圓在第二象限的交點(diǎn)為，則三、填空題12．已知橢圓，過(guò)左焦點(diǎn)作直線(xiàn)與圓相切于點(diǎn)，與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，且，則橢圓的離心率為．13．在等比數(shù)列中，，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，則的值為．14．設(shè)，，，，函數(shù)（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）．從有序?qū)崝?shù)對(duì)中隨機(jī)抽取一對(duì)，使得恰有兩個(gè)零點(diǎn)的概率為．四、解答題15．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．已知．(1)求角；(2)若，，求的周長(zhǎng)．16．已知拋物線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)為，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6．(1)求拋物線(xiàn)的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于，兩點(diǎn)，關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，證明：直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn)．17．如圖，四面體中，是正三角形，是直角三角形，，．(1)證明：平面平面；(2)是邊上的點(diǎn)，且與平面所成角的正切值是，求的面積．18．已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2)若，證明：；(3)設(shè)，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．19．甲、乙、丙三人進(jìn)行傳球游戲，每次投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子決定傳球的方式，當(dāng)球在甲手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3，則甲將球傳給乙，若點(diǎn)數(shù)不大于3，則甲將球保留，當(dāng)球在乙手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于4，則乙將球傳給甲，若點(diǎn)數(shù)不大于4，則乙將球傳給丙，當(dāng)球在丙手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3，則丙將球傳給甲，若骰子點(diǎn)數(shù)不大于3，則丙將球傳給乙．初始時(shí)，球在甲手中．設(shè)投擲次后，球在乙手中的概率為．(1)求和；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)；(3)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，證明：．參考答案1．B【詳解】，所以，故選：B2．C【詳解】命題的否定為:，,故選：C3．A【詳解】解：由于，，且，則，即有，，由于，，則與的夾角為．故選：A．4．B【詳解】因?yàn)?，則，即，所以，則.故選：B.5．D【詳解】圓臺(tái)的體積即為該茶杯容量，如圖，cm，cm，過(guò)點(diǎn)分別作⊥，⊥于點(diǎn)，則cm，cm，其中圓臺(tái)的高為cm，故圓臺(tái)體積為.故選：D6．A【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，所以，，則所求切線(xiàn)方程為，即.故選：A7．D【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，，是曲線(xiàn)與依次相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)為曲線(xiàn)與在軸上的交點(diǎn)，如圖所示，為的中點(diǎn)，連接,易知，,與軸平行，所以又因?yàn)槭堑妊苯侨切?，所以，所以又因?yàn)樵谇€(xiàn)上，所以，又因?yàn)樗裕杭此?故選：D8．C【詳解】由題設(shè)可得(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)),即,由于，均為正實(shí)數(shù)，即，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，故當(dāng)，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，故，則，故，解得,所以,故選：C.9．AD【詳解】對(duì)于A，將數(shù)據(jù)，，，，，，，從小到大排列為，由于，故第80百分位數(shù)為第7個(gè)數(shù)10，A正確，對(duì)于B，若兩個(gè)具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1，B錯(cuò)誤，對(duì)于C，正態(tài)分布，表示標(biāo)準(zhǔn)差，故越大，隨機(jī)變量越分散，C錯(cuò)誤，對(duì)于D，隨機(jī)變量，則,故隨機(jī)變量，則，D正確，故選：AD10．AB【詳解】對(duì)于A中，由函數(shù)，可得，因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，可得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)適合題意，所以A正確；對(duì)于B中，由，令，解得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，所以B正確；對(duì)于C中，設(shè)過(guò)點(diǎn)且與函數(shù)相切的切點(diǎn)為，則該切線(xiàn)方程為，由于切點(diǎn)滿(mǎn)足直線(xiàn)方程，則，整理得，解得，所以只能作一條切線(xiàn)，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，令，則的根有三個(gè)，如圖所示，，所以方程有3個(gè)不同根，方程和均有1個(gè)根，故有5個(gè)零點(diǎn)，所以D錯(cuò)誤．故選：AB．

11．ABC【詳解】圓的圓心，直線(xiàn)的方程為，即，由兩圓內(nèi)切連心線(xiàn)必過(guò)切點(diǎn)，得圓的圓心都在直線(xiàn)上，即圓的圓心都在直線(xiàn)上，故A正確；顯然，設(shè)點(diǎn)，則，而，解得，因此圓的圓心，半徑為，圓的方程為，則圓的方程為，故B正確；圓的圓心為，半徑，圓心到軸的距離為，由兩邊平方得，，，而所以當(dāng)時(shí)，圓與軸有交點(diǎn)，C選項(xiàng)正確.在中，令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，因此，故D錯(cuò)誤．故選：ABC12．【詳解】設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為，連接，如下圖所示：由圓：可知圓心，半徑，顯然，且，因此可得，所以，可得，可得，又，由余弦定理可得，解得，再由橢圓的定義可得，即，因此離心率.故答案為：13．16【詳解】的定義域?yàn)椋?，由題意得是方程的兩個(gè)不相等的正根，故，解得，由韋達(dá)定理得，故，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，其中，故，所以，解得，滿(mǎn)足要求.故答案為：1614．【詳解】由題意，，，，，則有序?qū)崝?shù)對(duì)有81個(gè).由，得，令，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，要使有兩個(gè)零點(diǎn)，則，即，得，即.滿(mǎn)足該條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)有：對(duì)于，可以取，共7個(gè)；對(duì)于，可以取，共4個(gè)；對(duì)于，可以取，共1個(gè)；所以所求事件的概率為.故答案為：15．(1)(2)【詳解】（1）在中，由正弦定理得，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)椋?（2）在中，由正弦定理，得，因?yàn)?，所以，在中，，由余弦定理得，即，所以，所以，所以，所以周長(zhǎng)為.16．(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)上，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，又點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，所以，所以，故拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，消得，，方程的判別式，即，設(shè)，則，設(shè)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則直線(xiàn)的方程為，根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知定點(diǎn)必定在軸上，令得：．直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．17．(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）由題設(shè)得，從而.又是直角三角形，所以.取AC的中點(diǎn)O，連接DO、BO，則DO⊥AC，又是正三角形，故.則在直角中，，又，所以，故.而,平面，故平面，而平面，所以平面⊥平面.（2）設(shè)，與平面所成角為,結(jié)合（1）結(jié)論，以為坐標(biāo)原點(diǎn),為軸，為軸，為軸，建立的空間直角坐標(biāo)系，則，,,設(shè)平面的法向量，則,則,令,則,故,由,則故則,解得故,則,所以邊上的高為,故.18．(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由題意知函數(shù)的定義域?yàn)?，在上恒成立，所以在上恒成立，又，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的取值范圍是,（2）若，，所以，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.令，，所以，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，又等號(hào)不同時(shí)成立，所以.（3）由題意可知，因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，，所以，是方程的兩個(gè)不同的根，則所以，所以要證，即證，即證，即證，即證.令，則證明，令，則，所以在上單調(diào)遞增，則，即，所以原不等式成立.19．(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）當(dāng)投擲2次骰子后，球在乙手中，共有1種情況：甲甲乙，其概率為，故，當(dāng)投擲3次骰子后，球在乙手中，